de hsg toan 7

Lấy điểm M sao cho AB là đường trung trực của.. HM và lấy điểm N sao cho AC là đường trung trực của HN[r]

PHÒNG GIÁO DỤC HUYỆN QUẢNG TRẠCH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

TRƯỜNG THCS QUẢNG THANH MÔN TOÁN - LỚP 7

Khoá ngày tháng năm 2012

( Thời gian làm bài : 90 phút, không kể thời gian giao đề )

Bài 1 ( 2,5 điểm ) Tìm số nguyên x biết :

a) 186|x|=(1 −303030

313131)+(616161626262− 1)+(929292939393−1) b) [−2

5 x

3

(2 x −1) m+2

5x

m +3

]:(−2

5x

3

)=0 ( với m  N ; x  0 )

Bài 2 ( 2,0 điểm ) :

a) Chứng minh : 32005 + 32006 + 32007 + 32008 + 32009 chia hết cho 11

b) Cho : x1

x2=

x2

x3=

x3

x4=

x4

x5= =

x2008

x2009 Chứng tỏ rằng : (x1+x2+x3+ +x2008

x2+x3+x4+ +x2009)2008= x1

x2009

Bài 3 ( 2,0 điểm ) :

Tìm số có 3 chữ số biết rằng số đó chia hết cho 18 và các chữ số của số đó tỉ lệ thuận với các số 1 ; 2 và 3 ?

Bài 4 ( 3,5 điểm ) :

Cho ABC có A < 900, đường cao AH Lấy điểm M sao cho AB là đường trung trực của

HM và lấy điểm N sao cho AC là đường trung trực của HN Nối MN lần lượt cắt AB và AC tại I và K Chứng minh :

a) CI // HM và BK // HN

b) Trong trường hợp A  900, chứng tỏ ta vẫn có CI // HM và BK // HN

Hết

TRƯỜNG THCS QUẢNG THANH MÔN TOÁN - LỚP 7

Khoá ngày tháng năm 2012

ĐỀ CHÍNH THỨC

Bài 1 ( 2,5 điểm )

a) 1,25 điểm

+ Rút gọn vế phải có (1 −30

31)+(6162− 1)+(9293 −1) .0,25đ = 1

31 −

1

62 −

1

1

186 .0,5đ

+ Vậy ta có |x|

1

186  |x| = 1 0,25đ

+ Tính được x =  1 .0,25đ

b) 1,25 điểm

+ Viết tách xm + 3 = x3.xm và đặt nhân tử chung trong ngoặc vuông đúng 0,25đ

+ Rút gọn và đưa tới ( 2x - 1 )m - xm = 0 .0,25đ

+ Chuyển vế có ( 2x - 1 )m = xm và xét :

* Nếu m là số tự nhiên lẻ thì 2x - 1 = x  x = 1 0,25đ

* Nếu m là số tự nhiên chẵn thì 2x - 1 = x và 2x - 1 = - x  x = 1 và x = 13 ( loại ) 0,25đ + Vậy x = 1 .0,25đ

Bài 2 ( 2,0 điểm ) a) 1,0 điểm

+ Đặt 32005 làm nhân tử chung đúng 0,25đ

+ Tính đúng tổng trong ngoặc bằng 121 0,25đ

+ Vì 121 chia hết cho 11 nên tích 32005.121 cũng chia hết cho 11 0,5đ

+ Kết luận tổng các luỹ thừa đã cho chia hết cho 11 0,25đ

b) 1,0 điểm

+ Theo t/c dãy tỉ số bằng nhau thì x1

x2

=x2

x3

=x3

x4

=x4

x5

= =x2008

x2009

= x1+x2+x3+ .+ x2008

x2+x3+x4+ +x2009

0,5đ + Lập tích các tỉ số để có (x1+x2+x3+ +x2008

x2+x3+x4+ +x2009)2008= x1

x2009 .0,5đ

Bài 3 ( 2,0 điểm )

+ Gọi các chữ số của số đó là x ; y ; z với 1  x  9 ; 0  y  9 ; 0  z 

9 0,25đ

+ Vì số đó chia hết cho 18 nên chia hết cho 9  ( x + y + z ) chia hết cho 9 (1) 0,25đ + Theo điều kiện trên thì 1  x + y + z  27 (2) .0,25đ

Từ (1) & (2)  x + y + z nhận các giá trị 9 ; 18 ; 27 (3) 0,25đ Theo bài thì x1=y

2=

z

3=

x + y +z

6  N (4) ; từ (4) & (3) thì x + y + z = 18 0,25đ

+ Thay x + y + z = 18 vào (4) lần lượt có x = 3 ; y = 6 và z = 9 0,25đ + Do số cần tìm chia hết cho 18 nên chữ số tận cùng là 6 0,25đ

Kết luận : Các số cần tìm là 396 hoặc 936 0,25đ

Bài 4 ( 3,5 điểm )

a) 1,5 điểm A

N

K

I

M

B H C + Vì I  đường trung trực của MH nên IB là phân giác của MIH (1)

+ Vì K  đường trung trực của NH nên KC là phân giác của HKN (2)

+ Do IB và KC cắt nhau tại A nên AH là phân giác trong tại đỉnh H của IHK 1,0 điểm + Do AH  BC nên BC phải là phân giác góc ngoài tại đỉnh H của IHK (3)

Từ (2) & (3)  IC là phân giác trong tại đỉnh I của IHK, kết hợp với (1)  IC  AB

+ Có HM  AB & IC  AB nên CI // HM

* Chứng minh tương tự, ta cũng có BK  AC & HN  AC nên BK // HN .0,5đ

b) 2,0 điểm

* Trong trường hợp A = 900, chứng minh như câu a ta có I và K trùng với A .1,0đ

* Trong trường hợp A > 900, Lập luận tương tự câu a ta cũng có kết quả tương tự 0,75đ Vậy trong trường hợp A  900 ta vẫn có CI // HM và BK // HN 0,25đ