NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
Cở sở lý luận
Trong bối cảnh đổi mới giáo dục hiện nay, giáo viên cần nghiên cứu kỹ chương trình và đối tượng học sinh để áp dụng phương pháp giảng dạy hiệu quả Chúng tôi đã phân tích chương trình sách giáo khoa và tài liệu tham khảo, đồng thời phân loại các dạng toán Mỗi dạng toán được chúng tôi tìm tòi công thức giải nhanh, giúp học sinh tiết kiệm thời gian trong kỳ thi THPT quốc gia.
Cơ sở thực tiễn
Sau khi hoàn thành khái niệm, tôi đã tổ chức cho học sinh lớp 12A6, gồm 42 học sinh, thực hành làm bài trắc nghiệm 20 câu Bài kiểm tra này được phân loại thành hai phần, bao gồm các câu hỏi nhận biết, thông hiểu, vận dụng thấp và câu hỏi vận dụng cao.
Trong năm học 2019 – 2020, kết quả học tập môn Toán cho lớp 12A7 với tổng số 42 học sinh cho thấy: có 2 học sinh đạt học lực giỏi, 9 học sinh có học lực khá, 14 học sinh ở mức trung bình, 13 học sinh có học lực yếu, và 4 học sinh có học lực kém.
Trong năm học 2019 – 2020, kết quả học tập môn toán cho thấy có 3 học sinh đạt học lực giỏi, 9 học sinh đạt học lực khá, 15 học sinh có học lực trung bình, 13 học sinh học lực yếu và 2 học sinh có học lực kém.
Khảo sát cho thấy đa số học sinh chưa đáp ứng yêu cầu của hình thức kiểm tra đánh giá mới Nhiều học sinh không hoàn thành bài làm trong 90 phút cho 50 câu hỏi nếu thiếu kỹ thuật làm bài hiệu quả.
Xây dựng hệ thống công thức
3.1 Xây dựng công thức giải nhanh một số bài toán về tính đơn điệu của hàm số bậc ba y ax 3 bx 2 cx d a 0
Để học sinh hiểu rõ về tính đơn điệu của hàm số, cần nắm vững các định lý liên quan Định lý 1 chỉ ra rằng nếu hàm số đồng biến trên một khoảng thì tại đó có một số điểm hữu hạn, và nếu hàm số nghịch biến thì cũng chỉ tại một số điểm hữu hạn Định lý 2 khẳng định rằng nếu hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng (a;b) và đồng biến tại một số điểm hữu hạn, thì hàm số sẽ đồng biến trên toàn khoảng Tương tự, nếu hàm số nghịch biến tại một số điểm hữu hạn và liên tục trên khoảng đó, thì hàm số sẽ nghịch biến trên toàn khoảng.
Sau khi học sinh nắm được lý thuyết trong giờ dạy của mình chúng tôi thực hiện các bước sau:
Bước 1: Nêu vấn đề , định hướng cho học sinh giải các dạng toán thường gặp dưới dạng tự luận để học sinh hiểu được bản chất vấn đề
Bước 2: Giáo viên định hướng học sinh chọn công thức giải nhanh cho mỗi dạng toán đó
Bước 3: Đưa ra một số bài tập trắc nghiệm có vận dụng công thức đề học sinh rèn luyện, củng cố ghi nhớ kiến thức
Liên quan đến tính đơn điệu hàm bậc ba các dạng toán thường gặp:
1) Tìm điều kiện để hàm số bậc ba y ax 3 bx 2 cx d a 0 đồng biến trên R Giáo viên dẫn dắt cho học sinh giải
Hàm số đồng biến trên R y ' 3 ax 2 2 bx c 0, x R và dấu bằng xảy ra ở hữu hạn điểm ' 2 ' 2
2) Tìm điều kiện đề hàm số bậc ba y ax 3 bx 2 cx d a 0 nghịch biến trên R Hàm số nghịch biến trên R y ' 3 ax 2 2 bx c 0, x R và dấu bằng xảy ra ở hữu hạn điểm ' 2 ' 2
3) Tìm điều kiện để hàm số bậc ba y ax 3 bx 2 cx d a 0 nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng k cho trước
Hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng k y ' 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 sao cho x 1 x 2 k
4) Tìm điều kiện để hàm số bậc ba y ax 3 bx 2 cx d a 0 đồng biến
a b ; f x ( ) a b ; f x ( ) a b ; trên một đoạn có độ dài bằng k cho trước
Hàm số đồng biến trên một đoạn có độ dài bằng k y ' 0có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 sao cho x 1 x 2 k
Chọn công thức giải nhanh :
Hàm số bậc ba y ax 3 bx 2 cx d a 0 đồng biến trên R ́
Hàm số bậc ba y ax 3 bx 2 cx d a 0 nghịch biến trên R
Hàm số bậc ba y ax 3 bx 2 cx d a 0 nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng k cho trước
Hàm số bậc ba y ax 3 bx 2 cx d a 0 đồng biến trên một đoạn có độ dài bằng k cho trước
Hàm số bậc ba y ax 3 bx 2 cx d a 0 đồng biến trên một đoạn có độ dài lớn hơn k cho trước
Một số ví dụ minh họa :
Ví dụ 1: Giá trị của m để hàm số 1 3 2 2 3 5
3 ( ) y x mx m x m đồng biến trên R là:
Hàm số đồng biến trên R { ́ ⟺ Chọn đáp án C
Ví dụ 2: Với giá trị nào của m thì hàm số 1 3 2 2 2 y 3 x x mx nghịch biến trên tập xác định của nó?
Giải: Hàm số 1 3 2 2 2 y 3 x x mx xác định trên R
Hàm số nghịch biến trên R {
Ví dụ 3: Giá trị m để hàm số y x 3 3 x 2 mx m giảm trên đoạn có độ dài bằng 1 là:
Giải: Hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 1 khi
Ví dụ 4: Tìm tất cả các giá trị thực m để f x x 3 3 x 2 m 1 x 2 m 3 đồng biến trên một khoảng có độ dài lớn hơn 1
Giải: Ta có f ' x 3 x 2 6 x m 1 Để hàm số đồng biến trên một khoảng có độ dài lớn hơn 1 khi và chỉ khi
' 0 f x có hai nghiệm phân biêt x x 1 , 2 x 1 x 2 thỏa mãn x 2 x 1 1 Điều kiện ' 0 3 m 6 0 m 2
Dùng công thức giải nhanh √ ⟺ kết hợp điều kiện chọn đáp án D
3.2 Xây dựng công thức giải nhanh bài toán về cực trị hàm số bậc ba, bậc bốn
Khái niệm cực trị của hàm số Định nghĩa: Cho hàm số xác định trên khoảng và điểm
+ Nếu tồn tại số sao cho với mọi và thì ta nói hàm số đạt cực đại tại
Khi đó f(x0) được gọi là giá trị cực đại của hàm số
+ Nếu tồn tại số sao cho với mọi và thì ta nói hàm số đạt cực tiểu tại
Khi đó f(x0) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số
+ Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị
+ Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị:
Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng a b ; chứa điểm x 0 và có đạo hàm trên các khoảng a x ; 0 và x b 0 ; .Khi đó
+) Nếu f '( ) x 0 với mọi x a x ; 0 và f x '( ) 0 với mọi x x b 0 ; thì hàm số đạt cực tiểu tại x 0
+) Nếu f x '( ) 0 với mọi x a x ; 0 và f '( ) x 0 với mọi x x b 0 ; thì hàm số đạt cực đại tại x 0
3.2.1 Bài toán về cực trị hàm số bậc ba :
1)Tìm điều kiện để hàm số bậc ba y ax 3 bx 2 cx d a 0 có hai cực trị (có cực đại và cực tiểu)
Giáo viên dẫn dắt cho học sinh giải bài toán
Hàm số có hai cực trị (có CĐ và CT) y ' 3 ax 2 2 bx c 0có hai nghiệm phân biệt và y’ đổi dấu khi x qua chúng ' y ' b 2 3 ac 0
2) Tìm điều kiện để hàm số bậc ba y ax 3 bx 2 cx d a 0 không có cực trị Hàm số không có cực trị y ' 3 ax 2 2 bx c 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép ' y ' b 2 3 ac 0
3) Tìm điều kiện để hàm số bậc ba y ax 3 bx 2 cx d a 0 có hai cực trị Tìm tọa độ trung điểm của hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
Hoành độ của hai điểm cực trị là hai nghiệm x 1 , x 2 của phương trình y ' 3 ax 2 2 bx c 0
Do đó, tọa độ trung điểm của hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là
chính là điểm uốn của đồ thị hàm số
4) Tìm điều kiện để hàm số bậc ba y ax 3 bx 2 cx d a 0 có hai cực trị Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
(phương trình đường thẳng đi qua cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số)
Chia y cho y’ rồi biểu diễn y theo y’ ta được :
Do x0 là điểm cực trị của hàm số thì y’(x0 )= 0 nên ta có y CĐ 2
Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là
Ta chọn công thức giải nhanh cho các bài toán thường gặp :
Hàm số có hai cực trị (có CĐ và CT) ' y ' b 2 3 ac 0
Hàm số không có cực trị ' y ' b 2 3 ac 0
Khi một hàm số có hai điểm cực trị, trung điểm của hai điểm này sẽ trở thành điểm uốn của đồ thị hàm số.
Khi hàm số có hai điểm cực trị thì phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
Một số ví dụ minh họa :
Ví dụ 5: Hàm số y x 3 3 x 2 mx 1 có hai cực trị khi giá trị của tham số m là
Hàm số có cực đại và cực tiểu ⟺ ⟺ ⟺
Ví dụ 6: Với giá trị nào của tham số m thì hàm số 1 3 2 3 y 3 x mx mx không có cực trị?
Hàm số không có cực trị ' ' 2 3 1 ( ) 0 2 0 0 1 y m 3 m m m m
Ví dụ 7: Cho hàm số y x 3 3 mx m , có đồ thị C m Với m 0 thì phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị C m là:
Với m 0 hàm số có cực đại và cực tiểu Khi đó phương trình đường thẳng đi qua cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số là
Để tìm giá trị m sao cho hàm số y = x³ - 3x² - mx + 2 có hai điểm cực trị, đồng thời đường thẳng đi qua hai điểm cực trị tạo thành một tam giác cân với hai trục tọa độ, cần phân tích điều kiện về đạo hàm và hình học của đồ thị hàm số.
Hàm số có cực đại và cực tiểu khi điều kiện Δ = -y' (3)² - 3.1(-m) > 0 được thỏa mãn Đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số sẽ tạo thành một tam giác cân với hai trục tọa độ, do đó hệ số góc của đường thẳng này sẽ bằng ±1.
9 m 2 hoặc 3 m 2 Đối chiếu với điều kiện 3 m 2 thõa mãn bài toán
Để xác định giá trị của m sao cho hàm số y = x³ - 3x² - mx + 2 có hai điểm cực trị, ta cần phân tích đạo hàm của hàm số Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số sẽ tạo thành một mối quan hệ với đường thẳng d: x + 4y = 0 Việc tìm m sẽ giúp xác định các điểm cực trị và mối quan hệ giữa chúng với đường thẳng đã cho.
Hàm số có cực đại và cực tiểu ' y ' ( 3) 2 3.1.( m ) 0 m 3
Hệ số góc k của đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số được xác định Đường thẳng này tạo với đường thẳng d: x + 4y - 3 = 0 một góc α = 45 độ, từ đó ta có thể tính toán các thông số liên quan.
39 m 10 hoặc 1 m 2 Đối chiếu với điều kiện 1 m 2 thõa mãn bài toán Chọn đáp án A
Ví dụ 10: Tìm m để hàm số y x 3 3 x 2 mx có hai điểm cực trị và các điểm này đối xứng nhau qua đường thẳng d: x – 2y – 5 = 0
Hàm số có cực đại và cực tiểu ' y ' ( 3) 2 3.1 m 0 m 3 (*)
Trung điểm của hai điểm cực trị là I (1; m-2)
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là
Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số sẽ đối xứng nhau qua đường thẳng d nếu và chỉ nếu đường thẳng d đi qua trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực trị và vuông góc với đường thẳng nối hai điểm đó.
Ví dụ 11: Tìm m để đồ thị hàm số y x 3 3 x 2 mx 2 có hai điểm cực trị cách đều đường thẳng d : y = x – 1 ?
Hàm số có cực đại và cực tiểu ' y ' ( 3) 2 3.1.( m ) 0 m 3
Trung điểm của hai điểm cực trị là I (1; m)
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là
Hai điểm cực trị A,B của đồ thị hàm số cách đều đường thẳng d khi d đi qua trung điểm I của AB hoặc AB song song (hoặc trùng ) với d
3.2.2 Bài toán về cực trị hàm số y ax 4 bx 2 c a ( 0) :
Với hàm số bậc bốn y ax 4 2 bx 2 c a ( 0) ta thường gặp các bài toán sau
1) Tìm điều kiện để hàm số y ax 4 bx 2 c a ( 0) có ba cực trị
2) Tìm điều kiện để hàm số y ax 4 bx 2 c a ( 0) có 1 cực trị
3) Tìm điều kiện để hàm số y ax 4 bx 2 c a ( 0) có 1 cực đại và 2 cực tiểu
4) Tìm điều kiện để hàm số y ax 4 bx 2 c a ( 0) có 2 cực đại và 1 cực tiểu
5) Tìm điều kiện để hàm số y ax 4 bx 2 c a ( 0) chỉ có duy nhất 1 cực trị là điểm cực đại
6) Tìm điều kiện để hàm số y ax 4 bx 2 c a ( 0) chỉ có duy nhất 1 cực trị là điểm cực tiểu
7) Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y ax 4 bx 2 c a ( 0) có ba cực trị tạo thành một tam giác vuông cân
8) Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y ax 4 bx 2 c a ( 0) có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác đều
9) Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y ax 4 bx 2 c a ( 0) có ba điểm cực trị
A, B, C sao cho góc ̂10) ) Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y ax 4 bx 2 c a ( 0) có ba điểm cực trị A, B, C sao cho BC OA
11) Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y ax 4 bx 2 c a ( 0) có ba điểm cực trị A, B, C sao cho BC m 0
12) Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y ax 4 bx 2 c a ( 0) có ba điểm cực trị A, B, C sao cho B C , Ox
13) Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y ax 4 bx 2 c a ( 0) có ba điểm cực trị A, B, C sao cho tam giác ABC có 3 góc nhọn
14) Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y ax 4 bx 2 c a ( 0) có ba điểm cực trị A, B, C sao cho AB AC n 0
15)Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y ax 4 bx 2 c a ( 0) có ba điểm cực trị
16) Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y ax 4 bx 2 c a ( 0) có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp r 0
17) Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y ax 4 bx 2 c a ( 0) có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp R 0
18) Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y ax 4 bx 2 c a ( 0) có ba điểm cực trị
A, B, C sao cho tam giác ABC có trọng tâm là gốc tọa độ O
19) Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y ax 4 bx 2 c a ( 0) có ba điểm cực trị
A, B, C sao cho tam giác ABC có trực tâm là gốc tọa độ O
20) Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y ax 4 bx 2 c a ( 0) có ba điểm cực trị
A, B, C sao cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp là gốc tọa độ O
21) Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y ax 4 bx 2 c a ( 0) có ba điểm cực trị
A, B, C sao cho tam giác ABC có tâm đường tròn nội tiếp là gốc tọa độ O
22) Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y ax 4 bx 2 c a ( 0) có ba điểm cực trị
A, B, C sao cho tam giác ABC cùng với điểm O tạo thành một hình thoi
23) Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y ax 4 bx 2 c a ( 0) có ba điểm cực trị
24) Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y ax 4 bx 2 c a ( 0) cắt trục ox tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng
Giáo viên dẫn dắt cho học sinh giải bài toán dưới dạng tổng quát:
1) Hàm số có 3 cực trị y ' 4ax 3 2bx 2x 2ax 2 b 0 có ba nghiệm phân biệt và y’ đổi dấu khi x qua chúng a b 0
2) Hàm số có 1 cực trị y ' 4ax 3 2bx 2x 2ax 2 b = 0 có 1 nghiệm và y’ đổi dấu khi x qua chúng a b 0
3) Hàm số y ax 4 bx 2 c a ( 0) có 1 cực đại và 2 cực tiểu khi và chỉ khi
0 a và hàm số có 3 cực trị 0
4) Hàm số y ax 4 bx 2 c a ( 0) có 2 cực đại và 1 cực tiểu khi và chỉ khi
0 a và hàm số có 3 cực trị 0
5) Hàm số y ax 4 bx 2 c a ( 0) chỉ có duy nhất 1 cực trị là điểm cực đại khi và chỉ khi a 0và hàm số có 1 cực trị 0
6) Hàm số y ax 4 bx 2 c a ( 0) chỉ có duy nhất 1 cực trị là điểm cực tiểu khi và chỉ khi a 0và hàm số có 1 cực trị 0
Với điều kiện a b 0đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là: A (0; ) c ,
7) ABC cân tại A nên ABC phải vuông tại A AB AC 0 b 3 8 a 0
8) ABC cân tại A nên ABC đều AB BC 4 8 2
13) Tam giác ABC có 3 góc nhọn ⟺
15) Gọi H là trung điểm của BC,
18) O là trọng tâm của tam giác ABC
19) Vì tam giác ABC cân tại A nên OA BC
Do đó, O là trực tâm của tam giác ABC OB AC 0 b 3 8 a 4 ac 0
20) Tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp là gốc tọa độ O⟺ ⟺
21) Tam giác ABC có tâm đường tròn nội tiếp là gốc tọa độ O ⟺ ⟺
22) Do BC OA nên tam giác ABC cùng với O tạo thành hình thoi ABOC khi và chỉ khi H là trung điểm của OA
23) Ba điểm cực trị A, B, C cách đều trục hoành ⟺ ⟺| | | |⟺
24) Để đồ thị hàm số y ax 4 bx 2 c a ( 0) cắt trục ox tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng thì phương trình có 4 nghiệm thõa mạn và đặt yêu cầu bài toán đưa về phương trình có 2 nghiệm với
(Vì √ √ √ √ mà nên ) Áp dụng định lý viet ta rút ra được
Ta có công thức giải nhanh cho bài toán:
Hàm số y ax 4 bx 2 c a ( 0) có 3 cực trị a b 0
Hàm số có y ax 4 bx 2 c a ( 0) 1 cực trị a b 0
Hàm số y ax 4 bx 2 c a ( 0) có 1 cực đại và 2 cực tiểu
Hàm số y ax 4 bx 2 c a ( 0) có 2 cực đại và 1 cực tiểu
Hàm số y ax 4 bx 2 c a ( 0) chỉ có duy nhất 1 cực trị là điểm cực đại(có cực đại mà không có cực tiểu )
Hàm số y ax 4 bx 2 c a ( 0) chỉ có duy nhất 1 cực trị là điểm cực tiểu(có cực tiểu mà không có cực đại)
Đồ thị hàm số y ax 4 bx 2 c a ( 0) có 3 điểm cực trị A (0; ) c ,
Tam giác ABC có 3 góc nhọn
Tam giác ngoại tiếp đường tròn có bán kính r 0
Tam giác nội tiếp đường tròn có bán kính R 0
Gốc tọa độ O là trọng tâm của tam giác ABC
Gốc tọa độ O là trực tâm của tam giác ABC
Tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp là gốc tọa độ O
Tam giác ABC có tâm đường nội tiếp là gốc tọa độ O
Tam giác ABC cùng với O tạo thành một hình thoi 2
Ba điểm cực trị A, B, C cách đều trục hoành Đồ thị hàm số y ax 4 bx 2 c a ( 0) cắt trục ox tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng
Ví dụ 11: Tìm m để đồ thị hàm số có 1 điểm cực trị ?
Hàm số có 1 điểm cực trị khi ⟺ ⟺
Ví dụ 12: Tìm m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị ?
Hàm số có 3 điểm cực trị khi ⟺ ⟺
Ví dụ 13: Tìm m để đồ thị hàm số y x 4 2( m 2) x 2 m có 2 cực đại và
Hàm số có 2 cực đại và 1cực tiểu 0 1 0 2
Ví dụ 14: Cho hàm số y x 4 2 m 2 x 2 m 2 5 m 5 1 Xác định m để đồ thị hàm số 1 có ba cực trị tạo thành tam giác vuông cân
Giải: Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân
Ví dụ 15: Cho hàm số y x 4 2 m x 2 2 1 , có đồ thị C m Tìm m để đồ thị
C m có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác đều
Giải: Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác đều
Ví dụ 16: Tìm m để đồ thị hàm số y x 4 2 mx 2 m 2 m có 3 điểm cực trị tạo thành tam giác có một góc bằng 120 0
Tam giác ABC cân tại A nên ̂= 120 0
Ví dụ 17: Tìm m để hàm số y m x 2 4 mx 2 1 m có 3 điểm cực trị A Ox
Ví dụ 18: Tìm m để hàm số y mx 4 x 2 m có 3 điểm cực trị A Ox ,B,C sao cho 1
Ví dụ 19: Tìm m để đồ thị hàm số y x 4 mx 2 1 có ba điểm cực trị A, B, C sao cho B,C nằm trên trục hoành?
Giải: Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị A, B, C sao cho B,C nằm trên trục hoành khi
Ví dụ 20: Cho hàm số y x 4 2 mx 2 2 m m 4 1 Xác định m để đồ thị hàm số 1 có ba cực trị tạo thành tam giác có diện tích bằng 4
Giải: Đồ thị hàm số có ba cực trị tạo thành tam giác có diện tích bằng 4.
Ví dụ 21: Tìm m để đồ thị hàm số y x 4 2(1 m x 2 ) 2 m 1 có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích lớn nhất ?
Giải: Đồ thị hàm số có 3 cực trị A,B,C : 2(1 m 2 ) 0 1 m 1
Diện tích tam giác ABC :
Do đó MaxS ABC 1 khi m 0 Chọn đáp án C
Ví dụ 22: Tìm m để đồ thị hàm số y x 4 2 mx 2 m 1 có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1?
Giải: Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng R 0 1
Ví dụ 23: Tìm m để đồ thị hàm số y x 4 2 mx 2 m có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1?
Giải: Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp bằng r 0 1
Ví dụ 24: Tìm m để đồ thị hàm số 1 4 (3 1) 2 2 2 y 4 x m x m có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có trọng tâm là gốc tọa độ O ?
Giải: Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có trọng tâm là gốc tọa độ O(0;0) 2
Ví dụ 25: Tìm m để đồ thị hàm số y 2 x 4 m x 2 2 m 2 1 có 3 điểm cực trị A
Ox ,B, C cùng với gốc tọa độ O tạo thành một hình thoi ?
Giải: Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị A Ox ,B, C cùng với gốc tọa độ O tạo thành một hình thoi
3.2.3 Bài toán về cực trị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối
1, Số điểm cực trị của hàm số bằng tổng số nghiệm đơn và nghiệm bội lẻ của pt
(VD: thì là nghiệm đơn, là nghiệm bội 3, là nghiệm kép Vậy có 2 điểm cực trị )
2, Số điểm cực trị của hàm số bằng số điểm cực trị của hàm số
3, Số điểm cực trị của hàm số bằng tổng số điểm cực trị của hàm số và số nghiệm đơn, nghiệm bội lẻ của pt
4, Số điểm cực trị của hàm số bằng với là số điểm cực trị dương của hàm số
5, Số điểm cực trị của hàm số bằng số điểm cực trị của hàm số
6, Số điểm cực trị của hàm số bằng với là số điểm cực trị dương của hàm số
Một số trường hợp thường gặp cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối a Cho hàm số với
► Hàm số có 3 điểm cực trị
► Hàm số có 5 điểm cực trị
► Hàm số có 7 điểm cực trị có 4 nghiệm phân biệt b Cho hàm số với
► Hàm số có 1 điểm cực trị
► Hàm số có 3 điểm cực trị
► Hàm số có 5 điểm cực trị có 3 nghiệm phân biệt
► Hàm số có 3 điểm cực trị có đúng 1 điểm cực trị dương có 2 nghiệm thỏa mãn
► Hàm số có 5 điểm cực trị có
2 điểm cực trị dương có 2 nghiệm thỏa mãn
Ví dụ 26: Tìm m để hàm số y x 4 2 m 1 x 2 2 m 3 có 5 điểm cực trị
3 2 y ax bx cx d ax 3 bx 2 cx d 0
Giải: Ta có điều kiện {
Ví dụ 27: Tìm m để hàm số y x 3 3 x 2 m có 5 điểm cực trị
Giải: Theo phần lý thuyết nêu trên hàm số có 5 cưc trị khi pt x 3 -3x 2 +m=0 có 3 nghiệm phân biệt Thử m=1 bằng máy tính thõa mãn ta chọn đáp án C
Ví dụ 28: Cho hàm số có đạo hàm trên là
2 1 2 2 5 f x x x x mx Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m 10 để hàm số y f x có 5 điểm cực trị
Giải: Hàm số có 5 cực trị khi có 2 nghiệm dương phân biệt
Mà ⟺ [ phương trình phải có 2 nghiệm dương phân biệt
Do √ nên có 7 giá trị nguyên của m thoải mãi bài toán Chọn đáp án C
Ví dụ 29: Cho hàm số f x x 3 4 x 2 Hỏi hàm số | | có bao nhiêu cực trị?
Giải: Vì ⟺ [ nên hàm số có 1 cực trị dương suy ra hàm số | | có 3 cực trị ta chọn đáp án B
3.3 Xây dựng công thức và phương pháp giải nhanh một số bài toán liên quan đến hàm số phân thức y ax b cx d
3.3.1 Thành lập công thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức:
Giáo viên cho học sinh sử dụng các qui tắc tính đạo hàm tìm đạo hàm của
f x các hàm số y ax b cx d
Ta có công thức tính nhanh sau :
2 2 ax a b c d b ad bc cx d cx d cx d
2 2 amx 2 ax 2 b c anx m n bx c amx anx bn mc mx n mx n mx n
3.3.2 Xây dựng công thức và phương pháp giải nhanh những bài toán về tính đơn điệu của hàm số
● Hàm luôn đồng biến trên từng khoảng xác định
● Hàm luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định
Chú ý: Hàm không có cực trị
3.3.3 Thành lập công thức tính nhanh đường tiệm cận của đồ thị hàm phân thức
Nếu (b là hằng số) thì đường thẳng được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (đths)
Nếu (b là hằng số) thì đường thẳng được gọi là tiệm cận đứng của đths y ax b cx d
+ Đối với đồ thị hs luôn có một TCN và một TCĐ
Nếu hàm số có bậc của tử cao hơn bậc của mẫu, thì không tồn tại tiệm cận ngang Đối với hàm số có dạng hoặc, cần nhân với lượng liên hợp để chuyển về dạng thích hợp nhằm xác định tiệm cận ngang Sau đó, giải phương trình để tìm tiệm cận đứng.
Ví dụ 30: (Đề THPT QG 2017) Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
Giải: Hàm không có cực trị chọn đáp án B
Ví dụ 31: (Đề THPT QG 2017) Cho hàm số với m là tham số
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định Tìm số phần tử của S
Giải: Theo công thức tính nhanh ta có
, do nên { } Chọn đáp án D
Ví dụ 32: (Đề THPT QG 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số đồng biến trên
Giải: Theo công thức tính nhanh ta có: Hàm số đồng biến trên
Ví dụ 33: (Đề THPT QG 2017) Tìm số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Giải: Viết lại nên tiệm cận đứng của đồ thị hàm số chỉ có
Ví dụ 34: Cho hàm số 1
y ax bx Tìm a b , để đồ thị hàm số có x 1 là tiệm cận đứng và 1
Giải: Ta có tiệm cận đứng của đồ thị hàm số b = 2 và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số = a = 1 Chọn đáp án C
Ví dụ 35: Cho hàm số 2 2
Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số m để đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận (tiệm cận đứng và tiệm cận ngang)?
Giải: Ta có đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang
Nên yêu cầu bài toán ⟺ đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng ⟺ phương trình có nghiệm kép hoặc có 2 nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm bằng 2
Nếu = 0 ta có m Nếu phương trình có 1 nghiệm bằng 2 thì m = 0 (loại) Vậy chỉ có 1 giá trị m thỏa mãn
Câu 1 (Đề THPT QG 2017) Cho hàm số với m là tham số Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên khoảng ?
Câu 2 (Đề THPT QG 2017) Cho hàm số Mệnh đề nào dưới
A Hàm số đồng biến trên khoảng
B Hàm số nghịch biến trên khoảng
C Hàm số đồng biến trên khoảng
D Hàm số nghịch biến trên khoảng
Câu 3 (Đề THPT QG 2017) Hàm số nào sau đây đồng biến trên khoảng
Câu 4 (Đề THPT QG 2017) Cho hàm số có đạo hàm
, Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A Hàm số nghịch biến trên khoảng
B Hàm số nghịch biến trên khoảng
C Hàm số nghịch biến trên khoảng
D Hàm số đồng biến trên khoảng
Câu 5 (Đề THPT QG 2017) Cho hàm số với m là tham số
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định Tìm số phần tử của S
Câu 6 (Đề THPT QG 2018) Cho hàm số có bảng biến thiên như sau
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
Câu 7: (Đề THPT QG 2018) Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây
Câu 8 (Đề THPT QG 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số đồng biến trên khoảng ?
Câu 9 (Đề THPT QG 2018) Cho hàm số
Hàm số và đồ thị của nó được thể hiện trong hình bên, với đường cong đậm hơn đại diện cho hàm số cụ thể Câu hỏi đặt ra là hàm số này đồng biến trên khoảng nào?
Câu 10 (Đề THI THPT QG 2019) Cho hàm số có bảng biến thiên sau:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Câu 11 (Đề THI THPT QG 2019) Cho hàm số , bảng xét dấu như sau:
Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
Câu 12 Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ Hàm số đồng biến trên khoảng nào?
Câu 13 Cho hàm số , biết đồ thị hàm số như hình vẽ bên Hỏi hàm số nghịch biến trong khoảng nào sau đây?
Câu 14 Cho hàm số có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:
Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
Câu 15 Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ Hàm số nghịch biến trên khoảng nào?
Câu 16 Cho hàm số có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:
Hàm số đồng biến trên khoảng nào sau đây?
Câu 17 Cho hàm số có đồ thị như hình dưới đây Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Câu 18 Với các giá trị nào của tham số thì hàm số nghịch biến trên khoảng ?
Câu 19 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số sao cho hàm số đồng biến trên khoảng
Câu 20 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số đồng biến trên
Câu 1 (Đề THPT QG 2017) Đồ thị của hàm số có hai điểm cực trị A và B Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng ?
Câu 2 (Đề MINH HỌA QG 2017) Giá trị cực đại của hàm số
Câu 3 (Đề THPT QG 2017) Đồ thị của hàm số có hai điểm cực trị A và B Tính diện tích S của tam giác OAB với O là gốc tọa độ
Câu 4 (Đề THPT QG 2017) Tìm giá trị thực của tham số để hàm số đạt cực đại tại
Câu 5 (Đề THPT QG 2017) Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số
Câu 6 (Đề THPT QG 2017) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác
OAB có diện tích bằng 4 với O là gốc tọa độ
Câu 7 trong đề minh họa quốc gia 2017 yêu cầu tìm tất cả các giá trị thực của tham số để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân.
Để tìm tất cả các giá trị thực của tham số, cần xác định điều kiện để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ hơn 1 Việc phân tích các điểm cực trị và tính toán diện tích tam giác là bước quan trọng trong quá trình giải bài toán này.
Câu 9 Cho hàm số y x 4 2 mx 2 m 4 2 m Tìm tất cả các giá trị của m để các điểm cực trị của đồ thị hàm số lập thành một tam giác đều
Câu 10 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số
3 4 y x mx m có hai điểm cực trị A , B sao cho diện tích của tam giác OAB bằng 64, với O là gốc tọa độ
Câu 11 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số:
2 1 y x mx m có ba điểm cực trị Đồng thời ba điểm cực trị đó là ba đỉnh của một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1
3 y x ax ax Để hàm số đạt cực trị tại x 1 , x 2 thỏa mãn
Câu 13 Cho hàm số f x ( ) x 4 2 m 1 x 2 2 m 3 Có bao nhiêu số nguyên không âm m để hàm số y f x ( ) có 3 điểm cực trị
Câu 14 Có bao nhiêu m nguyên thuộc 20; 20 để hàm số
Câu 15 Có bao nhiêu m nguyên thuộc 10;10 để hàm số
3 3 4 1 y x mx m x có 5 điểm cực trị
Một số lưu ý rút ra từ quá trình dạy học
4.1 Hiệu quả của sáng kiến a Ưu điểm: Sau khi áp dụng phương pháp của đề tài vào việc giảng dạy, tôi nhận thấy sự tiến bộ rõ rệt của học sinh Các em đã làm bài tập trắc nghiệm nhanh hơn, tự tin hơn b Hạn chế: Mặc dù cả thầy trò đều đã cố gắng hết sức, tuy nhiên do lực học không đồng đều nên một số em vẫn không lĩnh hội hết được các kiến thức thầy cô xây dựng
4.2 Kết quả thực nghiệm Để đánh giá tính khả thi của đề tài chúng tôi tiến hành tổ chức thực nghiệm sư phạm ở 3 lớp 12 của trường THPT Nghi Lộc 2 với trình độ học sinh tương đương nhau Hai lớp dạy thực nghiệm và một lớp đối chứng Lớp thực nghiệm tiến hành dạy đề tài: “Xây dựng một số công thức giải nhanh giúp học sinh làm tốt bài tập trắc nghiệm chương 1- giải tích 12 ’’ có ứng dụng Công nghệ thông tin và tăng cường hoạt động giải bài tập trắc nghiệm trên lớp như chúng tôi đã xây dựng theo các dạng ở trên Lớp đối chứng không dạy theo phương án trên Sau khi dạy xong ở 3 lớp chúng tôi tiến hành tổ chức kiểm tra 40 ’ phút với nội dung câu hỏi giống nhau để đánh giá và kiểm chứng tính khả thi của việc tổ chức hoạt động trải nghiệm trong dạy học của đề tài Đề kiểm tra 40’ ở cuối đợt khảo sát (gồm 20 câu, mỗi câu 0,5 điểm): Đề kiểm tra 40 ’
Câu 1 Giá trị m để hàm số y x 3 3 x 2 mx m giảm trên đoạn có độ dài bằng 1 là:
Câu 2 Với giá trị nào của m thì hàm số 1 3 2 2 2 y 3 x x mx nghịch biến trên tập xác định của nó?
Câu 3 Giá trị của m để hàm số y mx 4 x m
nghịch biến trên mỗi khoảng xác định là:
Câu 4 Hàm số y x 3 3 x 2 mx đạt cực tiểu tại x=2 khi :
Câu 5 Đồ thị hàm số y mx 4 m 2 9 x 2 10 có 3 điểm cực trị thì tập giá trị của m là:
Câu 6: Đồ thị của hàm số có bao nhiêu tiệm cận ?
Câu 7 Đồ thị của hàm số có hai điểm cực trị A và B Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng ?
A.Với m=2, pt (1) có 3 nghiệm phân biệt
B Với m=-1, pt (1) có hai nghiệm
C Với m=4, pt (1) có 3 nghiệm phân biệt
Câu 9 Số giao điểm của hai đồ thị y x 3 x 2 2 x 3; y x 2 x 1 là
3 2 Gọi M(Cm) có hoành độ = -1 Tìm m để tiếp tuyến tại M song song với đường thẳng (d):y= 5x ?
Câu 11 Khẳng định nào sau đây là đúng về hàm số y x 4 4 x 2 2 :
A Đạt cực tiểu tại x = 0 B Có cực đại và cực tiểu
C Có cực đại và không có cực tiểu D Không có cực trị
Câu 12 Với giá trị nào của m thì hàm số 1 3 2 2 1 1 y 3 x x m x nghịch biến trên đoạn có độ dài nhỏ hơn 2 đơn vị
Câu 13 Tìm m để đồ thị hàm số y x 4 2 mx 2 có ba điểm cực trị lập thành tam giác vuông
Câu 14 Cho hàm số y 3 2 x trên đoạn 3;1 có giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m là:
Câu 15 Cho hàm số liên tục trên R\{0} và có bảng biến thiên như hình dưới:
Hỏi phương trình 3 f x ( ) 10 0 có bao nhiêu nghiệm?
Câu 16 Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình f x 1 m có 4 nghiệm phân biệt?
Câu 17 (Đề THPT QG 2017) Tìm số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Câu 18 (Đề THI THPT QG 2019) Cho hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ bên Số nghiệm thực của phương trình là:
Câu 19 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số:
2 1 y x mx m có ba điểm cực trị Đồng thời ba điểm cực trị đó là ba đỉnh của một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1
Câu 20 Tìm m nguyên để hàm số y x 3 3 mx 2 3 m 2 4 x 1 có 3 điểm cực trị
Qua bài kiểm tra 40 phút kết quả thu được như sau
Lớp thực nghiệm 12A6: 42 học sinh và lớp 12A7: 42 học sinh
Lớp đối chứng 12A8: 33 học sinh
Giỏi Khá TB Yếu Kém
SL TL SL TL SL TL SL TL SL TL
Kết quả phân tích bài kiểm tra cho thấy lớp thực nghiệm có thành tích cao hơn lớp đối chứng, với học sinh tham gia tích cực và hứng thú hơn trong giờ học Sự khác biệt rõ rệt giữa hai lớp thể hiện qua việc học sinh lớp thực nghiệm đã vượt qua rào cản tâm lý khi giải quyết bài toán chương 1 giải tích 12, họ không chỉ yêu thích mà còn xem đây là cơ hội dễ kiếm điểm Đặc biệt, đề tài nghiên cứu này còn hiệu quả với cả học sinh trung bình, không chỉ giới hạn ở học sinh khá, giỏi.
Việc áp dụng đề tài này vào giảng dạy đã chứng minh hiệu quả cao, vì vậy tôi sẽ tiếp tục sử dụng cho các khóa học khác, đặc biệt là ôn luyện cho học sinh lớp 12 thi THPT Qua đó, tôi và đồng nghiệp nhận thấy rằng việc rèn luyện kỹ năng giải toán trắc nghiệm đã tạo sự hứng thú trong học tập và nâng cao chất lượng dạy học bộ môn.
Giỏi Khá TB Yếu - Kém
Lớp thực nghiệm 12A6 Lớp thực nghiệm 12A7 Lớp đối chứng 12A8