Tiệm cận của đồ thị hàm số.[r]
Trang 1SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG
Môn Thi : TOÁN ; Khối :D
Lần thứ hai
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề.
Đề gồm 01 trang
-Câu I ( 2,0 điểm) Cho hàm số y= x − 2
x − 1 có đồ thị ( C )
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số
2 Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của ( C ).Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ), biết khoảng cách từ I đến tiếp tuyến đó bằng √2
Câu II ( 2,0 điểm)
1 Giải phương trình cos x +cos 3 x=1+√2 sin(2 x + π
4)
2 Giải phương trình 3
√6 x+2=8 x3− 4 x − 2
Câu III (1,0 điểm ) Tính tích phân I=∫
1 3
1 3
√x − x3
Câu IV (2,0 điểm) Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC và BCD là các tam giác đều cạnh
a, góc giữa AD và mặt phẳng ( ABC ) bằng 450 Tính thể tích khối tứ diện ABCD theo a
và góc giữa hai mặt phẳng ( ABD ) và ( ABC )
Câu V (1,0 điểm) Cho 2 số thực dương x, y thỏa mãn x + y = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức P= x
√1− x+
y
√1 − y
Câu VIa ( 2,0 điểm)
1 Trong hệ toạ độ Oxy, cho điểm A( 1; 1) và đường thẳng d: x - y + 1 = 0 Tìm tọa
độ điểm B thuộc d sao cho đường thẳng đi qua hai điểm A, B tạo với d một góc 450
2 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( S ) và đường thẳng (d) có phương trình là
( ) : (S x1) y (z2) 9, (d): x1=y − 1
2 =
z
− 2 Viết phương trình mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng (d) và cắt mặt cầu ( S ) theo một đường tròn có bán kính bằng 2
Câu VIIa (1,0 điểm) Tìm số phức z biết: |z − 1|=1 và (1+i)(z −1) có phần ảo bằng 1
-hết -Họ và tên thí sinh……….số báo danh………
HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN KHỐI D
Trang 2( 1,0 đ) 1 Tập xác định:
¿
¿
2 Sự biến thiên của hàm số:
* Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực của hàm số Tiệm cận của đồ thị hàm số
lim
x → ±∞ y= lim
x→ ±∞
x −2
x −1=x →± ∞lim
1−2
x
1−1
x
=1⇒ Đồ thị hàm số nhận đường thẳng y = 1 làm
tiệm cận ngang
x → 1+ ¿x −2
x −1=− ∞; lim x→ 1 − y= lim
x →1 −
x − 2
x − 1 =+ ∞ ⇒
x → 1+ ¿
y=lim
¿
lim
¿
Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x =
1 làm tiệm cận đứng
0,25
* Lập bảng biến thiên:
Có
x −1¿2
¿
¿
y '=1¿
, y’ không xác định tại x = 1 Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó Hàm số không có cực trị
0,25
Bảng biến thiên:
0,25
3 Đồ thị:
Đồ thị ( C ) cắt trục Ox tại (2;0),
( C ) cắt trục Oy tại (0; 2)
Đồ thị ( C ) nhận I(1; 1) làm tâm
I.2 Giao điểm của hai đường tiệm cận của ( C ) là I( 1; 1 )
4
2
-2
1
O 1
I
x
y
1
1
+
-
+
1 -
y y' x
Trang 3( 1,0 đ)
Gọi M (x0, x0−2
x0−1)∈(C),(x0≠1) là tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm với (C) Khi
đó phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại M là:
x0−1¿2
¿
x0− 1¿2y +x02− 4 x0+2=0
¿
y=1
¿
(d)
0,25
Vì
x0− 1¿2+x02−4 x0+2
1 −¿
¿
x0−1¿4
¿ 1+¿
√¿
¿
d(I ,(d ))=√2⇔¿
x0−1¿4
¿
x0−1¿4
1− x0¿2=1+¿ 1+¿
√¿
⇔|2 −2 x0|
¿
0,25
Đặt x0− 1¿2
t=¿ ( đk: t > 0 ) pt có dạng:
0,25
Với
x0− 1¿2=1⇔
¿
x0=0
¿
x0=2
¿
¿
¿
¿
Vậy có 2 tiếp tuyến cần tìm là:
x − y +2=0
¿
x − y − 2=0
¿
¿
¿
¿
0,25
II.1
(1,0 đ) cos x +cos 3 x=1+√2 sin(2 x +
π
2 2cos 2 cosx x sin 2x 2cos x 2cos (cos 2x x sinx cos ) 0x
Trang 42cos (cos sin )(cos sin 1) 0 cos cos( ) 2 cos( ) 1 0
0,25
⇔
cos x=0
¿
cos(x − π
4)=0
¿
cos(x+ π
4)=
1
√2
¿
2+kπ
¿
x= 3 π
4 +mπ
¿
x =l2 π
¿
2+l2 π
¿ (k , l, m ∈ Z)
¿
¿
¿
¿
0,25
II.2
( 1,0đ)
Đặt y=√36 x +2 ⇔ y3
=6 x +2 ta có hệ:
¿
y=8 x3− 4 x −2(1)
y3=6 x +2(2)
¿{
¿
0,25
Cộng hai vế của (1) và (2) ta được: y3
+y=8 x3
+2 x
⇔ y 2 x¿33+2 x
Xét hàm f (t)=t3+t có: f ' (t)=3 t2+1>0∀ t ⇒ f (t) đồng biến ∀ t
⇔8 x3− 6 x − 2=0 ⇔
2
¿
x=1
¿
¿
¿
¿
¿
.Vậy pt có 2 nghiệm là
2
¿
x=1
¿
¿
¿
¿
0,25
III
(1,0 đ) I=∫
1 3
1 3
√x − x3
1 3
1 √3 x12−1
Đặt t=3
√x12−1 ⇔t3
= 1
x2−1 ⇔3 t2dt=− 2
x3=−
3
2t
2dt
0,25
Trang 5Khi đó:
3
√x12− 1
3 t3
2 dt
Khi đó
3 t3
2 dt=
3
8t
4
∨¿02=6
0
2
¿
0,25
Câu IV
( 1,0 đ)
Gọi H là trung điểm của BC
AH=DH=a√3
⇒ góc DAK 450,DAH 450
DAK
vuông cân tại K;
DAH
vuông cân tại H
0,25
Diện tích tam giác ABC là:
2 0
sin 60
ABC
a
Thể tích khối tứ diện ABCD là
0,25
Kẻ HE⊥ AB⇒ DE⊥ AB Vậy góc giữa 2 mp ( ABD) và ( ABC) là góc giữa hai
đường thẳng DE và HE và bằng gócDEH
0,25
Gọi CF là đường cao xuất phát từ C của tam giác đều ABC cạnh a nên có
CF=a√3
2 , HE=12CF=a√43 nên
tanDEH DH 2 DEH arctan 2
HE
Vậy góc giữa hai mp ( DAB) và (ABC) là góc DEH =arctan 2
0,25
Do
¿
x , y >0 x+ y=1
¿{
¿ nên đặt
¿
x=sin2t y=cos2t
¿{
¿
với t ∈(0 ; π
2)
Tacó:
sin t+cos t¿3−3 sin t cos t (sin t +cos t)
¿
¿
P=sin2t
cos t +
cos2t
sin t =
sin3t+cos3t
sin t cos t =¿
0,25
Đặt u=sint +cos t=√2 sin(t + π
4) , có: sin t cos t= u
2
−1
2
Do 0<t < π
2⇒ π
4<t+
π
4<
3 π
4 ⇒√2
2 <sin (t+
π
a F
E
H a
B
C D
A
Trang 6(1,0 đ) Khi đó: P=
−u3+3 u
u2− 1 với 1<u ≤√2
Có
u2−1¿2
¿
¿
P'=−(u
4
+3)
¿
P luôn nghịch biến với 1<u ≤√2
0,25
⇒ Pmin=P(√2)=√2 tại u=√2⇒sin(t+ π
4)=1⇔t= π
4+k 2 π (k ∈ Z)
2 Vậy Pmin=√2⇔ x= y=1
VIa.1
(1,0đ)
Đường thẳng d đi qua điểm M(1;-2) có VTCP ⃗u(1 ;1) nên có ptts
¿
x=t y=1+t
(t ∈ R)
¿{
¿
Do B ∈ d ⇒ B (t ;1+t)
0,25
Có ⃗AB=(t − 1;t ) ⇒⃗ AB ⃗u=2 t −1
Theo giả thiết có góc giữa đường thẳng AB và d bằng 450
u
⃗AB , ⃗¿ cos¿=|⃗AB ⃗u|
|⃗AB|.|u|⃗
⇒cos(AB ,d )=¿
0,25
√2t2− 2t +1.√2=
1
√2
⇔| 2 t − 1|=√2 t2−2 t+1
0,25
⇔2 t2
t=0
¿
t=1
¿
B(0 ;1)
¿
B (1;2)
¿
¿
¿
¿
¿
¿
0,25
(S) có tâm I( 1; 0; -2) có bán kính R = 3, đường thẳng d có VTCP ⃗u=(1 ;2;− 2)
(P) vuông góc với d nên VTPT của (P) là ⃗n=(1 ;2;− 2) 0,25
Giả sử (P) có phương trình : x+2 y −2 z+ D=0
Trang 7( 1,0đ)
− 2¿2
¿
12+22+¿
√¿
⇔|5+D¿ |
⇔
5+ D=3√5
¿
5+D=−3√5
¿
¿
¿
¿
¿
⇔¿
¿
¿
¿
Vậy có hai mp thỏa mãn đề bài là:
(P): x+2 y −2 z+3√5 −5=0
¿ (P): x +2 y −2 z − 3√5 − 5=0
¿
¿
¿
¿
0,25
VIIa
(1,0đ)
Ta có: x −1¿2+y2=1 (1)
|z −1|=1⇔¿
0,25
Vì (1+i)(z −1)=( x+ y −1)+(x − y −1)i có phần ảo bằng 1 nên x – y – 1 = 1 0,25
⇔ x −1= y+1(2)
Thay (2) vào (1) có: y +1¿2+y2=1⇔2 y2
+2 y=0
¿
0,25
⇔ y=0
¿
y=− 1
¿
¿
¿
¿
¿ Với y=0 ⇒ x=2⇒ z=2
Với y=− 1⇒ x=1 ⇒ z=1 −i
Vậy có 2 số phức là z = 2 và z = 1 - i
0,25