Bài 4: Cho hình vuông ABCD, trên BC lấy M, trên tia đối tia BA lấy N sao cho BN=BM. Hình chữ nhật MNPQ có đỉnh M trên AB,N trên cạnh AC,P và Q ở trên cạnh BC được gọi là hình chữ nhật [r]
Trang 1ĐỀ 1Bài 1: a,Phân tích đa thức thành nhân tử
Bài 2: Cho a,b,c,d,x,y >0.Cmr
1 1 4 , b,a c b d c a d b 4
Bài 4:a Cm n3-7n chia hết cho 6 với mọi số tự nhiên n
b Tìm các số nguyên a,b thỏa a2+ab+b2=a2b2
Bài 5: Cho ∆ABC vuông tại A, AH là đường cao Từ H kẻ HD⊥AB, HE⊥AC
a Cm AH3=BD.CE.BC b
3 3
Trang 22 Cho x,y thỏa mãn
1
x y
và
1
y x
ĐỀ 3Bài 1: Tìm các hệ số a,b để đa thức x4+ax2+b chia hết cho đa thức x2-3x+2 Tìm thương
Bài 2: a Cm nếu a+b+c+d=0 thì a3+b3+c3+d3=3(ac-bd)(b+d)
b Tìm các số nguyên dương a,b,c thỏa
a2+b2 và a(a+b)2 thì p4 cũng là ước của a(a+b)
Trang 3Bài 4: Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của ∆ABC Gọi m,n,k là các đường phân giác trong của 3 góc của tam giác Cm
1 1 1 1 1 1
m n k a b c Bài 5: Cho ∆ABC Lấy các điểm M,N,P lần lươt thuộc các cạnh BC,CA,AB sao
B= 8 2 10 2 5 8 2 10 2 5
x A
) 2 b) 2005 2006
2005 2006 2
x a x
Bài 4:a Cm tích của 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 120
b.Tìm các số nguyên dương phân biệt thỏa x3+7y=y3+7x
Bài 5: Không dùng máy tính và bảng số hãy tính cos 150
Bài 6: Cho ∆ABC có góc A bằng 600, đường cao BD và CE Gọi M là trung điểm
BC CM tam giác EDM đều
Bài 7: Hình vuông ABCD Một đường thẳng qua A cắt BC tại M, cắt DC tại I Cm
AB AM AI
Trang 4Bài 4: Cho M thuộc (O) đường kính AB (M≠A,M≠B,MA<MB) Tia phân giác của góc AMB cắt AB tại C Qua C, vẽ đường thẳng vuông góc với AB cắt các đường thẳng AM và BM lầm lượt tại D và H.
a Cm 2 đường thẳng AH và BD cắt nhau tại N nằm trên (O)
b Gọi E là hình chiếu của H trên tiếp tuyến tại A của (O) Cm ACHE là hình vuông
c Gọi F là hình chiếu của D trên tiếp tuyến tại B của (O) Cm E,M,N,F thẳng hàng
d Gọi S1,S2 là diện tích của các tứ giác ACHE và BCDF Cm CM2 S S1 2
ĐỀ 6
Bài 1: a Tính 1 26 640 27 810 30 1000
b.Gpt x 50 x2 x 50 x2 15
Bài 2:Cho pt: (m-1)x4-2(m-1)x2-m=0 (1)
Trang 5a Cm K thuộc (O) và AH=2OI.
b Giả sử BC cố định A di chuyển trên cung lớn BC Tìm vị trí của A sao cho diện tích BHC lớn nhất
c A1,B1,C1 là giao điểm của AH,BH,CH với (O) Tính
Cm A<1 với mọi a≥2
Bài 2: Gọi x1,x2 là các nghiệm của pt
Bài 3: Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác và p là nửa chu vi của tam giác
Trang 6Bài 4: Cho dãy số 101,102,103,…,1020 Cmr có một số trong dãy số ấy chia hết cho
19 thì dư 1
Bài 5: Cho góc xOy là một đường tròn tiếp xúc với các cạnh Ox,Oy lần lượt tại A
và B Từ A vẽ đường thẳng song song với OB cắt đường tròn tại C khác A Đoạn thẳng OC cắt đường tròn tại E Các đường thẳng AE và OB cắt nhau tại K Cm OK=KB
y x x x x
Bài 4: Cho hình chữ nhật ABCD Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống
BD Gọi M,N theo thứ tự là các điểm thuộc BH và CD sao cho
BM CN
MH ND Cm gócAMN vuông
Bài 5: Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH và BK Cm 2 2 2
4
BK BC AH Bài 6: a Cm với mọi số tự nhiên lẻ n thì n5-n chia hết cho 240
b.Cm: 32010+52010 chia hết 13
c Cho a,b là các số chính phương lẻ liên tiếp Cmr (a-1)(b-1) chia hết cho 192
d Cho bốn số tự nhiên bất kì a,b,c,d Cmr (b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c) chia hết 12
Trang 7a Bốn điểm O,I,M,N nằm trên 1 đường tròn.
b ∠AIM = ∠BIN
Bài 5: Cho (O) đường kính BC và điểm A thuộc (O) Kẻ đường cao AH của tam giác ABC Gọi I,K theo thứ tự là giao điểm của các đường phân giác của các tam giác AHB,AHC Đường thẳng IK cắt AB,AC tại M và N Cm
1 2
Trang 8c Cm bốn điểm B,D,E,C cùng nằm trên một đường tròn.
Bài 5: Cho góc vuông xOy cố định Trên tia Ox lấy điểm A, trên Oy lấy B, 2 điểm
A và B chuyến động sao cho OA+OB=a (a không đổi) Vẽ 2 đường tròn (A;OB) và(B;OA), chúng cắt nhau tại D và E Cm đường thẳng DE luôn qua 1 điểm cố định
Trang 91 Cm MK là tiếp tuyến của đường tròn (O).
2 Cm AK qua trung điểm I của MH
3 Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AH và HB Xác định vị trí của M để diện tích CDFE lớn nhất
Bài 5: Cho hai đường tròn đồng tâm O có bán kính là R và r (R>r) A và M là hai điểm thuộc đường tròn nhỏ ( A chuyến động, M cố định) Qua M, vẽ dây cung BC của đường tròn lớn sao cho BC vuông góc AM.Cm
a Tổng MA2+MB2+MC2 không phụ thuộc vào vị trí của A
b Trọng tâm G của tam giác ABC là cố định
2.Tìm số dư của phép chia 20052005 cho 11
3.Tìm nghiệm nguyên của pt 2x+2y+2z =1184 với x<y<z
Bài 3 1 Cho a,b>0 và a+b=1 Cm
Bài 4 Cho tam giác ABC nội tiếp (O) và M di động trên (O) Gọi A1,B1,C1 lần lượt
là các điểm đối xứng của M qua các cạnh AB,AC,AB Cmr
a Ba điểm A1,B1,C1 thẳng hàng
b Đường thẳng chứa A1,B1,C1 luôn đi qua 1 điểm cố định khi M di chuyển
Trang 10Bài 5 Từ điểm A ở ngoài (O), vẽ cát tuyến ABC và 2 tiếp tuyến AD,AE đến (O) ( B nằm giữa A và C)
1 Khi cát tuyến ABC quay quanh A thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC di chuyến trên đường nào
2 Tiếp tuyến tại B của (O) cắt AD và AE tại M và N Xđ vị trí cát tuyến ABC
để diện tích tam giác AMN lớn nhất
Bài 2:1 Với mỗi số thực a,b,c,d Cmr (a2+b2)(c2+d2)≥(ad+bc)2
2.Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của A6 x 2 8 5 x
3 Cmr n(n+2)(25n2-1) chia hết cho 24 với mọi số tự nhiên n
Bài 3: Giải phương trình
1
2 2) 3 12 21 5 20 24 2 8 3
1 Giả sử AH=12cm, BC=25 Tính AB,AC
2 Gọi M là điểm đối xứng của B qua H Đường tròn tâm O đường kính MC cắt
AC tại D Cm HD là tiếp tuyến của (O)
3 Cho BC=a, AH phải có độ dài bao nhiêu theo a để diện tích tam giác HDO lớn nhất
Bài 5: Cho (O) cố định và dây AB không qua tâm cố định của (O) C là điểm chuyển động trên cung nhỏ AB Gọi M là trung điểm BC Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với AC tại H
Trang 111 Cmr đường thẳng MH luôn đi qua 1 điểm cố định
2 Timg đường di chuyển của M khi C chuyển động trên cung nhỏ AB
2.Tìm số dư của phép chia 20072007 cho 11
3 Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2x + 2y +2z = 672 với x<y<z
Bài 4: Cho hai đường tròn (O) và (I) cắt nhau tại M và N Tiếp tuyến chung ngoài (gần M) của 2 đường tròn tiếp xúc với (O) tại A và (I) tại B Tiếp tuyến của (O) tại
M cắt (I) tại điểm thứ hai D Đường thẳng AM cắt BD tại E Cmr
1 Tam giác BME cân
2 Đường tròn ngoại tiếp tam giác MNE tiếp xúc với BM và EB
Bài 5: Từ điểm A ở ngoài (O), vẽ cát tuyến ABC và hai tiếp tuyến AD, AE đến (O)(B,C,D,E thuộc (O), B nằm giữa A và C)
1 Khi cát tuyến ABC quay quanh A thì tâm đường tròn ngoại tiếp OBC di chuyển trên đường nào
2 Tiếp tuyến tại B của (O) cắt AD và AE lần lượt tại M và N Xđ vị trí cát tuyến ABC để diện tích tam giác AMN lớn nhất
ĐỀ 15
Trang 12Bài 1: 1.Giải pt x 2 2x 5 x 2 2x 5 2 2.
2.Tìm giá trị nhỏ nhất của biêu thức P 1 4 x4x2 4x212x9
Bài 2: Cmr với mọi n≥2, thì biểu thức sau không thể nguyên
2 2
4 9 16
n S
Bài 4: Cho tam giác ABC cân ở A, đường cao AH bằng 10cm, đường cao BK bằng
12 cm Tính độ dài các cạnh tam giác ABC
Bài 5: Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a và 1 điểm M di chuyển trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
1 Cm nếu M thuộc cung nhỏ AB thì MA+MB=MC
2 Tìm giá trị lớn nhất của P=MA+MB+MC ( khi M thuộc cung nhỏ AB)
ĐỀ 16
Bài 1: 1 Cmr 3n4-14n3+21n2-10n chia hết 24 với mọi số tự nhiên n
2, Cmr với mọi số nguyên n lẻ thì n2+4n+5 không chia hết cho 8
1 Xđ m để pt có nghiệm
Trang 132 Xđ m để pt có 2 ngiệm phân biệt dương
3 Gọi x1,x2 là 2 nghiệm phân biệt của pt, lập một phương trình bậc hai theo y
c) Cho số nguyên tố p và số tự nhiên n thỏa mãn 2p+1=n3 Tìm n và p
Bài 3:a) Cho x,y là hai số thay đổi nhưng luôn thỏa mãn x+y=1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B=x3+y3+x2+y2
b) Tìm số nguyên n sao cho n2+9n-15 chia hết cho n+11
Bài 4: Cho tam giác ABC có đường phân giác trong AD sao cho BD=a,CD=b (a>b) Tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt BC tại E
1 Cm EA2=EC.EB
2 Tính EA theo a và b
Trang 14Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Gọi E,F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ H đến AB,AC.M là trung điểm BC.
b) Gọi x1,x2 là 2 nghiệm của pt x2+2009x+1=0 và x3,x4 là 2 nghiệm của pt
x2+2010x+1=0 Tính giá trị của (x1+x3)(x2+x3)(x1-x4)(x2-x4)
Bài 4: Cho (O) và điểm A nằm ngoài (O) Vẽ các tiếp tuyến AB,AC với đường tròn (O) AO cắt (O) tại M (M nằm giữa A và O) Trên cung nhỏ MC lấy D AD cắt (O) tại E I là trung điểm DE Đường thẳng qua D vuông góc BO cắt BC tại H
Trang 15b) Cho x,y là 2 số dương và x+y=1 Tìm GTNN của 2 2
; 2
b Cm AE.AC+BF.BC không đổi khi EF di động trên nửa đường tròn
c TÌm vị trí của EF để tứ giác ABEF có diện tích lớn nhất Tính diện tích đó.Bài 5: TÌm 3 số nguyên mà tích của chúng bằng 5 lần tổng của chúng
Bài 2: a) Cho A 2 3 2 3 Tính A2 và A 2
b) Tìm x biết 3x26x 7 5x210x14 4 2 x x 2
Bài 3: Cho hàm số y x2 1 có đồ thị (d)
Trang 16a Đơn giản hàm số đó (bỏ dấu √ và | |)
a Cm MN//AC
b Tính giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích của hai tam giác ACM và BDM Khi
đó ứng với vị trí nào của M
b)Cho x≥3,y≥5 và x+y=10 Tìm x,y để S x 3 y 5đạt giá trị lớn nhất
Bài 3: Số học sinh của một trường khi xếp hàng 19 em thì dư 12 em, khi xếp hàng
17 em thì dư 5 em Tìm số học sinh của trường biết số học sinh trong khoảng từ
Trang 17b Cho AC= 6 cm, BN = 10 cm Tính diện tích tứ giác ABCN.
Bài 5: Gọi AD là trung tuyến của tam giác ABC, biết ∠BAD=∠BCA Kẻ đường phân giác AM của tam giác ABC và đường phân giác DN của tam giác ADB Cm MN//AC
b) Tính
2.30 2.30 2.30 2.30 45.(30 30 30 30 1)
b Tam giác ABC phải là tam giác gì để AEHF là hình vuông
Bài 6: Cho tam giác ABC có A=1200,AB=4cm, AC=6 cm Gọi H là hình chiếu của
B trên AC.Tính HA và độ dài trung tuyến AM của tam giác ABC
Trang 18Bài 2:a) Giải pt nghiệm nguyên 4x2+4x-4=8y3-2z2.
Bài 5: Tìm số nguyên dương x,y thỏa mãn pt: xy - 2x - 3y + 1 = 0
Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A có cạnh AC>AB, đường cao AH Trên tia
HC lấy D sao HD=HA Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E
Trang 19Bài 4: Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O và góc COD =α
(α<900) Gọi H,K lần lượt là trực tâm của các tam giác AOB và COD Gọi E,G và Ilần lượt là trọng tâm tam giác AOB,BOC và AOD Biết AH cắt DK tại F Cmr
Trang 20Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH Kẻ HE⊥AC,gọi I là trung điểm HE Cm AI⊥BE.
Bài 5: Một tấm bìa hình chữ nhật có kích thước 1x5 Hãy cắt tấm bìa thành các mảnh để ráp lại thành một hình vuông Giải thích
ĐỀ 28
Bài 1: Cho
:2
a.Cm DE=CF và DE⊥CF b.Cm DE,BF,CM đồng quy
Trang 21c.Xđ vị trí điểm M trên BD để diện tích AEMF lớn nhât.
Bài 5: Cho (O,R) và A sao cho OA R 2 Vẽ các tiếp tuyến AB,AC với đườngtròn Một góc xOy =450 cắt AB và AC lần lượt tại D và E
a)DE là tiếp tuyến của (O) b)
a)Rút gọn P và tính giá trị của P khi x 14 6 5
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P và giá trị tương ứng của x
Bài 3:a) Cho A x2 4x20 Tìm giá trị nhỏ nhất của A
b) Cho (x x2 3)(y y2 3) 3 Tính giá trị của biểu thức
Bài 4: a) Tìm các giá trị nguyên x,y thỏa mãn đẳng thức (y+2)x2+1=y2
b)Tìm nghiệm nguyên dương của pt sau x y 1980
Bài 5: Cho tam giác ABC có các cạnh là a,b,c Cm sin 2 2
ab
.Bài 6: Cho tam giác ABC đều có cạnh 60cm Trên BC lấy D sao cho BD=20cm Đường trung trực của AD cắt AB,AC lần lượt là E,F TÍnh độ dài các cạnh của tamgiác DEF
Trang 22Bài 4: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O) Ba đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại
H Kéo dài AO cắt (O) tại M,AD cắt (O) tại K.Cm
a)MK//BC b)DH=DK c) I là trung điểm BC.Cm H,M,I thẳng hàng
Trang 23Bài 3:a) Tìm nghiệm nguyên của pt y2= -2(x6 - x3y - 32)
b)Cho tam giác ABC vuông tại A có phân giác AD Gọi M,N lần lượt là hình chiếucủa B,C trên AD Cm 2AD≤BM+CN
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông cân tại A Gọi M là trung điểm AB,P là điểm trên cạnh BC, các điểm N,L thuộc AP sao cho CN⊥AP và AL=CN
a)∠MCN=∠MAL b)ΔLMN vuông cân
c) Diện tích ΔABC gấp 4 lần diện tích ΔMLN, tính ∠CAP
Bài 5: Cho a≠b và ab=6 Cm
Bài 1: Tìm số tự nhiên n sao cho n+24 và n-65 là 2 số chính phương
Bài 2: a) Cmr với a,b,c bất kì ta có a2+b2+c2≥ab+bc+ca
b) Cho đt y=(m-2)x+2 (d) Cmr (d) luôn đi qua một điểm cố định với mọi m
Bài 4: Gọi a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác Biết (a+b)(b+c)(c+a)=8abc Cm Δ đềuBài 5: Cho hình vuông ABCD Điểm O thuộc miền trong hình vuông thỏa
OB=2OA và ∠AOB = 1350 Cm OC=OA+OB
Bài 6: Cho tam giác ABC, phân giác góc A cắt BC tại D Gọi K và M lần lượt là hình chiếu của D trên AB và AC
Trang 24A B
Bài 2: Cho y=mx-3x+m+1
x Q
x
Tìm GTNN của QBài 4: Cho hình vuông ABCD, trên BC lấy M, trên tia đối tia BA lấy N sao cho BN=BM Cm: các đường thẳng AM,CN và đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD đồng quy tại 1 điểm
Bài 5: Cho tam giác ABC có ∠ABC=60, BC=a, AB=c Hình chữ nhật MNPQ có đỉnh M trên AB,N trên cạnh AC,P và Q ở trên cạnh BC được gọi là hình chữ nhật nội tiếp trong tam giác ABC Tìm vị trí của M trên BC để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn nhất Tính diện tích lớn nhất đó
ĐỀ 34
Bài 1:a)Cmr Với mọi a nguyên thì A=a3 - 6a2 -7a+12 luôn chia hết cho 6
Trang 25b)Tìm nghiệm nguyên của pt x2 – xy – 5y – 24 = 0
Bài 3:a) Tìm GTNN của M = x2+5y2+4xy+2x+12
b)Cho x,y,z dương thỏa mãn
AE kéo dài lần lượt tại B và C Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BH và HC.a) Cm DM,EN là các tiếp tuyến của (O;R)
b) Cm trực tâm I của tam giác AMN là trung điểm OH
c) Hai đường kính AH và DE của (O;R) phải thỏa mãn điều kiện gì để diện tíchtam giác AMN bế nhất
Bài 5: Cho điểm A chuyển động trên (O;R) B là điểm cố định và OB=3R,kẻ phân giác OD của tam giác OAB Tìm quỹ tích D
ĐỀ 35
Bài 1: a)Giải pt x 5(x2 36) 0
b)Cho x,y thỏa (2x-y-4)2008 + (3x+2y-13)2008 = 0 Tính Q=(x-y)2008 + 2008
Trang 26Bài 4: Cho (O,R) và (O’,R’) tiếp xúc ngoài tại A Vẽ các đường kính AOB và AO’C Dây DE của (O) vuông góc với BC tại K.
Trang 27a) Cm BDCE là hình thoi
b) Gọi I là giao điểm của EC với (O’) Cm D,A,I thẳng hàng
c) Cm KI là tiếp tuyến của (O)
Bài 5: Cho nửa đường tròn đường kính BC, tâm O Điểm A di động trên nửa
đường tròn Gọi H là hình chiếu vuông góc cảu A trên BC Gọi D và E lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên AC và AB XĐ vị trí A để tứ giác AEHD có diện tích lớn nhất
y x
và M(0;2) Gọi (D) là đường thẳng qua M và có hệ số góc k
a) Tìm k sao cho (D) và (P) tiếp xúc nhau
b) TÌm k để (D) cắt (P) tại 2 điểm A,B phân biệt thỏa mãn AB = 12 và hoành
Bài 5: Cho hình thang cân ABCD có 2 đáy là AB và CD (AB<CD) nội tiếp trong (O) Gọi PQ là 1 dây cung vuông góc với AB và CD ( P thuộc cung AB) Gọi I và
K lần lượt là giao điểm của PQ với AB và CD Goi P1 là chân đường vuông góc hạ
Trang 28từ P xuống AD,P2 là chân đường vuông góc hạ từ P xuống AC,Q1 là hình chiếu của
Q trên AD, Q2 là hình chiếu của Q trên AC
a CM QKQ2C, QKDQ1, PP2KC, AIQ2Q là các tứ giac nội tiếp
b Cm Q1,K,Q2 thẳng hàng và P1,K,P2 thẳng hàng
c CM PC // IQ2, KP2 // AQ và tứ giác IQ2KP2 nội tiếp
d Khi PQ là đường kính, hãy chứng minh P1Q1=BD và vuông góc với Q1Q2
c) Tìm giá trị của m để đường thẳng (D) là đồ thị của hàm số y = m(x+1) tiếp xúc với (P) TÌm tọa độ tiếp điểm
23 còn khi chia số đó cho 2007 thì dư 32
Bài 5: Cho tam giác đều ABC nội tiếp (O,R) ĐIểm M di động trên cung nhỏ BC,dây AM cắt BC tại D
1 Cm AM = BM + CM
2 CM AD.AM là hằng số
Trang 293 Xđ vị trí M để độ dài DM lớn nhât Tính giá trị đó
4 Tia CM cắt AB tại K Cm BC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp BKM