hợp bởi đường chéo của hai mặt bên kề nhau cùng xuất phát từ một đỉnh bằng 45 0.. Tính theo a thể.[r]
Trang 1SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
MÔN: TOÁN 12 KHỐI B
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số: y=2 x3+(m+1)x2− 2(m+4) x+1 (C m) )
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m=−1
2 Với giá tri nào của m thì ( Cm) đạt cực đại, cực tiểu tại x1, x2 sao cho: x12
+x22≤2
Câu II (2,0 điểm)
1 Giải phương trình:
2sin sin 2
2 Giải hệ phương trình:
2
1
y
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân: I ¿ ∫
0
4
x+1
( 1+ √ 1+2 x )2dx .
C©u IV(1,0 điểm) Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD A ' B' C ' D' có chiều cao bằng a Góc
hợp bởi đường chéo của hai mặt bên kề nhau cùng xuất phát từ một đỉnh bằng 450 Tính theo a thể
tích khối lăng trụ tứ giác đều ABCD A ' B' C ' D'
C©u V (1,0 điểm) Cho x, y > 0 Chứng minh rằng: ( 1+x ) ( 1+ y
x ) ( 1+ 9
√ y )2≥256
PHẦN RIÊNG (3.0 điểm) Thí sinh chọn một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A Theo chương trình nâng cao
Câu VI.a (2,0 điểm).
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(3; 2), các đường thẳng 1: x + y – 3 = 0 và
đường thẳng 2: x + y – 9 = 0 Tìm tọa độ điểm B thuộc 1 và điểm C thuộc 2 sao cho tam giác
ABC vuông cân tại A.
2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz hãy lập phương trình mặt cầu có tâm thuộc Ox đồng thời
tiếp xúc với hai mặt phẳng: 3 x+4 y +3=0 và 2 x − y +2 z+3=0
Câu VI.a ( 1.0 điểm) Giải phương trình: log3( x −1 )2+log√3(2 x −1)=2
B.Chương trình chuẩn
C©u VI.b (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC biết A(3; 0), đường cao từ đỉnh B có
phương trình x+ y+1=0 , trung tuyến từ đỉnh C có phương trình: 2 x − y −2=0 Tính diện
tích tam giác ABC.
2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz lập phương trình mặt phẳng lần lượt cắt các trục toạ độ
Ox, Oy, Oz tại ba điểm A, B, C sao cho H(2; 1; 1) là trực tâm tam giác ABC
C©u VII.b (1,0điểm) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức ( x √3 x+ 2
x2)10 với
x>0
HẾT
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!
Họ và tên thí sinh: SBD:
Trang 2Đ ÁP ÁN VÀ THANG I M Đ Ể
điểm
I 1) m =1 Hàm số y = 2 x3−6 x +1
- TXĐ: D = R
- Sự biến thiên
+ ) Giơí hạn : lim
x →+∞y =+ ∞; lim
x → −∞y=− ∞
y '=6 x2− 6 ; y '=0 ⇔ x=− 1 ¿ x=1 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ 0,25 +) Bảng biến thiên: x − ∞ -1 1 +∞
y’ + 0 - 0 +
y − ∞
1
-7 +∞
Hàm số đồng biến trên (− ∞ ; −1) và (1; +∞ ) , Hàm số nghịch biến (−1 ; 1) Hàm số đạt cực đại tại (−1 ;5) , Hàm số đạt cực tiểu tại (1;− 3)
0,5
2,
y '=6 x2+2(m+1)x − 2(m+4 ); y '=0 ⇔
x=1
¿
3
¿
¿
¿
¿
¿
(m −7¿
Theo đề ra x12+ x22≤2 ⇔ (m+ 4 )
2
9 ≤1
⇔− 3≤ m+4 ≤3 ⇔− 7 ≤m ≤− 1 Kết hợp điều kiện: −7<m≤ −1
0,25 0,25 0,5
II
1, Điều kiện: sin 2 x ≠ 0 ⇔ x≠ kπ
2 PTTĐ: −cos22 x − cos 2 x cos x=2 cos 2 x
⇔cos 2 x (cos2 x +cos x+2)=0 ⇔ cos 2 x=0
¿
2cos2x +cos x +1=0
¿
¿
¿
¿
¿
⇔ x= π
4 +
kπ
2 , k ∈ Z
0,25
0,25
0,5
ĐK : y 0 hệ
2
2
1
2 0
y x
đưa hệ về dạng
2 2
0,25 0,5 0,25
Trang 3¿
u=1 − v
¿
¿ 2 v2+ v −u − 2=0
¿
⇔
¿
u=v =1
¿
u=v=− 1
¿
u= 3 − √ 7
−1+ √ 7 2
¿
u= 3+ √ 7
−1 − √ 7 2
¿
¿ {
¿
¿
¿
¿
Từ đó ta có nghiệm của hệ
⇔( x ; y)=(−1 ;−1) , (1;1) , ( 3 − 2 √ 7 ;
2
√ 7 −1 ) ; ( 3+ 2 √ 7 ;
2
√ 7+1 )
III
I ¿ ∫
0
4
x+1
( 1+ √ 1+2 x )2dx •Đặt t=1+ √ 1+2 x ⇒ dt= dx
√ 1+2 x ⇒ dx=(t − 1)dt và
x= t
2
−2 t
2 Đổi cận x=0 → t=2; x=4 → t=4
•Ta có I =
(t2−2 t+2)(t −1)
1
2 ∫ 2
4
t3−3 t2
+ 4 t −2
1
2 ∫ 2
4
( t −3+ 4
t −
2
t2) dt 1
2 ∫ 2
4
¿
= 1
2(t22− 3 t+4 ln|t|+
2
t )∨¿
= 2 ln 2− 1
4
0,25 0,5
0.25
Giả sử cạnh đáy là x Xét tam giác B’AD’ có B’D’ = x √ 2 AB’ = AD’ = √ a2
+ x2,
Ta có
B ' D '2=AB '2+ AD '2−2 AD ' AB ' cos 450⇔2 x2
=2 ( x2+ a2) − √ 2 ( x2+a2)
⇔ x2
= 2− √ 2
2
Vậy V = a.x ❑2= a3( 2− √ 2 )
0,5 0,25
V Ta có: 4(x3+y3)(x+y)3 , với x,y>0
Thật vậy: 4(x3+y3)(x+y)3 4(x2-xy+y2)(x+y)2 (vì x+y>0)
3x2+3y2-6xy0 (x-y)20 luôn đúng
Tương tự: 4(x3+z3)(x+z)3
4(y3+z3)(y+z)3
0,25 0,25 0,25 0,25
Trang 4Mặt khác:
3
1 2( x y z ) 6
xyz
Dấu ‘=’ xảy ra
1
xyz xyz
Vậy P12, dấu ‘=’ xảy ra x = y = z =1
VI.a
B 1 B(a; 3 –a) C 2 C(b; 9-b) ABC vuông cân tại A 2 2
AB AC
2ab - 10a - 4b + 16 = 0 (1) 2a - 8a = 2b 20b 48 (2)
(1) b =
5a - 8
a - 2 Thế vào (2) tìm được a = 0 hoặc a = 4 Với a = 0 suy ra b = 4 Với a = 4 suy ra b = 6 KL:
2, Giả sử I(a; 0; 0) Ta có: | 3 a+3 |
| 2a+3 | 3
⇔ a=− 6∨ −24 /19
0,5 0,5
0,5 0,5 0,25
0,25
Vậy phương trình mặt cầu là: (x+ 6)2+y2+z2=9 và: ( x + 24
19 )2+ y2
+ z2
= 9
VII.a ĐK: 1≠ x >1/2 PTTĐ: 2 log3| x −1 | +2 log3(2 x −1)=2
⇔ log3| x −1 | (2 x −1)=1⇔ | x −1 | (2 x − 1)=3 ⇔
2 x2−3 x −2=0(x>1)
¿
2 x2−3 x +4=0(1>x>1/2)
¿
¿
¿
¿
¿
⇔ x=2
¿
x=−1/2
¿
⇔ x=2
¿
¿
¿
0,25 0,25 0,5
VI.b
1, PT cạnh AC: x- y -3 =0 Toạ độ C là nghiệm hệ
¿
x − y − 3=0
2 x − y − 2=0
⇒C (− 1;− 4 )
¿ {
¿
0,25
0,25
Trang 5Giả sử B(a; -a-1), M(b; 2b-2) là trung điểm AB Ta có
¿
3+a=2 b
−a − 1+0=4 b − 4
⇒ B (−1 ;1)
¿ {
¿
SABC = 1
2 d ( B , AC ) AC=
1
2 .
5
√ 2 4 √ 2=10 (ĐVDT)
2, Giả sử A(a; 0; 0), B(0; 0; b), C(0; 0; c) Ta có
¿
⃗ AH ⃗ BC=0
⃗ BH ⃗ AC=0
⇔
−2 a+c=0
2
a −
1
b +
1
c =1
¿ { {
¿
⇔c=6 ;b=− 6 ;a=3 Vậy phương trình mặt phẳng là: x
3 −
y
6 +
z
6 =1
0,5
0,5
VII.b
Ta có: ( x3
√ x + 2
x2)10= ∑
k=0
10
C10k x
4
3(10 − k) 2kx− 2 k
= ∑
k=0
10
C10k 2kx
40− 10 k
3
Để số hạng này không chứa x thì k = 4
Vậy số hạng cần tìm là: C104 16=3360
0,5 0,25 0,25