Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD tâm I... Dựng đường thẳng qua M //AC và qua A//BN cắt nhau tại K.[r]
Trang 1TRƯỜNG THPT
CHUYÊN NGUYỄN HUỆ
KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ BA
NĂM HỌC 2011 – 2012
ĐỀ THI MÔN: TOÁN KHỐI D Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1: (2 điểm)
Cho hàm số y = x3− 3 mx2+ 3 mx − 3
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m =1
2 Tìm m để hàm số có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn x1− x2 ≥ 8
Câu 2: (2 điểm)
1 Giải phương trình sau 4 − c os2x − 5sin x − 3(sin 2 x − 3cos x) = 0
2 Giải hệ phương trình 3 3 4
Câu 3: (1 điểm)
Cho hình chóp S.ABC, có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = a Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC) Góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (ABC) bằng 600 Gọi M là trung điểm của AB Tính thể tích tứ diện MSBC và tính khoảng cách giữa SM và AC
Câu 4: (2 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD tâm I Biết hai cạnh AB và AD lần lượt có phương trình là 2 x − − = y 1 0 và x − 2 y − = 5 0, tâm I thuộc parabol y2 = x Tìm tọa độ đỉnh
C của hình thoi
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0;0;5), B(5;0;2) và mặt phẳng (P):z = 2 Viết phương trình đường thẳng ∆ qua B, nằm trong mặt phẳng (P) sao cho d(A, ∆)=5
Câu 5: (2 điểm)
1 Tính tích phân
ln 7
ln 2
2 2
x
e
dx
+
2 Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện z − − 2 4 i = z − 2 i sao cho z − 2 i + 1 nhỏ nhất
Câu 6: (1 điểm)
Cho ba số x, y, z không âm thỏa mãn x+ y+ =z 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
2 2 2
-HẾT -
Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Trang 2TRƯỜNG THPT
CHUYÊN
NGUYỄN HUỆ
KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ BA
NĂM HỌC 2011 – 2012 ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN: TOÁN
1
(2điểm)
y = x − x + x − TXĐ: R
2
' 3 6 3
y = x − x+ y ' = ⇔ = 0 x 1
0,25
Giới hạn: lim ; lim
= +∞ = −∞
bảng biến thiên
X -∞ 1 +∞
y’ + 0 +
Y
Hàm số đồng biến trên R Hàm số không có cực trị
0,5
Đồ thị
đồ thị hàm số có điểm uốn là (1; 2) −
Nhận xét: đồ thị nhận điểm (1;-2) tâm đối xứng
0,25
2 Hàm số có hai cực trị 2
⇔ = − + = có 2 nghiệm phân biệt
0
m
m
>
0,25
Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình y’ = 0 Theo định lý vi-et ta có 1 2
1 2
2
=
0,25
Suy ra x1− x2 ≥ 8 ⇔ ( x1− x2)2 ≥ ⇔ 8 ( x1+ x2)2− 4 x x1 2 ≥ 8 0,25
+∞
-∞
y
x
O
-2
4
2
-2
-4
-6
Trang 32 1
2
m
m
≤ −
Vậy 1
2
m m
≤ −
≥
0,25
2
(2điểm)
1 4 − c os2x − 5sin x − 3(sin 2 x − 3cos x) = 0
2
4 (1 2sin x) 5sinx 3(2sin cosx x 3cos )x 0
2
2sin x 5sinx 3 3 osx(2sinc x 3) 0
(2sinx 3)(sinx 1 3 osx)c 0
0,5
3
s inx= ( ) 2
s inx- 3 osx =1
l c
⇔
sin( )
7 5
3 2
2 2
6
3 6
x
π
π
π π
0,25
Vậy nghiệm của phương trình là :
2
7 2 6
π π π π
= +
∈
= +
2 Đặt x + = 3 a ; y + = 3 b (a,b0) Ta có hệ :
4
+ =
(1) ⇔ a2+ b2 + 10 + 2 ( a2 + 5)( b2+ 5) = 36 ⇔ 16 − 2 ab + 10 + 2 a b2 2 + 5( a2+ b2) + 25 = 36 ⇔ a b2 2− 10 ab + 105 = + 5 ab
⇔ a b2 2 − 10 ab + 105 = 25 10 + ab + a b2 2 (vì 5 + ab>0) ⇔ ab = 4
0,5
Ta có
4
2 4
ab
+ =
⇔ = =
=
Với a = b =2 suy ra x = y =1
3
(1điểm)
Vì (SAB) ⊥ (ABC) và (SAC)⊥ (ABC) Suy ra
SA⊥ ( ABC )
Vì SA BC
⊥
⊥
Suy ra
60
SBA
=
0
0,25
H
C A
S
N
Trang 4Ta có :
3
a
Gọi N là trung điểm của AC
Dựng đường thẳng qua M //AC và qua A//BN cắt nhau tại K
Gọi H là hình chiếu của A lên SK
Vì tam giác ABC cân tại B nên BN⊥AC ⇒ AK ⊥ AC
Mà SA⊥AC ⇒ AC ⊥ ( SAC ) ⇒ AH ⊥ AC MK // mà AH ⊥ SK
( )
Suy ra d(SM,AC) = d(AC,(SMK)) ( vì AC//(SMK)) = d(A,(SMK)) = AH
Ta có
Vậy d(SM,AC) = 3
5
a
0,25
0,25
4
(2điểm)
1
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ 2 1 0
( 1; 3)
A
− − =
Gọi I(a2;a) thuộc parabol x = y2
Vì ABCD là hình thoi nên : d(I,AB) = d(I,AD)
2
2
2
a
⇔
0,25
0,5
Với a = -1 ⇒ I(1;-1) ⇒ C(3;1) Với a = 2 ⇒ I(4;2) ⇒ C(9;7)
0,25
2 Gọi H(x,y,z) là hình chiếu của A lên ∆ AH x y z ( ; ; − 5); BH x ( − 5; ; y z − 2)
Vì H ∈ (P) ⇒ z =2 d(A,∆) = AH = 5 ⇒x2+ y2+ ( z − 5)2 = 25 ⇒ x2+ y2 = 16
Vì AH ⊥∆⇒ AH ⊥ BH ⇒ x x ( − 5) + y2+ ( z − 5)( z − 2) = 0
Vậy ta có hệ 2 2
16
12
5
x z
y
=
=
0,25
0,25
+)Với 16 12
H : đường thẳng ∆ qua B có vtcp
9 12 ( ; ;0) //(3; 4;0)
5 5
là:
5 3 4 2
z
= +
= −
=
+)Với 16 12
H − : đường thẳng ∆ qua B,H là:
5 3 4 2
z
= +
=
=
0,25
0,25
Trang 55
(2điểm)
2
+
t = e + ⇒ t = e + ⇒ tdt = e dx
Đổi cận : x=ln2 ⇒t =2 ; x =ln7 ⇒ t =3
0,25
2
2
x
dx
3
0,5
ln ln 5 2ln 2 ln 7 ln 5 ln 2
2 Gọi z = a + bi (a,b ∈ R)
z − − i = z − i ⇔ a − + b − i = a + b − i
( a − 2) + ( b − 4) = a + ( b − 2) ⇔ = − a 4 b
Mặt khác ta có :
z − i + = a + + b − i = a + + b −
b
0,25
0,25
0,25
2 1 min
2
z − i + = khi 7 1
b = ⇒ = a
Vậy 1 7
6
2
Đặt t = x2+ y2+ z2 Ta có :
2
2
+
t
t
3
3
t
Vậy min P = 2 khi t =1 khi x= y =0,z =1 và các hoán vị
Chú ý: Thí sinh làm theo cách khác đáp án nếu đúng vẫn cho điểm tối đa