Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.. Đường thẳng vuông góc với BC tại C cắt AD tại M... 1. Chứng minh rằng:2[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÁI BÌNH KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2011 - 2012
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút ,không kể thời gian giao đề
Bài 1 (2,0 điểm)
Cho biểu thức:
1
x A
x
với x0,x 1
1 Rút gọn A
2 Tính giá trị của A khi x = 3 −2√2
Bài 2 (2,0 điểm)
Cho hệ phương trình :
¿
mx +2y=18
x - y =− 6
¿{
¿
( m là tham số )
1 Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x ;y) trong đó x = 2
2 Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x ;y) thoả mãn 2x + y = 9
Bài 3 (2,0 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = ax + 3 ( a là tham số )
1 Vẽ parabol (P)
2 Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt
3 Gọi x x là hoành độ giao điểm của (P) và (d), tìm a để x1; 2 1 +2x2 = 3
Bài 4 (3,5 điểm)
Cho đường tròn O, đường kính AB = 2R Điểm C năm trên tia đối của tia BA sao cho BC = R Điểm D thuộc đường tròn tâm O sao cho BD = R Đường thẳng vuông góc với BC tại C cắt AD tại M
1 Chứng minh rằng:
a) Tứ giác BCMD là tứ giác nội tiếp
b) AB.AC = AD AM
c) CD là tiếp tuyến của đường tròn tâm O
2 Đường tròn tâm O chia tam giác ABM thành hai phần, tính diện tích phần tam giác ABM nằm ngoài đường tròn tâm O theo R
Bài 5 (0,5 điểm)
Cho a, b, c là các số không âm thoả mãn a + b + c = 1006
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2Chứng minh rằng:
b − c¿2
¿
¿2
¿
c − a¿2
¿
¿2
¿
a −b¿2
¿
¿2
¿
¿
¿
2012 a+¿
√¿
HẾT
-Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Trang 3SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
(Gồm 05 trang)
Bài 1 (2,0 điểm)
Cho biểu thức:
1
x A
x
với x0,x 1
1 Rút gọn A
2 Tính giá trị của A khi x = 3 −2√2
1.
(1,25đ)
Với ĐK: x0,x9 Ta có:
A = 3
√x+1 −
1
√x −1 −
√x −3
(√x −1)(√x+1)
A =3(√x −1)−(√x+1)−(√x −3)
(√x −1)(√x +1)
0,25
A =3√x −3 −√x −1 −√x+3
A = (√x −1)
A = 1
Kết luận: Vậy với x ≥ 0 ; x ≠ 1 thì A = 1
2.
(0,75đ)
Ta có : x = 3 −2√2 thoả mãn ĐK : x ≥ 0 ; x ≠ 1 0,25
Khi đó
√2 −1¿2
¿ +1
¿
√¿
√3 −2√2+1=
1
¿
0,25
Vậy với x = 3 −2√2 thì A =√2
Bài 2 (2,0 điểm)
Cho hệ phương trình :
¿
mx +2y=18
x - y =− 6
¿{
¿
( m là tham số )
1 Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x ;y) trong đó x = 2
Trang 42 Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x ;y) thoả mãn 2x + y = 9.
1
(1,0 đ)
Hệ phương trình có nghiệm x = 2 ⇔
¿
2m +2y=18
2 - y =− 6
¿{
¿
0,25
⇔
¿
m + y=9
y =8
¿{
¿
⇔
¿
m +8=9
y =8
¿{
¿
⇔
¿
m =1
y =8
¿{
¿
0,5
2
(1,0 đ)
Ta có :
¿
mx +2y=18
x - y =− 6
¿{
¿
⇔
¿
mx +2y=18
y =x +6
¿{
¿
0,25
⇔
¿
mx +2(x+6)=18
y =x +6
¿{
¿
⇔
¿
(m+2) x=6 (∗)
y =x+6
¿{
¿
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất ⇔ Phương trình (*) có nghiệm duy
Khi đó:
¿
x= 6 m+2
y =x +6
¿{
¿
⇔
¿
x= 6 m+2
y =6 m+18
m+2
¿{
¿
0,25
Theo bài ra 2x + y = 9
⇔ 12m+2+6 m+18
m+2 =9
0,25
⇔ m = 4 ( thoả mãn ĐK : m - 2)
Vậy m = 4
Bài 3 (2,0 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = ax + 3 ( a là tham số )
1 Vẽ parabol (P)
2 Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt
Trang 53 Gọi x x là hoành độ giao điểm của (P) và (d), tìm a để x1; 2 1 +2x2 = 3
1.
(0,75đ)
TXĐ: R
T/C : Đồng biến khi x > 0; nghịc biến khi x < 0 0,25 Bảng giá trị :
0,25
2.
(0,75đ)
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là : x2 = ax + 3
Có : 1.(- 3) = - 3 < 0 nên Pt (**) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi a 0,25
Do đó (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt 0,25
3.
(0,5 đ)
1; 2
x x là hoành độ giao điểm của (P) và (d) => x x là nghiệm của pt (**)1; 2
mà pt (**) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi a nên theo Viet ta có :
x1 + x2 = a (1); x1.x2 = -3 (2)
0,25
Theo bài ra : x1 + 2x2 = 3 (3)
Từ (1) và (3) suy ra : x1 = 2a – 3; x2 = 3 – a thay vào (2) ta được:
( 2a – 3)( 3 – a) = 3
⇔ 2a2 – 9a + 6 = 0
⇔ a1 = 9−√33
4 ; a2 = 9+√33
4 Vậy : a1 = 9−√33
4 ; a2 = 9+√33
4 thì
0,25
Bài 4 (3,5 điểm)
Cho đường tròn O, đường kính AB = 2R Điểm C năm trên tia đối của tia BA sao cho BC = R Điểm D thuộc đường tròn tâm O sao cho BD = R Đường thẳng vuông góc với BC tại C cắt AD tại M
1 Chứng minh rằng:
a) Tứ giác BCMD là tứ giác nội tiếp
b) AB.AC = AD AM
c) CD là tiếp tuyến của đường tròn tâm O
2 Đường tròn tâm O chia tam giác ABM thành hai phần, tính diện tích phần tam giác
ABM nằm ngoài đường tròn tâm O theo R
Trang 6Ý Nội dung Điểm
1.a
(1,0đ)
∠ ADB = 900 ( ) => ∠ BDM = 900 ( ) 0,25
1b.
(1,0đ))
Xét ADB và ACM có:
1c.
(1,0đ))
XétODC có :
DB là đường trung tuyến ứng với cạnh OC (vì OB = BC = R) 0,25
và
1
2
2.
(0,5 đ)
Tính được SABM = 2SABD = AD.BD = = R2
SAOD= 12 SABD = R2√3
4 ; Squạt OBD = πR2
6
0,25
SABM(ngoài (O)) = SABM - SAOD - Squạt OBD = R2
4 - πR2
(9√3 −2 π )R2
12
0,25
Bài 5 (0,5 điểm)
Cho a, b, c là các số không âm thoả mãn a + b + c = 1006
Chứng minh rằng:
b − c¿2
¿
¿2
¿
c − a¿2
¿
¿2
¿
a −b¿2
¿
¿2
¿
¿
¿
2012 a+¿
√¿
Trang 7
Ta đặt
Ta có:
2 (b c) 2012a
2
2bc
(do b, c 0)
2012a
Chứng minh tương tự:
2
2012b
;
2
2012c
Suy ra:
Vậy
2012
Dấu bằng xảy ra
a b 0, c 2012
b c 0, a 2012
c a 0, b 2012
Híng dÉn chung:
1 Trên đây chỉ là các bước giải và khung điểm bắt buộc cho từng bước, yêu cầu thí sinh phải trình bày, lập luận và biến đổi hợp lí mới được công nhận cho điểm
2 Bài 4 phải có hình vẽ đúng và phù hợp với lời giải của bài toán (không cho điểm hình vẽ)
3 Những cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa theo khung điểm
4 Chấm từng phần Điểm toàn bài là tổng các điểm thành phần, không làm tròn