Chøng minh EF song song (SAD).. Gäi E lµ trung ®iÓm cña SB. Ngò gi¸c MNPQR lµ thiÕt diÖn cÇn dùng.. ThiÕt diÖn lµ ngò gi¸c MNPQR. b) TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn.. NÕu hai mÆt ph¼ng ph©n b[r]
Trang 1Giải bài kỳ trước
Bài 1 Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành tâm O Gọi M,N lần lượt là
trung điểm của SA và CD
a) Chứng minh rằng mặt phẳng (OMN) song song với mặt phẳng (SBC)
b) Gọi I là trung điểm của SD, J là một điểm trên mặt phẳng (ABCD) cách đều AB và
CD Chứng minh rằng IJ song song với (SAB)
c) Giả sử cả hai tam giác SAD và ABC đều cân tại A Gọi AE,AF là các đường phân giác trong của tam giác ACD và SAB Chứng minh EF song song (SAD)
S
Giải
O
J
A
M
Ι
N
E
C
B
-
-
=
=
F
D
a) Ta có:
⇒
//
( ) //(
// (vì OM là đường trung bình của tam giác SAC)
b) Gọi K là trung điểm của AD, khi đó mặt phẳng (KIJ)// (SAB) Mặt khác IJ Ã (KIJ) nên suy ra IJ//(SAB)
c) Theo tính chất của đường phân giác ta có:
(1) (2)
FB AB
FS AS
Mặt khác, do các tam giác SAD và ABC cân tại A nên AC=AB; AS=AD nên từ (1) và (2) ta có:
EC = FB(3)
ED FS
E
F
Trang 2Vậy ba đường thẳng DS, EF, CB bị hai đường thẳng SB và CD cắt tạo ra các đoạn
thẳng tỉ lệ (3) nên theo định lý Talet đảo, đường thẳng EF song song với mặt phẳng
chứa SD song song với BC, đó chính là mặt phẳng (SAD)
*Nhận xét: Qua bài tập này ta thấy lần nữa ứng dụng của định lý đảo Talet,
Bài 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O Gọi E là trung điểm
của SB Biết tam giác ACE đều và AC =OD=a Một mặt phẳng a di động song song với mặt phẳng (ACE) và qua điểm I trên OD a cắt AD,CD, SC,SB,SA lần lượt tại M,N, P, Q, R
a) Có nhận xét gì về tam giác PQR và tứ giác MNPR?
b) Tìm tập hợp giao điểm của MP và NR khi I di động trên OD
c) Tính diện tích của đa giác MNPQR theo a và x=DI.Tìm x để diện tích này lớn nhất
Giải
F O
M
R
Q
E
N
D
S
A
*)Cách dựng thiết diện:
+) Trong mặt phẳng (ABCD), kẻ qua I đường thẳng MN//AC MN cắt BC ở K
+) Trong mặt phẳng (SBC) , kẻ qua K đường thẳng song song với EC cắt SC,SB lần lượt tại P và Q
+) Trong mặt phẳng (SAB), kẻ QR // AE cắt SA tại R
Ngũ giác MNPQR là thiết diện cần dựng
a)+Do tính chất song song, tam giác PQR đồng dạng với tam giác AEC nên PQR là tam giác đều
+)Trước hết MNPR là hình bình hành
Ta có:
//
//
//
// (vì OE là đường trung bình của tam giác SBD) (vì tam giác ACE đều)
MN AC
PN SD
PN OE MN PN
OE SD
OE AC
Vậy MNPR là hình chữ nhật
b) Tập hợp điểm I là trung tuyến của tam giác SOD kẻ từ O
c) = 3 (4 ư 3 )
4
Dùng bất đẳng thức Cauchuy:
Trang 3
3
(4 3 )
4
Bài 3 Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' Gọi H là trung điểm của A'B'
a) Chứng minh CB' song song với mặt (AHC')
b) Tìm giao điểm của AC' và (BHC)
c) Mặt phẳng a qua trung điểm của CC' và song song với AH và CB' Xác định thiết diện và tỉ số mà các đỉnh của thiết diện chia các cạnh tương ứng của lăng trụ
Giải
L
I B’
K
I I
I
I
H
a) Gọi K là trung điểm của AB, ta có:
⇒
=
( ' ) //( ')
B K AH AK HB
B KC AHC
mà CB' Ã (B'KC)
b) Mặt phẳng (BCH) cắt (A'B'C') theo giao tuyến HL//BC ( vì (A'B'C')//(ABC)) Nối CL cắt AC' tại I I chính là giao điểm của AC' với mặt phẳng (BCH)
c) Ta có:
N
Q
K
B’
P
H A’
C’
⇒
( ' ) //( ')
//( ' ) và (AHC') // ; // '
B KC AHC
B KC
M
C
Suy ra a cắt (BCC'B') theo đoạn giao tuyến MN song song với CB', cắt (A'B'C') theo
đoạn giao tuyến NP song song với C'H, cắt (ABB'A') theo đoạn giao tuyến PQ song
B
Trang 4song với AH, cắt (ABC) theo đoạn giao tuyến QR song song với CK, và cắt (ACC'A') theo đoạn giao tuyến MR Thiết diện là ngũ giác MNPQR
Ta có:
' " '
'
=
PH PB
Do HA'=HB', suy ra ' = 3
'
PA PB
Từ AH//PQ ta suy ra = ⇒ =1
3
QA
QB
Từ
//
QR CK
AQ QK ta suy ra RA=RC
Tóm lại M,N,P,Q,R chia các đoạn CC', B'C', A'B', AB, AC theo các tỉ số 1;3; ;11
3 1;
Bài 4 Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có cạnh AB=a, AA' =h
Gọi I là trung điểm AB, J là hình chiếu của I trên AC
a) Xác định thiết diện của lăng trụ với mặt phẳng (IJC')
b) Tính diện tích thiết diện
Giải
A’
B’
K
B
I
J
(
= C’
A
a) xác định thiết diện:
Gọi O là giao điểm của IJ và BC, nối OC' cắt BB' tại K
Thiết diện là tứ giác IJC'K
b)
*Bổ sung lý thuyết: Nếu một đa giác có diện tích S có hình chiếu vuông góc xuống mặt phẳng a là một đa giác có diện tích S'thì ta có công thức sau liên hệ giữa S và S'
' cos
S =S ϕ
Trong đó j là góc giữa mặt phẳng đa giác và mặt phẳng chiếu
( chi tiết về phép chiếu vuông góc và góc giữa hai mặt phẳng sẽ được đề cập
kỹ trong chương quan hệ vuông góc)
Tứ giác IJC'K có hình chiếu trên mặt phẳng (ABC) là tứ giác IJCB Do đó theo công thức hình chiếu ta có:
Trang 5.cos
cos
IJCB IJCB
S
ϕ
Ta có
co s
'
JC JC
1
4
a a
AI a
= ư =
+
6 6
h
Vậy
3 cos
a
+
2 3 2 3 7 2
IJBC ABC AIJ
Từ đó ta có:
.
S
a
+ +
BàI 5
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
A.Tóm tắt lý thuyết
1.Định nghĩa
Một đường thẳng a gọi là vuông góc với mặt phẳng P nếu nó vuông góc với mọi
đường thẳng nằm trong mặt phẳng P
Ký hiệu: a ^ P
a ^ P Ô a ^ b ; " b à P
2 Các định lý cơ bản
Định lý 1 Điều kiện cần và đủ để một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng là
nó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng đó
; ( ( )
b c P
b c
a b
a c
⊥
∩
)
Định lý 2 Cho hai đường thẳng song song a và b Nếu một trong hai đường vuông với
mặt phẳng (P) thì đường còn lại cũng vuông với (P)
a b//
⇒ ⊥
⊥
Trang 6§Þnh lý 3.Cho hai mÆt ph¼ng song song P vµ Q NÕu mét trong hai mÆt nµy vu«ng gãc
víi ®−êng th¼ng a th× mÆt cßn l¹i còng vu«ng gãc víi a
//
P Q
⇒ ⊥
⊥
§Þnh lý 4 NÕu hai mÆt ph¼ng ph©n biÖt cïng vu«ng gãc víi mét ®−êng th¼ng th×
chóng song song víi nhau
//
P Q
P a P Q
Q a
≠
⊥ ⇒
⊥
§Þnh lý 5 NÕu hai ®−êng th¼ng ph©n biÖt cïng vu«ng gãc víi mét mÆt ph¼ng th×
chóng song song víi nhau
//
a b
b P
≠
⊥ ⇒
⊥
b
§Þnh lý 6 NÕu ®−êng th¼ng a vµ mÆt ph¼ng P cïng vu«ng gãc víi mét ®−êng th¼ng
th× hoÆc a n»m trong P hoÆc a song song víi P
//
⊥ ⇒ ⊂
⊥
§Þnh lý 7 Qua mét ®iÓm cho tr−íc dùng ®−îc mét vµ chØ mét mÆt ph¼ng vu«ng gãc
víi mét ®−êng th¼ng cho tr−íc
HÖ qu¶ 1 Cho tr−íc ®iÓm O vµ ®−êng th¼ng a NÕu qua O ta dùng ®−êng th¼ng b
vu«ng gãc víi a th× ®−êng th¼ng b
Trang 7vừa dựng nằm trong mặt phẳng qua O vuông góc với a
Hệ quả 2.Cho trước hai đường thẳng vuông góc với nhau Khi đó có một và chỉ một
mặt phẳng chứa đường này vuông góc với đường kia
Định lý 8.Qua một điểm cho trước dựng được một và chỉ một đường thẳng vuông góc
với một mặt phẳng đã cho
B.Phương pháp giảI toán và ví dụ minh hoạ
Dạng 1 -Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
-Chứng minh hai đường thẳng vuông góc
1 Chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng P
Cách 1: Chứng minh a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau chứa trong P (xem
định lý 1)
Cách 2: Chứng minh a song song với một đường thẳng b vuông góc với P(xem định lý
2)
2 Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau
Cách 1: Chứng minh đường thẳng này vuông góc với một mặt phẳng chứa đường kia Cách 2 Nếu hai đường thẳng đó cắt nhau thì có thể áp dụng các phương pháp chứng
minh vuông góc trong hình học phẳng
Ví dụ1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O; SA vuông góc
với mặt phẳng đáy Gọi H;I;K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên AB,SC và
SD
a) Chứng minh rằng BC vuông góc với mặt phẳng (SAB); CD vuông với mặt phẳng (SAD); BD vuông với mặt phẳng (SAC)
b)Chứng minh AH;AK cùng vuông với SC
c) Chứng minh AH;AI;AK đồng phẳng
d)Chứng minh HK vuông với mặt (SAC)
e) Chứng minh HK vuông góc với AI
Giải
I
A
H
K
O
S
D
C B
a)+) Ta có:
⊥
(do ABCD là hình vuông) (vì SA (ABCD) và BC (ABCD))
BC AB
BC SA
BC SAB
+)Lý luận tương tự như trên ta cũng có CD ^ (SAD)
+)
Trang 8
⊥
(hai đường chéo của hình vuông)
BD SA
BD SAC
b)+) Ta có:
⊥
(1)
BC SAB
AH SAB
Theo giả thiết thì AH ^ SB (2)
Từ (1) và (2) suy ra AH ^ (SBC)… SC Do đó AH ^ SC
+) Lý luận tương tự như trên ta cũng có AK ^ SC
c) Ba đường thẳng AH; AI; AK cùng vuông góc với SC nên chúng nằm trong mặt phẳng qua A vuông góc với SC ; tức là chúng đồng phẳng
d)
⇒
⊥
SA AD
Hai tam giác SAB và SAD vuông tại A có cạnh SA chung, AD=AB nên chúng bằng nhau Từ đó suy ra:
=
⇒
SB SD
KH BD
SH SK
Mà BD ^ (SAC) nên HK ^ (SAC)
e) Ta có: ⊥
HK A
Ví dụ 2 Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với CD; AD vuông góc với BC; Gọi H
là hình chiếu vuông góc của A trên mặt (BCD) Chứng minh rằng:
a) H là trực tâm của tam giác BCD
b) AC vuông góc với BD
Giải
A
H
D
B
C a) Ta có:
⊥
( ) (Vì H hình chiếu của A trên (BCD))
(1)
CD (BCD)
Mặt khác theo giả thiết CD ^ AB (2)
Từ (1) và (2) suy ra CD ^ (ABH)… AH fi BH ^ CD
Tương tự ta cũng có BC ^ (ADH) …DH fi DH ^ BC
Vậy H là trực tâm tam giác BCD
Trang 9b) Ta có:
⊥
(vì AH vuông với (BCD)
( vì theo a) H là trực tâm tam giác BCD)
Chú ý: Từ ví dụ 2 ta có nhận xét:Nếu một tứ diện có hai cặp cạnh đối vuông góc thì cặp cạnh đối còn lại cũng vuông góc và hình chiếu của một đỉnh trên mặt đối diện chính là trực tâm của mặt đó.Bạn đọc nên ghi nhớ tính chất này
Ví dụ 3 Cho tứ diện OABC có OA; OB; OC đôi một vuông góc với nhau Gọi H là
hình chiếu vuông góc của O trên mặt phẳng (ABC) Chứng minh rằng:
a) BC ^ (OAH)
b) H là trực tâm tam giác ABC
c) 1 2 = 12 + 12 + 1
d) Các góc của tam giác ABC đều nhọn
e) Điểm H nằm trong tam giác ABC
Giải
O
a)và b):Bạn đọc tự giải
H
I
B
c)Xét tam giác vuông OIC có OH là đường cao, áp dụng định lý Pitago ta có
1 2 = 12 + 1 2 (1)
Mặt khác ta có ⊥
Do đó tam giác vuông OAB có OI là đường cao nên lại áp dụng định lý Pita go ta có:
12 = 12 + 12(2)
Từ (1) và (2) ta có đpcm
d) áp dụng định lý hàm số cos ta có
=
=
2
cos
2
2 2
0 2
AB AC BC A
AB AC
OA OB OA OC OB OC
ABAC OA
)
ABAC
Vậy cosA>0 do đó góc A nhọn
Chứng minh tương tự cho các góc B và C
Trang 10e) Do b) H là trực tâm tam giác ABC, do d) tam giác ABC nhọn nên H phải nằm trong tam giác ABC
Dạng 2: Cách dựng thiết diện đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường
thẳng cho trước
Bài toán đặt ra: Cho khối đa diện (S), hãy tìm thiết diện của (S) với mặt phẳng
a đi qua một điểm M cho trước và vuông góc với một đường thẳng d cho trước
Tuỳ theo đặc điểm của hình vẽ ta chọn một trong hai cách sau:
+) Cách 1: Nếu trên hình vẽ có sẵn hai đường thẳng cắt nhau hoặc chéo nhau a và b
cùng vuông góc với d thì mặt phẳng cắt a chính là:
α
α
// (hay chứa a) // ( hay chứa b)
a b
Phương pháp tìm thiết diện loại này đã được trình bày trong các bài trước về quan hệ song song
+)Cách 2:Dựng mặt phẳng cắt a như sau:
Dựng hai đường thẳng cắt nhau cùng vuông góc với đường thẳng d, trong đó có
ít nhất một đường thẳng đi qua M Mặt phẳng a xác định bởi hai đường thẳng trên chính là a Từ đó xác định thiết diện theo phương pháp đã biết
Ví dụ 4
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B và AB=BC=a,
AD=2a;SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA=2a Gọi M là một điểm trên cạnh AB; a là mặt phẳng qua M, vuông góc với AB Đặt AM=x (0<x<a)
a)Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng a Thiết diện là hình gì?
b)Tính diện tích thiết diện theo a và x
Giải
P
M
Q C
N
S
B
α α
//
(vì SA (ABCD)
//
AB
BC AB
SA
SA AB
BC
Do đó ở đây ta dùng cách 1
M là điểm chung của a với (SAB),a //SA nên a cắt (SAB) theo giao tuyến là đường thẳng qua M, song song với SA, cắt cạnh SB tại N
Lý luận tương tự ta có giao tuyến của a với hai mặt phẳng (ABCD) và (SBC) lần lượt
là hai đường thẳng MQ (Q thuộc đoạn CD) và NP (P thuộc đoạn SC)
cùng song song với BC
Trang 11a và (SCD) có hai điểm chung là P và Q nên a cắt (SBC) theo giao tuyến là đường
thẳng PQ
Vậy thiết diện là tứ giác MNPQ, tứ giác này có MQ//NP nên là hình thang
Mặt khác ta có
//
//
(do SA (ABCD)
MQ BC
SA BC
Do đó thiết diện là hình thang vuông tại M và N
b) Ta có
= 1( + ).
2
MNPQ
áp dụng định lý Talet vào các tam giác SAB và SBC, ta có:
ư
2( )
x
I Xét hình thang ABCD có:
ư
2
ID BM a a x
A
E
D Q
C
M
B Vậy
1
2
MNPQ
a a x
Ví dụ 5 Cho tứ diện SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a; SA vuông góc với
mặt phẳng (ABC) và SA=2a Gọi a là mặt phẳng qua B vuông góc với SC Tìm thiết
diện của tứ diện SABC với a và tính diện tích thiết diện này
Giải
I H
C
B
S
A
ở đây ta dùng cách 2 Ta dựng mặt phẳng a như sau:
Gọi I là trung điểm của AC và dựng IH ^ SC tại H, khi đó
Trang 12
⊥
(do tam giác ABC đều) (do SA (ABC)
BI AC
BI SA
BI SAC
BI SC
Mà IH ^ SC nên (BIH) ^ SC
Vậy (BIH) chính là a Rõ ràng thiết diện của tứ diện SABC với a là tam giác BIH
*) Tính diện tích thiết diện
Vì BI ^ (SAC) và IH Ã (SAC) nên BI ^ IH Do đó thiết diện BIH là tam giác vuông tại I
=1 .
2
BIH
Ta có:
= 3
2
a BI
Hai tam giác vuông CHI và CAS có góc nhọn C chung nên chúng đồng dạng Từ đó suy ra:
+
+
2 2
.2
5 2
5 4
IH
a a a
Vậy
= 1. 3. 5 = 1
BIH
C Bài tập tự giải
Bài 1
Cho tứ diện S.ABC có ABC là tam giác vuông cân đỉnh B AB=a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA=a 3 M là một điểm tuỳ ý trên cạnh AB, đặt AM=x
(0<x<a) Gọi a là mặt phẳng qua M vuông góc với AB
a) Tìm thiết diênh của tứ diện SABC với mặt phẳng a
b) Tính diện tích thiết diện theo a và x Tìm giá trị của x để thiết diện có diện tích lớn nhất
Bài 2
Cho tứ diện SABC có ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với (ABC) và SA=a Tìm thiết diện của tứ diện với mặt phẳng a và tính diện tích của thiết diện đó trong các trường hợp sau:
a) a qua S và vuông góc với BC
b)a qua A và vuông góc với trung tuyến SI của tam giác SBC
c) a qua trung điểm M của SC và vuông góc với AB
Bài 3
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a., mặt bên SAB là tam giác đều và
SC a Gọi H,K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD
a) Chứng minh rằng :SH ^ (ABCD)
Trang 13b)Chứng minh AC ^ SK và CK ^ SD
Bài 4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=a, BC=a 3,mặt bên SBC vuông tại B, mặt bên SCD là tam giác vuông tại D có SD=a 5
a) Chứng minh SA ^ (ABCD) và tính AS
b) Đường thẳng qua A vuông góc với AC, cắt đường thẳng CB và CD lần lượt tại I và
J Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SC Hãy xác định giao điểm K,L của SB,SD với mặt phẳng (HKL).Chứng minh: AK ^ (SBC); AL ^ (SCD)