a. Bên trong đường tròn tâm O bán kính 1 cho tam giác ABC có diện tích lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng điểm O nằm trong hoặc nằm trên cạnh của tam giác ABC... b.. Trên đường chéo B[r]
Trang 1SỞ GD-ĐT NINH THUẬN KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 -NĂM HỌC 2010 – 2011
Môn : TOÁN - Thời gian: 120 phút
Bài 1 (3,0 điểm) Cho hàm số bậc nhất ym1 x2
, m là tham số
1 Với giá trị nào của m thì hàm số đã cho đồng biến trên R ?
2 Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số trên đi qua điểm A2;1
3 Vẽ đồ thị hàm số
1 2 2
y x
trong mặt phẳng tọa độ Oxy
Bài 2 (3,0 điểm) Cho biểu thức
1 Rút gọn biểu thức
: 4
P
x
2 Tính giá trị của P khi x 3 2 2.
Bài 3 (3,0 điểm) Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R Vẽ đường tròn tâm I, đường kính AO Qua B vẽ
tiếp tuyến BK với đường tròn tâm I ( K tiếp điểm ), tiếp tuyến này cắt đường tròn tâm O tại C
1 Chứng minh rằng AK là tia phân giác của góc CAO
2 Tính diện tích của tam giác ABC theo R
Bài 4 (1,0 điểm)Cho tam giác ABC vuông tại A, có các cạnh BC a AC b AB c , , . Gọi r là bán kính đường
tròn nội tiếp tam giác ABC
Chứng minh rằng b c a 2r
- H t -ế
Bài 1 (2,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức A = ( √20−√45+3√5¿.√5
b) Tính B =
√3− 1¿2
¿
¿
√¿
Bài 2 (2,0 điểm)
a) Giải phương trình x4−13 x2−30=0
b) Giải hệ phương trình
¿
3
x −
1
y=7
2
x −
1
y=8
¿{
¿
Bài 3 (2,5 điểm) Cho hai hàm số y = 2x2 có đồ thị (P) và y = x + 3 có đồ thị (d)
a) Vẽ các đồ thị (P) và (d) trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy
b) Gọi A là giao điểm của hai đồ thị (P) và (d) có hoành độ âm Viết phương trình của đường thẳng ( Δ )
đi qua A và có hệ số góc bằng - 1
c) Đường thẳng ( Δ ) cắt trục tung tại C, cắt trục hoành tại D Đường thẳng (d) cắt trục hoành tại B Tính
tỉ số diện tích của hai tam giác ABC và tam giác ABD
Bài 4 (3,5 điểm) Cho hai đường tròn (C) tâm O, bán kính R và đường tròn (C') tâm O', bán kính R' ( R > R' ) cắt
nhau tại hai điểm A và B Vẽ tiếp tuyến chung MN của hai đường tròn ( M (C), N (C') ) Đường thẳng AB cắt
MN tại I (B nằm giữa A và I )
a) Chứng minh rằng B ^ M N = M ^ A B
b) Chứng minh rằng IN2 = IA.IB
c) Đường thẳng MA cắt đường thẳng NB tại Q, đường thẳng NA cắt đường thằng MB tại P Chứng minh rằng MN song song với QP
Trang 2- Hết –
Câu 1 (3 điểm) 1) Giải phương trình a)
2
4 0
3x ; b) x4 3x2 4 0
2) Rút gọn biểu thức
N
Câu 2 (2 điểm) 1) Cho hàm số bậc nhất y = ax + 1 Xác định hệ số a, biết rằng đồ thị của hàm số cắt trục hoành
tại điểm có hoành độ bằng 1 2
2) Tìm số nguyên m để hệ phương trình
3
x y
có nghiệm (x;y) thỏa mãn đ/k x2 + xy = 30
Câu 3 (1 điểm) Theo kế hoạch, một xưởng may phải may xong 280 bộ quần áo trong một thời gian quy định.
Đến khi thực hiện, mỗi ngày xưởng đã may được nhiều hơn 5 bộ quần áo so với số bộ quần áo phải may trong một ngày theo kế hoạch Vì thế, xưởng đã hoàn thành kế hoạch trước 1 ngày Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày xưởng phải may xong bao nhiêu bộ quần áo?
Câu 4 (3 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao BE và CF của tam giác ABC cắt
nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại E' và F' (E' khác B và F' khác C)
1) Chứng minh tứ giác BCEF là tứ giác nội tiếp
2) Chứng minh EF song song với E'F'
3) Kẻ OI vuông góc với BC (IBC) Đường thẳng vuông góc với HI tại H cắt đường thẳng AB tại M và cắt đường thẳng AC tại N Chứng minh tam giác IMN cân
Câu 5 (1 điểm) Cho a, b, c, d là các số dương thỏa mãn a2 b2 1 và
a b
c d c d Chứng minh
2
c b
- Hết -
Bài 1 (1đ) Rút gọn M 16x2 8x1 Tính giá trị của M tại x = 2
Bài 2 (1đ5) 1) Vẽ đồ thị của các hàm số sau trên cùng một mặt phẳng tọa độ :( ) :P y x2; ( ) :d y2x3
2) Tìm tọa độ giao điểm (nếu có) của (d) và (P)
Bài 3(2đ) 1) Giải phương trình x2 5x6 0
2) Giải hệ phương trình
x y
x y
Bài 4 (2đ) 1) Một người dự định đi xe gắn máy từ địa điểm A đến địa điểm B cách nhau 90km Vì có việc gấp
phải đến B trước giờ dự định là 45 phút nên người ấy phải tăng vận tốc lên mỗi giờ 10 km Hãy tính vận tốc mà người đó dự định đi
2) Chứng minh rằng phương trình x2 2 2 m 1x4m 8 0
(m là tham số) luôn có 2 nghiệm phân biệt
và khác 1 với mọi m R
Trang 3Bài 5 (3đ5)Một hình vuông ABCD nội tiếp trong đường tròn Tâm O bán kính R Một điểm M di động trên cung
ABC , M không trùng với A,B và C, MD cắt AC tại H
1) Chứng minh tứ giác MBOH nội tiếp được trong đường tròn và DH.DM = 2R2
2) Chứng minh tam giác MDC đồng dạng với tam giác MAH
3) Hai tam giác MDC và MAH bằng nhau khi M ở một vị trí đặc biệt M’ Xác định điểm M’ Khi đó M’D cắt AC tại H’ Đường thẳng qua M’ và vuông góc với AC cắt AC tại I Chứng minh rằng I là trung điểm của H’C
THANH HOÁ CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC: 2009 - 2010
Đề chính thức Môn: Toán (Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Tin)
Câu 1( 2,0 điểm)
Cho biểu thức:
2 3
T
1 Tìm điều kiện của x để T xác định Rút gọn T
2 Tìm giá trị lớn nhất của T
Câu 2 ( 2,0 điểm)
1 Giải hệ phương trình:
2
2 Giải phương trình:
1
2
Câu 3 (2,0 điểm)
1 Tìm các số nguyên a để phương trình: x2- (3+2a)x + 40 - a = 0 có nghiệm nguyên Hãy tìm các nghiệm nguyên đó
2 Cho a, b, c là các số thoả mãn điều kiện:
a 0
b 0 19a 6b 9c 12
Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm
x 2(a 1)x a 6abc 1 0
x 2(b 1)x b 19abc 1 0
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp trong đường tròn tâm O đường kính AD Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, E là một điểm trên cung BC không chứa điểm A
1 Chứng minh rằng tứ giác BHCD là hình bình hành
2 Gọi P và Q lần lượt là các điểm đối xứng của E qua các đường thẳng AB và AC Chứng minh rằng 3 điểm P, H, Q thẳng hàng
3 Tìm vị trí của điểm E để PQ có độ dài lớn nhất
Câu 5 ( 1,0 điểm)
Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có ba góc nhọn Chứng minh rằng với mọi số thực x,
y, z ta luôn có:
Trang 4YÊN BÁI
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN
NĂM HỌC 2009-2010
Bài 1(2,5 điểm): Cho
x x 1 x x 1 M
1- Tìm điều kiện để M có nghĩa
2- Rút gọn M (với điều kiện Mcó nghĩa)
3- Cho N=
3 3
Tìm tất cả các giá trị của x để M = N
Bài 2(1,5) điểm): Giải hệ phương trình:
2
z xy
với x, y, z 0
Bài 4(3,0 điểm):
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Vẽ đường tròn tâm O đường kính AH, đường tròn (O) cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại D và E Các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại D và E cắt BC thứ tự
ở M và N
1- Chứng minh rằng tứ giác ADHE là hình chữ nhật và ba điểm D, O, E thẳng hàng
2- Chứng minh rằng M là trung điểm của HB và N là trung điểm của HC
3- Tính diện tích tứ giác DENM, biết AB = 7cm, AC = 10 cm
P (x zy) 26(x zy) x 216y2 8xy 2x 8y 10 đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 1 ( 1 điểm ): a) Thực hiện phép tính: 3√10+√20 −3√6 −√12
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x −√x −2008
Bài 2 ( 1,5 điểm ): Cho hệ phương trình:
¿
mx − y =2
3 x+my=5
¿{
¿ a) Giải hệ phương trình khi m=√2
b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn hệ thức x+ y=1 − m
2
m2+3
Trang 5Bài 3 (1,5 điểm ): a) Cho hàm số y=−1
2x
2
, có đồ thị là (P) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm M và N nằm trên (P) lần lượt có hoành độ là −2 và 1
b) Giải phương trình: 3 x2+3 x − 2√x2+x=1
Bài 4 ( 2 điểm ): Cho hình thang ABCD (AB // CD), giao điểm hai đường chéo là O Đường thẳng qua O
song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại M và N.
a) Chứng minh: MOCD +MO
AB =1 ; b) Chứng minh: AB1 + 1
CD=
2
MN . c) Biết SAOB=m2; SCOD=n2 Tính SABCD theo m và n (với SAOB, SCOD , SABCD lần lượt là diện tích tam giác AOB, diện tích tam giác COD, diện tích tứ giác ABCD)
Bài 5 ( 3 điểm ): Cho đường tròn ( O; R ) và dây cung AB cố định không đi qua tâm O; C và D là hai
điểm di động trên cung lớn AB sao cho AD và BC luôn song song Gọi M là giao điểm của AC và BD Chứng minh rằng:
a) Tứ giác AOMB là tứ giác nội tiếp ; b) OM BC
c) Đường thẳng d đi qua M và song song với AD luôn đi qua một điểm cố định
Bài 6 ( 1 điểm ): a) Cho các số thực dương x; y Chứng minh rằng: x2
y +
y2
x ≥ x+ y b) Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1 Chứng minh rằng n4+4n là h p s ợ ố
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
——————
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2010-2011
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1 Giải phương trình:
2
2x 3 x 1 3x2 2x 5x 3 16
Câu 2 Tìm tất cả các cặp số nguyên x y , thoả mãn phương trình x y2( 1) y x2( 1) 1
Câu 3 Cho tam giác ABC nhọn với trực tâm H Đường thẳng vuông góc với BC tại C cắt đường thẳng BH ở
,
D đường thẳng vuông góc với BC tại B cắt đường thẳng CH tại E . Gọi M N , theo thứ tự là trung điểm của
BE CD
1 Chứng minh rằng H M N , , thẳng hàng.
2 Đường thẳng MN cắt trung tuyến AL của tam giác ABC tại P
Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác ABP tiếp xúc với BC
Câu 4 Cho a, b, c là ba số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P
Câu 5 Mỗi điểm của mặt phẳng được tô bởi một trong ba màu Đỏ, Xanh, Vàng
Chứng minh rằng tồn tại hai điểm A B ,
được tô bởi cùng một màu mà độ dài AB 1.
năm học 2009 - 2010 Bài 1: (3.5 điểm)
a Giải phương trình 3 x 2 3 7 x 3
Trang 6b Giải hệ phương trình
3
3
8
2 3
6 2
x y x
y
Bài 2: (1.0 điểm)Tìm số thực a để phương trình sau có nghiệm nguyên x2 ax a 2 0
Bài 3: (2.0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường phân giác trong BE (E thuộc AC) Đường tròn đường kính AB cắt
BE, BC lần lượt tại M, N (khác B) Đường thẳng AM cắt BC tại K Chứng minh: AE.AN = AM.AK
Bài 4: (1.5 điểm)
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, trung tuyến AO có độ dài bằng độ dài cạnh BC Đường tròn đường kính
BC cắt các cạnh AB, AC thứ tự tại M, N (M khác B, N khác C) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường thẳng AO lần lượt tại I và K Chứng minh tứ giác BOIM nội tiếp được một đường tròn và tứ giác BICK là hình bình hành
Bài 5: (2.0 điểm)
a Bên trong đường tròn tâm O bán kính 1 cho tam giác ABC có diện tích lớn hơn hoặc bằng 1 Chứng minh rằng điểm O nằm trong hoặc nằm trên cạnh của tam giác ABC
b Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn: a b c 3
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a b b c c a
Trang 7SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA ĐỀ THI CHUYÊN LAM SƠN vòng 1 (2010-2011)(Thời gian 120’ không kể giao đề)
Câu 1: (2.0 điểm) Cho biểu thức:
1 Rút gọn biểu thức A ; 2 Tìm x sao cho A < 2
Câu 2: (2.0 điểm) Cho x1; x2 là 2 nghiệm của pt: x2 - 7x + 3 = 0
1 Lập phương trình có hai nghiệm là 2x1 - x2 và.
2.Tínhgiá trị của B = |2x1 - x2 | + |2x2 - x1|
Câu 3 : (1.5 điểm) Giải hệ phương trình :
1
1
Câu 4 : (3.5 điểm) Cho hình vuông ABCD Trên đường chéo BD lấy điểm I sao cho BI = BA Đường thẳng
qua I vuông góc với BD cắt AD tại E và AI cắt BE tại H
1 Chứng minh rằng AE = ID
2 Đường tròn tâm E bán kính EA cắt AD tại điểm thứ hai F (F A).Chứng minh rằng: DF DA = EH EB
Câu 5: (1.0 điểm)Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là: BC = a, CA = b, AB = c và chu vi tam giác là 2P
Chứng minh rằng:
9
P a P b P c
PHÒNG GD&ĐT NGHI LỘC
NĂM HỌC 2010 - 2011
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN - MÔN TOÁN 9
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1: (4,5 điểm) a) Tìm n N để A là số nguyên tố biết A = n3 - n2 - n - 2
b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên m, n thì mn(m2 – n2) 6
a) Rút gọn P ; b) Tìm các giá trị của x để P = 3
4
Bài 3: (4,0 điểm) a) Giải hệ phương trình :
¿
√3+2 x +√3 −2 y=x +4
√3+2 x −√3 − 2 y =x
¿{
¿
b) Giải phương trình: 3
√x −2+√x +1=3
Bài 4 : (2,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
F = 8√x − 2
2 x+1 +
18√x − 6
3 x +1
Bài 5: (6,5 điểm) Cho điểm M thuộc đường tròn (O) đường kính AB (M ≠ A; M ≠ B) và MA < MB Tia phân
giác của góc AMB cắt AB ở C Qua C vẽ đường thẳng vuông góc với AB cắt các đường thẳng AM và BM lần lượt tại D và H
a) Chứng minh hai đường thẳng AH và BD cắt nhau tại điểm N nằm trên đường tròn (O)
b) Chứng minh CA = CH
Trang 8c) Gọi E là hình chiếu của H trên tiếp tuyến tại A của đường tròn (O), F là hình chiếu của D trên tiếp tuyến tại
B của đường tròn (O)
Chứng minh 3 điểm E; M; F thẳng hàng
d) Gọi S1; S2 là diện tích các tứ giác ACHE và BCDF Chứng minh CM <
HUYỆN ANH SƠN Môn : Toán đề thi học sinh giỏi cấp huyện năm học 2009-2010-Lớp 9(Thời gian làm bài 150 phút)
Bài 1: Chứng minh rằng : A = 2130 + 3921 chia hết cho 45
Bài 2: Giải phương trình và hệ phương trình sau:
a, + =5
b, ¿x2010 ¿
+y2010¿ ¿
Bài 3: Tìm tích abc biết rằng:
¿
a2
+b2
+c2=1
a3+b3+c3=1
¿{
¿
Bài 4: Cho x2+y2 =1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của S =(2-x)(2-y)
Bài 5: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O đường kính BC, đường cao AH Đường tròn tâm O’ đường
kính AH cắt đường tròn (O) tại điểm thứ 2 là G, cắt AB và AC lần lượt tại M và N
a, Chứng minh : AM.AB = AN.AC
b, Các tiếp tuyến của đường tròn (O’) tại M và N cắt BC lần lượt tại I và K , so sánh IK và BC
c, Chứng minh các đường thẳng : AG; NM và CB cùng đi qua một điểm