Giải đề thi Toán vào 10 (2012)

Giải đề thi Toán vào 10 (2012)

Ngườiưthựcưhiện: ư lê hồng đức

ưưưưưưưưưưưưĐT:ư0936546689

Bài 2 (2,0 điểm): (Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ

phương trình): Hai người cùng làm chung một công việc trong 12/5giờ

thì xong Nếu mỗi người làm một mình thì thời gian để người thứ nhất hoàn thành công việc ít hơn người thứ hai là 2 giờ Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu giờ để xong công việc?

Bài 1 (2,5 điểm): Cho hai biểu thức

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT – HÀ NỘI

Năm học: 2012 – 2013

MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút

1 Tính giá trị của biểu thức A khi x = 36

2 Với 0 x  16, rút gọn biểu thức B

3 Với các biểu thức A và B nói trên, hãy tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức B.(A  1) là số nguyên

GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT – MÔN TOÁN

Bài 3 (1,5 điểm):

1) Giải hệ phương trình:

2) Cho phương trình x2 – ( 4m – 1 )x + 3m2 – 2m = 0 (ẩn x) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn điều kiện:

x12 + x22 = 7

2 1

2

x y

6 2

1

x y



 







  



Bài 4 (3,5 điểm): Cho đường tròn (O;R)đường kính AB Bán kính CO

vuông góc với AB, M là điểm bất kỳ trên cung nhỏ AC (M khác A và C), BM cắt AC tại H Gọi K là hình chiếu của H trên AB

1) Chứng minh tứ giác CBKH là tứ giác nội tiếp

2) Chứng minh ACM = ACK 3) Trên đoạn thẳng BM lấy điểm E sao cho BE = AM Chứng minh tam giác ECM là tam giác vuông cân tại C

4) Gọi d là tiếp tuyến của đường tròn tại (O) tại điểm A Cho P là một điểm nằm trên d sao cho hai điểm P, C nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ AB và AP.MB = R.MA Chứng minh đường thẳng PB đi đi qua trung điểm của đoạn thẳng HK

Bài 5 (0,5 điểm): Với x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện x  2y,

tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:





x y

xy

GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT – MÔN TOÁN Bài 1 (2,5 điểm): Cho hai biểu thức

1 Tính giá trị của biểu thức A khi x = 36

2 Với 0 x  16, rút gọn biểu thức B

3 Với các biểu thức A và B nói trên, hãy tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức B.(A  1) là số nguyên

 Hướng dẫn

1 Vì A là biểu thức tối giản nên chỉ cần thay trực tiếp x = 36 vào A

2 Các phân thức trong B đều tối giản nên cách duy nhất là quy đồng mẫu số cục bộ

3 Thiết lập biểu thức từ giả thiết Chú ý ước nguyên của một số có 

B

x 16

x 4 x 4



x 16 x 16

x 2

x 16







 Giải

1 Khi x = 36 thỡ:

36 4 A

36 2







6 4

6 2







5 4



2 Ta biến đổi:

B

x 16

x 4 x 4



x 16 x 2

x 16 x 16

x 2

x 16







3 Biểu thức B.(A  1) được cho bởi:

x 16 x 2

x 2 x 4 x 2



2

x 16





Do đú, để B.(A  1) là số nguyờn thỡ x  16 phải là ước của 2

Ta cú bảng:

Vậy, cỏc số nguyờn x cần tỡm là {15, 14, 17, 18}

Hoạt động: Tỡm cỏc số nguyờn x, y thỏa món phương trỡnh:

x3 + 2x2 + 3x + 2 = y3

GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT – MÔN TOÁN

Bài 2 (2,0 điểm): (Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình ): Hai người cùng làm chung một công việc trong 12/5giờ thì xong Nếu mỗi người làm một mình thì thời gian để người thứ nhất hoàn thành công việc ít hơn người thứ hai là 2 giờ Hỏi nếu làm một

mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu giờ để xong công việc?

 Hướng dẫn

Trước tiên, các em học sinh cần chú ý

giả thiết "Một công việc làm chung".

Dẫn tới năng xuất lao động của mỗi người trong 1giờ

Từ đó, nếu gọi x (x > 0) là thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc

1

cong viec.

x

* Mỗi giờ người thứ nhất làm được 1 cong viec.

x

* Mỗi giờ người thứ hai làm được 1 cong viec

x 2

Từ đó, thiết lập được phương trình điều kiện: 12 1 1 1



 Giải

Gọi x (x > 0) là thời gian người thứ nhất làm một mỡnh xong cụng việc

Do đú, mỗi giờ người thứ nhất làm được 1 cong viec.

x Suy ra, x + 2 là thời gian người thứ hai làm một mỡnh xong cụng việc

Do đú, mỗi giờ người thứ hai làm được 1 cong viec.

x 2

Từ giả thiết, ta cú phương trỡnh:

1



x 2 x 5 x(x 2) 12

 

  12(2x + 2) = 5(x2 + 2x)

 5x2  14x  24 = 0 x 4

x 6 / 5





  



x 0

x 4



Kết luận:

* Nếu làm một mỡnh người thứ nhất làm trong 4 giờ

* Nếu làm một mỡnh người thứ hai làm trong 6 giờ

CHÚ í : Cũng cú thể sử dụng hai ẩn x, y để lập hệ phương trỡnh

Hoạt động: Một người dự định rào xung quanh một miếng đất hỡnh chữ nhật cú diện tớch 1.600m2, độ dài hai cạnh là x một và y một Hai cạnh kề nhau rào bằng gạch, cũn hai cạnh kia rào bằng đỏ Mỗi một rào bằng

gạch giỏ 200.000 đồng, mỗi một rào bằng đỏ giỏ 500.000 đồng

a) Tớnh giỏ tiền dự định rào ( theo x và y)

b) Người ấy cú 55 triệu đồng, hỏi số tiền ấy cú đủ để rào khụng ?

GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT – MễN TOÁN

Bài 3 (1,5 điểm):

1) Giải hệ phương trỡnh:

2 1

2

x y

6 2

1

x y



 







  



 Hướng dẫn: Sử dụng ẩn phụ hoặc phộp biến đổi tương đương.

1 u

x 1 v

y











 



6u 2v 1

 



 



4u 2v 4 6u 2v 1



 



10u 5 6u 2v 1





 



 Giải

Biến đổi hệ phươ trỡnh về dạng:

4 2

4

x y

6 2

1

x y



 







  



10

5 x

6 2

1

x y









 

  



5x 10

6 2

1

x y







 

 





x 2

6 2

1

2 y







 

 





x 2 2

y







 

 





x 2

y 1





 





Vậy, hệ cú nghiệm (x; y) = (2; 1)

Hoạt động: Giải cỏc hệ phương trỡnh:

1

x y

x

12

x y







 



1 1 9

x y

x y 2

xy

xy 2











2) Cho phương trình x2 – ( 4m – 1 )x + 3m2 – 2m = 0 (ẩn x) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn điều kiện:

x12 + x22 = 7

 Hướng dẫn

Yêu cầu của bài toán được chia thành hai phần:

1 Thiết lập điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt”

 > 0

2 Giải điều kiện x12  x22 7

Từ đó, suy ra hệ thức Vi-ét cho hai nghiệm x1 , x2

2

1 2

x x 4m 1

x x 3m 2m







 x1  x2 2  2x x1 2

GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT – MễN TOÁN

 Giải

Phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt x1 , x2 khi:

 > 0  (4m – 1)2 – 4(3m2 – 2m) > 0  4m2 + 1 > 0, luụn đỳng Khi đú, phương trỡnh cú hai nghiệm x1 , x2 thoản món:

2

1 2

x x 4m 1

x x 3m 2m







Từ đú:

7 x  x  x1  x2 2  2x x1 2 = (4m – 1)2 – 2(3m2 – 2m)

 5m2  2m  3 = 0

m 1

3 m

5









 



Vậy, với thoả món điều kiện đầu bài.m 1 hoac m 3

5

 Hướng dẫn

Hoạt động: Cho phương trỡnh ẩn x:

x2 + (m  1)x  6 = 0 (1) (m là tham số)

a Tỡm cỏc giỏ trị của m để phương trỡnh (1) cú nghiệm

b Tỡm cỏc giỏ trị của m để phương trỡnh (1) cú 2 nghiệm x1, x2 sao cho

biểu thức sau đạt giỏ trị lớn nhất:

x 1  2

A  x  9 x  4

Bài 4 (3,5 điểm): Cho đường trũn (O;R)đường kớnh AB Bỏn kớnh CO

vuụng gúc với AB, M là điểm bất kỳ trờn cung nhỏ AC (M khỏc A và C), BM cắt AC tại H Gọi K là hỡnh chiếu của H trờn AB

1) Chứng minh tứ giỏc CBKH là tứ giỏc nội tiếp

2) Chứng minh ACM = ACK 3) Trờn đoạn thẳng BM lấy điểm E sao cho BE = AM Chứng minh tam giỏc ECM là tam giỏc vuụng cõn tại C

4) Gọi d là tiếp tuyến của đường trũn tại (O) tại điểm A Cho P là một điểm nằm trờn d sao cho hai điểm P, C nằm trong cựng một nửa mặt phẳng bờ AB và AP.MB = R.MA Chứng minh đường thẳng PB đi đi qua trung điểm của đoạn thẳng HK

 Hướng dẫn

Vẽ hỡnh

Hoạt động: Cho hỡnh thang ABCD (AB // CD, AB < CD) Gọi K, M lần lượt là trung điểm của BD, AC Đường thẳng qua K và vuụng gúc với AD cắt đường thẳng qua M và vuụng gúc với BC tại Q Chứng minh:

a) KM // AB

b) QD = QC

GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT – MÔN TOÁN Bài 5 (0,5 điểm): Với x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện x  2y,

tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:





x y

xy

 Hướng dẫn

: Sai lầm thường gặp của học sinh là sử dụng ngay bất đẳng thức Côsi cho x2 + y2  2xy,

x y 2xy M



  = 2, suy ra MMin = 2

2y.

Nhưng đạt được khi

x = y, điều này trái với giả thiết x  2y Chúng ta cần bắt đầu với giả thiết:

x  2y t x 2.

y

Biến đổi M về dạng:

1

M t

t

t

   

t 1 3

2 2

4 t 4

1 2

  5

2

M

2



 Giải

Với giả thiết x  2y, suy ra t x 2.

y

  Biến đổi M về dạng:

1

M t

t

t

   

t 1 3

2 2

4 t 4

1 2

2



Vậy, ta cú MMin 5

2

 , đạt được khi:

t 1

4 t

t 2









 



2

t 4

t 2

 

 





 t = 2 x 2

y

   x = 2y

Cỏch khỏc: Ta biến đổi:

2 x y M

x(2y)



1

2







4 x y

x 4y







x 4y 3x

x 4y





2

2 2

3x 1

x 4y

 



2

3x 1

x x

 



3 1 2

  5

2

M

2

  Đạt được

khi x = 2y

Hoạt động: Cho ba số thực a,b,c đụi một phõn biệt Chứng minh:

2

(b c)  (c a)  (a b) 

Bµi gi¶ng luyÖn thi

T¸c­gi¶: nhãm cù m«n BÀI GIẢNG CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN – TOÁN 10