Gọi E, F theo thứ tự là giao điểm thức hai của BO và BK kéo dài với đường tròn O a/ Chứng minh EF//AC b/ Gọi I là trung điểm của AC... Nên 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Trang 1ĐỀ THI TUYỂN SINH TOÁN VÀO 10 THPT
Câu 1: (1 điểm)
Rút gọn biểu thức A =
Câu 2: (2 điểm)
Cho hệ phương trình:
a/ Tìm các giá trị m để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
b/ Giải hệ phương trình khi m = 1
Câu 3: (2 điểm)
Hai vòi nước cùng chảy vào 1 bể thì 6 giờ đầy bể Nếu mỗi vòi chảy một mình cho đầy bể thì vòi thứ hai cần nhiều hơn vòi thứ nhất là 5 giờ Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể
Câu 4: (1 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A có I là trung điểm của AC Vẽ ID vuông góc với cạnh huyền BC, (D BC) Chứng minh AB2 = BD2 – CD2
Câu 5: (3 điểm)
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O các đường cao AD, BK của tam giác gặp nhau tại H Gọi E, F theo thứ tự là giao điểm thức hai của BO và BK kéo dài với đường tròn (O) a/ Chứng minh EF//AC
b/ Gọi I là trung điểm của AC Chứng minh 3 điểm H, I, E thẳng hàng và OI = BH
Câu 6: (1 điểm)
Cho a, b, c là các số dương và a2 + b2 + c2 = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P =
BÀI GIẢI Câu 1: A =
Câu 2: a/ Để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thì: 3 -2m m
Vậy m thì hệ pt đã cho có nghiệm duy nhất
b/ Với m = 1 ta có hệ phương trình:
Vậy hệ có nghiệm duy nhất: (x;y) =
Câu 3: Gọi x (h) là thời gian vòi 1 chảy một mình đầy bể
Điều kiện: x > 6
Thời gian vòi 2 chảy một mình đầy bể: x + 5 (h)
Trang 2Mỗi giờ vòi 2 chảy được: (bể)
Mỗi giờ cả hai vòi chảy được: (bể)
Theo đề bài ta có phương trình:
x2 – 7x – 30 = 0
Giải phương trình ta được x1 = -3 (loại); x2 = 10 (TM)
Vậy nếu chảy một mình vòi 1 chảy đầy bể trong 10 giờ, vòi 2 chảy đầy bể trong 10 + 5 = 15 (giờ)
Câu 4: Ta có: AB2 = BI2 – AI2 = BD2 + DI2 – AI2 =
= BD2 + IC2 – DC2 – AI2 = BD2 – CD2 + IC2– AI2
Mà IC = IA IC2= AI2 IC2– AI2 = 0
Nên: AB2 = BD2 – CD2
Cách 2:
Kẽ AH BC tại H
AH//ID (cùng vuông góc với BC)
Mà IA = IC (Gt)
HD = DC HD2 = DC2
Ta có: BD2 – CD2 = (BH + HD)2 – CD2 =
= BH2 + 2BH.HD + HD2 – CD2 =
= BH2 + 2BH.HD (vì HD2 = DC2)
= BH.(BH + 2HD) = BH.(BH + HC) = BH.BC = AB2
Vậy AB2 = BD2 – CD2
Câu 5: a/ Chứng minh EF//AC
BE là đường kính = 900 EF BF
Mà BF AC (gt)
Nên EF//AC
b/ Chứng minh 3 điểm H, I, E thẳng hàng và OI = BH
Ta có H lá trực tâm CH AB, mà EA AB (góc EAB vuông,
góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
CH//AE
Tương tự: AH//CE AHCE là hình bình hành
Nên 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
Mà I là trung điểm AC I là trung điểm của HE
Hay 3 điểm H, I, E thẳng hàng
C2: c/m EC//=AH
C3: c/m
IH = IE và OB = OE OI là đường trung bình tam giác BHE OI = BH
Câu 6: (1 điểm) Với a, b, c là các số dương và a2 + b2 + c2 = 1 P > 0
A
I
D
A
H
C O
I
E F K
Trang 3Ta có: P2 = =
Theo BĐT Cosi cho các số dương:
P2 1 + 2 = 3 P
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là ; ; a2 = b2 = c2 =
a = b = c =
Cách 2:
Áp dụng bất đẳng thức Co-si cho các số dương ; ; ta có:
Không mất tính tổng quát, giả sử a ≥ b ≥ c > 0 và a2 + b2 + c2 = 1 (đề bài cho)
≥ 3c P ≥ 3c
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c =
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 3 = khi a = b = c =
Trang 4Câu 1: (2 điểm)
a/ Rút gọn biểu thức A =
Câu 2: (1,5 điểm)
Giải phương trình: x2 + 3x – 108 = 0
Câu 3: (2 điểm)
Một ca nô chạy trên sông, xuôi dòng 120km và ngược dòng 120km, thời gian cả đi và về hết 11 giờ Hãy tìm vận tốc ca nô trong nước yên lặng, biết rằng vận tốc của nước chảy là 2km/h
Câu 4: (3,5 điểm)
Cho tam giác đều ABC có đường cao AH, M là điểm bất kỳ trên cạnh BC (M không trùng với B và C) Gọi P, Q theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẽ tử M đến AB và AC, O là trung điểm của AM Chứng minh rằng:
a/ Các điểm A, P, M, H, Q cùng nằm trên một đường tròn
b/ Tứ giác OPHQ là hình gì?
c/ Xác định vị trí của M trên cạnh BC để đoạn PQ có độ dài nhỏ nhất
Câu 5: (1 điểm)
Cho a, b là các số dương Chứng minh rằng:
BÀI GIẢI
Câu 1: a/ A =
b/ Với a 0; b 0 và a b, ta có:
Câu 2: Ta có: = (-3)2 – 4.1.(-108) = 9 + 432 = 441 > 0 = 21
Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x1 = = -12; x2 = = 9
Câu 3: Gọi x (km/h) là vận tốc ca nô khi nước yên lặng (x > 2)
Vận tốc của ca nô khi xuôi dòng: x +2 (km/h)
Vận tốc của ca nô khi ngược dòng: x – 2 (km/h)
Trang 5Thời gian ca nô xuôi dòng: (h)
Thời gian ca nô ngược dòng: (h)
Theo đề bài ta có pt: 120(x – 2) + 120(x + 2) = 11(x – 2)(x + 2)
11x2 – 240x – 44 = 0; = 1202 + 11.44 = 14400 + 484 = 14884 > 0 = 122
x1 = - (loại); x2 = 22 (TM)
Vậy vận tốc ca nô khi nước yên lặng là 22km/h
Câu 4: a/ Chứng minh A, P, M, H, Q cùng nằm trên một đường tròn
Các điểm A, P, M, H, Q cùng nằm trên một đường tròn đường kính AM
b/ Tứ giác OPHQ là hình gì?
O là trong điểm AM nên O là tâm đường tròn đường kính AM
OP = OH = OQ
Ta có: = 300 (Vì ABC đều có AH là đường cao)
Tương tự ta cũng có được: 600
OPH và OHQ là các tam giác đều bằng nhau
OP = PH = HQ = OQ Tứ giác OPHQ là hình thoi
c/ Xác định vị trí của M trên cạnh BC để đoạn PQ có độ dài nhỏ nhất
Ta có: PQ = OQ = OM =
PQ nhỏ nhất AM nhỏ nhất AM BC M trùng H
Cách 2:
Ta có: PQ ≤ OP + OQ = OA + OM = AM
PQ nhỏ nhất AM nhỏ nhất AM BC M trùng H
Câu 5:
Với a, b > 0 a + b; 2a3 + 3b3; 2b3 + 3a3 > 0
( 1) 4(2a3 + 3b3)(2b3 + 3a3) - (2a2 + 3b2)(a + b)(2b3 + 3a3) - (2b2 + 3a2)(a + b)(2a3 + 3b3) ≥ 0
26a3b3 + 12a6 + 12b6 - 13a2b4 - 13a4b2 - 12ab5 - 12a5b ≥ 0
(13a3b3 - 13a2b4) + (13a3b3 - 13a4b2) + (12a6 - 12ab5) + (12b6 - 12a5b) ≥ 0
13a2b2(a-b)(b-a) + 12(a5 – b5)(a- b) ≥ 0
12(a5 – b5)(a- b) - 13a2b2(a-b)2 ≥ 0
12(a – b)2 (a4 + a3 b + a2b2 + ab3 + b4) - 13a2b2(a-b)2 ≥ 0
(a-b)2(12a4 + 12a3 b + 12ab3 + 12b4 - a2b2) ≥ 0 (2)
Ta có: (a-b)2 ≥ 0 với mọi a, b
Và 12a4 + 12a3 b + 12ab3 + 12b4 - a2b2 > 0 với mọi a, b > 0 Vì:
Nếu a = b > 0 a2b2 = a4
0 < a < b a2b2 < ab3
a > b > 0 a2b2 < a3b
Do đó (2) ≥ 0 với mọi a, b > 0
Vậy (1) ≥ 0 với mọi a, b > 0, dấu “=” xảy ra a = b
A
H M P
O
Q
Trang 6Câu 1: (2 điểm)
a/ So sánh và
b/ Tính giá trị biểu thức:
Câu 2: (1,5 điểm)
Giải phương trình: 2x2 + 3x – 2 = 0
Câu 3: (2 điểm)
Theo kế hoạch, một đội xe vận tải cần chở 24 tấn hàng đến một đại điểm qui định Khi chuyên chở thì trong đội có 2 xe phải điều đi làm việc khác nên mỗi xe còn lại của đội phải chở thêm 1 tấn hàng Tính số
xe của đội lúc đầu
Câu 4: (3,5 điểm)
Cho đường tròn tâm O đường kính BC = 2R, A là điểm chính giữa cung BC
1/ Tính diện tích tam giác ABC theo R
2/ M là điểm di động trên cung nhỏ AC, (M khác A và C) Đường thằng AM cắt đường thằng BC tại điểm
D Chứng minh rằng:
a/ Tích AM.AD không đổi
b/ Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD luôn nằm trên một đường thẳng cố định
Câu 5: (1 điểm)
Cho -1 < x < 1 Hãy tìm giái trị lớn nhất của biểu thức: y = -4(x2 – x + 1) + 3|2x – 1|
BÀI GIẢI
Câu 1: a/ Ta có > = 5 – 3 = 2
b/
Câu 2: Ta có: = (-3)2 – 4.2.(-2) = 9 + 16 = 25 > 0 = 5
Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x1 = = -2; x2 =
Câu 3: Gọi x (xe) là số xe của đội lúc đầu (x N, x > 2);
Số xe khi chuyên chở là: x = 2 (xe)
Lúc đầu mỗi xe phải chở: (tấn)
Lúc sau mỗi xe phải chở: (tấn)
Theo đề bài ta có phương trình: x2 – 2x – 48 = 0
Giải pt ta được: x1 = -6 (loại); x2 = 8 (TM)
Vậy số xe của đội lúc đầu là 8 xe
Câu 4:
1/ Tính diện tích tam giác ABC theo R
Vì A là điểm chính giữa cung BC AO BC
A
B
O
M
E
Trang 7SABC = BC.AO = 2R.R = R2
2/ a/ Chứng minh tích AM.AD không đổi
Xét hai tam giác: AMC và ACD có:
Và : chung
AMC ACD (g,g)
Mà AC2 = ( )2 = 2R2 ( Vì OAC vuông cân) AM.AD = 2R2 không đổi
b/ Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD luôn nằm trên một đường thẳng cố định
Gọi E là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD
Ta có: (góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm cùng chắn một cung);
Mà = (t/c góc ngoài của tam giác)
DEC vuông cân tại E = 450 900 (vì = 450)
CE AC
Mà AC cố định CE cố định
Hay tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD luôn nằm trên một đường thẳng cố định
Câu 5: (1 điểm) Cho -1 < x < 1 Hãy tìm giái trị lớn nhất của biểu thức: y = -4(x2 – x + 1) + 3|2x – 1|
Ta có: y = -(4x2 – 4x + 4) + 3|2x – 1| = -(4x2 – 4x + 1) + 3|2x – 1| - 3 = -(2x – 1)2 + 3|2x – 1| - 3
Đặt t = |2x – 1| thì y = - t2 + 3t – 3 = -(t2 – 3t + ) – = -(t – )2 – –
Dấu = xảy ra t – = 0 t = |2x – 1| = x = (loại vì không thuộc -1 < x < 1)
Hay x = (thoả mãn) Vậy giá trị lớn nhất của y là – khi x =
Trang 8Câu 1: (2 điểm)
Giải các pt sau:
a/ 2(x + 1) = 4 – x; b/ x2 – 3x + 2 = 0
Câu 2: (2 điểm)
1/ Cho hàm số y = ax + b Tìm a và b biết rằng đồ thị hàm số đã cho đi qua hai điểm A(-2;5) và B(1;-4) 2/ Cho hàm số: y = (2m – 1)x + m + 2
a/ Tìm điều kiện của m để hàm số luôn nghịch biến
b/ Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng
Câu 3: (2 điểm)
Một người đi xe máy khởi hành từ Hoài Ân đi Quy Nhơn Sau đó 75 phút một ô tô khởi hành từ Quy Nhơn đi Hoài Ân với vận tốc lớn hơn vận tốc xe máy 20km/h Hai xe gặp nhau tại Phù Cát Tính vận tốc của mỗi xe, giả thiết Hoài Ân cách Quy Nhơn 100km và Quy Nhơn cách Phù Cát 30km
Câu 4: (3,5 điểm)
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O đường kính AB Kéo dài AC (về phía C) đoạn CD sao cho CD = AC
1/ Chứng minh tam giác ABD cân
2/ Đường thẳng vuông góc với AC tại A cắt đường tròn tâm O tại E Kéo dài AE (về phía E) đoạn EF sao cho FE = EA Chứng minh ba điểm D, B, F cùng nằm trên một đường thẳng
3/ Chứng minh rằng đường tròn đi qua ba điểm A, D, F tiếp xúc với đường tròn tâm O
Câu 5: (1 điểm)
Với mỗi số k nguyên dương, đặt Sk = ( + 1)k + ( - 1)k
Chứng minh rằng: Sm+n + Sm-n = Sm Sn với mọi m, n là số nguyên dương và m > n
BÀI GIẢI
Câu 1: a/ 2(x + 1) = 4 – x 2x + 2 = 4 – x 3x = 2 x =
Vậy pt có nghiệm x =
b/ x2 – 3x + 2 = 0 có a + b + c = 1 + (-3) + 2 = 0 x1 = 1; x2 = = 2
Vậy pt có hai nghiệm phân biệt: x1 = 1; x2 = 2
Câu 2:
1/ Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua hai điểm A(-2;5) và B(1;-4) nên ta có hệ pt:
Vậy a = -3; b = -1
2/ Hàm số: y = (2m – 1)x + m + 2
a/ Hàm số luôn nghịch biến khi và chỉ khi 2m – 1 < 0 m <
b/ Để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng thì x = và y = 0
Trang 9F E
D
C
B A
Thay x = và y = 0 vào hàm số ta được: (2m – 1)( ) + m + 2 = 0 m + + m + 2 = 0
m = m = 8
Vậy m = 8 thì đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng
Câu 3: Gọi x (km/h) là vận tốc của người đi xe máy khởi hành từ Hoài Ân đi Quy Nhơn ĐK: x > 0
Vận tốc của ô tô khởi hành từ Quy Nhơn đi Hoài Ân: x + 20 (km/h)
Hoài Ân cách Phù Cát: 100 – 30 = 70 (km)
Thời gian xe máy đi từ Hoài Ân đến Phù Cát: h
Thời gian ô tô đi từ Quy Nhơn đến Phù Cát: h
Đổi 75ph = h
Theo đề bài ta có pt: + = x2 – 12x – 1120 = 0
Giải pt ta được x1 = -28 (loại); x2 = 40 (TM)
Vậy vận tốc của xe máy là: 40km/h; vận tốc của ô tô là 40 + 20 = 60 (km/h)
Câu 4:
1/ Chứng minh tam giác ABD cân
Ta có = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay BC AC
Trong ABD có AC vừa là đường trung tuyến (vì CA = CD) vừa là đường cao (vì BC AC) nên
ABD cân tại B
2/ Chứng minh ba điểm D, B, F cùng nằm trên một đường thẳng
Ta có = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
BE là đường cao của ABF
Trong ABF có BE vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến
nên suy ra ABE cân tại B
BE cũng là đường phân giác của (1)
Tương tự, ABD cân tại B BC cũng là đường phân giác
Tứ giác ACEB nội tiếp (O) (vì có bốn đỉnh nằm trên đường tròn)
Có = 900 = 900 = 1800 (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: = 1800
Vậy ba điểm D, B, F cùng nằm trên một đường thẳng
3/ Chứng minh rằng đường tròn đi qua ba điểm A, D, F
tiếp xúc với đường tròn tâm O
Ta đã có hai tam giác ABD và ABF đều cân tại B BD = BA = BF
B là tâm đường tròn đi qua ba điểm A, D, F và BA là bán kính của đường tròn đó
Mà BO = BA – AO đường tròn đi qua ba điểm A, D, F tiếp xúc với đường tròn tâm O tại A
Câu 5:
Từ Sk = ( + 1)k + ( - 1)k suy ra:
Sm = ( + 1)m + ( - 1)m
Sn = ( + 1)n + ( - 1)n
Sm+n = ( + 1)m+n + ( - 1)m+n
Sm-n = ( + 1)m-n + ( - 1)m-n
Trang 10 Sm.Sn = [( + 1) + ( - 1) ].[ ( + 1) + ( - 1) ]
= ( + 1)m+n + ( + 1)m ( - 1)n + ( - 1)m( + 1)n + ( - 1)m+n
= ( + 1)m+n + ( - 1)m+n + ( + 1)n ( - 1)n [ ( + 1)m-n( - 1)m-n]
= Sm+n + [( + 1) ( - 1)]n Sm-n
= Sm+n + Sm-n
Vậy Sm+n + Sm-n = Sm Sn với mọi m, n là số nguyên dương và m > n
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT
Trang 11Bài 1: (1,5 điểm)
Giải các phương trình sau:
a) 3(x – 1) = 2 + x b) x 2 + 5x – 6 = 0
Bài 2: (2,0 điểm)
a) Cho phương trình x 2 – x + 1 – m ( m là tham số ) Tìm điều kiện của m để phương đã cho có nghiệm.
b) Xác định các hệ số a, b biết rằng hệ phương trình có nghiệm ( ; - ).
Bài 3: (2,5 điểm)
Một công ty vận tải điều một số xe tải để chở 90 tấn hàng Khi đến kho hàng thì có 2 xe bị hỏng nên để chở hết lượng hàng thì mỗi xe còn lại phải chở thêm 0,5 tấn so với dự định ban đầu Hỏi số xe được điều đến chở hàng là bao nhiêu? Biết rằng khối lượng hàng chở ở mỗi xe là như nhau.
Bài 4: (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O Kẻ các đường cao BB’ và CC’ (B’ cạnh AC, C’ cạnh AB) Đường thẳng B’C’ cắt đường tròn tâm O tại hai điểm M và N (theo thứ tự N, C’, B’, M).
a) Chứng minh tứ giác BC’B’C là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh AM = AN.
c) Chứng minh AM 2 = AC’.AB
Bài 5: (1,0 điểm)
Cho các số a, b, c thỏa mãn các điều kiện 0 < a < b và phương trình ax 2 + bx + c = 0 vô nghiệm Chứng minh rằng: > 3
BÀI GIẢI
Bài 1: (1,5 điểm) a) 3(x – 1) = 2 + x 3x – 3 = 2 + x 2x = 5 x =
Vậy pt cĩ nghiệm: x =
b) Ta có a + b + c = 1 + 5 +(-6) = 0 x 1 = 1 ; x 2 = -6
Vậy pt cĩ hai nghiệm phân biệt: x 1 = 1 ; x 2 = -6
Bài 2: (2,0 điểm)
a) Cho phương trình x 2 – x + 1 – m ( m là tham số ) Để phương đã cho có nghiệm thì
0
(-1) 2 – 4(1 – m) 0 1 – 4 + 4m 0 m
Vậy m thì pt đã cho cĩ nghiệm
b) Hệ phương trình có nghiệm ( - ) nên ta có :
Vậy thì hệ phương trình có nghiệm ( - ).
Bài 3: (2,5 điểm)
Gọi x (xe) là số xe được điều đến chở hàng (x: nguyên, x > 2)
Số xe thực chở hàng là x – 2 (xe)
Trang 12Ta có phương trình: - = 0,5 2.90.x – 2.90(x – 2) = x(x – 2)
x 2 – 2x – 360 = 0
Giải pt ta được : x 1 = 20 (TM); x 2 = -18 (loại)
Vậy số xe được điều đến chở hàng là 20 xe.
Bài 4: (3,0 điểm)
a) Chứng minh tứ giác BC’B’C là tứ giác nội tiếp.
Ta có = 90 0 (gt)
Hay B’ ; C’ nhìn BC dưới một góc bằng 90 0
BC’B’C nội tiếp trong đường tròn đường kính BC
b) Chứng minh AM = AN.
Mà BC’B’C nội tiếp =
AM = AN (đpcm)
c) Chứng minh AM 2 = AC’.AB
Xét ANC’ và ABN có:
(2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau, ) và : chung
ANC’ ABN AN 2 = AC’.AB hay AM 2 = AC’.AB (vì AN = AM)
Cách 2: chứng minh AMC’ ABM đpcm.
Bài 5: (1,0 điểm)
Ta có (4a – b) 2 0 16a 2 – 8ab + b 2 0 ;
Mà phương trình đã cho vô nghiệm nên b 2 – 4ac < 0 b 2 < 4ac
16a 2 – 8ab + 4ac > 16a 2 – 8ab + b 2 0 Hay 16a 2 – 8ab + 4ac > 0
4a – 2b + c > 0 (vì a > 0 4a > 0) a + b + c + 3a – 3b > 0
a + b + c > 3b – 3a = 3(b – a) > 3 (Vì 0 < a < b b – a > 0)
A
C B
N
M B’
C’