1 So Vi Du Ve Bat Dang Thuc

Điều này đúng nên bất đẳng thức được chứng minh hoàn toàn.[r]

Bất đẳng thức

1.Bất đẳng thức

VD1.1: CMR với moi số thực dương a,b,c CMR: a b c  33abc

Giải:

Xét bổ đề sau: a b c dương a3b3c33abc

0

     

3

3 3 3

8

Bất đẳng thức cuối cùng đúng nên a b c  33 abc

VD1.2 Chứng minh rằng a, b, c dương CMR

 

2

2

4

4

1

x y z

2

2

2

1

xy

x y y z

y



2

2 4

x y z

x y z

VD1.3: Cho các số a, b, c dương CMR

a b c

Xét bổ đề sau:

       

2

2

2

Áp dung ta có:

2

a b c

b c a a c b a b c        

           

     

     

8

2

y z x z x y

3

b c a a c b a b c

VD1.5: Cho a, c, b dương CMR:

a)

1

2

a

a

 

a b

b a 

c)

8

a b

a b c

f)

1 1 1 1 16

a b c d   a b c d  

a)

2

b)

2

c)

 

 

2 2

4

4

a b

c d





2

2

1 2

2

a



2

2

d

a b c d

  

Nhưng dấu bằng xảy ra khi a b c d b a c d c a b d   ;    ;       d a b chệ này vô nghiệm

2

VD1.7: Cho các số a, b dương a + b = 2.CMR : xy x 2y22

 

2

x y

VD1.9: Cho a ,b dương CMR ab a b   a3b3

   

2

0 0

a b a b

a b abc b c abc c b abc abc

     

1

a b c

 



 

VD1.11 Cho a, b, c dương CMR :

a b c b c a c a a         a b c

VD1.12: Cho các số a ,b, c dương và a + b + c = 2 CMR

1

3

2

3

2

3

b c c a

2

1

2 1

a b c c

a b c

a b

a b c

b c c a a b

 



 

VD1.13: Cho a, b, c dương CMR : ab cd  a b c d    

   

   

VD1.14 Cho a b c dương CMR

1 1 4 16 64

a b c   d a b c d  

VD1.15: Cho các số dương a ,b sao cho a2 b2 6.CMR : a 3a a 2b b b b3  2a 6

   

2 2

2

2

 

 

VD1.16: Cho c > 0 và a,b > c CMR: c a c   c b c    ab

1 1 1

Vậy bất đẳng thức được chứng minh hoàn toàn

VD1.17: Cho a,b,c,x,y,z là các số dương.CMR:3 xyz3 abc3a x b y c z       

xy

 

2

2 2

2

4 4

1

1

xy

xy

VD1.19: Cho a,b,c là các số dương và a + b + c = 3.CMR

2 2 2

2 2 2

9

1 2

a b c

a b b c c a

a b c



2 2 2

1 2 9

1 2

a b c



4 2

2 2 2

2 2 2

1

9

1 2

c a

a b c

a b b c c a

a b c



VD1.20: Cho a,b,c dương.CMR:

      2 2 2

Dấu bằng xảy ra khi : x2  1 x y2; 2  1 y z2; 2  1 z x2; 3y3z3 do hệ này vô nghiệm nên dấu bằng không xảy ra.1

VD1.21: Cho a + b + c = 1 Chứng minh rằng :

3

2 2 2

1

3

VD1.22: Cho a,b,c > 0 Chứng minh rằng:

Do vai trò của a,b,c như nhau nên giả sử a b c  Ta có

 

   

2 2

2 2

0 0



   

   

 

   

 

   

 

   

 

   

 

   

 

             

 

ab a b

1

0

VD 1.23.Cho a,b,c > 0 CMR

2 2

2 1





VD1.24: Cho n số dương a a a1; ; ; ;2 3 a CMR: n  

2

1 2 3

n

1 2 3

1 2 3

1 2 3

n

n

n n

n

n

n

n

VD1.25: Chứng minh bất đẳng thức cô-si:

1 2 3

1 2 3

n

a a a a n

   



( n sổ dương)

Với n = 1 thì bất đẳng thức tương đương với: a a ( đúng)

Với n = 2 thì bất đẳng thức tương đương với: a b 2 ab  a 2 ab b  0  a b2 0

( đúng ) Với n = 4 thì bất đẳng thức tương đương với:

4

a b c d

abcd

  

Áp dụng trường hợp n = 2 Ta được :

      4

4

2

abcd



Trường hợp n = 3 Áp dụng trường hợp n = 4 được :

4 3

3

3

a b c

a b c

a b c

abc

 

  

 

Giả sử bất đẳng thức đúng đến n  k Có hai trường hợp: k là hợp số thì k = pq ( p,q  k )

1 1 1 2 1 3

1 2 3

pq

p q p q p q

n

p p p p p p q p q pq

p

p p

a a a a a q





1 2 3 1 2 3

p

p p p p q p q pq

TH2: k là số nguyên tố thì k + 1 là hợp số áp dụng trường hợp 1 ta được:

1 2 3

1 2 3

1 2 3 1

1 2 3

1

1 2 3

1

k k

k k

k k

k k

a a a a





Dấu bằng xảy ra khi a1 a2 a3 a4   a n

VD1.25: Cho a b c , , 0 Chứng minh rằng:

x y z

Giải:

3

3

0

x x y

z

Do vai trò của a,b,c như nhau nên giả sử

0

x y z





VD1.26: a + b + c = 1 CMR : b c 16abc

2

Dấu bằng xảy ra khi:

;

VD1.27: Cho abc = 1 ( a và b và c dương ) CMR:

2

6

3

ab

a

2 2

2

2 2

2

+

2

2

2

12

2

2

x

+

-+

3 3 3 3 3 3

Ta có :

2

3 3 2

2

3 3 2

2

3 3 2

1

1

1

ç

ç

ç

3 3 2 3 3 2 3 3 2

2

=

+ +

Mà abc = 1

2 2 2

1

+ +

VD1.29: Cho xuz =1.CMR: x4 +y4 +z4 ³ xyz

2 2

2 2 2

ç

VD1.30: Cho xyz =1.CMR:

2 2 2

2

3

( ) ( )

2 2 2

3

2 2

2 3

z x

+

VD1.31: Cho ab a+ + = CMR: b 3

2 2

2

6

ab

2 2

2

2 2

2

+

12

2

+

-+

2

2

2

x

Điều này đúng nên bất đẳng thức được chứng minh hoàn toàn

VD1.32.Cho a b c >, , 0 a b c >, , 0