DE ON THI DH 4

Tiếp tuyến bất kì của đồ thị hàm số cắt hai đường tiệm cận lần lượt tại hai điểm A và B .Chứng minh rằng diện tích tam giác IAB không đổi.. Tính thể tích khối chóp và cosin của góc giữa [r]

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG NĂM 2012

Môn thi: TOÁN – Khối D

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề

Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số

2 3 2

x y x







1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2 Tìm m để đường thẳng  d :y2x m cắt (C) tại hai điểm phân biệt sao cho tiếp tuyến của (C) tại hai điểm đó song song với nhau

Câu II (2,0 điểm)

1 Giải phương trình sin cos 2x xcos2xtan2x12sin3x0

2 Giải hệ phương trình

 

2





Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân

2

3 4

2sin 3 cos sin

dx x







Câu IV (1,0 điểm) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có cạnh bên bằng a, đáy ABC là tam giác đều,

hình chiếu của A trên (A’B’C’) trùng với trọng tâm G của A’B’C’ Mặt phẳng (BB’C’C) tạo với (A’B’C’) góc 600 Tính thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a

Câu V (1,0 điểm) Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn

3

x y z 

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:  

3 2

P xy yz zx

x y z

 

Câu VI (2,0 điểm)

1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông cân tại A Biết phương trình

cạnh BC là  d :x7y 31 0 , điểm N(7; 7) thuộc đường thẳng AC, điểm M(2; -3) thuộc AB và nằm ngoài đoạn AB Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC

2 Trong không gian Oxyz cho điểm A(3; -2; -2) và mặt phẳng  P x y z:    1 0 Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A, vuông góc với mặt phẳng (P) biết rằng mặt phẳng (Q) cắt hai trục Oy, Oz lần lượt tại điểm phân biệt M và N sao cho OM = ON

Câu VII (1,0 điểm) Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình

  2  

2 1 i z  4 2  i z 5 3  i 0

Tính

z  z

Hết

-I - PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ S -INH(7 điểm)

CâuI:(2điểm) Cho hàm số:

2 1

x y x







1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

2 Tiếp tuyến bất kì của đồ thị hàm số cắt hai đường tiệm cận lần lượt tại hai điểm A và B Chứng minh rằng diện tích tam giác IAB không đổi Viết phương trình tiếp tuyến sao cho bán kính đường tròn nội tiếp tam giác IAB lớn nhất (với I là giao điểm của hai đường tiệm cận)

Câu II(2 điểm)

1) Giải phương trình :

(1 sin 2 cos 2 )sin( ) 1

4 sin (cos 1)

x



2) Giải hệ phương trình : {log 2(x+√x2+4)+log 2( √y2+4 − y)=2

xy − 4 (x + y)+10=(x +2)√2 y − 1

CâuIII(1điểm) Tính tích phân : I = 

o

π x 1+sin xdx

CâuIV:(1điểm)

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a √13 đường chéo AC = a √3 Các cạnh bên SA = 2a ; SB = 3a ; SC = a Tính thể tích khối chóp và cosin của góc giữa hai đường thẳng SA và

CD

CâuV:(1điểm)

M = x(x2+

1

yz )+y(2y+

1

xz)+z(2z+

1

xy)

II - PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm)

A - Chương trình chuẩn.

CâuVIa(2 điểm)

đường thẳng d: x – y + 1 = 0 Chứng minh rằng từ M kẻ được hai tiếp tuyến MT1, MT2 tới (C) (T1, T2

là tiếp điểm) và tìm toạ độ điểm M, biết đường thẳng T1T2 đi qua điểm A(1;-1)

2)Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng  1  2

và mặt phẳng  P : x y 2z 5 0    

Lập phương trình đường thẳng (d) song song với mặt phẳng (P) và cắt    d , d 1 2

lần lượt tại A, B sao cho độ dài đoạn AB nhỏ nhất

CâuVIIa(1 điểm)

Gọi z z1; 2 là các nghiệm phức của phương trình: z2 4z 5 0 Tính: (z1 – 1)2012 + (z2 – 1)2012

B - Chương trình nâng cao.

CâuVIb(2 điểm)

1) Trong hệ toạ độ Oxy, cho ba điểm A(-1; -1) ; B(0;2) ;C(0;1).Viết phương trình đường thẳng

 đi qua A sao cho tổng khoảng cách từ B và C tới  là lớn nhất

2)Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S) : x 2 + y2 + z2 – 2x – 4y – 6z – 67 = 0 và đường thẳng :

13 1 ( ) :

 Lập phương trình mặt phẳng ( ) P chứa đường thẳng ( ) d và tiếp

xúc với (S)

CâuVIIb(1 điểm)

Cho số phức z thỏa mãn : |z| - 2 z = - 3 + 6i Tìm : |z|+|z|2+|z|3

BIỂU ĐIỂM CHẤM

ĐỀ THI THỬ TOÁN LẦN III – KHỐI D – NĂM 2012

(Biểu điểm gồm 04 trang)

I

(2.0

điểm)

1 (1.0 điểm) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.

* TXĐ: D = R\{2}

2

7

2

y

x



Vậy hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định

0.25

* Hàm số có tiệm cận đứng x = 2, tiệm cận ngang y = 2

0.25

Giao Ox:

3 0

2

Giao Oy:

3 0

2

Đồ thị:

0.25

2 (1.0 điểm) Tìm m để đường thẳng …

Phương trình hoành độ giao điểm:

2

2

x

x m

0.25

(d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân

biệt và khác 2

0

g

g

 





0.25

Với điều kiện trên giả sử đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại hai điểm có hoành độ

x x Ta có 1 2

6 2

m

Tại hai giao điểm kẻ hai tiếp tuyến song song khi và chỉ khi

 1  2 1 2

y x y x  x x   m2

0.5

II

(2.0

điểm)

1 (1.0 điểm) Giải phương trình…

sin cos 2x x cos x tan x 1  2sin x 0

sin 1 2sinx  x  2sin x  1 2sin x 0

0 25

2 2 sin 1

6 sin

2 6

x

x















 



 













  

0 25

Kết hợp điều kiện, phương trình có nghiệm

5

S  k   k 

0.25

2 (1.0 điểm) Giải hệ phương trình…

2

hpt

x y



 

1 3

2

x y





 





0.5

Nếu

2

3 13

2

x

x y

y

  









3 13 2

11 3 13 2

x y

  







 







0.25

Nếu

3 2

2 1

2

2

x

x y

y

  





hoặc

3 17 2

10 3 17 2

x y

  









 







0.25

III

(1.0

điểm)

Tính tích phân…

0.25

4

2 4

cot

x







 

0.25

 

sin 2 2

IV

(1.0

điểm)

Tính thể tích…

A'

C'

B'

C

B

A

M H

M' G

Gọi M,M’ lần lượt là trung điểm BC, B’C’

 A’, G, M’ thẳng hàng và AA’M’M là hình bình hành A’M’ B’C’, AG

B’C’  B’C’(AA’M’M) góc giữa (BCC’B’) và (A’B’C’) là góc giữa A’M’

và MM’ bằng M MA  ' 600

0.25

Đặt x = AB Ta cóABC đều cạnh x có

AM là đường cao 

TrongAA’G vuông có AG = AA’sin600

=

3 2

a

;

0.25

ABC

' ' '

.

ABC A B C ABC

V.

(1.0

điểm)

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của…

Đặt x y z t  

2 3

2

 

xy yz zx    x y z   x  y  z   t  

nên

3

P t

t

Xét hàm số  

3

t

  

xác định trên

2 3

;2 3

2

2

t

(loại)

 

0.25

Vậy

3 3 min

2

P 

khi

2 3 3

2 trong 3 số x, y, z bằng 0 số còn lại bằng

2 3 3

Vậy

25 max

6

P 

khi t  2

2 3

x  y z

0.25

VI

(2.0

điểm)

1 (1.0 điểm) Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC

Đường thẳng AB đi qua M nên có phương trình a x  2b y 30a2 b2  0

0.25

AB BC ;  450 nên

0

3 4 7

cos 45

50



Nếu 3a = 4b, chọn a = 4, b = 3 ta được AB: 4x3y 1 0 AC: 3x 4y 7 0

Từ đó A(-1; 1) và B(-4; 5) Kiểm tra MB                             2MA

nên M nằm ngoài đoạn AB (TM)

Từ đó tìm được C(3; 4)

0.50

Nếu 4a = -3b, chọn a = 3, b = -4 được AB: 3x 4y18 0 , AC: 4x3y 49 0

Từ đó A(10; 3) và B(10;3) (loại)

0.25

Nếu không kiểm tra M nằm ngoài AB trừ 0.25 điểm.

2 (1.0 điểm) Viết phương trình mặt phẳng….

Giả sử nQ là một vecto pháp tuyến của (Q) Khi đó n Q  n P1; 1; 1  

Mặt phẳng (Q) cắt hai trục Oy và Oz tại M0; ;0 ,a  N0;0;b phân biệt sao cho OM =

ON nên

0 0

a b

 



    



0.25

Nếu a = b thì MN 0;a a; //u0; 1;1 

và n Q  u

nên n Q u n, P 2;1;1

  

Khi đó mặt phẳng (Q):2x y z   2 0 và  Q cắt Oy, Oz tại M0;2;0 và N0;0; 2

(thỏa mãn)

0.25

Nếu a = - b thì MN0;a a; //u0;1;1

và n Q u

  nên n Q u n, P 0;1; 1 

 

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

Khi đó mặt phẳng (Q):y z 0

0.25

 Q

cắt Oy, Oz tại M0;0;0 và N0;0;0 (loại) Vậy  Q : 2x y z   2 0 0.25

VII

(1.0

điểm) Tính

2

       Vậy phương trình có hai nghiệm phức 0.25

,

Do đó

0.25