phuong trinh vo ty

[r]

2 2

(2x 1) x x 1 (2x 1) x x 1

x x 1 x x 1 2x[ x x 1 x x 1](1)

Xét các trường hợp:

@ x=0 thay vao (1) thấy đúng (*)

@ x>0 2x>0 x>-x x2+x+1> x2-x+1 x2  x 1 x2 x 1

x x 1 x x 1 0

Nhân hai vế của (1) cho x2  x 1 x2 x 1 có bất đẳng thức

(x2+x+1)-( x2-x+1)>2x[ (x2 x 1) (x2 x 1) ]2

 2x>2x[ (x2 x 1) (x2 x 1) ]2

 [ (x2  x 1) (x2 x 1) ]2<1 (vì x>0)

 (x2 x 1) (x2 x 1) <1

 x2 x 1<1+ (x2 x 1)

 x2+x+1<1+( x2-x+1)+2 (x2 x 1)

 2x-1 < 2 (x2 x 1) (2)

Nếu 0<x<1/2 thì 2x-1<0 nên (2) đúng

Nếu x>=1/2 thì 2x-1>0 nên có thể bình phương (x) có:

4x2-4x+1<4x2-4x+4 luôn đúng

VẬy (1) đúng với x>0 hay BĐT đã cho đúng với mọi x>0 (**)

@ x<0  2x<0  x<-x  x2+x+1 < x2-x+1  x2 x 1< (x2 x 1)

 (x2  x 1) - x2 x 1>0

Khi đó nhân 2 vế của (1) cho (x2 x 1) - x2 x 1 có BĐT tương đương: (x2-x+1)-( x2+x+1)>-2x[ (x2 x 1) (x2 x 1) ]2

 -2x>-2x[ (x2 x 1) - x2 x 1]2

 [ (x2  x 1) - x2 x 1]2< 1 (vì -2x >0)

 (x2  x 1) - x2 x 1<1

 (x2  x 1) <1+ x2 x 1

 x2-x+1 < 1+ (x2+x+1) + 2 x2 x 1

 -(2x+1)<2 x2 x 1 (3)

Nếu -1/2 <x<0 thì 2x+1 >0 => -(2x+1)<0 nên (3) đúng

Nếu x=< -1/2 thì 2x+1 =<0 =>-(2x+1)>=0 có thể bình phương (3) có:

4x2+4x+1<4x2+4x+4 luôn đúng

Vậy (1) cũng đúng với x<0 hay BĐT đã cho đúng với mọi x<0 (***)

Từ (*),(**),(***) thấy BĐT đã cho đúng với mọi x