Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ và bất phương trình vô tỷ

Ở đây tôi đưa ra một số dạng phương trình và bất phương trình và cách giải của nó với mong muốn củng cố cho các em nhữngkiến thức cơ bản, nhận dạng ra các bài toán và rèn kĩ năng giải to

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

1 Lời giới thiệu

Phương trình vô tỷ và bất phương trình vô tỷ là một nội dung hay và khótrong toán THPT, nó cũng là phần nằm trong các đề thi HSG, đại học, cao đẳng

Tuy nhiên đa số các em còn lúng túng khi giải phương trình vô tỷ và bấtphương trình vô tỷ

Phương trình vô tỷ và bất phương trình vô tỷ có rất nhiều cách giải và

nhiều dạng Nên tôi chọn đề tài “Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ

và bất phương trình vô tỷ” Ở đây tôi đưa ra một số dạng phương trình và bất

phương trình và cách giải của nó với mong muốn củng cố cho các em nhữngkiến thức cơ bản, nhận dạng ra các bài toán và rèn kĩ năng giải toán qua mỗidạng bài tập

Mục đích chính của sáng kiến là giúp các em làm được các dạng toánnày, tránh những sai lầm dễ mắc phải

2 Tên sáng kiến: “Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ và bất

 Phạm vi: Phương trình và phương trình vô tỷ

 Đối tượng: Học sinh từ lớp 10 đến lớp 12

6 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: 15/10/2017

7 Mô tả bản chất của sáng kiến:

- Về nội dung của sáng kiến:

A MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ CƠ BẢN

A B

Bước 1 Đặt điều kiện cho căn thức có nghĩa

Bước 2 Chuyển vế sao cho hai vế đều không âm

Bước 3 Bình phương cả hai vế để khử căn thức

2 Một số phương trình – Bất phương trình vô tỷ cơ bản thường gặp khác Dạng 1 3 A 3 B  3C 1 

Ta có  1  3 A 3 B3 C A B  3 3 AB3 A 3 BC 2 

Thay 3 A 3 B  3C vào (2) ta được A B  3 3 ABC C

Dạng 2 f x   g x   h x   k x  với  f x( )f x h x( ) ( )h x( )g x g x k x( )( ) ( )k x( )

Biến đổi về dạng : f x   h x   h x   g x 

Bình phương , giải phương trình hệ quả

 Lưu ý:

Phương pháp biến đổi trong cả hai dạng la đưa về phương trình hệ quả Do đó , để đảm bảo rằng không xuất hiện nghiệm ngoại lai của phương trình , ta nên thay thế kết quả vào phương trình đầu đề bài nhằm nhận , loại nghiệm chính xác

II.CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

14 2

x x

Bài 1 Giải phương trình :2x 2x 1 7 

Cao đẳng Lương Thực – Thực phẩm năm 2004

ĐS : x=5

Bài 2 Giải phương trình : x2  x2  6 12 

Đại học Văn Hóa năm 1998

B- GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH ĐƯA

VỀ TÍCH SỐ HOẶC TỔNG HAI SỐ KHÔNG ÂM

I- KIẾN THỨC CƠ BẢN

1/ Sử dụng biến đổi cơ bản.

Dùng các phép biến đổi, đồng nhất kết hợp với việc tách, nhóm , ghép thích hợp

để đưa phương trình về dạng tích đơn giản và biết cách giải

Một số phép biến đổi thường gặp

* 2

f x  bx c a x x x x    với x x1 , 2 là hai nghiệm của ( ) 0

* Chia Hoocner để đưa về dạng tích số

0 0

A B

- Các công thức thường dùng trong nhân liên hợp

Biểu thức Biểu thức liên hợp Tích

4/Đặt ẩn phụ không hoàn toàn.

Đặt ẩn số phụ không hoàn toàn là một hình thức phân tích thành nhân tử Khi đặt ẩn phụ t thì biến x vẫn tồn tại và ta xem x là tham số Thông thường thì đó

là phương trình bậc hai theo t ( tham số x ) và giải bằng cách lập 

II CÁC VÍ D MINH H A Ụ MINH HỌA ỌA.

1/ Sử dụng biến đổi hằng đẳng thức cơ bản để đưa về phương trình tích số

Nhận xét: Ta có thể giải bài toán trên bằng phương pháp đặt ẩn phụ y x 5

để đưa về hệ phương trình gần đối xứng loại II :

2 2

5 5

Ta có  10  x 10  x 4  10 4 0    x 4 0  nên (1) vô nghiệm

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=-3

Vậy phương trình có nghiệm là x=-1 v x=0

Nhận xét: Trong hai ví dụ trên tôi đã sử dụng phân tích thành tich của tam thức

Cao đẳng Sư Phạm Kỹ Thuật Vinh năm 2001

ĐS: 3 13

4

x 

Bài 4 Giải phương trình : x x  1 x2 x  1

Đại học Dân Lập Hải Phòng khối A năm 2000

2/ Biến đổi về tổng hai số không âm.

Nhận xét: sử dụng máy tính , ta tìm được một nghiệm là 1

(x-Do đó ta suy nghĩ đi tìm hai số    , 0 trong hai biểu thức

 x 2   , 4  x  để sau khi nhân lượng liên hợp , cả hai đều xuất hiện

x  3 Vì vậy hai số    , 0 phải thỏa mãn đồng nhất

Bài 2 Giải phương trình : x  3 x x

Đề thi thử Đại học lần 1 năm 2013 – THPT Dương Đình Nghệ - Thanh Hóa

ĐS: x=1

Bài 3 Giải phương trình : x2  15 3  x 2  x2  8

Đại học Ngoại Thương năm 1997- Đề số 3

ĐS x=1

4/ Đặt ẩn phụ không hoàn toàn

Ví dụ 1 Giải phương trình sau: 2 2

Vậy phương trình có hai nghiệm x 2 2

2/ Đặt hai ẩn phụ

Thông thường , ta tìm mối liên hệ giữa biến để đặt ẩn phụ đưa về phương trình đẳng cấp ( đồng bậc ) hoặc phương trình đối xứng loại II , đẳng cấp … Ta thường gặp một số dạng cơ bản sau:

3) x n a b bx a n   pp yn bx a đưa về hệ đối xứng loại II :

0 0

 Cần lưu ý một số khai triển và biến đổi sau :

 x3   1 x 1 x2 x 1 hay tổng quát hơn :

Vậy phương trình có hai nghiệm x=5 và x=-5

Vậy nghiệm của phương trình là x=0 v x=-2

Bài 2.Giải phương trình : x2  x  1 1

Đại học Xây Dựng Hà Nội khối A năm 1998

2

x  x  x 

Bài 3.Giải phương trình : x2  2x  5 x 1 2 

Đại học Nông Nghiệp I khối A năm 1999

ĐS: x=1

2/ Đặt hai ẩn phụ

Ví dụ 1 Giải phương trình : 2 3 3 x 2 3 6 5   x 8 0 (1) 

Đề thi Đại học khối A năm 2009

x x

Học Viện Công Nghệ Bưu Chính Viễn Thông năm 1996

ĐS: x=40 v x=-25

Đại học Tài Chính Kế Toán Hà Nội năm 2000

Định lí 1 Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì phương trình

f(x)=k (kR) có không quá một nghiệm trong khoảng (a;b).

Định lí 2 Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì u, v (a,b) ta

có f u( )f v   u v

Định lí 3 Nếu hàm f tăng và g là hàm hằng hoặc giảm trong khoảng (a;b) thì

phương trình f(x)=g(x) có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b).

Định lý Lagrange: Cho hàm số F(x) liên tục trên đoạn [a;b] và tồn tại F'(x) trên

khoảng (a;b) thì ca;b:F c'  F b  F a 

b a





 Khi áp dụng giải phương

trình: nếu có F(b) – F(a) = 0 thì  c a b F c; : '    0 F x'  0 có nghiệm thuộc a b ; 

Định lý Rôn: Nếu hàm số y f x  lồi hoăc lõm trên miền D thì phương trình

  0

f x  sẽ không có quá hai nghiệm thuộc D

Từ các tính chất trên ta có 3 phương án biến đổi như sau:

Phương án 1: Biến đổi phương trình về dạng: f(x) = k, nhẩm một nghiệm rồi

chứng minh f(x) đồng biến (nghịch biến) suy ra phương trình có nghiệm duy

nhất

Phương án 2: Biến đổi phương trình về dạng: f(x) = g(x), nhẩm một nghiệm rồi

dùng lập luận khẳng định f(x) đồng biến còn g(x) nghịch biến hoặc hàm hằng

suy ra phương trình có nghiệm duy nhất

Phương án 3: Biến đổi phương trình về dạng: f(u) = f(v) chứng minh f(x) đơn

điệu khi đó ta có: u = v.

II CÁC VÍ DỤ MINH HỌA.

Ví dụ 1 Giải phương trình : 6 3 8 14 (*)

3  x  2  x 

Nhận xét: Vế trái của (*) có dạng tổng, nên có nhiều khả năng là hàm đồng

biến theo x trên miền xác định khi đó , theo định lí 1, phương trình sẽ có nghiệm duy nhất và ta dùng máy tính bỏ túi (SHIFT – SOLVE ) tìm ra nghiệm

x  là một nghiệm của phương trình (*)

Xét hàm số f x( )  4x 1  4x2  1 trên nửa khoảng 1;

Bài 1 Giải phương trình : 3x  1 6  x 3x2  14x 8 0 

Đại học khối B năm 2010

Bài 3 Giải phương trình : 4x3  x x 1 2 x  1 0

Cao đẳng khối A, A1, B, D năm 2012

ĐS: 1 5

4

x 

Bài 4 Giải phương trình : x x4 2  1x 3 5 2  x  0

Đề thi thử Đại học 2013 lần 1 khối A _ THPT Tuy Phước

Tôi đã giảng dạy môn Toán tại trường Triệu Thái được gần 9 năm Năm

học 2017 – 2018, tôi mạnh dạn sử dụng “Một số phương pháp giải phương

trình vô tỷ và bất phương trình vô tỷ” vào giảng dạy ở 2 lớp 11A1, 11A6, thu

Sự hứng thú và ham học hỏi của học sinh giúp giáo viên có thêm động lực

và sự hứng khởi để tiếp tục tìm tòi, sáng tạo, mang đến những bài học bổ ích, lýthú hơn

Kết quả học tập môn Toán của 2 lớp 11A2, 11A6 trong năm học 2017 –

2018 rất khả quan với tỉ lệ khá giỏi được nâng lên

8 Những thông tin cần được bảo mật: Không

9 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:

Đòi hỏi giáo viên phải chuẩn bị rất công phu và vất vả

Trình độ nhận thức của học sinh phải từ mức TB trở lên, đồng đều

Phương trình và bất phương trình vô tỷ là một nội dung quan trọng, đòihỏi học sinh phải biết cách tư duy, biến đổi, lựa chọn phương pháp giải phù hợp

Cơ sở vật chất, thiết bị dạy học đảm bảo

10 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả và theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã tham gia

áp dụng sáng kiến lần đầu, kể cả áp dụng thử (nếu có) theo các nội dung sau:

10.1 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả

Đã trang bị một số kiến thức về giải phương trình và bất phương trình vô

tỷ nhằm nâng cao năng lực học môn toán cho học sinh

Gây được hứng thú cho học sinh khi giải bài tập trong SGK, SBT và sách

Giải đáp được nhưng thắc mắc, sửa chữa được những sai lầm thường gặp

khi giải phương trình và bất phương trình vô tỷ

Giúp học sinh năm vững một cách có hệ thống các phương pháp cơ bản

về giải phương trình, bất phương trình vô tỷ và áp dụng thành thạo các phương

pháp đó để giải bài tập

Việc triển khai các tiết học theo chủ đề mang lại hiệu quả rất nhiều Đó

cũng là điều mong mỏi của tôi khi viết sáng kiến này Mong muốn có những chủ

đề dạy học vừa bám sát chương trình học – thi, vừa có thể cung cấp cho các em

một hệ thống các tri thức phương pháp

10.2 Đánh giá l i ích thu đ ợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp ượi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp c ho c d ki n có th thu đ ặc dự kiến có thể thu được do áp ự kiến có thể thu được do áp ến có thể thu được do áp ể thu được do áp ượi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp c do áp

d ng sáng ki n theo ý ki n c a t ch c, cá nhân đã tham gia áp d ng sáng ến có thể thu được do áp ến có thể thu được do áp ủa tổ chức, cá nhân đã tham gia áp dụng sáng ổ chức, cá nhân đã tham gia áp dụng sáng ức, cá nhân đã tham gia áp dụng sáng

ki n ến có thể thu được do áp

Sáng kiến đã nêu lên các dạng phương trình và bất phương trình, các

phương pháp giải phù hợp Tuy nhiên, do đây là một nội dung rộng, nên việc

đưa ra các phương pháp đôi khi còn mang tính tương đối Hi vọng qua bài viết

này phần nào giúp cho học sinh có tư duy tốt hơn, thành thạo kỹ năng giải toán

và một số các kiến thức liên quan

Các kiến thức trong sáng kiến cũng đã được tôi áp dụng với học sinh các

lớp tôi dạy và cũng thu được một số kết quả khả quan Tuy nhiên sáng kiến chưa

được áp dụng nhiều đối với các đối tượng nên chắc chắn còn nhiều thiếu sót Hi

vọng sẽ nhận được sự góp ý của các thầy cô, anh chị đồng nghiệp để sáng kiến

được hoàn thiện hơn và có ứng dụng rộng rãi hơn

11 Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng

sáng kiến lần đầu (nếu có):

(Ký tên, đóng dấu)

……., ngày tháng năm

Tác giả sáng kiến

(Ký, ghi rõ họ tên)

Trần Thị Yến

MỤC LỤC

1 Lời giới thiệu 1

2 Tên sáng kiến: 1

3 Tác giả sáng kiến: 1

4 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: 1

5 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: 1

7 Mô tả bản chất của sáng kiến: 1

I.KIẾN THỨC CƠ BẢN 2

1.Phương trình – Bất phương trình căn thức cơ bản 2

2 Một số phương trình – Bất phương trình vô tỷ cơ bản thường gặp khác 2

II.CÁC VÍ DỤ MINH HỌA 3

B- GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH ĐƯA VỀ TÍCH SỐ HOẶC TỔNG HAI SỐ KHÔNG ÂM 4

I- KIẾN THỨC CƠ BẢN 4

1/ Sử dụng biến đổi cơ bản 4

2/ Tổng các số không âm 5

3/Sử dụng nhân liên hợp 5

4/Đặt ẩn phụ không hoàn toàn 5

II CÁC VÍ DỤ MINH HỌA 6

1/ Sử dụng biến đổi hằng đẳng thức cơ bản để đưa về phương trình tích số 6

2/ Biến đổi về tổng hai số không âm 8

3/ Sử dụng nhân liên hợp 9

4/ Đặt ẩn phụ không hoàn toàn 13

C- GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ BẰNG ĐẶT ẨN SỐ PHỤ 14

I.KIẾN THỨC CƠ BẢN 14

1/ Đặt một ẩn phụ 14

2/ Đặt hai ẩn phụ 14

II CÁC VÍ DỤ MINH HỌA 15

1/ Đặt ẩn phụ 15

2/ Đặt hai ẩn phụ 16

D- GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 18

I KIẾN THỨC CƠ BẢN 18

II CÁC VÍ DỤ MINH HỌA 19

8 Những thông tin cần được bảo mật: Không 21

9 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: 21

10 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả và theo ý kiến của tổ chức 21

10.1 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả 21

10.2 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã tham gia áp dụng sáng kiến 22

11 Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng kiến lần đầu (nếu có): 22