Tài liệu Đại số Boolean và cổng luận lý docx

Đại số chuyển mạch ttNăm 1937, Claude Shannon hiện thực đại số Boolean 2 phần tử bằng mạch các chuyển mạch circuit of switches Chuyển mạch là thiết bị có 2 vị trí: tắt off hay mở on 2 vị

Trang 1

Đại số Boolean và

cổng luận lý

Bộ môn Kỹ thuật máy tính

Bùi Văn Hiếu bvhieu@cse.hcmut.edu.vn

Trang 2

Đại số Boolean

Cơ sở toán học cho các hệ thống số là đại số Boolean

(Boolean algebra)

George Boole giới thiệu vào năm 1854

Tương tự các hệ đại số khác, được xây dựng thông qua việc xác định nghĩa những vấn đề cơ bản sau:

Miền (domain), là tập hợp (set) các phần tử (element)

mà trên đó định nghĩa nên hệ đại số

Các phép toán (operation) thực hiện được trên miền

Các định đề (postulate), hay tiên đề (axiom) được công nhận không qua chứng minh

Trang 3

Định đề Huntington

1 Tính đóng (closure): tồn tại miền B với ít nhất 2 phần

tử phân biệt và 2 phép toán (+) và (•) sao cho:

Nếu x và y là các phần tử thuộc B thì (x + y), (x•y) cũng là 1 phần tử thuộc B

Phép toán (+) được gọi là phép cộng luận lý (logical addition)

Phép toán (• ) được gọi là phép nhân luận lý (logical multiplication)

Trang 4

Định đề Huntington (tt)

2 Phần tử đồng nhất (identity elements)

Nếu x là một phần tử thuộc miền B thì

Tồn tại một phần tử 0 thuộc B, gọi là phần tử đồng nhất với phép toán (+ ), thỏa mãn tính chất

x + 0 = x

Tồn tại một phần tử 1 thuộc B, gọi là phần tử đồng nhất với phép toán (•), thỏa mãn tính chất

x • 1 = x

Trang 6

Tính đối ngẫu (duality)

Quan sát các định đề Hungtinton, ta thấy chúng mang

tính đối xứng (symmetry) tức là các định đề xuất hiện

Phép toán (+) và (•) đối ngẫuPhần tử đồng nhất 0 và 1 đối ngẫu

Trang 7

Các định lý cơ bản ( fundamental

Các định lý được chứng minh từ các định đề Huntington

và các định đề đối ngẫu theo 2 phương pháp

Phương pháp phản chứng (contradiction)

Giả sử kết quả đối ngược là đúngChứng minh mâu thuẫn với sự thật

Phương pháp quy nạp (induction)

Chứng minh định luật đúng với trường hợp k = 1Giả sử định luật đúng vơí trương hợp k = n

Chứng minh định luật đúng với k = n +1

Trang 9

Định lý 8 (De Morgan’s Law)

(x + y)’ = x’ • y’

Trang 10

Đại số chuyển mạch ( switching

Đối với đại số Boolean, miền không bị giới hạn (không

giới hạn số lượng phần tử trong miền)

Ta chỉ khảo sát đại số Boolean giới hạn 2 phần tử

Trang 11

Đại số chuyển mạch (tt)

Năm 1937, Claude Shannon hiện thực đại số Boolean 2 phần tử bằng mạch các chuyển mạch (circuit of switches)

Chuyển mạch là thiết bị có 2 vị trí: tắt (off) hay mở (on)

2 vị trí này biểu diễn cho 0 hay 1Đại số Boolean 2 phần tử được gọi là đại số chuyển

mạch

Các phần tử đồng nhất được gọi là các hằng chuyển

mạch (switching constant)

Các biến (variable) biểu diễn các hằng chuyển mạch

được gọi là các biến chuyển mạch (switching variable) hay tín hiệu (signal)

Trang 12

Phép toán AND: tương

đương với phép nhân luận lý

Phép toán OR: tương

đương với phép cộng luận lý

Phép toán NOT: tương

Trang 13

Các phép toán chuyển mạch (tt)

Các phép toán chuyển mạch có thể được hiện thực bởi mạch phần cứng

Bảng sự thật có thể sử dụng như 1 công cụ dùng để xác minh quan hệ giữa các phép toán chuyển mạch

Vd: định lý De Morgan (x + y)’ = x’ y’

Trang 14

Các phép toán chuyển mạch (tt)

Các phép toán chuyển mạch có thể được hiện thực bởi mạch phần cứng

Bảng sự thật có thể sử dụng như 1 công cụ dùng để xác minh quan hệ giữa các phép toán chuyển mạch

Vd: định lý De Morgan (x + y)’ = x’ y’

Trang 15

Biểu thức chuyển mạch

Biểu thức chuyển mạch (switching expression) là một quan hệ hữu hạn giữa các hằng, biến, và các phép toán

y + 1xx’ + x

z (x + y’)’

(x + yz)(x + y’) + (x + y)’

Biến hay bù của biến được gọi chung là literal

Quy ước:

Không cần ghi kí hiệu của phép nhânPhép nhân thực hiện trước phép cộng

Trang 16

Biểu thức chuyển mạch

Một biểu thức có thể được chuyển thành nhiều dạng

tương đương bằng cách sử dụng các luật Boolean

E = (x + yz)(x + y’) + (x + y)’

E1 = xx + xy’ + xyz + yy’z + x’y’

E2 = x + x(y’ + yz) + x’y’

E3 = x + x’y’

E4 = x + y’

Tại sao phải biến đổi các biểu thức ?

Trang 17

Sự dư thừa ( redundant )

Một biểu thức gọi là dư thừa nếu nó có chứa

Literal lặp: xx hay x+x

Biến và bù của biến: xx’ hay x+x’

Hằng: 0 hay 1

Các thành phần dư thừa có thể loại bỏ khỏi biểu thức

Các thành phần thừa trong biểu thức không cần hiện

thực trong phần cứng

Trang 18

Dạng chính tắc ( canonic form )

Một biểu thức n biến luôn có thể được biểu diễn dưới 2 dạng

Dạng tổng các tích (sum-of-product hay s-o-p ): biểu thức được biểu diễn dưới dạng tổng ( sum ) các toán hạng ( term ),

mỗi toán hạng là tích ( product ) của các literal

E = x y + x y’ z + x’ y z’

Dạng tích các tổng (product-of-sum hay p-o-s ): biểu thức

là tổng của các literal

E = ( x + y ) ( x + y’ + z ) ( x’ + y + z’ )

Dạng chính tắc: biểu thức n biến dạng s-o-p hay p-o-s có đặc

literal thừa

Trang 19

Minterm, Maxterm

Luôn có thể biến đổi một s-o-p (hay p-o-s) không chính

tắc (noncanonic) về dạng chính tắc

Vd: E = xy’ + x’y + xz + yz

= xy’(z + z’) + x’y(z + z’) + xz(y + y’) + yz(x + x’)

Minterm: một tích không dư thừa các literal của dạng

chính tắc

Maxterm: một tổng không dư thừa các literal của dạng

chính tắc

Trang 20

Định lý De Morgan tổng quát

(x1 + x2 + … + xn 1’x2’ … xn’

(x1x2 … xn 1’ + x2’ + … + xn’

E ’ (x1, x2, x3, , xn, + , • ) = E(x1 ’ , x2 ’ , x3 ’ , , xn ’ , • , + )

Trang 21

Hàm chuyển mạch

2 biểu thức (x + x’ y’) và (x + y’) có tương đương ?

Hàm chuyển mạch (switching function) là một phép gán xác định và duy nhất của những giá trị 0 và 1 cho tất cả

các tổ hợp giá trị của các biến thành phần

Số lượng hàm chuyển mạch của n biến là

BT: SV liệt kê các 16 hàm chuyển mạch với 2 biến.

Trang 22

Hàm chuyển mạch

2 biểu thức (x + x’ y’) và (x + y’) có tương đương ?

Hàm chuyển mạch (switching function) là một phép gán xác định và duy nhất của những giá trị 0 và 1 cho tất cả

các tổ hợp giá trị của các biến thành phần

Số lượng hàm chuyển mạch của n biến là

x y x’ y’ x’ y’ x + x’ y’ x + y’

Trang 23

Hàm chuyển mạch (tt)

Sự khác nhau giữa hàm và biểu thức chuyển mạch ?Nếu mọi giá trị của biểu thức trùng với giá trị của hàm,

ta gọi biểu thức biểu diễn (represent) hàm

Tồn tại nhiều biểu thức cùng biểu diễn cho 1 hàm

Trang 24

Biểu diễn hàm dưới dạng danh sách minterm/maxterm

Chuyển đổi dạng chuẩn s-o-p sang p-o-s

Trang 25

Một hàm chuyển mạch bất kì đều có biểu thức dạng

chuẩn s-o-p (p-o-s) tương đương hay không ?

Định lý Shannon mở rộng:

Cho hàm f(x1, x2, , xn) bất kì Thì

f(x 1 , x 2 , , x n ) = x 1. f(1, x 2 , , x n ) + x 1 ’.f(0, x 2 , , x n )

Một hàm chuyển mạch bất kỳ n biến luôn có thể được

biểu diễn dưới dạng s-o-p n literal, mỗi literal ứng với 1

biến

Dạng p-o-s: sv tự đọc

Trang 26

Phép toán NAND (NOT AND) (xy)’ = x’ + y’

Phép toán NOR (NOT OR) (x + y)’ = x’.y’

Phép toán XOR (Exclusive OR) x y = x’y + y’x

Phép toán XNOR (NOT XOR) (x y)’ = xy + x’y’

Phép toán chuyển mạch khác

Trang 27

Phép toán NAND (NOT AND) (xy)’ = x’ + y’

Phép toán NOR (NOT OR) (x + y)’ = x’.y’

Phép toán XOR (Exclusive OR) x y = x’y + y’x

Phép toán XNOR (NOT XOR) (x y)’ = xy + x’y’

Phép toán chuyển mạch khác

x y (x y)’ (x + y)’ x y (x y)’

Trang 28

Tập phổ dụng của các phép toán

Một tập các phép toán được gọi là phổ dụng (universal)

nếu mọi hàm chuyển mạch đều có thể được biểu diễn chỉ cần các phép toán của tập trên

Trang 29

Cổng luận lý

Để đại số chuyển mạch có thể thực hiện các công việc

trong đời thật, cần phải có:

Thiết bị vật lý thực hiệc các phép toán chuyển mạchTín hiệu vật lý (điện áp, …) thay thế cho các biến

chuyển mạch

Cổng (gate) là tên chung dùng để gọi các thiết bị vật lý

thực hiện các phép toán chuyển mạch với độ chính xác (accuracy) và thời gian trễ (delay) chấp nhận được

Mỗi cổng được biểu diễn bởi 1 biểu tượng (schematic

symbol) cùng với 1 số chân (pin, terminal) tượng trưng

cho các biến chuyển mạch

Trang 30

Cổng luận lý

Để đại số chuyển mạch có thể thực hiện các công việc

trong đời thật, cần phải có:

Thiết bị vật lý thực hiệc các phép toán chuyển mạchTín hiệu vật lý (điện áp, …) thay thế cho các biến

chuyển mạch

Cổng (gate) là tên chung dùng để gọi các thiết bị vật lý

thực hiện các phép toán chuyển mạch với độ chính xác (accuracy) và thời gian trễ (delay) chấp nhận được

Mỗi cổng được biểu diễn bởi 1 biểu tượng (schematic

symbol) cùng với 1 số chân (pin, terminal) tượng trưng

cho các biến chuyển mạch

Một biểu thức chuyển mạch bất kỳ luôn có thể được hiện thực trong đời thật bằng

cách kết nối các cổng lại với nhau (mạch

luận lý - logic circuit - hay mạch chuyển

Trang 31

Biểu tượng của các cổng luận lý

XOR NOR

OR

NAND AND

NOT

Trang 32

Một số dạng tương đương

Trang 33

Một số dạng tương đương

Kết luận về chuyển đổi cổng

AND và cổng OR ?

Trang 36

Luận lý dương, âm & hỗn tạp

Giá trị luận lý 0, 1 được biểu diễn trong thế giới thật bởi các tín hiệu vật lý (thường là mức điện áp)

Tùy theo hệ thống, giá trị cụ thể của các mức điện áp có thể khác nhau, nhưng luôn tồn tại 1 mức điện áp cao hơn mức còn lại

High (H) và Low (L)Hai cách thể hiện mối tương quan giữa giá trị luận lý và mức điện áp

Luận lý dương (positive logic): 1-H, 0-L

Luận lý âm (negative logic): 1-L, 0-H

Trang 37

Tích cực cao – Tích cực thấp

Hai trạng thái hoạt động của thiết bị là tích cực (activity)

và không tích cực (inactivity)

Xét các thí dụ đối với điện thoại, đèn, động cơ, v.v…

Do thói quen, qui ước tích cực ứng với mức luận lý 1

còn không tích cực ứng với mức luận lý 0

Tích cực cao (active high)

Tích cực → Luận lý 1 → Mức điện áp caoTích cực thấp (active low)

Tích cực → Luận lý 1 → mức điện áp thấp

Thực tế đôi khi không tuân theo qui ước !

Trang 38

Một số vần đề trong thực hành

Trang 39

Cổng luận lý được thiết kế và chế

tạo phụ thuộc vào công nghệ tại

thời điểm hiện hành

Trang 40

Các mạch chuyển mạch đầu tiên được chế tạo với các thiết bị cơ (switch và relay)

Trang 41

Các thiết bị chuyển mạch đầu tiên mang tên “cổng” được thiết kế với các đèn điện tử (vacuum tube)

Trang 42

• Đèn điện tử, sau đó, được thay thế bởi

diode bán dẫn, transistor lưỡng cực, rồi đến MOSFET

Trang 43

• Mỗi cổng được chế tạo từ các linh kiện rời (discrete component)

Trang 44

Sự ra đời của mạch tích hợp (IC –

Integrated circuit) hay vi mạch cho phép chế tạo 1/nhiều cổng trong 1 phần tử linh kiện

Trang 45

Độ tích hợp của các vi mạch

Trang 46

Độ tích hợp của các vi mạch

SSI Small-scale integration < 12 cổng

MSI Medium-scale integration 12 ÷ 99 cổng

LSI Large-scale integration 100 ÷ 9.999 cổng

Trang 47

Các họ luận lý

Một tập hợp các cổng luận lý sử dụng cùng 1 công nghệ chế tạo được gọi là 1 họ luận lý (logic family)

RTL (resistor-transistor logic) xuất hiện đầu tiên, nay đã lỗi thời

ECL (emitter-coupled logic): hãng Motorola

TTL (transistor-transistor logic): hãng Texas Instrument

Trang 48

Các họ luận lý

Một tập hợp các cổng luận lý sử dụng cùng 1 công nghệ chế tạo được gọi là 1 họ luận lý (logic family)

RTL (resistor-transistor logic) xuất hiện đầu tiên, nay đã lỗi thời

ECL (emitter-coupled logic): hãng Motorola

TTL (transistor-transistor logic): hãng Texas Instrument

ALS Advanced LS Low Moderate

Trang 50

HC/HCT High-speed CMOS Very low Moderate AC/ACT Advanced CMOS Low Fast

LCX/LVX/LVQ Low-voltage CMOS Very low Moderate VHC/VHCT Very high-speed CMOS Low Fast

Trang 51

Đặc tính vào/ra của cổng luận lý

Mạch vật lý được thực hiện thông qua việc kết nối các

ngõ vào với ngõ ra của các cổng vật lý

Người thiết kế luận lý không cần biết chi tiết về công

nghệ chế tạo

Cần phải biết các đặc tính vào ra của các cổng luận lý

Trang 52

Tầng vào/ra đặc trưng ở các cổng CMOS

Vào/ra ở các cổng CMOS

Trang 53

Tầng vào/ra đặc trưng ở các cổng CMOS

Vào/ra ở các cổng CMOS

Trang 54

Vào/ra ở các cổng CMOS (tt)

Mạch tương đương

Trang 55

Vào/ra ở các cổng CMOS (tt)

Trang 56

Tầng vào/ra đặc trưng ở các cổng TTL

Vào/ra ở các cổng TTL

Trang 57

Tầng vào/ra đặc trưng ở các cổng TTL

Vào/ra ở các cổng TTL

Trang 58

Vào/ra ở các cổng TTL (tt)

Trang 59

Vào/ra ở các cổng TTL (tt)

Trang 60

Đặc tính vào/ra (tt)

Fan-out của một ngõ ra chính là số ngõ vào mà ngõ ra

này có thể kéo được mà vẫn có thể đảm bảo mức điện

áp và thời gian trễ của tín hiệu ở ngõ ra

Fan-in là số ngõ vào của 1 cổng luận lý

Trang 61

Làm gì trong trường hợp 1 ngõ ra phải kéo số ngõ

vào lớn hơn fan-out của mình ?

BufferHai cổng đảo

Đặc tính vào/ra (tt)

Fan-out của một ngõ ra chính là số ngõ vào mà ngõ ra

này có thể kéo được mà vẫn có thể đảm bảo mức điện

áp và thời gian trễ của tín hiệu ở ngõ ra

Fan-in là số ngõ vào của 1 cổng luận lý

A B C D

x

A B C D

x

Trang 63

Output Input

Trang 69

Khoa Khoa học và Kỹ thuật máy tính - Bộ môn kỹ thuật máy tính

Mạch tích hợp

43

GND 1A 1B 1Y 2A 2B 2Y

Vcc 4B 4A 4Y 3B 3A 3Y

1 2 3 4 5 6 7

8 9

10 11

12 13

14 5V

74LS00 Quadruple 2-Input NAND Gate 74LS02 Quadruple 2-Input NOR Gate

8 9

10 11

12 13

14 Vcc

GND

4Y 4B 4A 3Y 3B 3A 5V

74LS04 Hex Inverter

8 9

10 11

12 13

10 11

12 13

14 Vcc

10 11

12 13

14 Vcc

Vcc 2D 2C NC 2B 2A 2Y

1 2 3 4 5 6 7

8 9

10 11

12 13

14 5V

74LS20 Dual 4-Input NAND Gate

74LS32 Quadruple 2-Input OR Gate

1 2 3 4 5 6 7

8 9

10 11

12 13

14

5V

8 9

10 11

12 13

14 Vcc

4B 4A 4Y 3B 3A 3Y 5V

74LS86 Quadruple 2-Input XOR Gate

1 2 3 4 5 6 7

8 9

10 11

12 13

14 5V

8 9

10 11

12 13

14 Vcc

GND

4Y 4B 4A 3Y 3B 3A 5V

8 9

10 11

12 13

10 11

12 13

14 Vcc

10 11

12 13

14 Vcc

1 2 3 4 5 6 7

8 9

10 11

12 13

14 5V

8 9

10 11

12 13

14 5V

8 9

10 11

12 13

14 Vcc 4B 4A 4Y 3B 3A 3Y 5V

1 2 3 4 5 6 7

8 9

10 11

12 13

14 5V

8 9

10 11

12 13

14 Vcc

GND

4Y 4B 4A 3Y 3B 3A 5V

8 9

10 11

12 13

10 11

12 13

14 Vcc

10 11

12 13

14 Vcc

1 2 3 4 5 6 7

8 9

10 11

12 13

14 5V

1 2 3 4 5 6 7

8 9

10 11

12 13

14

5V

8 9

10 11

12 13

14 Vcc

4B 4A 4Y 3B 3A 3Y 5V

1 2 3 4 5 6 7

8 9

10 11

12 13

10 11

12 13

14 Vcc

GND

4Y 4B 4A 3Y 3B 3A 5V

8 9

10 11

12 13

10 11

12 13

14 Vcc

10 11

12 13

1 2 3 4 5 6 7

8 9

10 11

12 13

14 5V

1 2 3 4 5 6 7

8 9

10 11

12 13

14

5V

8 9

10 11

12 13

14 Vcc

4B 4A 4Y 3B 3A 3Y 5V

1 2 3 4 5 6 7

8 9

10 11

12 13

14 5V

8 9

10 11

12 13

14 Vcc

GND

4Y 4B 4A 3Y 3B 3A 5V

8 9

10 11

12 13

10 11

12 13

14 Vcc

10 11

12 13

14 Vcc

1 2 3 4 5 6 7

8 9

10 11

12 13

14 5V

1 2 3 4 5 6 7

8 9

10 11

12 13

14

5V

8 9

10 11

12 13

14 Vcc

4B 4A 4Y 3B 3A 3Y 5V

1 2 3 4 5 6 7

8 9

10 11

12 13

14 5V

8 9

10 11

12 13

14 Vcc

GND

4Y 4B 4A 3Y 3B 3A 5V

8 9

10 11

12 13

10 11

12 13

14 Vcc

10 11

12 13

14 Vcc

1 2 3 4 5 6 7

8 9

10 11

12 13

14 5V

1 2 3 4 5 6 7

8 9

10 11

12 13

14

5V

8 9

10 11

12 13

14 Vcc

4B 4A 4Y 3B 3A 3Y 5V

Tiêu đề	Đại số Boolean và Cổng luận lý
Tác giả	Bùi Văn Hiếu
Trường học	Khoa Khoa học và Kỹ thuật máy tính - Bộ môn kỹ thuật máy tính
Chuyên ngành	Kỹ thuật Máy tính
Thể loại	Tài liệu giảng dạy
Năm xuất bản	N/A

Định dạng
Số trang	74
Dung lượng	1,41 MB