Tài liệu Cơ sở lý thuyết và một số bài toán về Dãy số ppt

e Moi day con của một dãy bị chặn tương ứng bị chặn trên, bị chặn dưới thì bị chặn tương ứng bị chặn trên, bị chặn dưới.. Các định lý i Giới hạn của một dãy hội tụ là duy nhất.. ï Dãy nh

CƠ SỞ LÝ THUYẾT &

SA MOT SO BAI TOAN VM:

DAY SỐ

_ eÔn thi Olympic trong nước và Quốc tế -

¢On thi Ta tai va Dai hoc

«Giới thiệu dé thi Olympic toán Quéc tế năm 2005

Chuong I: CAC KIEN THUC CO BAN

VE DAY sO

1 Day sé

Anh xa f: N->R

N > f(n) gọi là dãy số

‘Ta thudng ghi a, =f (n)

Ky hiéu 1a {a,} (hay a,, a,, , a,, )

e Day {a,} gọi là bị chặn nếu nó vừa chặn trên vừa chặn dưới -

Rõ ràng rằng dãy (a„} bị chặn khi và chỉ khi tôn tại số dương k sao cho ja,|<k VneN

3 Day sé đơn điệu

e Day {a,} gọi là tăng (tương ứng tăng nghiêm ngặt) nếu

| a, <Sa,,„,Vn eN (tuong ting a, <a,,,, VneN)

e Day {a,} goi la giảm (tuong ứng giảm nghiêm ngặt) nếu

a, >a,,,, VneN (tương ứng a; >a,,¡,Vn eN) Các dãy tăng và giảm gọi chung là dãy đơn điệu

4 Dãy con

ny.¡ > nụ

Cho các dãy {a„} va{ ket” * (Wk EN)

n, EN

thì dãy {by} (với by =a„„, VkeN) gọi là dãy con của {a,} va ky

Ta dễ dàng kiểm tra được rằng:

Chú §:

e n,2k, VkeN

e«e Mọi dãy đều là một dãy con của chính nó

e Moi day con của một dãy bị chặn (tương ứng bị chặn trên, bị chặn dưới) thì bị chặn (tương ứng bị chặn trên, bị chặn dưới)

e Moi day con của một dãy đơn điệu là dãy đơn điệu

5 Giới hạn của Day sé

Số aeR gọi là giới hạn của dãy {a„} nếu:

Ve>0, 3n eN:VneN, n>n, > Ia, -al<e

Ký hiệu: lima, =a hay a, >a

n>

Day có giới hạn gọi là day hội tụ và.dãy không có giới hạn gọi là dãy phân kỳ

6 Các định lý

(i) Giới hạn của một dãy hội tụ là duy nhất

(ï) Dãy nhận được bởi một phép hoán vị các số hạn của

một dãy hội tụ vẫn là dãy hội tụ và có cùng một giới

We>0, an, eN: VneN,n>n, > a, -al<e |

Hon nita, §: N-—-WN song anh nén:

dm, e N: 8({1,2, ,m,}) > {1,2, ,n,}

Khi đó:

VneN, n>m, > 6) >n, (vì ngược lại 8(n)<n, > 8(n) e H, 2, „n}

Với e Hl, 0 thi tén tai n, e N sao cho:

vneN, n2n, =>|a, -a|<e

= |a| —|aa| < |a„ - a| < e

Đặt: M= Max {la,|, sey [@gol> I+|al} thì |aa|<M, Yn eNÑ

Chú $: Từ kết quả này, ta suy ra được rằng: Mọi dãy không bị

chặn đều là dãy phân kỳ Nhưng điều đảo lại không đúng _ (vì dãy {(-1)"} bi chặn và phân kỳ)

(@) Nếu a, =a, VneN, n>n,(n, hằng eN) thì lima, =a

Chứng minh Ve>0, VneN, n>n, >a, =a

= |a„ -a|=0<e

Vậy lima, =a n—+œ

(H) Cho lima, =a, limb, =b va aeR

Khidé:

(i) lim(a, +b,)=a+b

(ii) lim (aa,,) = aa

Gi) lim(@,b,) = a.b

(iv) lim ¬ = 5 (véi-b #0)

Ching minh

(i) Cho e>O0 (tiy ý)

Do: e lim a, =a, nén ton tại n,(e)eN:

vneN, n>n;() = |a„ — a| < e/2

n¬+œ

° lim b„ = b, nên tổn tại n,(e) eN:

vneN, n > nạŒ) = |b, - bl <<

Do dé:

VneN, n>n, =n,(e)+n,(e) thi:

(a, + b,) - (a+b) = (a, - a) + (b, - b)|

BE €

< _ - —+—=

| la, a| + |b, b| < n1 =8

Vậy ,m(a, +b,)=a+b

(ii) Do lim a,=anén: ` |

Ve>0, dn, ¢eN:VvneN, n>n, =\a, -a|<—_—

1+lal

= |aa„ - œa| = |œ|.|a„ — a| < (1 + |œ|)|a„ - a| < s

= |ơa, - œa| <e

Vậy jim (aa,) =ơa

10_

(iii) Do lim b, = b nên theo mục F' thì tồn tại hằng số M > 0 sao cho:

Tức là lim (a,b,) =a.b

(iv) Do lim b, = b #0 nén theo muc E tén tại n¡ eÑ sao cho

|b,| By, Vn >n, Hơn nữa, theo giả thiết thì

Ve>0, 3na,eR: VneR,n>n,

< |bl-la„ - a|+ ]a|.|b, - b

sao cho a, >ơ, Vn >n,

(iii) Nếu a, <8,vn 2n, thi lima, sp

sao cho a <a, <f, vn >x,

(vi) Néu a, sb,, Vn2n, thi lima, < limb,

n->+0 n->+0

12

n>+0

Nếu a < œ thita chon e=a-a>0

Do đó theo giả thiết tổn tại n eN, n, >n, sao cho:

Vn eN, n>n, > |a, -al<e

Nén theo (viii) thi lim c, =0

@) Day {a,) hội tụ khi và chỉ khi mọi dãy con của nó đều

là đãy hội tụ và có chung một giới hạn

Chứng minh

«> Giả sử lima, =a Khi đó:

Ve >0, Sn, € N sao cho:

vneN, n>n, =|a, -a|<'

Gọi (a„ } là day con bất kỳ của fa.)

Như vậy jim ay =a

Cho biết mọi day con cia {a} déu héi ty thi hién nhién {a,} la

day héi tu (vi {a,} cing la một đãy con của {a,})

Moi day đều có ít nhất một dãy con đơn điệu

Chứng minh Với day {a,}, xét tap hợp:

© A =Ø hay có hữu hạn phần tử:

Khi đó tổn tại n, eN sao cho:

vneN, n>n,, 3m eN, m>n, a„ <8;

Đặt n,,, = Mintm e N/m>n,, a, <a„} (với ke N)

Ta cé {n,} la day tăng nghiêm ngặt các số nguyên dương và

vVkeN Như vậy khẳng định của mục k được

Ve>0; dn,eNÑ: a-e<a,,

>aza, 2a, >a-e, Vn>n,

(vi {a,} la day tang)

=>-e<a,—as0; Vn>n,

=|a, -al<e, Vn >n,

Vậy lima, =a = supa,

n+»e© neN (ii) Do {a,} 1a day tang va bi chặn dưới

= Í_-a,} là dãy tăng và bị chặn trên

=> lim (-a, ) = sup(-a,) (Do Ñ))

neN

16

=> -lima, =-i

n—+00 nvn a

=> lima, =i,fa, n->+œ neN

Giả sử ([a,, b ]) là dãy thắt dần khi đó:

a, Sa, S.isay< <b, < b, <b, VmneN

Do đó {an) là đãy tăng và bị chặn trên (bởi b,)

Theo nguyên lý Weierstrass:

lim a, = supa„ =€< +œ n—>+œ neN

Hơn nữa, với n cố định eN, ta có:

(c) Nguyén ly Bolzano - Weierstrass

Mọi dãy bị chặn đều có ít nhất một dãy con hội tu

Chứng minh Cách 1:

Có thể coi dãy {a,} là vô hạn

Ta chia đoạn [ơ,B] thành hai đoạn bằng nhau Khi đó có ít nhất

một trong hai đoạn phải chứa vô số các số hạn của dãy Ta gọi

[œ;,B,] là một trong hai đoạn có tính chất trên Ta lại tiếp tục chia đoạn [œ;,B;] thành hai đoạn bằng nhau và gọi [œ;,B;] là một trong hai đoạn chứa vô số các số hạng của dãy Tiếp tục

cách này ta nhận được, dãy các đoạn {[œ,,B„]! có các tính chất:

[œy;ByÌ Đ [œ,.¡;B„,¡Ì; Vk e N

B-o

2k

[œy,B„Ì chứa vô số các số hang cua day {a,}

Theo nguyên lý Cantor thì no = {c}

Ta sẽ chứng minh rằng c là giới hạn của một dãy con của dãy ta)

Muốn vậy trước hết ta chọn a„, e[œ;,B;]

By — 0y =

Tiếp đó ta lại chọn a„, e[œ;,B;], nạ > nạ

(Điều này luôn được do (iii))

Cứ vậy tiếp tục mãi, cuối cùng ta nhận dugev day con {a,,} cla

day {a,} (với a„ c[œ„ ;B„, Ì)

1 af Ong Khi đó, từ các bất đẳng thức: p<

Bk

> Oy, — Bay <a, —€SBạy — On,

=> (ay, — ©) $ Ba, - On,

Hơn nữa theo mục 6K thì tôn tại dãy con {a,,} don điệu

Do đó, theo nguyên ly Weierstrass dãy {a„ } hội tụ Vậy nguyên lý Bolzano - Weierstrass được chứng minh

xong

Nguyên lý Cauchy

Day (a,} gọi à Cauchy (hay dãy cơ bản) nếu:

Ve>0, neN: Vm,neN, m, n>n,

= {a,} la day Cauchy

(<=) Gia su {a,} 14 day Cauchy Khi đó:

Ve>0, dan,(e)eN: Vk EN, k>n,(e)>

an — a| <=

2 _ Hơn nita, cing do {a,} là dãy Cauchy nên:

dn,(e)eN: Vm,neN, m,n>n,(e)

Vk EN, k > n(e) = n,(e) + n,(e)

=> |a, —a| <a, — a, | + [Any -a|

, jp>o ue n

(iii) Néu P eR thi lim n++0 (1 + p)” =0

(iv) Nếu |q|<1 thì lim q° =0

Cách 1:

+ Néu p21 thi:

is tp < ¥n, Vn>p

Ma lim ÿn =1 (Do chứng minh trên)

=> lim ¥p =1 (Do tinh chat kẹp)

(Do đã chứng minh ở trường hợp đầu (p> 1))

Tóm lại, ta luôn có được lim ap = 1 Cách 2: — Ta cũng xét hai trường hợp:

22

+ Nếu 0<q <1 thì {a, =q"} là dãy giảm bị chặn dưới

(bởi 0) nên hội tụ về a

Bởi vì mỗi số hạng trong khai triển của a, nhỏ hơn hoặc bằng số

hạng tương ứng trong khai triển của đụng hơn nữa so với khai

triển của a, thì khai triển của a,., còn có thêm một số hạng

« Dãy la.) được gọi là có giới hạn +© nếu:

VA>0, dn, EN: WneN, n>n, >a, >A

Ky hiéu: lima, = +0

Dãy (a,} được gọi là cé gidi han -« néu:

VA >0, 3n, eN: VneN, n>n, >a, <-A

Day (a,) được gọi là có giới hạn œ nếu:

VA >0, 3n, eN:Vn eN,n >nạ = |a„|> A

Chú ý: 0, +0 vA —œ chỉ là những ký hiệu chứ không phải là

những số thực Chỉ các dãy số có giới hạn (tức là giới hạn

là một số thực) mới gọi là những dãy hội tụ

Rõ ràng nếu lim = +œ (—œ) và {a,,} 1a day con bat ky cua

day {a} thi lim a,, = +0 (—œ) 26

(viii) Néu {a,} khéng bi chặn trên thì nó có ít nhất một

day con {a,} sao cho lim a„ = +œ

(ix) Nếu {a,} không bị chặn dưới thì nó có ít nhất một

day con la, Ì sao cho lim a„ = —

n¬+e

; {a,} bi chan a,

(vi) Néu lim b, = © thi ims =0

{a,|) bị chặn dưới bởi số e > 0

(vii) Néu jlimb, =0 thi lim >* =

27

nên theo mục 6I(iv) tồn tại n, eN sao cho:

(iv)

=>a,b, <-A

Vay lim(a,+b,)=-0

lim a„ = —œo

° Cho hen =b>g: Chứng minh lim(a,b,) =~œ

n->+e +Do lima, =-—œ nên:

lim a„ = —œ

e Cho lim b, =-b’ Chứng minh lim (a„b„) = +©

+Do lima, =—œ nên: VÀ >0, Jn, EN: VneN, n>n,

sa, sco

+ Do limb, =b<> <0 n++0

31

nên theo mục 6[ (iv) tổn tai n, N

e Cho lim b = —-00° Chứng minh lim (a,b,) = +00

Theo gia thiét thi:

A VA>0, Ing EN: VneN, n>ng> a, < VA

b, <-vA

-> a,b, =(-a,X-b,) > VAVA =A

Vay lim (a,b, ) = +0

(<=) Cho lim + <0 Chứng minh lim a, = œ

(vi) + po (a„,} bị chặn nén 3M>0: |a,|<M, VneN

+ Do lim b„ =œ nên Ve >0, 1n eN:

10 Các giới hạn trên và dưới của Dãy số

e Néu day sé {a,} cé mét day con {a,,} saocho lima,, = ¢ thi

£ gọi là một giá trị riêng của dãy {a,}

£ có thể hữu hạn hay #+œ

Giới hạn riêng lớn nhất (nếu có) của dãy (a,) gọi là giới hạn

của dãy {a,}, ký hiệu là:

lima, (hay lim supa,)

Giới hạn riêng nhỏ nhất (nếu có) của dãy {a,} gọi là giới hạn

dưới của dãy (a,), ký hiệu là

lim a, (hay lim infa,) n->+o

Hiển nhiên, néu lim a, =e (ee N hay e = too)

n—>++œ

thi lima, = lima, =e

n—œ>+œ© n—>+œ

34

CÁC ĐỊNH LÝ

Mọi dãy số {a,} đều có giới hạn trên, giới hạn đưới và

lim = lim sup{a.,a eve

n->+00 n->+0 Pi nou ntl? }

lim a, = lim inffa,,a,,,,, }

nto n->+0

(Với qui ước // néu sup{a,,a,,,, } = +0, Vn éN thi n+19°

lim sup{a,,a,,,,, -} = +0 Néu inf{a,,a,,,, } = —,

Trường hợp 1: Dãy {a } không bị chặn trên:

Do {a,} la dãy không bị chặn trên nên có dãy con {a,,} sao cho

lim a,, = +00 n~+0o

Do đó lim a, = lim supA,, = +o

Nếu {a,} không bi chặn dưới thì lim C„ =-—œ= khi đó:

VA >0, In, eN: VneN, n>n, >C, <-A

Ma C, =supA, > a, <C, <-A, Vr>ny,

=> lima, =-0

n+0

=> lim a, = —œ noọ+œ

35

= lim a, = lim supA, =-«

e Nếu {c,} bị chặn dưới thì tổn tại c e R sao cho lim ¢, = C

Ta sẽ chứng minh lima, =€

Quả vậy, gọi là một giới hạn riêng của dãy {a,} Khi đó tên tại

dãy con {a„ } hội tụ về e Vì a„ < Cạ,„ Vk e R nên qua giới gan,

ta được e < C.Vậy chỉ còn chứng minh rằng c cũng là một giá trị

riêng của day {a,} Qua vay từ định nghĩa của c;¡ suy ra tổn tại

phần tử a, của dãy {a,} sao cho ¢, -1<a,, <¢, Gia st m, là một

số nguyên lớn hơn n, Vì C„; =supÁ„; nên tổn tại số nguyên

n, 2m, sao cho C,, “>< an Š C„, Bằng quy nạp, ta nhận được hai dãy {C,,}

Và (a„ }, những dãy con của {c,} và {a,} (tương ứng) sao cho

Dãy {a,} có giới hạn (hữu hạn hay +») khi va chỉ khi

lim a, = lima, khid6é lima, = lima, = lima,

n->+e n->»+»

(=>) Néu lim a, = lima, =e thi theo dinh ly 6.phan A, ta cé:

lim sup A,, = lim inf A, =e

Vi inf A, <a, ssupA,, VneN

Nên ta cóngay lima, =e

(a, d 1a cdc hằng số cho trước) được gọi là cấp số cộng

e a gọi là số hạng đầu tiên

e đ gọi là công sai

= Theo nguyên lý quy nạp ta chứng minh được rằng ©

a, =a,+(n-1)d, VneN

37

2a.41 =a, tay VneN

2S, =(a, +a, t+ +a,)+(a, +a.) + +4,)

=(a, +a,)+(a, +a,_)) + + (a; + Ayi41) -

2 -=

8nai =An8a¿s›› VneN

Chứng minh

Chương II: CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ

TRONG CAC DE THI OLYMPIC 30-4

a1°° >a,;+a, ;s+ +a,, Vn>2

Chứng minh rằng tổn tại số c sao cho a, >n.c, VneNÑ

Vậy a; -2b2 =l,VneN (1)

Gọi d là USCLN của a, va b, thì d cũng là một USC của

a? và 2b, suy ra d là USC của a2 -2b2 =1, do đó d = 1 Vậy a, và b, là hai số nguyên tố

48 -

a, =a, =2,a, =3,a,; =5, a2.¡ —8„8„.¿| = 1,Vn >2

đó chính là dãy các số nguyên dương

{a„} thỏa a, = l,a; = 2,a„ = 8a + a„ ;,Vn 3 2 (1)

* Dãy (1) được xác định duy nhất

Quả vậy, giả sử tồn tại n > 2, sao cho N_ duy mà có 2 giá trị A„.s,2-,; với a,,„; > a.,; thỏa mãn cách xác định dãy, tức là:

a, =l,a, = 2,a, = 3,a,; =5,|a =l›Vn>3

Đó ấy chính là dãy a, = 1,a; = 2

nạ — 8uâa„¿

8ạ =8Aa;+a,,,Vn>2 Tương tự ta cũng chứng minh được tổn tại duy nhất các dãy nguyên -

dương:

a, =1,a; =2,a; =3,a; =4,la;—a,A,;|=1Vn>9

a, =l,a; =2,a; =ð,a; = 12,|a2., -a,a,.;=l1Vn>2

a =l,a,=2, a, =5, a, = 13,

a’ -a,.a,,,)=1, Vn >2

Đó cũng chính là các dãy (tương ứng):

a, = 1a, =2,a,,, = 2a,,,-a, VneN (2)

a, = 1, a, = 2,a,, = 2a,,,+a,, VneN (3)

= la, = 2,a,, =3a,,,-a, VneN (4) Kết luận: Tên tại bốn dãy số nguyên dương (1), (2), (3), (4)

RG rang {S_} 1a day lượng giác

Do đó linS, tên tại Ký hiệu giới hạn đó là 5S

age 2 JXịy “Xa = = Xu

Khi đó nó cũng xảy ra với ¬

= (n—-1)+4>(n-1)2

=l<n< 5 Đảo lại, giả sử 1< n <5, ta sẽ sẽ chứng minh rằng (1) được thỏa mãn với mọi bội số thực Xị, X;, ,Xụ

_ Quả vậy, xét tam thức :

f(x,) = x? (x, +x) + 4-%, j)X +X? + X? + Xa

Đây là tam thức bậc 2 đối với x,, và ta có :

A =(Xi + + X„ ¡) =Á(X? + X + + X? 1) Theo bất đẳng thức Bunhiacopski :