Tính tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.[r]
Trang 1TTBDVH KHAI TRÍ
ĐỀ SỐ 20
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC - NĂM 2011
Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu I (2 điểm)
Cho hàm số y=x3− 3 x2− mx+2 (1) với m là tham số thực.
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 0.
2 Định m để hàm số (1) có cực trị, đồng thời đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo với
hai trục tọa độ một tam giác cân
Câu II (3 điểm)
1 Giải phương trình: 2 cos2(2 x+π
4)=cot x − tan x −2
2 Giải bất phương trình:
2 ( 3 5 4 3)
15 5 2 9
2 9 3
x x
3 Giải phương trình:
2 1 3
log x (4x 4x 1) log x (2x 7x 3) 5
Câu III (1 điểm)
Tính ∫cot x − tan x − 2 tan 2 x sin 4 x dx
Câu IV (1 điểm)
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB = a, BC = a √3 , SA vuông góc với đáy, góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) bằng 600 Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB và SC Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Câu V (1 điểm)
Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng bốn nghiệm thực:
m x x x x
Câu VI.a (2 điểm)
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đường phân giác trong kẻ từ A, đường trung tuyến kẻ
từ B và đường cao kẻ từ C lần lượt có phương trình: x + y – 3 = 0, x – y + 1 = 0, 2x + y + 1 = 0 Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.
2 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + z 3 = 0, (Q): y + z + 5 = 0 và điểm
(1; 1; 1)
A Tìm tọa độ các điểm M trên (P), N trên (Q) sao cho MN vuông góc với giao tuyến của (P),
(Q) và nhận A là trung điểm.
-Hết
Trang 2-Đáp án đề số 20
I
(2,0 điểm) 1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
3 3 2 2
y=x - x +
· Tập xác định: D =
· Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên:
3 6 ,
0
2
x
x
-é = ê
-0,25
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (¥; 0) và (2; +¥), nghịch biến trên khoảng (0; 2)
- Cực trị: + Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và yCT = y(2) = 2;
+ Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và yCĐ = y(0) = 2
- Giới hạn: x lim , x lim
¥ ¥ ¥ ¥
0,25
Bảng biến thiên:
0,25
/ / 6 6, / / 0 6 6 0 1, (1) 0
y = x- y = Û x- = Û x= y =
Þ điểm uốn I(0; 2)
Đồ thị: đi qua các điểm (2; 1), (2; 3)
và nhận điểm uốn I(0; 1) là tâm đối xứng
0,25
2 Định m để hàm số (1) có cực trị, đồng thời đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm
số tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân
Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt
' 9 3m 0 m 3
y=x3− 3 x2− mx+2
¿1
3(x −1) y ' +(−
2 m
3 −2) x+2 −
m
3 Đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số có phương trình
y=(− 2 m
3 − 2) x +2−
m
3
0,25
Đường thẳng này cắt 2 trục Ox và Oy lần lượt tai A(2(m+3) m− 6 ;0), B(0 ; 6 − m
3 ) Tam giác OAB cân khi và chỉ khi OA OB
0,5
0 y’(x)
y(x)
2
2
¥
+¥
x
y
1
2
2
2
Trang 36 6
m
Với m = 6 thì A ≡ B≡ O do đó so với điều kiện ta nhận m=−3
2
II
(3,0 điểm) 1 Giải phương trình: 2 cos
2 (2 x+π
4)=cot x − tan x −2
Đk x ≠ kπ
2 , k ∈ Ζ
Phương trình đã cho tương đương với:
cos2
2 sin cos
x x
p
2
(cos2 sin2 )sin2 2 sin4 cos4 5
,
l
x p p l
So với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là ,
l
x=p+ p l Î ¢
0,25
2 Giải bất phương trình:
2 ( 3 5 4 3)
15 5 2 9
2 9 3
x x
Đk
5 3
x ³
Bất phương trình đã cho tương đương với
x
+ +
0,25
Xét hàm số
5
3
f x = x- + x- - " ³x
Có
3
-nên hàm f x( ) tăng
5 3
x
" ³
, mặt khác f(3)=0
0,50
Từ đó suy ra nghiệm của bất phương trình là
5
3
3£ x£
0,25
3 Giải phương trình:
2 1 3
log x (4x 4x 1) log x (2x 7x 3) 5
(1)
Đk:
1 2 0
x x
ìïï >-ïïí
ïï ¹ ïïî
0,25
Trang 4Phương trình đã cho tương đương với 4log (2x+3 x+ +1) log2x+1(x+3)=4 (2)
Đặt t =log2x+1(x+3), t ¹ 0 Phương trình (2) trở thành: t2- 4t+ =4 0 t =2 0,25
Þ log2x+1(x+3)=2 x+ =3 (2x+1)2 4x2+3x- 2=0 0,25
3 41 8
x=- ±
So với điều kiện, ta được nghiệm của phương trình (1) là
3 41 8
x=- +
0,25
III
2cot 4 sin4
x dx x
2
cos4 2
sin 4
x dx x
1 2sin4x C
IV
(1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB = a, BC = a góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) bằng 600 Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc√3 , SA vuông góc với đáy,
của A trên SB và SC Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Þ tam giác AHK vuông tại H và
AKH =
0,25
2
SA
2
ABC
a
SD = AB BC =
3
a
V = SD SA =
0,25
V
(1,0 điểm) Pt đã cho được viết lại về dạng:
m x+ x + = +x + x + (1)
Do x = 4 không phải là nghiệm (1) dù m lấy bất cứ giá trị nào nên:
pt (1)
2 2
4 2
m
x x
+
4 2
x t x
+
=
+ , pt (2) trở thành:
4
m t
t
= +
0,25
4 ( )
2
x
f x
x
+
=
2
x
1
æö÷
ç ÷
çè ø
Bảng biến thiên:
0,25
B
S
K
H
Trang 5Từ bảng biến thiên ta suy ra điều kiện của t là: 1 < t £ 3 và pt 2
4 2
x t x
+
=
+ có 2
nghiệm phân biệt khi và chỉ khi: 1 < t < 3 (3)
Lại xét hàm
4 ( )
g t t
t
= +
với 1 < t £ 3 ;
2 2
4 '( ) t ; '( ) 0 2
t
13
3
Từ (3) và bảng biến thiên ta suy ra điều kiện của m thỏa yêu cầu bài toán là:
13 4
3
m
VI
(2,0 điểm)
1 Cho tam giác ABC có đường phân giác trong góc A, đường trung tuyến kẻ từ B và đường cao kẻ
từ C lần lượt là x + y – 3 = 0, x – y + 1 = 0, 2x + y + 1 = 0 Tính tọa độ các đỉnh của tam giác ABC Đặt l A : x + y – 3 = 0, m B : x – y + 1 = 0, h C : 2x + y + 1 = 0
- A Î l A Þ A(a; 3-a); B Î m B Þ B(b;b+1); C Î h C Þ C(c;-1-2c)
- AB ^ h C Þ 3a + b – 4 = 0 (1)
0,25
Gọi M là trung điểm của AC Þ
;
Mæççç + - - ÷÷÷ö
÷
M Î m B Þ 2a + 3c = 0 (2)
0,25
- Gọi N là trung điểm BM Þ
;
Næççç + + - + - ö÷÷÷
÷
l A ^ m B Þ N Î l A Þ 4b – c – 8 = 0 (3)
0,25
Giải hệ ba phương trình (1), (2) và (3) ta được
12 39; , 32 49; , 8 ; 1
17 17 17 17 17 17
Aæçççç ö æ÷÷÷÷Bçççç ö æ÷÷÷÷Cçççç- - ö÷÷÷÷
0,25
2 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + z 3 = 0, (Q): y + z + 5 = 0 và điểm
(1; 1; 1)
A Tìm tọa độ các điểm M trên (P), N trên (Q) sao cho MN vuông góc với giao tuyến
của (P), (Q) và nhận A là trung điểm.
M Î P Þ M x y - x
A là trung điểm MN Þ N(2- x; 2- - y; 5- +x)
Î ( )Þ - =2 (1)
(2 2 ; 2 2 ; 8 2 )
Vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q): nr1=(1;0;1),nr2=(0;1;1)
0,25
x
f’(x)
t = f(x)
1 2
+
1
3
1
x
g’(x)
m = g(x)
1
0
5
3
1
¥
+¥
4
3
Trang 6Þ nr =[ , ] ( 1; 1;1)n nr r1 2 =
-MN vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q) Þ MN n =uuuur r. 0
Giải hệ phương trình gồm (1) và (2) ta được x=2,y=0