Mét sè bµi to¸n ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö mµ trong ®a thøc ®· cho cã biÓu thøc xuÊt hiÖn nhiÒu lÇn. Ta ®Æt biÓu thøc Êy lµ mét biÕn míi.[r]
Trang 1Phần 1: Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử
Các phơng pháp cơ bản I/ Phơng pháp đặt nhân tử chung
1 Phơng pháp
+ Tìm nhân tử chung là những đơn thức, đa thức có matự trong tất ca\r các hạng tử
+ Phân tích mỗi hạng tử thành tích nhân tử chung và một nhân tử
+ Viết nhân tử chung ra ngoàI dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi
hạng tử vào trong dấu ngoặc (kể cả hạng tử của chúng).
2 Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) –3xy + x ❑2 y ❑2 – 5x ❑2 y
b) 2x(y – x) + 5y(z – y)
c)10x ❑2 (x + y) – 5(2x + 2y)y ❑2
Bài Làm a) –3xy + x ❑2 y ❑2 – 5x ❑2 y = xy(- 3 + y – 5x)
b) 2x(y – x) + 5y(z – y) = 2x(y – z) – 5y(y – z) = (y – z)(2x – 5y) c) 10x ❑2 (x + y) – 5(2x + 2y)y ❑2 = 10x ❑2 (x + y) – 10y ❑2 (x + y)
= 10(x + y)(x ❑2 – y ❑2 ) = 10(x + y)(x + y)(x – y)
= 10(x + y) ❑2 (x – y)
3 Bài tập
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) 12xy ❑2 – 12xy + 3x
b) 15x – 30 y + 20z
c) 5
7 x(y – 2007) – 3y(y – 2007)
d) x(y + 1) + 3(y + 2y + 1)
Bài 2: Tính giá trị của các biểu thức sau
a) 23,45 97,5 +23,45 5,5 -,23,45 3
b) 2x ❑3 (x – y) + 2x ❑3 (y – x ) + 2x ❑3 (z – x)
(Với x = 2006 ; y = 2007 ; z = 2008)
II) Phơng pháp dùng hằng đẳng thức
1 Phơng pháp
Sử dụng các hằng đẳng thức để biến đổi đa thức thành tích các nhân tử hoặc luỹ thừa của một đa thức đơn giản
Những hằng đẳng thức :
1 (A + B) ❑2 = A ❑2 + 2AB + B ❑2
2 (A - B) ❑2 = A ❑2 - 2AB + B ❑2
3 A – B = (A + B)(A – B)
4 (A + B) ❑3 = A ❑3 + 3A ❑2 B + 3AB ❑2 + B ❑3
5 (A - B) ❑3 = A ❑3 - 3A ❑2 B + 3AB ❑2 - B ❑3
6 A ❑3 + B ❑3 = (A + B)(A ❑2 – AB + B ❑2 )
7 A ❑3 - B ❑3 = (A - B)(A ❑2 + AB + B ❑2 )
8 (A + B + C) ❑2 = A ❑2 + B ❑2 + C ❑2 + 2AB + 2BC + 2CA
9 A ❑n – B ❑n = (A – B)(A ❑n− 1 + A ❑n− 2 B + … + AB
❑n− 2 + B ❑n− 1 )
Trang 210 A ❑2k – B ❑2k = (A +B)(A ❑2k − 1 - A ❑2k − 2 B + … - B
❑2k − 1 )
11 A ❑2 K +1 + B ❑2 K +1 = (A + B)(A ❑2k – A ❑2k − 1 B + A ❑2k − 2
B ❑2 - … +B ❑2k )
12 (A + B) ❑n = A ❑n + n A ❑n− 1 B - n(n −1)
1 2 A ❑n− 2 B ❑2 +
+
1 2 A ❑2 B ❑n− 2 +
+nAB ❑n− 1 + B
❑n
13 (A - B) ❑n = A ❑n - n A ❑n− 1 B + n(n −1)
1 2 A ❑n− 2 B ❑2 - … +(-1) ❑n B ❑n
2 VÝ Dô
2.1 – Ph©n tÝch ®a thøc tµnh nh©n tö
a) x ❑2 + 6xy ❑2 + 9y ❑4
b) a ❑4 – b ❑4
c) (x – 3) ❑2 - (2 – 3x) ❑2
d) x ❑3 – 3x ❑2 + 3x - 1
Bµi Lµm a) x ❑2 + 6xy ❑2 + 9y ❑4 = x ❑2 + 2x3y ❑2 + (3y) ❑2 = (x + 3y ❑2 ) ❑2
b) a ❑4 – b ❑4 = (a ❑2 ) ❑2 – (b ❑2 ) ❑2 = (a ❑2 + b ❑2 ) (a ❑2 – b ❑2 ) = (a ❑2 + b ❑2 ) (a + b) (a – b)
c) (x – 3) ❑2 - (2 – 3x) ❑2 = [(x – 3) + (2 – 3x)][(x – 3) – (2 – 3x)]
= (- x – 1)(5 – 4x)
d) x ❑3 – 3x ❑2 + 3x - 1 = (x – 1) ❑3
2.2 Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
a) a ❑3 + b ❑3 + c ❑3 – 3abc
b) (a + b + c) ❑3 – a ❑3 – b ❑3 – c ❑3
Bµi Lµm a) a ❑3 + b ❑3 + c ❑3 – 3abc = (a + b) ❑3 – 3ab(a + b) + c ❑3
– 3abc
= ( a + b + c)[(a + b) ❑2 – (a + b)c + c ❑2 ] – 3abc( a + b +c)
= (a + b + c)( a ❑2 + b ❑2 + c ❑2 – ab – bc – ca)
c) (a + b + c) ❑3 – a ❑3 – b ❑3 – c ❑3
= (a + b) ❑3 + c ❑3 + 3c(a + b)(a + b + c) – a ❑3 – b ❑3 –
c ❑3
= 3(a + b)(ab + bc + ac + c ❑2 ) = 3(a + b)(b + c) (c + a)
3 Bµi TËp
Bµi 3 Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
a) (x – 15) ❑2 – 16
b) 25 – (3 – x) ❑2
c) (7x – 4) ❑2 – ( 2x + 1) ❑2
d) 9(x + 1) ❑2 – 1
e) 9(x + 5) ❑2 – (x – 7) ❑2
f) 49(y- 4) ❑2 – 9(y + 2) ❑2
Trang 3Bài 4 Phân tích đa thức thành nhân tử
a) 8x ❑3 + 27y ❑3
b) (x + 1) ❑3 + (x – 2) ❑3
c) 1 – y ❑3 + 6xy ❑2 – 12x ❑2 y + 8x ❑3
d) 2004 ❑2 - 16
III/ Phân tích đa thức thành nhân tử, bằng ph ơng pháp nhóm
nhiều hạng tử.
1 Phơng pháp
- Sử dụng tính chất giao hoán, kết hợp để nhóm các hạng tử thích hợp vào từng nhóm
- áp dụng phơng pháp phân tích đa thức khác để giải toán
2 Ví dụ
2.1: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x ❑2 – 3xy + x – 3y
b) 7x ❑2 – 7xy – 4x + 4y
c) x ❑2 + 6x – y ❑2 + 9
d) x ❑2 + y ❑2 – z ❑2 – 9t ❑2 – 2xy + 6zt
Bài Làm a) x ❑2 – 3xy + x – 3y = (x ❑2 – 3xy) + (x – 3y) = x(x – 3y) + (x – 3y)
= (x – 3y) (x + 1)
b) 7x ❑2 – 7xy – 4x + 4y = (7x ❑2 – 7xy) – (4x – 4y) = 7x(x – y) – 4(x – y)
=(x – y) (7x – 4)
c)x ❑2 + 6x – y ❑2 + 9 = (x ❑2 + 6x + 9) – y ❑2 = (x + 3) ❑2
-y ❑2
= (x + 3 + y)(x + 3 – y) d)x ❑2 + y ❑2 – z ❑2 – 9t ❑2 – 2xy + 6zt
= (x ❑2 – 2xy + y ❑2 ) – (z ❑2 – 6zt + 9t ❑2 )
= (x – y) ❑2 – (z – 3t) ❑2 = (x – y + z – 3t)(x – y – z + 3t
2.2 – Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x ❑2 y + xy ❑2 + x ❑2 z + xz ❑2 + y ❑2 z + yz ❑2 + 2xyz
b) x ❑2 y + xy ❑2 + x ❑2 z + xz ❑2 + y ❑2 z + yz ❑2 + 3xyz
Bài Làm a) x ❑2 y + xy ❑2 + x ❑2 z + xz ❑2 + y ❑2 z + yz ❑2 + 2xyz = (x ❑2 z + y ❑2 z + 2xyz) + x ❑2 y + xy ❑2 + x ❑2 z + yz ❑2
= z(x + y) ❑2 + xy(x + y) + z ❑2 (x + y) = (x + y)(xz + yz + xy + z
= (x + y) [(xz + y) + (yz + z ❑2 )]
= (x + y) [yx(x + y) + z(z + y)]
= (x + y)(y + z)(x + z)
Trang 4b) x ❑2 y + xy ❑2 + x ❑2 z + xz ❑2 + y ❑2 z + yz ❑2 + 3xyz
= (x ❑2 y + x ❑2 z + xyz) + ( xy ❑2 + y ❑2 z + xyz) + (x ❑2 z +
yz ❑2 + xyz)
= x(xy + xy + yz) + y(xy + yz + xz) + z(xz + yz + xy)
= (xy + yz + xz)( x + y + z)
3 Bài Tập
Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x ❑4 + 3x ❑2 – 9x – 27
b) x ❑4 + 3x ❑3 – 9x – 9
c) x ❑3 – 3x ❑2 + 3x – 1 – 8y ❑3
BàI 6: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x(y2 – z2) + y(z2 – y2) + z(x2 – y2)
b) xy(x – y) – xz( x + z) – yz (2x + y – z )
c) x(y + z )2 + y(z + x) 2 + z(x + y) 2 – 4xyz
d) yz(y +z) + xz(z – x) – xy(x + y)
IV/ phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều
phơng pháp
1 phơng pháp
Vận dụng linh hoạt các phơng pháp cơ bản đã biết và thờng tiến hành theo trình tự sau :
- Đặt nhân tử chung
- Dùng hằng đẳng thức
- Nhóm nhiều hạng tử
2 ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử
a) 5x ❑3 45x
b) 3x ❑3 y – 6x2y – 3xy ❑3 – 6axy2 – 3a2xy + 3xy
Bài làm a) 5x ❑3 – 45x = 5x(x2 – 9) = 5x(x +3) (x – 3)
b) 3x2y – 6x2y – 3xy ❑3 – 6axy2 – 3a2xy + 3xy
= 3xy(x2 – 2y – y2 – 2ay – a2 + 1)
= 3xy [( x2 – 2x + 1) – (y2 + 2ay + a2)]
= 3xy [(x – 1) 2 – (y + a) 2]
= 3xy [(x – 1) + (y + a)] [(x – 1) – (y + a)]
= 3xy(x + y + a – 1) (x – y – a – 1)
3 bài tập
Bài 7 Phân tích đa thức thành nhân tử
a) 2a2b + 4ab2 – a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2 – 4abc
b) 8x ❑3 (x + z) – y ❑3 (z + 2x) – z ❑3 (2x - y)
c) [(x2 + y2)(a2 + b2) + 4abxy] 2 – 4[xy(a2 + b2) + ab(x2 + y2)] 2
Bài 8 Phân tích đa thức thành nhân tử
(x + y + z) ❑3 – x ❑3 – y ❑3 - z ❑3
Hớng dẫn
(x + y + z ) ❑3 – x ❑3 – y ❑3 z ❑3
=[(x + y + z) ❑3 – x ❑3 ] – (y ❑3 + z ❑3 )
= (x + y + z – x) [(x+ y + z) 2 + (x + y + z)x + x2] – (y + z)(y2 – yz +
z2)
= (y+z)[ x2 + y2 + z2 +2xy + 2xz + 2yz +xy + xz + x2 + x2 – y2 + yz –
z2]
= (y + z)(3x2 + 3xy + 3xz + 3yz)
= 3(y +z)[x(x + y) + z(x+y)]
= 3( x + y)(y + z)(x + z)
Trang 5V/ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách tách một hạng
tử thành hai hay nhiều hạng tử
1 Phơng pháp
Ta phân tích một hạng tử thành tổng của nhiều hạng tử thích hợp, để xuất hiện những nhóm số hạng mà ta có thể phân tích thành nhân tử bằng
ph-ơng pháp dùng hằng đẳng thức, đặt nhân tử chung…
2.Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành thành nhân tử
x2 – 6x + 8
Bài làm
cách 1: x2 – 6x + 8 = (x2 – 2x) – (4x – 8) = x(x – 2) – 4(x – 2)
= (x –2)(x – 4)
Cáh 2: x2 – 6x + 8 = (x2 – 6x + 9) – 1 = (x – 3) 2 – 1
= (x –3 + 1)(x – 3 – 1) = (x – 2)(x – 4)
Cách 3: x2 – 6x + 8 = (x2 – 4) – 6x + 12 = (x – 2)(x + 2) – 6(x – 2) = (x – 2)(x + 2 – 6) = (x – 2)(x – 4)
Cách 4: x2 – 6x + 8 = (x2 – 16) – 6x + 24 = (x –4)(x + 4) – 6(x – 4)
= (x – 4)(x + 4 –6) = (x –4)(x – 2)
Cách 5: x2 – 6x + 8 = (x2 – 4x + 4) – 2x + 4 = ( x – 2) 2 – 2(x – 2)
= (x – 2)(x – 2 – 2) = (x – 2)(x – 4)
3 Bài Tập
Bài 9 : Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x2 + 7x +10
b) x2 – 6x + 5
c) 3x2 – 7x – 6
d) 10x2 – 29x + 10
Bài 10: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x ❑3 + 4x2 – 29x + 24
b) x ❑3 + 6x2 + 11x + 6
c) x2 – 7xy + 10y
d) 4x2 – 3x – 1
VI/ Phơng pháp thêm bớt cùng một hạng tử.
1 Phơng pháp
Ta thêm hay bớt cùng một hạng tử vào đa thức đã cho để làm xuất hiện
n nhóm số hạng mà ta có thể phân tích đợc thành nhân tử chung bằng các phơng pháp: Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức,
2 Ví dụ
2.1 – Phân tích đa thức thành nhân tử.
x ❑4 + 64 = x ❑4 + 64 + 16x ❑2 – 16x ❑2
= (x ❑2 + 8) ❑2 – (4x) ❑2 = (x + 4x + 8)(x ❑2 – 4x + 8)
2.2 – Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x ❑4 + 4y ❑4
b) x ❑5 + x + 1
Bài làm a) x ❑4 + 4y ❑4 = x ❑4 + 4y ❑4 + 4x ❑2 y ❑2 – 4x ❑2 y ❑2
= (x + 2y) – (2xy)
= (x + 2y + 2xy)(x + 2y - 2xy)
b) x ❑5 + x + 1 = (x ❑5 + x ❑4 + x ❑3 ) – (x ❑4 + x ❑3 + x
❑2 ) + (x ❑2 + x + 1)
Trang 6= x ❑3 (x ❑2 + x + 1) – x ❑2 (x ❑2 + x + 1) + (x ❑2
+ x +1)
= (x ❑2 + x + 1)(x ❑3 – x ❑2 +1)
3 Bài tập
Bài 11: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x ❑5 + x ❑4 + 1
b) x ❑8 + x ❑7 + 1
c) x ❑8 + x + 1
d) x ❑8 + 4
Bài 12: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x ❑3 + 5x ❑2 + 3x – 9
b) x ❑3 + 9x ❑2 + 11x – 21
c) x ❑3 – 7x + 6
Bài 13: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x ❑3 - 5x ❑2 + 8x – 4
b) x ❑3 – 3x + 2
c) x ❑3 – 5x ❑2 + 3x + 9
d) x ❑3 + 8x ❑2 + 17x + 10
e) x ❑3 + 3x ❑2 + 6x + 4
Bài 14: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x ❑3 – 2x – 4
b) 2x ❑3 – 12x ❑2 + 7x – 2
c) x ❑3 + x ❑2 + 4
d) x ❑3 + 3x ❑2 + 3x + 2
e) x ❑3 + 9x ❑2 + 26x + 24
f) 2x ❑3 – 3x ❑2 + 3x + 1
g) 3x ❑3 – 14x ❑2 + 4x + 3
* MộT Số Phơng Pháp khác
VII/ Phơng pháp đặt biên số (đặt biên phụ)
1 Phơng pháp
Một số bài toán phân tích đa thức thành nhân tử mà trong đa thức đã cho có biểu thức xuất hiện nhiều lần Ta đặt biểu thức ấy là một biến mới Từ
đó viết đa thức đã cho thành đa thức mới dễ phân tích thành nhân tử hơn
2 Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) 6x ❑4 – 11x ❑2 + 3
b) (x ❑2 + 3x + 1)(x ❑2 + 3x – 3) –5
c) (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15
Bài Làm a) Đặt x = y
- Đa thức đã cho trở thành: 6y ❑2 – 11y + 3 = (3y – 1)(2y – 3)
- Trả lại biến cũ:
6x ❑4 – 11x ❑2 + 3 = (3x ❑2 – 1) (2x ❑2 – 3)
= ( √3 x – 1)( √3 x + 1)( √2 x - √3 )( √2 x +
√3 )
b) Đặt x ❑2 + 3x + 1 = y x ❑2 – 3x – 3 = y – 4
- Đa thức đã cho trở thành
y(y – 4) – 5 = y ❑2 – 4y – 5 = (y + 1)(y + 5)
- Trả lại biến cũ
Trang 7(x ❑2 + 3x + 1)(x ❑2 + 3x – 3) – 5 = (x ❑2 + 3x + 1 + 1)(x ❑2
+ 3x + 1 – 5)
= (x ❑2 + 3x + 2)(x ❑2 + 3x – 4) = (x + 1)(x + 2)(x – 1)(x + 1) c) (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 = (x + 8x + 7)(x + 8x + 15) + 15
- Đặt x ❑2 + 8x + 7 = y x ❑2 + 8x + 15 = y + 8
- Đa thức đã cho trở thành :
y(y + 8) + 15 = y ❑2 + 8y + 15 = y ❑2 + 5y + 3y + 15
= y(y + 5) + 3(y + 5) = (y + 5)(y + 3)
- Trả lại biến cũ
(x + 1)(x + 7)(x + 3)(x + 5) + 15 = (x ❑2 + 8x +7 + 5)(x ❑2 + 8x + 7 + 3)
= (x ❑2 + 8x + 12)(x ❑2 + 8x + 10) = (x ❑2 + 8x + 10)(x + 2)(x + 6)
3 Bài Tập
Bài 14: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) (x ❑2 + x) ❑2 – 2(x ❑2 + x) – 15
b) (x ❑2 + 3x + 1)(x ❑2 + 3x + 2) – 6
c) (x ❑2 + 4x + 8) ❑2 + 3x(x ❑2 + 4x + 8) + 2x ❑2
Bài 15: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24
b) (4x + 1)(12x – 1)(3x + 2)(x + 1) – 4
c) 4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x + 12) + 3x ❑2
d) 3x ❑6 – 4x ❑5 + 2x ❑4 – 8x ❑3 + 2x ❑2 – 4x + 3
VIII/ Phơng Pháp hệ số bất định
1 Phơng Pháp
Sử dụng tính chất: Hai đa thức cùng bậc bằng nhau thì hệ số tơng ứng của chúng phải bằng nhau
a ❑n x ❑n + a ❑n=1 x ❑n− 1 + + a ❑2 x ❑2 + a ❑1 x + a ❑0 =
b ❑n x ❑n + b ❑n=1 x ❑n− 1 + + b ❑2 x ❑2 +
+ b ❑1 x + b ❑0
a ❑i = b ❑i i = 1; n
2 Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử
2.1 – VD1: A = x ❑3 + 11x + 30
Vì A là đa thức bậc 3, hệ số cao nhất là 1 Nên nếu A phân tích đợc thì
A có dạng
A = (x + a)(x ❑2 + bx + c) = x ❑3 + (a + b)x ❑2 + (ab + c)x + ac
x ❑3 + 11x + 30 = x ❑3 + (a + b)x ❑2 + (ab + c)x + ac
Đồng nhất hệ số, ta có
¿
a+b=0 ab+c=11
ac=30
¿ { {
¿
Chọn a = 2 ⇒ c = 15; b = -2
Vậy (x ❑3 + 11x + 30) = (x + 2)(x ❑2 – 2x + 15)
2.2 – Ví dụ 2: B = x ❑4 – 14x ❑3 + 15x ❑2 – 14x +1
Trang 8Vì B là đa thức bậc 4, hệ số cao nhất là 1 nên nếu B phân tích đợc thành nhân tử thì B có dạng:
B = (x ❑2 + ax + b)(x ❑2 + cx + d)
B = x ❑4 + (a + c)x ❑3 + (ac + b + d)x ❑2 + (ad + bc)x + bd
Đồng nhất hệ số, ta có:
¿
a+c =14
ac+b+d=15
ad+bc=− 14
bd=1
¿ { { {
¿
⇒
¿
a=−1 b=1 c=− 13 d=1
¿ { { {
¿
hoặc
¿
a=13 b=1 c=− 1 d=1
¿ { { {
¿
Do vậy B = (x ❑2 – x + 1)(x ❑2 – 13x + 1)
hoặc B = (x ❑2 – 13x + 1)(x ❑2 – x + 1)
2 Bài tập
Bài 16: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x ❑3 + 4x ❑2 + 5x + 2
b) 2x ❑4 – 3x ❑3 –7x ❑2 + 6x + 8
c) 5x ❑4 + 9x ❑3 – 2x ❑2 – 4x – 8
Bài 17: Tìm a, b, c
a) x ❑4 – 2x ❑3 + 2x ❑2 – 2x + a = (x ❑2 – 2x + 1)(x
❑2 + bx + c)
b) x ❑3 + 3x ❑2 – x – 3 = (x – 2)( ❑2 x + bx + c) + a
c) 4x ❑3 + 7x ❑2 + 7x – 6 = (ax + b)(x ❑2 + x +1) + c
IX / Phơng pháp xét giá trị riêng
1 Phơng pháp
Khi các biến có vai trò nh nhau trong đa thức thì ta xét giá trị riêng
2 Ví Dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử.
2.1: VD1: P = (x + y + z) ❑3 - x ❑3 – y ❑3 – z ❑3
Bài Làm
- Coi P là một đa thức biến x
Khi đó nếu x = -y thì P = 0 ⇒ P (x + y)
- Trong P, vai trò của x, y, z bình đẳng nên
P (x + z)
P (y + z)
⇒ P = (x + y)(x + z)(y + z).Q
Mà P là đa thức bậc 2 đối với biế x, y, z nên Q là hằng số
Với x = 0 ; y = z = 1, ta có Q = 3
Vậy P = 3(x + y)(x + z)(y + z)
2.2 – Ví dụ 2:
Bài Làm
- Coi M là đa thức biến a
- Khi a = b thì M = 0
Trang 9M (a - b)
- Trong M vai trò của a, b, c bình đẳng nên :
M (b - c)
M (c - a)
M = (a - b)(b –c)(c – a)N
Vì M là đa thức bậc 3 đối với biến a nên N là đa thức bậc nhất đối với a Nhng do a,b,c có vai trò bình đẳng nên:
N = (a + b + c)R (R là hằng số) M = (a - b)(b –c)(c – a)(a + b + c)R Chọn a = 0, b = 1, c = 2 R = 1
Vậy B = (a – b)(b – c)(c – a)(a + b + c)
3 Bài tập
Bài 18: Phân tích đa thức thành nhân tử
A = ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a)
X Phơng pháp tìm nghiệm của đa thức
1 phơng pháp
Cho đa thức f(x), a là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(x) = 0
Nh vậy nếu đa thức f(x) chứa nhân tử (x – a) thì phải là nghiệm của đa thức
Ta đã biết rằng nghiệm nguyên của đa thức nếu có phải là ớc của hệ số tự do
2 Ví dụ: x3 + 3x – 4
Nếu đa thức trên có nghiệm là a ( đa thức có chứa nhân tử (x – a) thì nhân tử còn lại có dạng x2 + bx = c suy ra - ac = - 4 suy ra a là ớc của – 4 Vậy trong đa thức với hệ số nguyên nghiệm nguyên nếu có phải là ớc của hạng t không đổi
Ước của (- 4) là : -1; 1; -2; 2; - 4; 4 sau khi kiểm tra ta thấy1 là nghiệm của đa thức suy ra đa thức chứa nhân tử (x – 1)
Do vậy ta tách các hạng tử của đa thức làm xuất hiện nhân tử chung (x – 1)
*cách 1:
x3 + 3x2 – 4 = x3 – x2 + 4x2 = x2(x – 1) + (x – 1) (x + 1)
= (x – 1) (x2 + 4x + 4) = (x – 1) (x + 2)2
*cách 2:
x3 + 3x2 – 4 = x 3– 1 + 3x2 – 3 = (x3 – 1) + 3(x2 – 1)
= (x – 1) (x2 + x + 1) + 3(x2 – 1)
= (x – 1) (x + 2)2
Chú ý:
+ Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng không thì đa thức chứa nhân tử (x – 1)
+Nếu đa thức có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hạng
tử bậc lẻ thì đa thức chứa nhân tử (x + 1)
Ví dụ :
* Đa thức : x3 5x2 + 8x – 4 có 1 – 5 + 8– 4 = 0
Suy ra đa thức có nghiệm là 1 hay đa thức có chứa thừa số (x – 1)
*Đa thức : 5x3 – 5x2 + 3x + 9 có ( 5) + 9 = 1 + 3
Suy ra đa thức có nghiệm là - 1 hay đa thức chứa thừa số (x + 1) +Nếu đa thức không có nghiệm nguyên nhng đa thức có nghiệm hữu tỷ
Trang 10Trong đa thức với hệ số nguyên nghiệm hữu tỷ nếu có phải có dạng p/q trong
đó p là ớc của hạng tử không đổi, q là ớc dơng của hạng tử cao nhất
Ví dụ: 2x3 – 5x2 + 8x – 3
Nghiệm hữu tỷ Nếu có của đa thức trên là :
( 1); 1 ; ( 1/2) ; 1/2 ; ( 3/2) ; 3/2 ; 3
Sau khi kiểm tra ta thấy x =1/2 là nghiệm nên đa thức chứa nhân tử (x - 1/2) hay (2x – 1) Do đó ta tìm cách tách các hạng tử của đa thức để xuất hiện nhân tử chung (2x – 1)
2x3 – 5x2 + 8x – 3 = 2x3 – x2 – 4x2 + 2x + 6x – 3
=x2 (2x – 1) – 2x(2x –1) + 3(2x –1)
=(2x – 1)(x2 – 2x + 3)
XI Ph ơng pháp tính nghiệm của tam thức bậc hai
a) Phơng pháp: Tam thức bậc hai ax2 +bx + c
Nếu b2 – 4ac là bình phơng của một số hữu tỷ thì có thể phân tích tam thức thành thừa số bằng một trong các phơng pháp đã biết
Nếu b2 – 4ac không là bình phơng của một số hữu tỷ nào thì không thể phân tích tiếp đợc nữa
b)Ví dụ : 2x2 – 7x + 3
Với a =2 , b =- 7 , c = 3
Xét b2 4ac = 49 4.2.3 =25 = 55
Suy ra Phân tích đợc thành nhân tử : 2x2 7x + 3
= ( x 3)(2x 1)
Hoặc có thể phân tích bằng cách để ra bình phơng đủ
2x2 7x + 3 = 2/9x2 7/2x + 3/2
=2(x2 2.7/4 + 49/16 25/16)
=2[(x 7/4) 2 (5/4) 2] = 2(x - 1/2)(x - 3)
=(2x - 1)(x - 3)
Chú ý: P(x) = ax2 + bx + c có nghiệm là x1 , x2 thì
P(x) =a( x x1)(x x2)
Phần 2: Các bài toán áp dụng phân tích đa thức
thành nhân tử.
I).Bài toán rút gọn biểu thức
1 Phơng pháp
+Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử nhằm xuất hiện nhân tử chung
+ áp dụng tính chất cơ bản của phân thức đại số: Chia cả tử thức và mẫu thức cho nhân tử chung
Học sinh thấy đợc sự liên hệ chặt chẽ giữa các kiến thức giúp phát triển t duy suy luận lôgic, sáng tạo
2)Ví dụ: Rút gọn biểu thức
a) A = 3 x3− 7 x2+5 x − 1
2 x3− x2− 4 x +3