Lập phương trình đường thẳng l qua A cắt (C) tại hai điểm sao cho khoảng cách giữa hai điểm đó bằng độ dài cạnh hình vuông nội tiếp đường tròn ( C ).. Cán bộ coi thi không giải thích[r]
Trang 1TRƯỜNG THPT LÊ LỢI ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM 2012
T.P ĐÔNG HÀ - QUẢNG TRỊ Môn: TOÁN KHỐI A-B
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số: y 2 x3 3 mx2 1 (1)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
2 Khi khoảng đồng biến của hàm số (1) là ( ; )x x1 2 , tìm các giá trị của m để x2 x11
Câu II (2,0 điểm)
1 Giải phương trình:
sin 2 cos2 2 2cos 3cos
1 cos
x
2 Giải bất phương trình: x 3 2 x 1 0
Câu III (1,0 điểm)
Tính tích phân:
2
4 1
2
x dx I
x
Câu IV (1,0 điểm)
Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác cân AB AC 2 a 3, góc BAC 120o Mặt bên (SBC) vuông góc với đáy và hai mặt bên còn lại tạo với mặt đáy một góc Tính thể tích khối
chóp S.ABC theo a và
Câu V (1,0 điểm)
Tìm tất cả các giá trị của a để phương trình sau có nghiệm thực:
3 x2 2 x 3 a x 1 x2 1
II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ chọn một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A Theo chương trình chuẩn.
Câu VI.a (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, biết toạ độ trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC lần lượt là H(2;2), I(1;2); và trung điểm
5 5 ( ; )
2 2
M
của cạnh BC Hãy tìm toạ độ các đỉnh
, ,
A B C biết xB xC (xB, xC lần lượt hoành độ điểm B và C).
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi A, B, C lần lượt giao điểm của mặt phẳng
P : 6x2y3z 6 0
với Ox, Oy, Oz Lập phương trình đường thẳng d đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đồng thời vuông góc với mặt phẳng (P).
Câu VII.a (1,0 điểm)
Giải bất phương trình: 1
log 4x 4 log 2x 3
B Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường tròn (C): x2 y2 6 x 2 y 6 0 và điểm (3;3)
A Lập phương trình đường thẳng l qua A cắt (C) tại hai điểm sao cho khoảng cách giữa hai điểm đó bằng độ dài cạnh hình vuông nội tiếp đường tròn (C)
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm E(2;1;5), (4;3;9)F Gọilà giao tuyến của hai mặt phẳng P : 2x y z 1 0 và Q : x y 2z 7 0 Tìm điểm I thuộc sao cho:
IE IF
lớn nhất
Câu VII.b (1,0 điểm)
Giải bất phương trình: 1
log 3x 1 log 3x 3 6
.Hết
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Trang 2Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Trang 3HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM 2012
Môn: Toán khối A-B
Câu I.1
(1,0 đ) Khi m = 1 ta có hàm số
y x x
Tập xác định D =
Giới hạn:
lim
lim
nên đồ thị không có tiệm cận Chiều biến thiên
2
y x x; y ' 0 x 0 x 1
y x x y x
Suy ra hàm số đồng biến 0;1
, nghịch biến ;0 , 1;
;CĐ (1;0) ; CT(0;-1) Bảng biến thiên:
x 0 1
'
y 0 + 0
y 0
- 1
Đồ thị
điểm đặc biệt CĐ (1;0); CT(0;-1); A(2, -5)
Giao với Ox tại (1;0) và
1 ( ,0) 2
Giao với Oy tại (0;-1)
điểm uốn
1 1
;
2 2
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu I.2
(1,0 đ) Tập xác định D =
2
y x mx, y ' 0 x 0 x m
Nếu m = 0 y 0 x hàm số nghịch biến trên không thoả mãn yêu cầu bài toán
Nếu m 0, y 0 x 0;m khi m 0 hoặc y 0 x m o khi m; 0
Vậy khi khoảng đồng biến của hàm số (1) là x x1; 2
đồng thời x2 - x1 = 1
Tương đương
1 2
1 2
; 0;
và x2 - x1 = 1 hay
0 1
1
m
m m
0,25 0,25 0,25
0,25
Câu II.1
(1,0 đ) Đk: c x os 1 Phương trình đã cho tương đương với :
1
1 cos
x
sin 2x cos2x cosx 2sinx 1 cosx
0,25
0,25
Trang 4sin 0 cos 1 (loai)
2
x
x
So sánh điều kiện có nghiệm x 2 k và 2
2
x k
, k
0,25
0,25
Câu II.2
(1,0 đ) Giải bất phương trình: x 3 2 x 1 0
Điều kiện :
3 2
x
Đặt
2 3
3 2 0
2
t
t x x
Khi đó bất phương trình trở thành : t3 3 t 2 0 t 1 2 t 2 0 t 2, t 1
So sánh đ/k ta có : 0 t 2 nên
0 3 2 2
Vậy nghiệm bất phương trình
1 3
;
2 2
S
0,25
0,25 0,25 0,25
Câu III
(1,0 đ)
1 2
I I
với I1=
2 4 1
3
2 x dx
=
2
2
1 1
2 x dx 2 x 16
1
4 2
x
x
đặt x 2sin t dx 2cos tdt, đổi cận 1 ; 2
x t x t
Nên
3 2 6
cot
t
vậy
2
4 1
2
x dx I
x
= 1 7 2 3
16
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu IV
(1,0 đ) Gọi I là hình chiếu vuông góc của S trên BC , do
(SBC) ( ABC)nên SI vgóc với mp(ABC) Gọi H, K lần lượt hình chiếu vuông góc của I trên AB và AC, suy ra AB SH AC ; SK
(định lý 3đvg) SHI SKI IH IK I thuộc đường phân giác trong góc A
của tam giác ABC nên I trung điểm BC.
Ta có :
3 9.
3 2
a
IH IK
Trong tam giác vuông SHI ta có
SI = IH.tan =
3 2
a
tan
0,25
0,25
0,25 S
A
I
Trang 5
2 1
36 3 3 2
ABC
Vậy
3
(đvtt)
0,25
Câu V
(1,0 đ) Tìm tất cả các giá trị a để pt : 3 x2 2 x 3 a x 1 x2 1
có nghiệm thực
Pt viết lại 2( x2 1) ( x 1)2 a x 1 x2 1
TXĐ x R Chia 2 vế cho x 2 1 >0 ta được
2
2
a
; t 0 x 1
x 1
'
t + 0
t 2
1
từ đó ta có t 1; 2
khi đó pt viết lại : 2 2
2 t at a t g t
t
(do t =0 không là
2
t
.
t - 1 0 2
'
g 0
g -3
Từ đó suy ra pt có nghiệm thực khi a 3 ; a 2 2
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu
AVI.a1
(1,0 đ)
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC ta có : GH 2GI
gọi G(x ;y) khi đó :
4
( ; 2) 3
G
Mặt khác gọi A(x ;y) , vì GA2GM
nên
1 5
2 2( 2) 2
A y
y
Đường thẳng BC đi qua điểm
5 5 ( ; )
2 2
M
nhận AH (3;1)
làm véctơ pháp tuyến Nên có pt : 3 x y 10 0 Gọi (C) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì (C) : có
tâm I( 1;2) và bán kính R 4 1 5.Do đó pt (C) : x 1 2 y 2 2 5
Khi đó toạ độ B ;C là nghiệm hệ :
1 2 2 2 5 2 3
x y
Do giả thiết xB xC Nên B(3;1) ; C(2;4)
Vậy : A(-1;1); B(3;1) ; C(2;4)
0,25
0,25
0,25
0,25
Trang 6AVIa.2
(1,0 đ) Pt mp (P) viết lại :
1
1 3 2
x y z
, do đó
( ) P Ox A (1;0;0); ( ) P Oy B (0;3;0);( ) P Oz C (0;0; 2)
Gọi I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC, theo cách xác định tâm : thì I thuộc đường thẳng vuông góc với (OAB) tại trung điểm M của AB đồng thời thuộc mặt phẳng trung trực OC do
đó
1 3 ( ; ;1)
2 2
I
.Gọi J tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì IJ vuông góc với mp(ABC) , nên d chính là đt IJ d là đt qua I nhận n (6; 2;3) pháp tuyến của (P) làm véc tơ chỉ phương
Vậy pt d :
1 6 2
2
( t )
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu
AVII
(1,0 đ)
Bất phương trình : 1
log 4x 4 x log 2x 3
1
1
2 2 3 2 4 0 3
2 2
x
3
2 4 2
x
2
3
2 x Vậy nghiệm bài toán 2
3 log ; 2 2
S
0,25 0,25 0,25
0,25
Câu
B.VIb.1
(1,0 đ)
Pt đường tròn (C) viết lại : x 3 2 y 1 2 16
, có tâm I(3 ; - 1) ; R = 4
Ta thấy A(3 ;3) thuộc (C) Pt l có dạng : a x ( 3) b y ( 3) 0, a2 b2 0 hay
3 3 0
ax by a b Giả sử l qua A cắt (C) tại B khác A; theo gt ta có AB = 4 2
Gọi hình vuông ABCD tâm I ta có
d I l AD AB
2 2
2 2
, chọn b = 1thì a = 1 hoặc a = -1 Vậy ta có 2 đt thoả mãn đề bài là x +y - 6 = 0 và x - y = 0
0,25 0,25
0,25
0,25
Câu
B.VI.2
(1,0 đ)
Chọn M(0 ;5 ;6) ; N(1 ;0 ;3) MN (1; 5; 3)
là một véctơ chỉ phương của
đường thẳng pt tham số đt :
1 5
3 3
Pt tham số đt EF là đt qua E(2;1;5) nhận
1
2 EF
làm véc tơ chỉ phương
2 1
5 2
Xét hệ
0
1
t
t
suy ra EF cắt tại A(1;0;3) (trùng với N)
Trong mp(,EF) mọi điểm I ta có IE IF EF
(hiệu 2cạnh trong 1tam giác nhỏ hơn
cạnh thứ 3) dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi I, E, F thẳng hàng, từ đó suy ra I trùng A Vậy
điểm I(1;0;3).
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu
B.VII Giải bất phương trình: 1
log 3x 1 log 3x 3 6
0,25
Trang 7(1,0 đ) Đk: 3x 1 0 x 0 (*)
Bpt tương đương với
28
27
x
Đối chiếu điều kiện: (*) có nghiệm 3 3
28 log ;log 10 27
0,25 0,25
0,25
Lưu ý: Các cách giải khác với đáp án nếu đúng vẫn được điểm tối đa.