TÍCH PHÂN CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI. 5.[r]
Trang 1NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN
BẢNG NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm của những hàm số
sơ cấp thường gặp Nguyên hàm của những hàm số
thường gặp
Nguyên hàm của những hàm
số hợp
∫x αdx=x
α +1
α +1+C (α ≠ 1)
∫dxx =ln|x|+C ( x ≠ 0)
∫e x dx=e x+C
∫a xdx= a
x
ln a+C (0<a ≠ 1)
∫cos12
∫sin12
∫d (ax +b)=1
∫(ax +b ) αdx=1
a
(ax +b ) α +1
α +1 +C ( α ≠1 )
∫dxax +b=1
aln|ax+b|+C (x ≠ 0)
∫e ax+bdx=1
a e
ax+b
a cos (ax +b )+C
∫cos2(ax +b )1 dx=
1
sin2(ax +b) dx=−1
acot(ax +b)+C
∫u αdu=u
α+1
α+1+C (α ≠ 1)
∫duu =ln|u|+C (u ≠ 0)
∫e u du=e u+C
∫a udx= a
u
ln a+C ( 0<a ≠ 1)
∫cos12
∫sin12
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN
I Phương pháp đổi biến số :
'
f x dx f t t dt
Một số công thức đổi biến số đặc biệt:
1 1
√a2− x2 đặt: x = asint ⇒dx=acos tdt
2 1
√a2
+x2 đặt: x = atant ⇒dx= a
cos2t dt
3 1
√x2− a2 đặt: x=
a
cos2t dt (tiếp tục đổi biến số, đặt: u = sint)
4 1
√x (a − x) đặt: x = asin2t
II Phương pháp tích phân từng phần: ∫
a
b
udv=uv¿a b −∫
a
b
vdu
1
¿
u=¿dv=¿
{
¿
P(x)
hàm mũ
1
Đặt:
¿
u=hàm logarit
dv=P(x )
¿
{
¿
Đặt
:
Trang 2TOÁN 12
Đặt:
¿
u=P(x )
dv=hàm l giác
¿
{
¿
Đặt: tùy ý (thường thì u = l.giác)
Ngoài ra:
1 Dưới dấu tích phân chứa hàm logarit hoặc hàm lượng giác ngược
Đặt: u = logarit or lượng giác ngược
Ví dụ 1: I=∫ln xdx
¿
u=ln x
dv=dx
→
x v=x
⇒ I=x ln x −∫dx
¿{
¿
Ví dụ 2: I=∫x arctan x dx
¿
u=arctan x
dv=xdx
→
1+ x2
v = x
2
x2+1
⇒ I= x2+1
1
¿{
¿
2 Dưới dấu tích phân chứa hàm: sin(lnax), cos(lnax), …
Đặt: u = sin(lnax), cos(lnax), … (tích phân từng phần 2 lần)
Ví dụ:
¿
sin(ln x )dx →
u=sin(ln x )
dv=dx
→
x cos (ln x)dx v=x
⇒ I=xsin (ln x)−∫cos (ln x)dx (I1)
¿
III Tích phân hàm phân thức hữu tỉ dạng: P(x)
Q( x) (với P(x), Q(x) là các đa thức)
1 Nếu bậc P(x) Q(x): dùng PP chia đa thức
2 Nếu bậc P(x) < Q(x): dùng PP đồng nhất thức
IV Tích phân chứa trị tuyệt đối: I = ∫
a
b
|f (x )|dx
- Bước 1: Lập bảng xét dấu f(x) trên [a,b]
Trang 3Ví dụ:
- Bước 2: Chia tích phân I thành các tích phân nhỏ dựa vào bảng xét dấu (ghi kèm dấu)
I = ∫
a
b
|f (x )|dx=∫
a
x1
f (x )dx −∫
x1
x2
f (x)dx+∫
x2
b
f (x )dx
V Tích phân hàm lượng giác
Dạng: ∫R(sin x , cos x)dx (R là hàm hữu tỉ theo sinx và cosx)
PP chung: Đặt
t=tan x
x=2 arctan t
1+t2dt
¿
{
1+t2;cos x= 1 −t
2
1+t2
Ví dụ: I=∫dx8− 4 sin x +7 cos x
Đặt:
t=tan x
x=2 arctan t
1+t2dt
¿
{
⇒ I=2∫dtt2− 8 t+15=2∫dt(t − 3)(t −5) (dùng PP đồng nhất hệ số để giải)
Chú ý:
+ Nếu R là hàm lẻ của sinx: R(-sinx) = - R(sinx) → đặt: t = cosx
Ví dụ: I=∫sin x
+ Nếu R là hàm lẻ của cos: R(-cosx) = - R(cosx) → đặt: t = sinx
Ví dụ: I=∫cos x
+ Nếu R là hàm chẳn theo sinx, cosx → đặt: t = tanx
Ví dụ: I=∫sin
2
x
1 TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ.
a Đổi biến số dạng 1 :
Bài 1: Tính các tích phân sau:
a 2 3 2
0
I cos x 1 cos x.dx
∫
b
1
0
5
I ∫ x x dx
c
2 4 0
d
1
2
2 0
1
1
x
∫
e
2
2 0
4
J ∫ x dx
Bài 2 : Tính các tích phân sau:
a/
1
2
01
dx
I
x
∫
b/
3 1 2
dx J
∫
c /E=
1 2 0
1
x x
∫
d/
1 2
dx F
∫
BÀI TẬP
1
x 2
x
+ +
f(
x)
Trang 4TOÁN 12
b Đổi biến số dạng 2 :
Bài 1: Tính các tích phân sau:
a)
1
5
0
∫
b)
2
ln
e
e
dx
x x
∫
c)
1 2 0
4 2 1
x dx
x x
∫
d)
2
2
1 (2 1)
dx
x
∫
e)
2 3
3
2
3
∫
f/
2
ln
e
e
dx I
x x
g/
ln 5
dx K
e e
∫
h/ 1 3ln 2
e dx E
∫
i/
1
2 8 0 1
F ∫x xdx
j/
3
1
2
dx
G
∫
k/
1
0
3 1
x
x
∫
l/
2
x
x
∫
m/ 1
1 3ln ln
e
x x
x
n/
2 2 1
ln
x dx N
∫
o
1
0
5
I ∫ x x dx
Bài 2: Tính các tích phân sau:
a/
4
3 0
sx (sinx+cosx)
co
b/
2
0
1 3cos
x L
x
∫
c/
2
0
sin 2 cos
co
∫
d/
2
0
sin 2
x
∫
e/ N=
2 0
sin cos
x dx x
∫
f/
2
2 4
sin x-cosx (sinx+cosx)
Bài 3: Tính các tích phân sau:
a/
3
2
0
sin
b/
2 5 0 cos
c/
2
0
d/
2
dx N
∫
(đ 2
x
t tg
) e/ L=
2
4 0
s x
xco dx
∫
f/
4
4
cos
x
∫
g/
4
2 0
1 sin 2x
cos
x
h/
4
0
∫
2.TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN.
Bài 1: Tính các tích phânsau:
a/ A=
1
2
0
x
x e dx
∫
b/ B=
1 2 0 x
x e dx
∫
c/ C=
ln 2
0 x
x e dx
∫
d/ D=
3
1 5 0 x
x e dx
∫
e/ E=
1
0
.2 x
x dx
∫
f/ F=
1
0
x e dx
∫
g/ G=
3 3 1/ 3 x
x e dx
∫
Bài 2: Tính các tích phân sau:
a/ A= 0
.sin
x x dx
∫
b/ B=
/ 2
0 (x 1).cos x dx
∫
c/ C=
/ 2 2 0 cos
x x dx
∫
Trang 5d/D =
/ 6
0
(2 x).sin 3 x dx
∫
e/ E=EMBED Equation.DSMT4
/ 2 2 0 cos3
x
∫
f/ F=
EMBED Equation.DSMT4
/ 2 0 s
x
e co x dx
∫
g/ G=
0
.sin
x
∫
h/ H=
/ 2 2 0 (x 2x 3).sin x dx
∫
i/ I=
2 / 4 0 sin x dx
∫
k/ K= 0
cos(ln )
e
x dx
∫
l/L=
/ 3 2 / 6
ln(sin )
cos
x dx x
∫
m/
3 2 2
M ∫ x x
Bài 1: Tính các tích phânsau:
a/
1
2
0
x
x e dx
∫
b/
1 2 0 x
x e dx
∫
c/
ln 2
0 x
x e dx
∫
d/
3
1 5 0 x
x e dx
∫
e/
1
0
.2 x
x dx
∫
f/
1
0
(x 1).e dx x
∫
g/
3 3 1/ 3 x
x e dx
∫
Bài 2: Tính các tích phân sau:
a/ 0
.sin
x x dx
∫
b/
/ 2
0 (x 1).cos x dx
∫
c/
/ 2 2 0 cos
x x dx
∫
d/
/ 6
0 (2 x).sin 3 x dx
∫
e/
/ 2
2
0
.cos3
x
∫
f/
/ 2
0 s
x
e co x dx
∫
g/
0 sin
x
∫
h/
/ 2 2 0 (x 2x 3).sin x dx
∫
i/
/ 2
2
/ 4sin
x
dx
x
∫
j/
/ 4 2 0
cos
x dx x
∫
k/
/ 2
0 cos n x dx
∫
l/
/ 4 2 0
n
tg x dx
∫
Bài 3: Tính các tích phân sau:
a/ 1
ln
e
x dx
∫
b/
5
2
2 ln(x x1).dx
∫
c/
2
1
(2x1).ln x dx
∫
d/
2
1
e
x dx
∫
e/
2
1
.ln
e
x x dx
∫
f/
2 1
(1 ln )
e
x dx
∫
g/
3 1
ln
e
x dx
∫
h/
1
2 0
x x dx
∫
i/
2
ln
e
e
x
dx
x
∫
j/
2
1
ln
e
x dx x
∫
k/ 1
2
1
e
x
∫
Bài 4: Tính các tích phân sau:
a/
2
2
e
e
dx
∫
b/
/ 3 2 / 6
ln(sin )
cos
x dx x
∫
c/ 0 cos(ln )
e
x dx
∫
d/ 2 2
0
∫
e/
2
1
2 0
1
dx x
∫
f/
2 / 4 0 sin x dx
∫
g/
2 2
2 / 4
∫
h/
2 1 ln
e
x x dx
∫
Bài 5: Tính các tích phân sau:
a/ 1
sin(ln )
e
x
dx x
∫
b/ 1 cos(ln )
e
x dx
∫
c/
/ 4 2 / 6sin cot
dx
∫
d/
cos
0
∫
e/ I =
/ 2
3 2 0
∫
f/ J =
/ 2
2 0
sin cos 1 cosx x x dx
∫
g/ K =
/ 2
0
sin ln 1 cos x x dx
∫
h/ H =
/ 4
2 0
1 tg x ln 1 tgx dx
∫
3 TÍCH PHÂN CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Trang 6TOÁN 12 Bài 1: Tính các tích phân sau:
a/
2
2
3
b/
2
dx D
x
∫
c/
2 1
1
Bài 2: Tính các tích phân sau :
a/ A=
dx x
0
2 sin
1
b/
2
2 0
c/
3
0
MỘT SỐ BÀI TẬP
Bài 1: Tính các tích phân sau:
a/
1
0
x x dx
∫
b/
1
5 0
(1 2 ) x dx
∫
c/
1 2
x dx
x
∫
d/
1
3 0
(1x) (2x3)dx
∫
e/
1
0
x x dx
∫
f/
y dy y
∫
g/
2
x dx
x
∫
h/
3 2 4 1
1 1
x dx x
∫
i/
3 2
4
1
1
1
x
dx
x
∫
j/
3 4 1
1
1dx
x
∫
k/
3 2 3
1
3dx
x
∫
l/
2 2 1
1
9dx
x
∫
m/
2
2
1
1
x x
∫
1 2
x dx
x x
∫
p/
2 2 0
1
x dx
∫
q/
5
2
4
x
dx
∫
r/
2 0
1 9
x dx x
∫
s/
2 3 1
1
dx
x x
∫
t/
1
0
1
x x
∫
u/
8
x
dx
x
∫
v/
3
0
1
x x
∫
Bài 2: Tính các tích phân sau:
a/
2
1
2
x x dx
∫
b/
3
0
4
x dx x
∫
c/
3 3 4
4
x dx x
∫
d/
0
1 1
x dx x
∫
e/
x
dx x
∫
f/
3
0 1
x x dx
∫
g/
7 / 3 3 0
1
x dx x
∫
h/
2 3 0
∫
i/
1
2
0
1
x x dx
∫
j/
1
0
1
3 2 x dx
∫
k/
5
1/ 2
x x dx
∫
l/
2
2 0
4
x x dx
∫
m/
2
3
0
8
x x dx
∫
n/
x dx x
∫
o/
4 2 0
9
x x dx
∫
p/
4
0
1
1x dx
∫
q/
1
0
1
∫
r/
2
3
0
1 1
x dx x
∫
s/
5 2
x dx
x
∫
t/
4 1
1
dx
x x
∫
Bài 3: Tính các tích phân sau:
a/
1
2
0
1
x dx
∫
b/
1
2 0
1 x dx
∫
c/
1
2 2 1
1
x
c”/
2 1
1
x x
∫
d/
2
2 / 2
1 x
dx x
∫
e/
1
2
dx x
∫
f/
2
x dx x
∫
g/
1
1
x dx x
∫
h/
3
9
x
dx x
∫
i/
2
x dx x
∫
j/
1
3 2 0
1 1
dx x
∫
k/
3 3
3
1
9dx
x x
∫
Trang 7l/
3 / 2
2 / 2
1
x x dx
∫
m/
3
1
dx x
∫
Bài 4: Tính các tích phân sau:
a/
/ 4
2
0
∫
b/
/ 4
/ 6 cotgx dx
∫
c/
0
∫
d/
/ 2 3 0 sin cos x x dx
∫
e/
/ 4
0
tgx dx
∫
f/
1 2 0
1 cos 3
dx x
∫
g/
/ 2
0
sin
1 3cos
x dx x
∫
h/
2 0
sin cos
x dx x
∫
i/
0
4sin
1 cos
x
dx x
∫
j/
/ 2 4 / 4sin
dx x
∫
k/
/ 2
4 0
cos
1 sin
x dx x
∫
l/
/ 4
dx
∫
m/
8
0
sin
cos
x
dx x
∫
n/
/ 4 6 0
tg xdx
∫
o/
/ 2
dx
∫
p/
/ 2
0
∫
q/
/ 4
0
3 2sin
dx x
∫
r/
/ 4
0 cos3 sin x x dx
∫
s/
/ 4
2
dx x
∫
t/
/ 2
0
cos
x dx
∫
u/
/ 2
0
sin
x dx
∫
v/
/ 2
dx x
∫
w/
/ 6
cos sin
x dx x
∫
x/
/ 4
0
cos
2 sin 2
x sinx
dx x
∫
a’/
/ 6
0
1 4sin cos x x dx
∫
b’/
/ 2
dx x
∫
c’/ 0
dx
∫
d’/
/ 2
0
cos
2 cos 2
x dx x
∫
e’/
/ 4
0 cos
dx x
∫
f’/
/ 4
0
cos 2
1 2sin
x dx x
∫
g’/
/ 4
2 0
1 2sin 2 cos
x dx x
∫
h’/
/ 2
/ 6
sin cos x x dx
∫
i’/
/ 4 3 / 6sin cos
dx
∫
j’/
/ 2
4 0
sin 2
1 sin
x dx x
∫
k’/
/12
3
dx x
∫
l’/
/ 4
cos 2
0
.sin 2
x
∫
m’/
/ 4
dx
∫
Bài 5: Tính các tích phân sau:
a/
1
3
0
x
e dx
∫
b/
2
1
0
x
e x dx
∫
c/
1
0
x x
e e dx
∫
d/
1
dx
e
∫
e/
ln 2
0
1
1
x
x
e
dx
e
∫
f/
4
1
x
e dx x
∫
g/
(ln 2) / 2 6
4
x x
e dx e
∫
h/
ln 2
ln(3/ 2)
1
x
e dx
∫
i/
2ln 2
dx
e
∫
j/
2
x x
e dx
e
∫
k/
7
3 1
ln
1 ln
e
x dx
∫
l/ 1
1 ln
e
x dx x
∫
m/
1
e
dx x
∫
n/ 1 2
1
4 ln
e
dx
∫
o/
/ 2 sin 0 cos
x
∫
p/
1
0
3
1 3
x
x dx
∫