Một số dạng toán ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất cả các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm m[r]

MỘT SỐ DẠNG TOÁN ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH

THỂ TÍCH VẬT THỂ

I Một số dạng toán

1 Dạng 1: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng  H giới hạn bởi đồ thị hàm số

 

y f x , trục Ox và hai đường thẳng xa x, b a b quanh trục Ox

Công thức tính:

 

2

b

a

V  f x dx

2 Dạng 2: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng  H giới hạn bởi đồ thị hàm số

 

x f y , trục Oy và hai đường thẳng ya y, b a b quanh trục Oy

Công thức tính:

 

2

b

a

V  f y dy

3 Dạng 3: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng  H giới hạn bởi các đồ thị hàm

số y f x ,yg x  liên tục trên  a b; , 0 f x g x , x  a b; quay quanh trục Ox

Công thức tính:

   

b

a

V g x  f x dx

4 Dạng 4 ( Đọc thêm ): Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi các mặt phẳng xa x, b biết diện tích

thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc trục Ox là SS x 

Công thức tính:

 

b

a

V S x dx

Khi miền D giới hạn bởi nhiều đồ thị hàm số thì ta nên vẽ hình, sau đó từ hình vẽ suy ra cách tính

Ví dụ: Cho đường cong y  x2 1 và đường thẳng y0 Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi

quay hình phẳng giới hạn bởi hai đường trên quanh Ox

Ta có: 2 1 0 1

1

x x

x

 





Thể tích: 1  1 

2

1

1





II Bài tập

Câu 1: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2x – x2 và y = 0 Thì thể tích vật thể tròn xoay được

sinh ra bởi hình phẳng đó khi nó quay quanh trục Ox có giá trị bằng?

A 16

15



(đvtt) B 15

16



(đvtt) C 5

6



5



(đvtt)

Câu 2: Thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đườnyx24, y2x4, x0, x2quay

quanh trục Ox bằng:

A 32

5



5



Câu 3: Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường

y x e , x 1, x 2 , y 0 quanh trục ox là:

A (e2e) B (e2e) C 2

e

Câu 4: Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đườngy4, y0 , x1, x4

x

quanh trục ox là:

Câu 5: Cho hình phẳng  H giới hạn bởi các đường ysin x; x0; y0và x  Thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi hình  H quay quanh Ox bằng

2

2



C

2

4



D

2



Câu 6: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y x và yx quay xung quanh trục Ox Thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng:

6



Câu 7: Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đườngy x , y0 ,y 2 x

quanh trục ox là:

A 7

12



3



D 6

5



Câu 8: Thể tích vật thể tròn xoang khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x ; x2 y2quanh

trục ox là

A 2

10



B 4

3



C 3

10



D

10



Câu 9: Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = 8x2 và x = 2 quanh trục ox là:

Câu 10: Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đườngy 1 x , y2 0 quanh trục ox có kết quả dạng a

b

 khi đó a+b có kết quả là:

Câu 11: Thể tích khối tròn xoay tạo nên khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường y =

(1- x)2, y = 0, x = 0 và x = 2 bằng:

3



C 5

2



D 2

5



Câu 12: Thể tích khối tròn xoay được tạo bởi phép quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các

đường y = x2

và x = y2 bằng:

3



10



Câu 13: Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng D giới hạn bởi các đường y x 1 , trục hoành, x2, x5 quanh trục Ox bằng:

A

5

2

x 1dx

2

x 1 dx

2 2 1

y 1 dx

2

x 1 dx



Câu 14: Thể tích của khối tròn xoay tạo lên bởi hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y  x2 2;

y1và trục Ox khi quay xung quanh Ox là

C

( x 2) dx dx

1

1

( x 2) dx



Câu 15: Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Oy hình phẳng giới hạn bởi các đường:

2

yx 4x 3 và Ox bằng:

A 16

5



5



D 16

3



Câu 16: Thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường

yx ln x, y0, xe có giá trị bằng: 3

(b e 2) a



 trong đó a,b là hai số thực nào dưới đây?

A a = 27; b = 5 B a = 24; b = 6 C a = 27; b = 6 D a = 24; b = 5

Câu 17: Thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x2 – 2x, y

= 0, x = 0, x = 1 quanh trục hoành Ox có giá trị bằng?

A 8

15

(đvtt)

B

7

8(đvtt)

C

8

15(đvtt)

D

8

7

(đvtt)

Câu 18: Cho hình phẳng  H được giới hạn bởi các đường: yx ln x, y0, xe Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi hình  H quay quanh trục Ox

Ox

5e 2 V

25

Ox

5e 2 V

27

Ox

5e 2 V

27

Ox

5e 2 V

25



Câu 19: nh thể t ch của khối tròn xoay tạo thành khi ta cho miền phẳng giới hạn bởi các đường

x

ye , y , x , x quay quanh trục ox a có

2

(e 1)

V (đvtt)

2

 

2

e

V (đvtt) 2



V  (đvtt)

Câu 20: Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn parabol   2

P : yx 1 và trục hoành khi quay xung quanh trục Ox bằng bao nhiêu đơn vị thể tích?

A 7

2



B 5

2



C 8

3



D Đáp án khác

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên

danh tiếng

I Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các rường ĐH và HP danh tiếng xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ ăn, iếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và

Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán : Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn

II Khoá Học Nâng Cao và HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình oán Nâng Cao, oán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành t ch học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp

dành cho học sinh các khối lớp , , 2 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc

Bá Cẩn cùng đôi HL đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất cả

các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn ph , kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ ăn, in Học và Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí