+Sử dụng phương pháp lặp hoặc lệnh SHIFT SOLVE để tìm nghiệm gần đúng của phương trình.. +Chứng minh được phương trình có k nghiệm và tìm được k nghiệm đó.[r]
Trang 1MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ CÁC DẠNG TOÁN TRONG ĐỀ THI CASIO CẤP TỈNH TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC:
+Tính được các giá trị của biểu thức chứa nhiều hàm số như: lượng giác, mũ, lôgarit
+Các dạng biểu thức lặp, hàm hợp.
+Tất cả các giá trị qua bước trung gian đều lưu vào biến nhớ
Bài 1: (Giải tích-Tính giá trị của hàm số)
Cho hàm số:
2 3
) 1 (sin
log 2 )
1
x
x x x
f y
x
Đặt
n
n f f f
f 2 , 009
Lập quy trình và tính f1 ; f2 ; f5 ; f10 ; f15
HD:
Ấn 2,009 =
( 2 X 2 ^ ANS X ( ln ( sin ANS + ANS + 1) : ln 3) : ( 3ANS - 2 ) =
ấn phím = liên tiếp ta tính được các giá trị:
Đáp số: f1 2 , 64576; f2 2 , 71759; f5 2 , 802898; f10 2 , 83172;
83635
,
2
20
f
Bài 2 (khu vực 2009) Tính giá trị của hàm số sau tại x 0,5:
3 2 2
sin 1 ( )
f x
Bài 3 (Qtri 2010-2011)
f x x x và ( ) sin 2 2 3 cos 3 5
7
g x x x
Tính: a) f g 7 13 ) 1
2011
b f f f
)
5
c g g g
ĐS: a) f g 7 13 4,1244
1
2011
b f f f
Trang 2GIẢI PHƯƠNG TRÌNH :
+Sử dụng phương pháp lặp hoặc lệnh SHIFT SOLVE để tìm
nghiệm gần đúng của phương trình.
+Chứng minh được phương trình có k nghiệm và tìm được k
nghiệm đó.
Bài 1 (Qtri 2009-2010) Giải phương trình 3 7 3 0
2
x
x
2
x
y x
x
y
x
y
7 log
3 ln 2
x
2
Vì y ' 0 có đúng 1 nghiệm nên phương trình đã cho có nhiều
2
0,8681 7,8006
x x
Bài 2: Giải phương trình:
3 2 ) 3 5 ( log 3
6x 6 x x
Giải: Đk: x > -3/5
Đặt t 3 log6( 6x 3 )(t > 0) Ta có hệ:
)2 ( 3 2 3 6
)1(
3 5 6
x t
x x
t
t
x t
x 3 6 3
6
Xét hàm số: y = 6x + 3x ; y' =6x.ln6 +3 > 0 x nên hàm số đồng biến
Vậy (*) x=t Từ (2) ta có pt: 6x 5x 3 6x 5x 3 0.(3)
Xét hàm số y = 6x - 5x - 3
y'=6x.ln6 -5
y'=0 x=
6 ln
5 log6 do đó pt (3)có nhiều nhất 2 nghiệm
Sử dụng máy tìm được hai nghiệm: x 1 1,237934 ; x 2 -0,521425.
Trang 3Bài 3: Giải phương trình:
y x x
8
'' 90 30
y x x;
y’’=0 có hai nghiệm nên phương trình y’=0 có nhiều nhất 3 nghiệm
Sử dụng máy tính tìm được 3 nghiệm gần đúng của phương trình y’=0 là:
1 1,03990081
x ;x 2 0,3652539807;x 3 0,365043279
Ta có: y x ( ) 1 5, 064076165<0; y x ( ) 2 2,513093304<0; y x ( ) 3 3, 486822416
<0, xlim ydo đó phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm
Sử dụng máy tính tìm được nghiệm của phương trình:
1 0,950804901
x ; x 2 1, 266601048
Trang 4CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY
*Các bài tính tổng:
+Phát hiện những tính chất đặc biệt của tổng.
+Xây dựng công thức tổng quát của tổng.
*Các bài toán về dãy lặp
+Phát hiện và chứng minh được chu kỳ lặp.
*Các bài toán về dãy truy hồi (phương trình sai phân)
+Lập được quy trình bấm liên tục.
+Tìm được công thức của số hạng tổng quát.
+Sử dụng để tính tổng.
*Tính giới hạn:
+Sử dụng máy.
+Định lý qua giới hạn
*Xem tài liệu:
+Một số dạng toán thi HSG giải toán trên máy tính điện tử - TS Tạ Duy Phượng.
+THTT số 388 (tháng 10-2009)
+Giới hạn của dãy số và hàm số - Nguyễn Văn Mậu
1 Tính tổng:
Bài 1: Cho ( ) 9
x x
f x
Tính
1999
1 2000
i
i
HD: Ta thấy:
1 1999
2000 2000
1 1999
2000 2000
1
Bài 2: Qtri 2009-2010
Tính tổng S sinx sin 2x sin 2010x với
7
1 11
x
HD: 2sin 2sin sin 2sin sin 2 2sin sin 2010
= cos cos3 cos3 cos5
4021
cos cos
2sin
2
S
x
7
1 11
x
ta tính được S -0,2732
Trang 52.Dêy lặp:
1
1
2011,
3
n n
n
u
u
với n 2 Tính u k với 2011
20
k
Đặt u1 tan
1
1
1
tan 30
1 1 tan 30 tan
3
u u
u
Bằng quy nạp ta chứng minh được u n tan ( n 1)300
Suy ra: u1 u6 1n , u2 u6n2 , u3 u6n3 u4u6n4, u5 u6n5 , u6 u 6nvới n 1
2
Ta có:
2011 2011 2011
20 (18 2) 2 (mod 6)
30 67
2 (2 ) (mod 6)
2 4 (mod 6)67 8 4 (mod 6)66
6
8 4 mod 6 2 mod 6
1
Do đó
7
4,9783
3 2011
k
Bài 2: Cho các số: x1=2; x2= 1
1
3
x x
2
3
x x
; ;xn= 1
1
3
n
n
x
x
1)Tính xp với p=20092008
2)S=x1+ x2 + x3 + + x2008
ĐS: x1=x3n+1; x2=x3n+2; x3=x3n.(n>=1)
1)p=20092008=(2007+2)2008 22008(mod3) (3+1)1004(mod3)
11004(mod3) 1(mod3)
p=3k+1
Vậy xp =2
2) S = (x1+x2 + x3 ) + (x4+x5 + x6 )+ +(x2005+x2006 +
x2007)+ x2008
=669((x1+x2 + x3 )+ x2008= 669(x 1 +x 2 + x 3 ) + 2;
Kết quả : S= 4036
Trang 63 Các bài toán về dãy số (Phương trình sai phân):
Đây là bài toán quen thuộc trong các đề thi giải Toán trên máy tính bỏ túi
3.1:Dạng phương trình sai phân bậc nhất:
Cho u1 =C và un =a.un-1+f(n) với n>1 Tính uk
C A ( A thay cho un)
1 X
Nhập biểu thức:
X=X+1:A=aA+f(X)
Ấn phím = liên tục và xem kết quả của biến X; A
VD1: Cho dãy số (Un) thỏa:
U1=-3;
Un=un -1+ n3 (n>1) Lập quy trình tính un
-3 A ( A thay cho un)
1 X
Nhập bểu thức:
X=X+1:A=A+X^3
Ấn phím = liên tục và xem kết quả của biến X; A
3.2: Dạng phương trình sai phân bậc hai:
Cho u1=GT1; u2 =GT2 và un= a.un-2 + b.un-1+ f(n) với n>2 Tinh uk
GT1 A
GT2 B
2 X
Nhập biểu thức:
X=X+1:A=aA+bB+f(X):X=X+1:B=aB+bA+f(X)
Ấn phím = liên tục sẽ xuất hiện lần lượt giá trị của X và uX
VD2: Cho u1=1; u2=1; un = un-2+ un-1 với n>2.(Dãy Phibonaci)
Sử dụng máy tính:
1 A; 1 B; 2 X
Nhập biểu thức:
X=X+1:A=A+B:X=X+1:B:=A+B
Ấn phím = liên tục sẽ xuất hiện giá trị của X và uX
Trang 7VD3: Cho dãy số un với u0=5; u1=3; un=3un-2 +2un-1
-n2+3n với n=2,3,4,5
5 A; 3 B; 1 X
Nhập biểu thức:
X=X+1:A=3A+2B-X2+3X : X=X+1: B=3B+2A-X2+3X
Ấn phím = liên tục sẽ xuất hiện giá trị của X và uX
VD4:Cho (xn ; yn) với x0=3; y0= 2; xn=3xn-1+4yn-1; yn=2x
n-1+3yn-1 , n=1,2,3
Lập quy trình tính (xn ; yn)
HD: Sử dụng 4 biến A, B, C, D
3 A; 2 B;
C=3A+4B:D=2A+3B:A=3C+4D:B=2C+3D
Bài tập:
1 Lập quy trình tính các tổng sau:
S1 =1-23 + 33-43 + +(-1)n+1n3 S2 = 1 1 1 1
1.2 2.3 3.4 n n.( 1);
S3= 1 1 1 1 ( 1) 1
n
n n
; S4=1 + 27 + 125+ + (2n-1)3
2.Lập quy trình bấm phím liên tục xác định các giá
trị của các dãy số:
1 5 24 1
x x x n N
b) 0 1
2 1
2
d) 1 2
1 2 2 1 2
1 2 ( 3)
n n n
x
x
Trang 8Tính giới hạn :
Bài 1: Tính gần đúng giới hạn của dãy số có số hạng tổng quát là:
sin(1 sin(1 s in1))
n
Qua giới hạn, limu n là nghiệm của phương trình
sin(1 )
x x
Giải phương trình được nghiệm của pt: x 0, 48903
Bài 2:
Cho dãy {xn} được xác định như sau:
1 2
1
1
2
3
n
a
x
với n>=2; a>0; x1> 0
a) Tính x50với a=15
b)Tính giới hạn của dãy
Trang 9TÍNH ĐẠO HÀM CẤP CAO
Bài 1(qt 2010) Tính đạo hàm cấp 5 của hàm số f x( ) ln 1 2 x tại điểm
0 2,3456
x
2
2
'
1 2
y
x
( 2).( 1).1.( 2) 4
"
y
(3)
( 4).( 1).2.( 2) 16
y
(4)
( 16).( 1).3.( 2) 96
y
(5)
( 96).( 1).4.( 2) 768
y
4
0
( ) 0,1286
Lưu ý: Nếu học sinh sử dụng công thức
1 ( ) ( 1) ( 1)!
n
n
y
ax b
thì phải chứng minh Sau đó áp dụng với n 5,a 2 , x x 0 2,3456
Bài 2(khu vực 2008):
Tính gần đúng giá trị đạo hàm cấp 100 của hàm số f(x) = sinx tại x = 140308.
5
Trang 10CÂC DẠNG KHÂC
Băi 1: Tìm hệ số của số hạng chứa 13
x trong khai triển:
8 2
3
3
2
5
Ta có
8
8
0
k k
16 2
3
2
m
k
16 2
16 2 3
2
m
k
2
Số hạng chứa x13 sẽ ứng với k m , N thỏa mên
16 2 k m 13 m 2k 3 0 1
1 Vậy hệ số của x13 trong khai triển đê cho sẽ bằng:
0 16 3
3
8 3 16
2
1 16 2 1
1
8 3 14
2
1
Bài 2:
Tính diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi tam giác ABC và đường tròn nội tiếp của tam giác Biết B=750, AB=6cm Đường trung tuyến AM =7 cm
Yêu cầu kết quả chính xác đến
10 chữ số.
Đáp án:
Bài 1: Đặt AB=c; AC=b;
BC=a
Ta có: AM2 = c2 + BM2
-2.c.BM.cos750
BM2-12BM.cos750-13=0
Vì yêu cầu kết quả chính xác
đến 10 chữ số nên ta không giải phương trình bằng chương trình cài sẳn mà phải tính bằng ' Ta sử
dụng các công thức sau:
'=(6cos750)2+13; BM=6cos750- ' < 0 hoặc BM = 6cos750+ ';
B
C
A
M
b c
a
Trang 11a=2BM; b2= a2+c2 -2a.c.cos750 ; SABC = 1
2a.c.sin750;
SABC =pr r= SABC /p;
Sđtr= r2; S = SABC - Sđtr= SABC- (2SABC /(a+b+c))2
Tiến hành bấm máy:
(6 x cos750)2+13 SHIFT STO D (Tính và lưu vào D)
6 x cos750- D =( kết quả âm nên loại);
2(ANS + 2 D )SHIFT STO A (tính a=2BM lưu vào A)
(62 + A2 -2 x 6 x A x cos75) SHIFT STO B ( Tính b
và lưu vào B)
1
2 x 6 x A x sin750 = (Tính diện tích tam giác )
ANS - ( 2 x ANS : (6 + B + A))2 x =
KẾT QUẢ: S 15, 59696525
Băi 3:(hình học không gian)
Cho tứ diện SABC có câc cạnh SA=SB=SC=3,1415 vă BSA=1200;
BSC=600; ASC=900
a) Tính thể tích khối tứ diện SABC
b)Tính thể tích khối cầu nội tiếp tứ diện
Giải:
Đặt SA=a
Tam giâc SBC đều BC=a;
Đặt SA=a, tam giâc ABC đều nín BC=a
Gọi H lă trung đểm của AB ta có: BA=a 3;
AC=a 2
ABC vuông tại C
SH (ABC)
1)VSABC=1
3SH*SABC=1 2 2
3 2 2
12
a 3,65411549 (đvtt) 2) Gọi O lă tđm của hình cầu nội tiếp tứ diện có bân kính r, ta có chiều cao của câc hình chóp OABC; OSAC; OSAB; OSBC lă R Vậy:
VSABC= 1
3r.Stp (Stp lă diện tích tòan phần của tứ diện SABC)
SSBC=1 3 2 3
2 3 4
a
; SSAC
2
2
a
Stp= 2( 3 2 1)
2
2( 3 2 1)
SABC tp
S 0,535768922
Băi 5:
Tìm x, y nguyín dương thỏa mên:
Trang 12Đặt
3
3
1 18
1 18
x v
x
u
ta có:
36
3
3 v u
v u y
ta có: (u+v)(u2 + v2 - uv)=36
(u+v)[(u+v)2 -3uv]=36
( 2 3 3 323 ) 36
y
y
3 3 3 323 36
y
3 3 323 x y2 36y (*)
Vì x, y nguyín dương nín (*) xảy ra khi 36 chia hết cho y
Hay y={1; 2; 3; 4; 6;9;12;18;36}
3 3
3
36
323
y
y
x
Thế câc giâ trị của y văo ta thấy y=3 ; x=324 thỏa mên điều kiện băi toân
Vậy
3
324
y
x
Bài 8:
Bạn gữi 15.000.000 đ vào ngân hàng với lãi suất kép 0,7% / 1tháng (tiền lãi tháng trước sẽ được cộng vào tiền gốc tháng sau)
1)Sau 3 năm số tiền cả gốc lẫn lãi là bao nhiêu?
2)Mỗi tháng bạn rút 50.000 thì sau 3 năm số tiền cả gốc lẫn lãi là bao nhiêu?
3)Bạn muốn rút dần tiền trong vòng 3 năm thì hết số tiền ở ngân hàng Hỏi mỗi tháng bạn rút bao nhiêu ?
HD:
Gọi số tiền mỗi tháng thu được cả gốc lẫn lãi là x n , lãi là r=0,7%
x 0 =15.000.000; x 1 =x 0 + r.x 0 =(1+r)x 0 ; x 2 =x 1 +rx 1 =x 0 (1+r) 2 ; x n =x 0 (1+r) n
1) x 36 =x 0 (1+0,007) 36 19.282.005,35đ
2) x n =x n-1 +rx n-1 - m
Giải pt sai phân ta có x n =x 0 (1+r) n +m
r [1-(1+r) n ]
x 36 17 242 955,18
3)với x 36 =0, từ công thức trên ta có: m=
-36 0
36
(1 )
1 (1 )
r
818,31đ