Một số dạng toán hay trong dao động cơ học

Cơ sở lí thuyết 1.Liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều Xét một điểm M chuyển động tròn đều trên đường tròn tâm O theo chiều dương với tốc độ góc ω.. 2.Xác định thời gia

TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG

TỔ: LÝ

- o0o

-CHUYÊN ĐỀ TỰ HỌC TỰ RÈN THÁNG 9 MỘT SỐ DẠNG TOÁN HAY TRONG DAO ĐỘNG CƠ

CHỦ ĐỀ 1: DÙNG ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC TÌM THỜI GIAN

TRONG DAO ĐỘNG CƠ (GV: BÙI THỊ VÂN)

I Cơ sở lí thuyết

1.Liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều

Xét một điểm M chuyển động tròn đều trên đường tròn tâm O

theo chiều dương với tốc độ góc ω Gọi P là hình chiếu của M lên

trục Ox

Giả sử ban đầu (t = 0) vật ở vị trí Mo được xác định bằng góc φ

Ở thời điểm t, nó chuyển động đến M, xác định bởi

*Kết luận: Một dao động điều hòa có thể được coi như hình chiếu của một vật chuyển động tròn đều lên

một đường thẳng nằm trong mặt phẳng quỹ đạo.

2.Xác định thời gian trong dao động điều hòa

Theo mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động

tròn đều, thời gian ngắn nhất vật chuyển động tròn đều đi từ

M1 đến M2 cũng chính thời gian hình chiếu của nó (dao

động điều hòa) đi từ điểm có li độ x1 đến điểm có li độ x2

Thời gian này được xác định bằng:

ωR

Các trường hợp đặc biệt cần nhớ để giải nhanh:

 Thời gian vật đi từ x =0 đến ǀxǀ=A hoặc ngược lại là t= T/4 ( do Δφ = π/2 )

 Thời gian đi từ x= 0 (VTCB) đến ǀxǀ=A/2 hoặc ngược lại là t=T/2 ( do Δφ =π/6)

Suy ra Thời gian đi từ x=A/2 đến x=A hoặc đi ngược lại là t= T/6 (t= T/4 - T/12)

 X= 0 ↔ x= A√2/2, t= T/8 →x= A√2/2 ↔x=A, t= T/8

+ Biểu diễn và đếm trên vòng tròn

- Khi vật quét một góc Δφ = 2π (một chu kỳ thì qua một vị trí bất kỳ 2 lần , một lần theo chiều dương , một lần theo chiều âm )

Ví dụ : Vật d.đ.đ.d với phương trình : x = 6cos(5πt + π/6)cm (1)

Vậy

a.Trong khoảng thời gian 2,5s vật qua vị trí x = 3cm mấy lần.

b.Trong khoảng thời gian 2s vật qua vị trí x = 4cm theo chiều dương mấy lần.

c.Trong khoảng thời gian 2,5s vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương mấy lần.

d.Trong khoảng thời gian 2s vật qua vị trí cân bằng mấy lần.

Giải:

Trước tiên ta biểu diễn pt (1) trên vòng tròn, với φ = π/6(rad)

-Vật xuất phát từ M , theo chiều âm (Hình 1 )

a.Trong khoảng thời gian Δt = 2,5s

=> góc quét Δφ = Δt.ω = 2,5.5π = 12,5π =6.2π + π/2

Từ vòng tròn ta thấy: (Hình 2)

- trong một chu kỳ vật qua x = 3cm được 2 lần tại P(chiều âm ) và Q(chiều dương )

- trong Δφ1 = 6.2π ; 6 chu kỳ vật qua x = 3cm được 6.2 = 12 lần

- còn lại Δφ2 = π/2 từ M →N vật qua x = 3cm một lần tại P(chiều âm )

Vậy: Trong khoảng thời gian Δt = 2,5s vật qua x = 3cm được 13 lần

b.Trong khoảng thời gian Δt = 2 s

=> góc quét Δφ = Δt.ω = 2.5π = 10π = 5.2π

Vật thực hiện được 5 chu kỳ (quay được 5 vòng)

Từ vòng tròn ta thấy: (Hình 3)

Vậy : trong 5 chu kỳ thì vật quavị trí x = 4cm theo chiều dương được 5 lần

c.Trong khoảng thời gian Δt = 2,5s

=> góc quét Δφ = Δt.ω = 2,5.5π = 12,5π = 6.2π + π/2

Từ vòng tròn ta thấy: (Hình 4)

- Trong một chu kỳ vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương 1 lần tại N

-Trong Δφ1 = 6.2π ; 6 chu kỳ vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương 6 lần tại N

nào

Vậy trong khoảng thời gian Δt = 2,5s vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương 6 lần

d.Trong khoảng thời gian Δt = 2s

=> góc quét Δφ = Δt.ω = 2.5π = 10π = 5.2π

Vật thực hiện được 5 chu kỳ (quay được 5 vòng)

Từ vòng tròn ta thấy: (Hình 5)

- Trong một chu kỳ vật qua vị trí vị trí cân bằng 2 lần tại P(chiều âm ) và Q(chiều dương )

- Vậy trong khoảng thời gian Δt = 2s vật qua vị trí vị trí cân bằng 10 lần

Dạng hai: Xác định thời điểm vật qua một vị trí có li độ bất kỳ cho trước.

VD1 : Vật d.đ.đ.d với phương trình : x = 8cos(5πt – π/6)cm (1)

Xác định thời điểm đầu tiên :

a.vật qua vị trí biên dương.

b.vật qua vị trí cân bằng theo chiều âm.

c vật qua vị trí biên âm.

d vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương.

Giải:

Trước tiên ta biểu diễn pt (1) trên vòng tròn, với φ = – π/6(rad) = – 300

-6 0 3 +6

M P

-Vật xuất phát từ M , theo chiều dương (Hình 1 )

a Khi vật qua vị trí biên dương lần một : tại vị trí N

77

51

x = 5cos(5πt – 2π/3)cm. Xác định thời điểm thứ 5 vật qua vị trí có li độ x

= – 2,5cm theo chiều âm

Giải :

Trước tiên ta biểu diễn pt trên vòng tròn,

với φ = – 2π/3(rad) = -1200

-Vật xuất phát từ M , theo chiều dương (Hình 1 )

Thời điểm đầu tiên vật qua vị trí có li độ x = – 2,5cm theo chiều âm : tại

vị trí N : Δφ1 = 2π/3 + π/2 + π/6 = 4π/3(rad)

Thời điểm thứ hai : Δφ2 = 2π(rad), (vì quay thêm một vòng)

Thời điểm thứ ba: Δφ3 = 2π(rad)

Thời điểm thứ tư : Δφ4 = 2π(rad)

VD3 :Một vật dao động điều hòa có phương trình x = 8cos10πt Thời điểm vật đi qua vị trí

x = 4 lần thứ 2009 kể từ thời điểm bắt đầu dao động là :

Vật xuất phát từ biên dương (xmax = +8)

Trong một chu kỳ thì vật qua vị trí x = 4 được 2 lần tại M(chiều âm) và

N(chiều dương) đồng thời góc quét là : Δφ = 2π(rad)

Vậy khi quay được 1004 vòng (quanh +8) thì qua x = 4 được

1004.2 = 2008 lần, góc quét :

Δφ1 = 1004.2π = 2008π(rad)

Còn lại một lần : từ +8 đến M : góc quét : Δφ2 = π/3(rad)

Vậy góc quét tổng cộng là: Δφ = Δφ1 + Δφ2 = 2008π + π/3 = 6025π/3(rad)

-120 0 N

π/6

Bài tập 1.Một vật dao động điều hòa với biên độ A và tần số f = 5Hz Xác định thời gian ngắn nhất để

vật đi từ vị trí có li độ đến vị trí có li độ

Hướng dẫn giải toán

Cách 1:

Khi vật đi từ vị trí có li độ x 1 =

đến vị trí có li độ x 2 =

thì mất một khoảng thời gian ngắn nhất là ∆t, đúng bằng

thời gian vật chuyển động tròn đều (với tốc độ góc ω = 2πf

trên đường tròn tâm O, bán kính R = A) đi từ M1 đến M2

Vậy, thời gian ngắn nhất vật đi từ x 1 đến x 2 là:

Cách 2: Ta có tA/2→-A/2= tA/2→0 + t0→-A/2 = T/12 +T/12 = T/6 =1/30s

* Nhận xét: Đối với bài tập này học sinh dễ nhầm lẫn rằng thời gian vật đi từ x 1 đến x 2 là tỉ lệ với quãng

đường ∆s = x 1 – x 2 = A, nên cho kết quả sai sẽ là:

Bài tập 2 Một vật dao động điều hoà theo phương trình:

x = Acos(ωt - ) Cho biết, từ thời điểm ban đầu vật đến li độ x =

Xác định tần số góc và biên độ A của dao động

Hướng dẫn giải toán

Ở thời điểm ban đầu (t1 = 0), vật có:

, tức là vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương

với ∆t = t2 – t2 = ; cosα =

Bài tập 3: Vật dao động điều hòa với phương trình Tính:

a) Thời gian vật đi từ VTCB đến A/2

c) Tính vận tốc trung bình của vật trong câu a

Bài giải

a) Khi vật đi từ vị trí cân bằng đến A/2, tương ứng với vật chuyển động trên đường tròn từ A đến B được

một góc 300 như hình vẽ bên

Vậy khi vật quay 300 hết khỏng thời gian t

trên đường tròn từ A đến B được một góc π/6 + π/6 = 900 như hình vẽ

bên

Vậy khi vật quay 900 hết khỏng thời gian t

c) Vận tốc trung bình của vật: Vtb =

Bài tập 4 Một lò xo có khối lượng không đáng kể có độ cứng k = 100N/m Một đầu treo vào một điểm

cố định, đầu còn lại treo một vật nặng khối lượng 500g Từ vị trí cân bằng kéo vật xuống dưới theo phương thẳng đứng một đoạn 10cm rồi buông nhẹ cho vật dao động điều hòa Lấy g = 10m/s2 Xác định khoảng thời gian mà lò xo bị nén, bị dãn trong một chu kỳ

Hướng dẫn giải toán

CHỦ ĐỀ 2: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

(GV: CAO THỊ KIỂM)

1 ĐVĐ: Đối với chương giao động điều hòa của phần cơ lớp 12 có rất nhiều dạng toán khác nhau, mỗi

dạng có đặc thù riêng, cách làm riêng Trong số các dạng toán đó có dạng toán về viết phương trình dao động điều hòa Dạng toán này không phải là dạng toán khó so với các dạng toán khác trong chương, nhưng nếu làm thì nó lại chiếm nhiều thời gian của học sinh Do vậy ngoài phương pháp giải truyền thống chúng ta nên đề cấp cho học sinh cách giải nhanh hơn Chúng ta đều biết học sinh hiện nay, hầu hết các em đều sử dụng máy tính Do vậy tôi đưa vào phương pháp làm bài toán viết ptdđ bằng máy tính bỏ túi Dưới đây là phương pháp làm và một số bài toán thông thương để giúp học sinh biết cách sử dụng phương pháp này

2 Cơ sở lí thuyết.

Phương trình dao động điều hòa: x = Acos(ωt + φ)

A: Biên độ dao động

(ωt + φ): pha dao động tại thời điểm t

φ: Pha ban đầu

ω: Tần số góc

3 Phương pháp giải:

a Phương pháp truyền thống:

Phương trình dao động có dạng : x = Acos(ωt + φ)

- Dựa vào biểu thức của lực và cơ năng:

Fmax= kA ⇒ A = F max

k Với W = Wđmax= Wtmax=1kA2

A = lmax – lCB hoặc A = lCB – lmin.

*Tìm ϕ (thường lấy – π < φ ≤ π) : Dựa vào điều kiện ban đầu

A v sin

b Phương phỏp dựng số phức biểu diễn hàm điều hũa

(NHỜ MÁY TÍNH fX 570MS; 570ES; 570ES Plus;VINACAL 570Es Plus)

* Cơ sở lý thuyết:

(0) (0)

0

(0) (0)

cos cos

i

v x x v b

x a

cos

0 0 0

0

* Thao tỏc mỏy tớnh (fx 570MS;570ES): Mode 2, R (radian), Bấm nhập : x v i

ω0

0 − =

- Với mỏy fx 570ES : bấm tiếp SHIFT, 2 , 3, = mỏy sẽ hiện A∠ϕ, đú là biờn độ A và pha ban đầu ϕ

-Với mỏy fx 570MS : bấm tiếp SHIFT, + (>r∠θ (A∠θ)), = (Re-Im) mỏy hiện A,

sau đú bấm SHIFT, = (Re-Im) mỏy sẽ hiện ϕ

* Chỳ ý cỏc vị trớ đặc biệt: (Hỡnh vũng trũn lượng giỏc)

4 Bài tập vận dụng:

Bài 1: Một vật có khối lợng m = 100g đợc treo vào đầu dới của một lò xo có độ cứng k = 100(N/m) Đầu

trên của lò xo gắn vào một điểm cố định Ban đầu vật đợc giữ sao cho lò xo không bị biến dạng Buông

tay không vận tốc ban đầu cho vật dao động Viết phơng trình dao động của vật Lấy g = 10 (m/s2);

A

Phơng trình dao động có dạng : x A= cos( ωt+ϕ)

0,1

k m

Lưu ý: Bài toỏn này nhiều học sinh khụng tim được thời điểm ban đầu Nếu tỡm được cú thể bị sai dấu.

Bài 2: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng vật nặng khối lợng 100g thì lò xo giãn thêm 2 cm Chọn trục ox

thẳng đứng hớng xuống, gốc tại VTCB Biết cơ năng của hệ là 10-2J chọn gốc thời gian khi vật qua vị trí

500.1,0

10.22

PTDĐ:x=2cos(10 5t+π)

Cỏch 1:

Phơng trình dao động có dạng : x A= cos( ωt+ϕ)

51002,0

Lấy a chia cho x ta đợc : ω π= (rad s/ ).

2

0

0

i x

v b

x a

24

3

Bài 4 Một lũ xo được treo thẳng đứng, đầu trờn của lũ xo được giữ chuyển động đầu dưới theo vật nặng

cú khối lượng m = 100g, lũ xo cú độ cứng k = 25 N/m Kộo vật rời khỏi VTCB theo phương thẳng đứng

Chọn gúc tg là lỳc thả vật, gốc toạ độ là VTCB, chiều dương hướng xuống.Viết PTDĐ

Lời Giải

Cỏch 1:

Phơng trình có dạng : x = A.cos(ω.t+ϕ).

+ Ta cĩ: 5 ( / )

1,0

25

s rad m

)5(

)310(

2 2

+ Tại t = 0

30

cos2

25

s rad m

325

310

2

0

0

i x

v b

x a

Lưu ý: Trong bài này các em hay bị nhầm trong trường hợp lấy dấu của vận tốc.

Bài 5: Một con lắc lò xo có độ cứng k= 100N/m , vật nặng có khối lượng m =250g treo thẳng đứng kéo vật theo phương thẳng đứng xuống đến vị trí lò xo dãn 7,5cm rồi thả nhẹ coi hệ dao động điều hoà , g= 10m/s2.,Chọn gốc toạ độ tại vị trí cân bằng , chiều dương hướng lên trên , Chọn gốc thời gian là lúc thả vật Viết phương trình dao động

100

s rad m

=ω

∆ Theo bài ra ta cĩ ∆l=∆l0+ A=7,5cm⇒ A=7,5−2,5=5cm

Tại t = 0, vật qua vị trí biên âm(do chiều dương hướng lên) nên ϕ =π

100

s rad m

=ω

x a

ω

bấm -5,=SHIFT23= →5∠π ⇒x=5cos(20t+π)

Lưu ý:Bài này học sinh có thể xác định sai biên độ A và dấu của vận tốc v.

Tổng kết: Các bài toán dạng này nếu làm theo phương pháp dùng số phức sẽ nhanh hơn và ít bị nhầm lẫn

hơn

CHỦ ĐỀ 3: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TƯƠNG TÁC GIỮA HAI

VẬT TRONG DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA CỦA CON LẮC LÒ XO

(GV : HÀ GIANG SƠN)

A Con lắc lò xo nằm ngang

I Tương tác tại vị trí cân bằng

Câu 1: Con lắc gồm vật nặng có khối lượng m và lò xo có độ cứng k đang đứng yên trên mặt phẳng nằm

ngang nhẵn ở thời điểm t = 0, một vật có khối lượng m’= m chuyển động theo dọc trục lò xo đến va

k

A m dao động điều hòa, m’ chuyển động thẳng đều

B m đứng yên, m’ đứng yên

C m đứng yên, m’ chuyển động thẳng đều

D m dao động điều hòa, m’ đứng yên

Giải : Va chạm đàn hồi xuyên tâm nếu m’ = m hai vật trao đổi vận tốc m>>m’ m đứng yên, m’

chuyển động với vận tốc có độ lớn như củ nhưng ngược chiều

Ta thấy m = m’ => ngay sau va chạm hai vật trao đổi vận tốc vật m dao động điều hòa với vận tốc cực đại, m’ đứng yên

Sau thời gian t = T/2 vật m dao động quay lại vị trí cân bằng và va chạm với m’ hai vật lại trao đổi

vận tốc => m đứng yên, m’ chuyển động thẳng đều (Đáp án C)

Câu 2 : Một con lắc lò xo đặt trên mặt phẳng nằm ngang gồm lò xo nhẹ có độ cứng k = 100 N/m và vật

nhỏ m có khối lượng 200 g đang đứng yên ở vị trí cân bằng Người ta dùng một vật nhỏ M có khối lượng

động điều hòa Biên độ và chu kì dao động của con lắc lò xo là

gắn chặt vào tường Vật và lò xo đặt trên mặt phẳng nằm ngang có ma sát không đáng kể Đặt vật thứ hai

có khối lượng m2 = 3,75 kg sát với vật thứ nhất rồi đẩy chậm cả hai vật cho lò xo nén lại 8 cm Khi thả nhẹ chúng ra, lò xo đẩy hai vật chuyển động về một phía Lấy π2=10, khi lò xo giãn cực đại lần đầu tiên thì hai vật cách xa nhau một đoạn là:

Khi m1 đến vị trí biên thì m1 đi được quãng đường A2 = v/ω’

Thời gian vật m1 đến vị trí biên là T/4 => quãng đường m2 đi được trong thời gian đó là s2 = v.T/4

Thay số ta được: d =2π −4 cm

II Tương tác tại vị trí biên

Câu 4: Trên mặt phẳng nằm ngang không ma sát một lò xo nhẹ có độ cứng k = 50N/m một đầu cố định,

đầu kia gắn với vật nhỏ khối lượng m1 = 0,5 kg Ban đầu giữ vật m1 tại vị trí mà lò xo bị nén 10 cm rồi

lần đầu tiên thì m1 dính vào vật có khối lượng m2 = 3m1 đang đứng yên tự do trên cùng mặt phẳng với

m1, sau đó cả hai cùng dao động điều hòa với vận tốc cực đại là

Giải: Sau khi dính vật m2 thì hệ hai vật m1 + m2 vẫn dao động với biên độ như củ => Áp dụng định luật

vật là đàn hồi xuyên tâm, sau va chạm vật M tiếp tục dao động điều hòa với biên độ A2 Tỉ số biên độ dao động A A1 2 của vật M trước và sau va chạm là:

Giải: Tại vị trí va chạm vận tốc vật M bằng 0, vận tốc vật m bằng v0, mặt khác do va chạm là đàn hồi xuyên tâm và M=m => hai vật trao đổi vận tốc

III Tương tác tại vị trí bất kỳ

Câu 6: Một con lắc gồm lò xo có độ cứng k = 100N/m và vật nặng khối lượng m = 5/9 kg,

đang dao động điều hòa với biên độ A = 2,0cm trên mặt phẳng nằm ngang nhẵn Tại thời điểm vật m qua

m Khi qua vị trí cân bằng, hệ (m0 + m) có tốc độ:

vm v

m m =+

'2

v x

Câu 7: Một lò xo có khối lượng không đáng kể, độ cứng k=20N/m, một đầu được giữ cố định, đầu con

lại gắn với chất điểm m1= 0.1kg chất điểm m1 được gắn với chất điểm thứ hai m2 = 0,1kg, hệ thống được đặt trên mặt phẳng nằm ngang nhẵn Tại thời điểm ban đầu giữ hai vật ở vị trí là xo nén 4cm rồi buông nhẹ để hệ dao động điều hòa Gốc thời gian được chọn khi buông vật Chổ gắn hai chất điểm bị bong ra nếu lực kéo tại đó đạt đến 0,2N Thời điểm m2 bị tách khỏi m1 là?

Giải: Lực kéo là lực tác dụng lên vật m2

Áp dụng định luật II niuton cho vật m2 tại thời điểm vật bị bong ra: F = m2a = m2ω2x => x = 2cm

Nhận xét: Khi giải bài toán va chạm của con lắc lò xo nằm ngang ta cần phải xác định đó là va chạm

mền hay va chạm tuyệt đố đàn hồi, xác định vận tốc của các vật trước và sau va chạm (vận tốc theo phương ngang) sau đó sử dụng các kiến thức trong va chạm và trong dao động để giải quyết bài toán (Sử dụng một số trường hợp đặc biệt trong dao động để giải nhanh bài toán)

A Con lắc lò xo thẳng đứng

I Tương tác tại vị trí cân bằng

Câu 8: Một vật có khối lượng M = 250g, đang cân bằng khi treo dưới một lò xo có độ cứng 50N/m

Người ta đặt nhẹ nhàng lên vật treo một vật khối lượng m thì cả 2 bắt đầu dao động điều hòa trên phương

Câu 9: Con lắc lò xo thẳng đứng gồm lò xo nhẹ dầu trên cố định, đầu dưới treo vật nặng khối lượng m1,

Trong một chu kỳ dao động của m1

Sau khi đốt dây thì vật m1 sẽ dao động với biên độ A = ∆l2 =5cm

Câu 10: Hai vật A và B có cùng khối lượng 1 kg và có kích thước nhỏ được nối với nhau bởi sợi dây

mảnh nhẹ dài 10cm, hai vật được treo vào lò xo có độ cứng k = 100N/m tại nơi có gia tốc trọng trường g

=10 m/ s2 Lấy π2 = 10 Khi hệ vật và lò xo đang ở vị trí cân bằng đủ cao so với mặt đất, người ta đốt sợi dây nối hai vật và vật B sẽ rơi tự do còn vật A sẽ dao động điều hòa theo phương thẳng đứng Lần đầu tiên vật A lên đến vị trí cao nhất thì khoảng cách giữa hai vật bằng:

Giải: Tương tự câu 8 ta có biên độ dao động của vật A bằng ∆l1=m/g

Khi vật đến vị trí cao nhất tức vật A đi được quãng đường s1= 2A