Các phương pháp giải pt lượng giác I.[r]
Trang 1Các phương pháp giải pt lượng giác
I Kiến thức cơ bản:
1) Hằng đẳng thức lượng giác:
Sin2x + cos2x = 1 x
x
2
2 tan cos
1
x
2
2 cot sin
1
x
x
tan cos
sin
tanx.cotx = 1 2) Công thức cơ bản:
+ Công thức cộng:
Sin (a ± b) = sina.cosb ± sinb.cosa cos (a ± b) = cosa.cosb sina.sinb
+ Công thức nhân đôi:
a
a
tan 1
tan 2 2 tan
Cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a -1 = 1- 2sin2a
+ Công thức hạ bậc:
2
2 cos 1
a
2
2 cos 1
a
+ CT biến đổi tổng thành tích:
2 cos 2 sin 2 sin sina b ab a b
2 sin 2 cos 2 sin sina b ab a b 2
cos 2 cos 2 cos cosa b ab a b
2 sin 2 sin 2 cos cosa b ab a b
+ CT biến đổi tích thành tổng:
Sina.cosb = 12 [sin(a +b) + sin (a – b)] cosa.cosb = 12 [cos (a +b) + cos (a – b)]
Sina.sinb = -12 [cos (a + b) – cos (a – b)]
+ CT biến đổi về tan 2a (đặt t = tan 2a ):
2
1
2 sin
t
t a
1
1 cos
t
t a
1
2 tan
t
t a
+ CT nhân 3:
Cos3a = 4cos3a – 3cosa sin3a = 3sina – 4sin3a
3) Các cung lượng giác:
2
: sin (
2
2
+ a) = cosa
Trang 2cos (2 – a) = sina cos(2 – a) = -sina
+ Cung hơn kém п:
II Các phương pháp giải:
1) Nghiệm của pt lượng giác:
sinx = sina
2
2
k a x
k a x
cosx = cosa x = ±a + k2п
tanx = tana x = a + kп 2) Các dạng pt lượng giác thường gặp và pp giải:
Dạng 1: asinx + bcosx + c = 0 (a2 + b2 ≠ 0)
C1: Chia hai vế của pt cho a 2 b2
Sau đó đặt: sin 2 2
b a
b
b a
a
b a
c
Khi đó pt đã cho
Sin (x + ) = sin
C2: Chia 2 vế của pt cho a hoặc b: sau đó đặt b/a = tan
Ví dụ 1: sinx + cosx = 0
Ví dụ 2: sin3x - cos3x = 0
14 sin 5 cos 12
5 sin
5 cos
x x
x x
Dạng 2: asin2x + bsinx.cosx + ccos2x = 0
C1: Nếu cosx = 0 không phải là nghiệm thì chia 2 vế của pt cho cos2x.
C2: Nếu cosx = 0 là nghiệm thì sử dụng công thức nhân đôi, hạ bậc để đưa pt về dạng 1:
Ví dụ 1: 4cos2x + 3sinx.cosx – sin2x = 3
Ví dụ 2: 2sin2x – sinx.cosx – cos2x =2
Ví dụ 3: 4 2sin3x – 4cos3x + 2sin (x +4 ) – 2cos (x - 4 ) = 0
Dạng 3: a.(sinx + cosx) + b.sinx.cosx + c = 0 (pt đối xứng)
Đặt t = sinx + cosx = 2 .sin(x + 4 ) t 2
2
1 cos
sin
2
x x
Ví dụ 1: 4 2(sinx + cosx) + 3sin2x – 11 = 0
Ví dụ 2: sin cos sin1 cos1 103
x x
x x
Ví dụ 3: (sinx + cosx)2 - 2 (1 + sin2x) +sinx + cosx - 2 = 0
Ví dụ 4: Tìm m để pt sau có nghiệm: sinx.cosx – sinx – cosx =
2
1
m2 – 2m + 1
3) Một số dạng pt lượng giác không quen thuộc
Dạng 1: Dùng công thức và phép biến đổi đưa về pt tích:
Ví dụ 1: 4 2sin3x – 4cos3x + 2sin(x +
4
) – 2cos(x -
4
) = 0
Ví dụ 2: 3cot2x + 2 2sin2x = (2 + 3 2)cosx
Trang 3Ví dụ 3: sin3x + cos3x = 2 (sin5x + cos5x)
Ví dụ 4: (1 – tanx)(1 + sin2x) = 1 + tanx
Dạng 2: Dạng biến đổi về pt: 2
1
A + 2
2
A + 2
3
A + … + 2
n
A = 0
0 0 0 0
3 2 1
n
A A A A
Ví dụ 1: 4cos2x + 3 tan2x - 4 3cosx +2 3tanx +4 = 0
Ví dụ 2: 4sin2x + sin23x = 4 sinx.sin23x
Ví dụ 3: cos24x + cos28x = sin212x + sin216x + 2
Dạng 3: Giải pt f(x) = g(x) bằng pp đối lập:
Ta c/m:
m x g
m x f m x
g
m x f
) (
) ( )
(
) (
Ví dụ 1: sin3x + cos3x = 2 – sin2x sin3x + cos3x = 1 + cos2x (sinx = 1, cosx = 1 VN)
Ví dụ 2: sin3x + cos4 = 1
4
39 cos 3 cos
4
17 sin
x
Ví dụ 4: os14x + sin13x = 1
Giải các PT và hệ PT sau:
1 sin23x - cos24x = sin25x - cos26x 2 cosx+ cos2x + cos3x + cos4x + cos5x = -1
3 (cos2x - 1)(sin2x + cosx + sinx) = sin22x 4 cotgx - 1 =
tgx
x cos
1
2
+ sin2x -
2
1 sin2x
2
cos 4
2
x tg
x
6 5sinx - 2 = 3(1 - sinx)tg2x
7 cos23xcos2x - cos2x = 0 8 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0
x x x x
10 2 6 sin6 sin cos
0
2 2sin
x
11 cotx + sinx 1 tan tan 4
2
x x
12 cos3x + cos2x - cosx - 1 = 0
13 1 sin 2x cos x 1 cos 2x sin x 1 sin 2 x 14 2sin22x + sin7x - 1 = sinx
15
2
x
x g x
x x
2 sin 8
1 2
cot 2
1 2
sin 5
cos
x
x x x
cos
3 sin 2 sin 2
1
18 tgx + cosx - cos2x = sinx(1 + tgxtg
2
x
)
x sin
cos
8
1
2 20 3 tgxtgx2sinx6cosx0
21 cos2x + cosx(2tg2x - 1) = 2 22 3 cos 4 x 9 cos6x 2 cos2x 3 0
23
1 1
cos 2
4 2 sin 2 cos
3
x
x
x sin x
cos x sin
x cos x cos
1 2 1 2
Trang 425
x sin
x cos tgx
gx
cot
2
4 2
27 tg x tgx cos x sin 3 x
3
1
2 28 sinxcosx3 2sin2x1sinxcosx 20
29
5
5 3
3 x sin x
sin
31 sin2x4cosx sinx4 32
x cos x
cos x
7 8
2
33 2 sin3x cos 2 x cos x 0 34 2 sin3x cos 2 x cos x 0
35 4 22 6 2 9 3 2 0
x cos
x cos x
sin x
37 sinxcos4xcos2xsin3x0 38 1sinxcosxsin2xcos2x0
x sin x cos
x cos x
8
13
2 2
6 6
41 sin x sin 2 x sin 3 x 3cos x cos 2 x cos 3 x 0 42 sin x 2sinx
4
3
43 3cosx1 sin x cos 2 x 2 sin x sin2x 1 44
1
2 2
1
x sin x cos x
g cot tgx
3 3
cos
x cos
47 sin3x = cosx.cos2x.(tg2x + tg2x) 48 1
1 2
2 3
2
x sin
x sin x sin x
sin x cos x cos
x sin
x sin x
1
51 cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 0 52 sin3x.cos3x + cos3x.sin3x = sin34x
52 2tgx + cotg2x = 2sin2x +
x sin 2
1
53 sin4x + cos2x + 4cos6x = 0
54 sinx + sin2x + sin3x + sin4x = cosx + cos2x + cos3x + cos4x 55
1
2 2
1
x sin x cos x
g cot tgx
x tg x
tg
x cos x
4 4
2
4
57 9sinx + 6cosx - 3sin2x + cos2x = 8
58 cos x cos xcos x sin 4 x
2
1 2
x sin tgx gx
64 cos3xcos3x - sin3xsin3x = cos34x +
4
2
4 cot g x cot gx
x sin x cos
66
3
10 1 1
x sin x sin x cos
x
2 tg x tgx cot gx x
68 sin2x + sin23x - 3cos22x = 0 69 sin x cos x 1 2 sin x
2 2
4 4
Trang 570 x3 2 x 1sin x 3 cos x x3 2 x 1 71 sin2x + 2cos2x = 1 + sinx - 4cosx
72.cos x cos x sinx sinx
4
2 4
2 73 sin2x + cos2x + tgx = 2
74 3 cot g2x 2 2 sin2x 2 3 2cos x 75
5
4 3 1 5
3
2 cos2 x cos x
76
sin
3 3
4 3 8
2 8 8
3
77 2cos2x + sin2x.cosx + cos2x.sinx= 2(sinx + cosx) 78 2cos2x + sin2x.cosx + cos2x.sinx= 2(sinx + cosx)
79 32 3 tg2x mtgx cot gx 1 0
x
81 cos3x + 2 cos23 x 21 sin22 x 82 8sinx =
x sin x cos
1 3
4
2 4
2 1
4 1 2
1 4
3
6
sin x x
3 2
3 2
x cos x cos
x
cos
x sin x sin
x
sin
87 tg2x - tg3x - tg5x = tg2x.tg3x.tg5x
88 2sin3x - sinx = 2cos3x - cosx + cos2x 89
2
1 7
3 7
2
cos cos
cos
4
2 4
3x sin x.sin x
92 3sinx + 2cosx = 2 + 3tgx 93 sin3x.cos3x + cos3x.sin3x = sin34x
4 (
sin
96 cosx.sinx + cos x sin x 1 97
2 2
1
2
y
x x
y sin x sin
98
2
2 y cos
x
cos
y sin
x
sin
0 1 sin 3 2 cos
sin
sin
y x
y x y x
100
tgy
tgx
y cos
x
sin
3
4
1
101
2
2 y cos x cos
y sin x sin
Tỡm tham số để pt cú nghiệm thỏa món một điều kiện
Bài 1 Chứng minh rằng hàm số: y =sin6x + cos6x + 3sin2x cos2x + 2005x có đạo hàm không
phụ thuộc vào x
Trang 6Bài 2 Cho hai pt: 2cosxcos2x = 1 + cos2x + cos3x và 4cos2x - cos3x = (a - 1)cosx - a 5 (1 + cos2x) Tìm a để hai phơng trình trên tơng đơng
2 2 1
3 3
x sin
x sin x cos x sin
Bài 4 Tìm x [0;14] nghiệm đúng phơng trình: cos3x - 4cos2x + 3cosx - 4 = 0
Bài 5 Xác định m để phơng trình: 4sin4x cos4x cos 4x 2 sin 2x m 0 có ít nhất một nghiệm thuộc
đoạn
2
;
0
x x
x x
3 cos 2 sin
1 cos sin
2
(2) (a là tham số)
a) Giải phơng trình (2) khi a =
3
1 b) Tìm a để phơng trình (2) có nghiệm
Bài 7 Cho phơng trình: cos2x2m 1cosx1 m0 (m là tham số)
1) Giải phơng trình với m = 1 2) Xác định m để phơng trình có nghiệm trong khoảng
;
2
Bài 8 Cho phơng trình: sin 2 x 3 m 2sin x cos x 1 6 m2 0
a) Giải phơng trình với m = 1 b) Với giá trị nào của m thì phơng trình (1) có nghiệm
Bài 9 Cho phơng trình: sin6xcos6xmsin2x
a) Giải phơng trình khi m = 1 b) Tìm m để phơng trình có nghiệm
Bài 10 Cho f(x) = cos22x + 2(sinx + cosx)3 - 3sin2x + m
1) Giải phơng trình f(x) = 0 khi m = -3
2) Tính theo m giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f(x) Từ đó tìm m sao cho (f(x))2
2) Giải và biện luận phơng trình: m.cotg2x =
x sin x cos
x sin x cos
6 6
2 2
theo tham số m
Bài 11 Tìm nghiệm của pt: cos7x - 3 sin 7 x 2 thoả mãn điều kiện:
7
6 5
2
Bài 12 Cho phơng trình: cos3x + sin3x = ksinxcosx
a) Giải phơng trình với k = 2 b) Với giá trị nào của k thì phơng trình có nghiệm?
Bài 13 Tìm t sao cho phơng trình: t
x sin
x sin
2
1 2
có đúng hai nghiệm thoả mãn điều kiện: 0 x
Bài 14 Tìm các nghiệm x (0; ) của phơng trình: sin x cos x
x cos
x sin x
2 1
3
Bài 15 Cho phơng trình: x2 - (2cos - 3)x + 7cos2 - 3cos -
4
9 = 0 Với giá trị nào của thì phơng trình có nghiệm kép
Bài 16 Cho phơng trình: cos2x - (2m + 1)cosx + m + 1 = 0
1) Giải phơng trình với m =
2
3
2) Tìm m để phơng trình có nghiệm x
2
3
2;
Bài 17 Cho phơng trình: (1 - a)tg2x - 2 1 3 a 0
x cos 1) Giải phơng trình khi a =
2
1 .
Trang 72) Tìm tất cả các giá trị của tham số a để phơng trình có nhiều hơn một nghiệm trong khoảng
2 0;
Bài 18 Cho f(x) = cos22x + 2(sinx + cosx)2 - 3sin2x + m
1) Giải phơng trình f(x) = 0 khi m = -3 Từ đó tìm m sao cho f2(x) 36 x
2) Tính theo m giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f(x)
Bài 19 Tìm các nghiệm x
3
2; của phơng trình: sin x cos x 2 1 2sinx
7 3
2
5
Bài 20 Cho phơng trình: sin6x + cos6x = asin2x
1) Giải phơng trình khi a = 1 2) Tìm a để phơng trình có nghiệm
Bài 21 Cho phơng trình lợng giác: sin4x + cos4x = msin2x -
2
1 (1) 1) Giải phơng trình (1) khi m = 1
2) Chứng minh rằng với mọi tham số m thoả mãn điều kiện m 1 thì phơng trình (1) luôn luôn có nghiệm
Bài 22 Cho phơng trình: (2sinx - 1)(2cos2x + 2sinx + m) = 3 - 4cos2x (1)
1) Giải phơng trình (1) với m = 1
2) Tìm tất cả các giá trị của m để phơng trình (1) có đúng 2 nghiệm thoả mãn điều kiện: 0 x
Bài 23 Tìm tất cả các nghiệm của pt: sinxcos4x + 2sin22x = 1 - 4
2 4
thoả mãn hệ bất phơng trình:
x x
x 3
3 1
2