đại cương về xác suất

toán học xác xuất thống kê

Chương II. ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT

I Hiện tượng ngẫu nhiên – Hiện tượng tất yếu

Người ta chia các hiện tượng xảy ra trong đời sống hàng ngày thành hai loại: Hiện tượng ngẫu nhiên và hiện tượng tất yếu

1 Hiện tượng tất yếu

Hiện tượng tất yếu là hiện tượng mà nếu được thực hiện ở điều kiện giống nhau thì kết quả giống nhau

Ví dụ Đun nước đến 1000C trong điều kiện bình thường thì nước sôi Đốt nóng một thanh kim loại trong điều kiện bình thường thì nó dài ra

2 Hiện tượng ngẫu nhiên

Hiện tượng ngẫu nhiên là hiện tượng mà dù thực hiện ở điều kiện giống nhau nhưng kết quả có thể khác nhau

Ví dụ Tung đồng xu, ta không chắc chắn rằng mặt “sấp” hay “ngửa” sẽ xuất hiện Lấy ra một sản

phẩm từ một lô hàng gồm cả chính phẩm lẫn phế phẩm, ta không chắc chắn sẽ nhận được hàng phế phẩm hay chính phẩm

Hiện tượng ngẫu nhiên là đối tượng nghiên cứu của Xác Suất Học

Để khảo sát các hiện tượng ngẫu nhiên, người ta cho các hiện tượng này xuất hiện nhiều lần để

quan sát Mỗi lần cho xuất hiện một hiện tượng ngẫu nhiên được gọi là thực hiện một phép thử Trong

hiện tượng ngẫu nhiên, ta không thể biết được chắc chắn kết quả xảy ra như thế nào, nhưng có thể hình dung ra được các kết quả có thể xảy ra Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi

là không gian mẫu của phép thử đó Mỗi phần tử của không gian mẫu được gọi là một biến cố sơ cấp Mỗi tập con của không gian mẫu được gọi là một biến cố

Ta thường ký hiệu cho phép thử, cho không gian mẫu tương ứng, chỉ các biến cố sơ cấp và các tập con của Ω để chỉ các biến cố

, , ,

A B C

Ví dụ Xét phép thử : “tung con xúc xắc” và quan sát các mặt xuất hiện Ta có không gian mẫu τ

{1;2; 3; 4;5;6}

trong đó ω =1,2, là các biến cố sơ cấp chỉ việc nhận được mặt 1, 2, , tập con A ={2; 4;6} của

là biến cố được mặt chẵn và tập con của Ω là biến cố được mặt lẻ

Các phép toán trên biến cố:

Các biến cố là các tập con của không gian mẫu , nên ta dùng các phép toán trên tập hợp cho biến

cố

Ω

- Phần hội: A B∪ ≡A+B chỉ biến cố “A xảy ra hay B xảy ra”

- Phần giao: A B∩ ≡AB chỉ biến cố “ và B cùng xảy ra” A

A chỉ biến cố đối lập của A , tức là “ không xảy ra” A

- Phần bù: A = Ω\

A∪B A∩B A

II Xác suất

Quan sát các hiện tượng, ta thấy có những hiện tượng thường xảy ra, có những hiện tượng ít xảy

ra

Xác suất của một biến cố là một con số đo lường mức độ xảy ra khách quan của biến cố đó

1 Định nghĩa cổ điển

Xét phép thử với n kết quả, tức là Ω có n phần tử Giả sử các các phần tử của Ω có cùng khả

năng xảy ra, khi đó

τ Xác suất của biến cố A là tỉ số giữa số phần tử của A và số phần tử của Ω

( ) k

P A

n

= ,

với k là số phần tử của A

Ví dụ Lấy ngẫu nhiên một viên bi trong một hộp có 4 bi xanh và 6 bi đỏ Gọi biến cố = “ nhận

được bi xanh” và Đ = “ nhận được bi đỏ”, ta có

X

P(X)= 4

10 =0,4 và P(Đ)=

6

10=0,6

Lưu ý, đối với định nghĩa cổ điển, ta cần hai điều kiện

- Số kết quả của phép thử là hữu hạn (không gian mẫu hữu hạn)

- Các kết quả đồng khả năng xảy ra

2 Tiên đề Kolmogorov

Xác suất là hàm số xác định trên tập hợp các biến cố, thỏa

(i) P Ω =( ) 1,

(ii) P A( )≥ ∀ ⊂ Ω0, A ,

nhau từng đôi, tức là

P A ∪A ∪ ∪A =P A +P A + +P A n

j

1

,

i j

A ∩A = ∅ ∀ ≠i

2

Các kết quả của tiên đề Kolmogorov

)

)

(iv) A B, rời nhau thì P A B( ∪ )=P A( )+P B( ,

(v) Công thức cộng: với A B, bất kỳ thì P A B( ∪ )=P A( )+P B( )−P AB( ,

(vi) ( ) P A = −1 P A( )

Ví dụ Trong lớp có 100 sinh viên Ta biết lớp đó có 70 sinh viên giỏi tiếng Anh, 50 sinh viên giỏi

tiếng Pháp, 30 sinh viên giỏi cả hai ngoại ngữ Gọi ngẫu nhiên một sinh viên Tính xác suất

a Được sinh viên giỏi ít nhất một ngoại ngữ

b Được sinh viên không giỏi ngoại ngữ nào

Giải

= biến cố “được sinh viên giỏi Anh”

A

= biến cố “được sinh viên giỏi Pháp”

B

a C =A∪B = biến cố “được sinh viên giỏi ít nhất một ngoại ngữ”

100 100 100

P C =P A B∪ =P A +P B −P AB = + − =

b D = C = biến cố “được sinh viên không giỏi ngoại ngữ nào”

90

100

P D =P C = −P C = − =

III Xác suất có điều kiện

1 Ví dụ mở đầu

a Tung con xúc xắc, ta có bảng phân phối xác suất

ω 1 2 3 4 5 6

P

1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

b.Tung con xúc xắc, một người bạn cho biết là “được mặt chẵn”, ta có bảng phân phối xác suất như sau

ω 1 2 3 4 5 6

/

P 0 1

3 0

1

3 0

1

là xác suất có có điều kiện, phụ thuộc vào thông tin được cung cấp

/

P

2 Định nghĩa

Cho biến cố B với P B >( ) 0, xác suất của biến cố A khi biết biến cố B xảy ra là

( | )

( )

P AB

P A B

P B

=

Ví dụ Tại một địa phương trong dân số, tỷ lệ bệnh sốt rét là 20%, tỷ lệ lách to là 30%, trong số

người bị sốt rét thì tỷ lệ lách to là 80% Một người đến ngẫu nhiên từ dân số đó, người này có lách to, tính khả năng người này bị sốt rét

Giải

Ta có

( ) 0,20

P LT = , P S( R =) 0, 30 ( ) 0, 8.0,2 0,16

( ) 0,16

P SR LT

P SR LT

P LT

SR SR

LT 0,16 0,14 0,30

0,20 0,80 1,00

3 Các kết quả

a Quy tắc nhân xác suất

( ) ( ) ( |

P AB =P B P A B)

4

b Công thức xác suất toàn phần

Với hai biến cố A , B bất kỳ, ta có

( ) ( | ) ( ) ( | ) ( )

P A =P A B P B +P A B P B Tổng quát, cho là một họ đầy đủ các biến cố, tức là và

, ta có

1, 2, , n

,

i j

B ∩B = ∅ ∀ ≠i j

( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | n) ( n)

P A =P A B P B +P A B P B + +P A B P B

A=AB ∪AB A=AB1 ∪AB2 ∪ ∪AB n

c Công thức Bayès

Cho biến cố A với P A >( ) 0 và B B1, 2, ,B n là một họ đầy đủ các biến cố, ta có

( | ) ( ) ( | )

( )

k

P A B P B

P B A

P A

Ví dụ 1

Hộp B1 có 20 lọ thuốc gồm 3 Hỏng + 17 Tốt,

Hộp B2 có 20 lọ thuốc gồm 5 Hỏng + 15 Tốt,

Hộp B3 có 20 lọ thuốc gồm 2 Hỏng + 18 Tốt

Chọn ngẫu nhiên một hộp rồi lấy một lọ

a Tính xác suất được lọ tốt; tính xác suất được lọ hỏng

b Nếu lọ lấy ra là hỏng, tính xác suất lọ đó là của hộp B1

Giải

a ( )1 ( )2 ( )3 1

3

P B =P B =P B =

1 2

T =TB ∪TB ∪TB3

3

1 17 15 18 50 0, 83

⎟

H =HB ∪HB ∪HB3

1 3 5 2 10 0,17

1

3 1

60

P H B P B

P B H

P H

)

−

Ví dụ 2 Một người đến khám vì ho ra máu, theo tổng kết của phòng khám thì những trường hợp

như vậy có thể do: lao phổi 40%, K phổi 30%, dãn phế quản 20%, còn lại là do các bệnh khác Cho làm xét nghiệm IDR, kết quả IDR+ Theo tổng kết của phòng khám thì IDR+ trong các bệnh nhân lao phổi là 80% và dương (giả) trong các bệnh khác là 10% Tính khả năng người này bị lao phổi

Giải

Đặt B+ = biến cố “bị lao phổi”, B−= biến cố “ không lao phổi”

P IDR+ =P IDR+ B+ P B+ +P IDR+ B− P B

=0, 8.0, 4+0,1.(1−0, 4)=0, 38

( | ) ( ) 0, 4.0, 8

0, 38

P IDR B P B

P B IDR

P IDR

+

B+ B−

IDR+ 0,32 0,06 0,38 IDR−

0,40 0,60 1,00

Ví dụ 3 Một người đến khám vì sốt Theo kinh nghiệm của bác sĩ thì người này bị cúm là 40%,

sốt rét 30%, thương hàn 10%, hoặc bệnh khác Cho người này làm xét nghiệm máu thấy bạch cầu tăng Theo tổng kết của phòng xét nghiệm thì tỷ lệ bạch cầu tăng trong các bệnh trên theo thứ tự là 0,50; 0,40; 0,10 và 0,80 Tính khả năng người này bị thương hàn

Giải

Gọi Δ1= “cúm”, Δ2= “sốt rét”, Δ3= “thương hàn”, Δ4= “bệnh khác”, T= “bạch cầu tăng”

=0, 5.0, 4+0, 4.0, 3+0,1.0,1+0, 8.0,2=0, 49

3

( | ) ( ) 0,1.0,1

P T

6

IV Sự độc lập

Hai biến cố , gọi là độc lập nếu xác xuất của biến cố khi biết xảy ra là không phụ thuộc vào B , tức là

P A B =P A , khi đó ta có

)

n

) ) ) )

P AB =P A P B Tổng quát, các biến cố , , , gọi là độc lập nếu , với , độc lập với tất cả các biến cố còn lại

1

Như vậy, nếu 3 biến cố A B C, , là độc lập (độc lập từng đôi) thì ta có

P AB =P A P B

P AC =P A P C

P BC =P B P C

( ) ( ) ( ) (

P ABC =P A P B P C

Ví dụ Nghiên cứu giới tính của các đứa con trong gia đình có phụ thuộc nhau hay không, để đơn

giản trong tính toán, ta xét những gia đình có 2 con

ω TT TG GT GG

P ¼ ¼ ¼ ¼ Gọi A= “ đứa lớn là trai”={TT, TG}, P(A)=1

2, B= “đứa nhỏ là gái”={TG,GG}, P(B)=1

2

` AB={TG}, P(AB)=1

4

Vì P(A).P(B)=P(AB)=1

4 nên A, B độc lập nhau

Tương tự ta cũng có TT, GT, GG độc lập

Vậy giới tính các đứa con trong một gia đình là độc lập