Giáo trình toán cao cấp và xác suất thống kê chương 1 đại cương về xác suất

Tung một đồng xu, có 2 kết quả có thể xảy ra là: Sấp hoặc ngửa Tung đồng xu được gọi là phép thử Đồng xu xuất hiện mặt sấp hay ngửa được gọi là biến cố của phép thử “tung đồng xu”.. Các

Chương 1

ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT

§1 GIẢI TÍCH TỔ HỢP

1.1 Quy tắc cộng

Bài toán 1 Công việc: đi từ A đến B và có 3 loại phương tiện

 Đi bằng xe: có 5 chuyến hàng ngày (7h, 9h, …)

 Đi bằng tàu: có 3 chuyến hàng ngày

 Đi bằng máy bay: có 2 chuyến hàng ngày

Có bao nhiêu cách đi từ A đến B hàng ngày?

Giả sử công việc H được chia làm k trường hợp để thực hiện, trong đó

 TH1: có n1 cách hoàn thành công việc H

 TH2: có n2 cách hoàn thành công việc H

 …

 THk: có nk cách hoàn thành công việc H

Vậy tổng số cách hoàn thành công việc H là: n1+n2+…+nk cách

1.2 Quy tắc nhân

Bài toán 2 Đi từ A đến B phải qua điểm trung gian là C, biết rằng có 2 cách đi từ

A đến C và có 3 cách đi từ C đến B Có bao nhiêu cách đi từ A đến B?

Giả sử công việc H được chia làm k giai đoạn để thực hiện, trong đó

 GĐ1: có n1 cách thực hiện

 GĐ2: có n2 cách thực hiện

 …

 GĐk: có nk cách thực hiện

Vậy tổng số cách hoàn thành công việc H là: n1.n2…nk cách

Ví dụ 1 Có 6 quyển sách toán, 5 quyển lý, 4 quyển hóa

Hỏi có bao nhiêu cách để chọn trong các trường hợp sau

a) Một quyển sách

b) Một bộ gồm 3 quyển toán ,lý, hóa

Ví dụ 2 Một người có 5 cái áo, 3 cái quần và 2 đôi giày Hỏi người đó có bao

nhiêu cách chọn một bộ đồ để đi dự tiệc (biết rằng một bộ đồ phải bao gồm: áo, quần và giày)

Ví du 3 Cho tập hợp A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} Hỏi có bao nhiêu số ngàn được lập

từ tập A trong các trường hợp sau:

a) Số ngàn có các chữ số khác nhau

b) Số ngàn có các chữ số khác nhau và là số chẵn

c) Số ngàn có các chữ số khác nhau và là số lẻ

1.3 Hoán vị

Bài toán 3 Có bao nhiêu bộ thứ tự của 3 phần tử A, B, C?

Một hoán vị của n phần tử là một cách xếp thứ tự của n phần tử đó Số hoán vị của

n phần tử kí hiệu là P n n!

Chú ý n! = n(n-1)(n-2)…1.0! (quy ước 0! = 1)

Ví dụ 4 Xếp ngẫu nhiên 5 sinh viên trong đó có M, N vào một bàn dài có 5 chổ

Có bao nhiêu cách xếp trong các trường hợp sau:

a) Ngồi tùy ý

b) M ngồi ở đầu bàn

c) M và N ngồi cạnh nhau

d) M và N ngồi ở hai đầu bàn

e) M và N không ngồi cạnh nhau

Ví dụ 5 Có 5 quyển sách toán và 4 quyển sách tin học khác nhau cần xếp vào kệ

sách có 9 chổ Hỏi có bao nhiêu cách xếp trong các trường hợp sau

a) Xếp tùy ý

b) Xếp sách toán kề nhau và tin học tùy ý

c) Xếp sách toán kề nhau và tin học kề nhau

d) Xếp xen kẻ

1.4 Chỉnh hợp – Tổ hợp

Bài toán 4 Trong mặt phẳng cho 3 điểm không thẳng hàng A, B, C

a) Có bao nhiêu đường thẳng được tạo thành?

b) Có bao nhiêu vector được tạo thành?

Một tổ hợp chập k của n là một cách lấy ra k phần tử khác nhau từ n phần tử cho trước và không kể đến thứ tự của k phần tử đó

Số tổ hợp chập k của n phần tử là !

!( )!

k n

n C

k n k





Một chỉnh hợp chập k của n là một cách lấy ra k phần tử khác nhau từ n phần tử cho trước và có kể đến thứ tự của k phần tử đó

Số chỉnh hợp chập k của n phần tử là !

( )!

k n

n A

n k





? Khi nào số tổ hợp bằng số chỉnh hợp?

Ví dụ 6 Trong một buổi tiệc cứ hai người thì bắt tay nhau và người ta đếm được

có 120 cái bắt tay Hỏi buổi tiệc có bao nhiêu người tham dự?

Ví dụ 7 Một lớp có 50 sinh viên, trong đó có 30 nữ Chọn ngẫu nhiên từ lớp đó ra

4 sinh viên để lập một ban cán sự lớp gồm lớp trưởng, lớp phó học tập, lớp phó văn nghệ và thủ quỷ Có bao nhiêu cách chọn trong các trường hợp sau:

a) Chọn tùy ý không phân biệt nam, nữ

b) Lớp trưởng phải là nữ

c) Có đúng một nữ

d) Có ít nhất một nữ

Ví dụ 8 Một lớp có 50 sinh viên, trong đó có 30 nữ Chọn ngẫu nhiên từ lớp đó ra

5 sinh viên Có bao nhiêu cách chọn trong các trường hợp sau

a) Có 5 sinh viên nữ trong 5 sinh viên được chọn

b) Có 3 sinh viên nữ trong 5 sinh viên được chọn

c) Có ít nhất 4 sinh viên nữ trong 5 sinh viên được chọn

d) Có nhiều nhất 2 sinh viên nữ trong 5 sinh viên được chọn

Ví dụ 9 Một hộp có 5 bi xanh, 7 bi đỏ và 8 bi vàng Lấy từ hộp ra 9 bi Hỏi có bao

nhiêu cách lấy trong các trường hợp sau

a) Có màu tùy ý

b) Có 2 bi xanh, 3 bi đỏ và 4 bi vàng

c) Có 2 bi xanh

d) Có nhiều nhất 2 bi xanh

Ví dụ 10 Có hai hộp thuốc, hộp 1 có 3 lọ hỏng, 4 lọ tốt; hộp 2 có 4 lọ hỏng, 5 lọ

tốt Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 lọ Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 2 lọ thuốc trong các trường hợp sau

a) Lấy tùy ý

b) Có 1 lọ hỏng

c) Có nhiều nhất 1 lọ hỏng

d) Có ít nhất 1 lọ hỏng

Ví dụ 11 Có hai hộp bi Hộp 1 có 6 bi xanh, 4 bi đỏ, hộp 2 có 7 bi xanh, 8 bi đỏ

Lấy từ hộp 1 ra 2 bi, lấy từ hộp 2 ra 3 bi Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 5 bi trong các trường hợp sau

a) Có màu tùy ý

b) Có 1 bi xanh

c) Có nhiều nhất 1 bi xanh

§2 ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT

2.1 Phép thử và biến cố

Ví dụ 1 Tung một đồng xu, có 2 kết quả có thể xảy ra là: Sấp hoặc ngửa

Tung đồng xu được gọi là phép thử

Đồng xu xuất hiện mặt sấp hay ngửa được gọi là biến cố của phép thử “tung đồng xu”

Ví dụ 2 Tung một hột xí ngầu, có 6 kết quả có thể xảy ra là: 1 nút, …, 6 nút

Ví dụ 3 Quan sát giới tính một ca sinh ta được: Nam hoặc Nữ

1 Định nghĩa Thực hiện một công việc được gọi là phép thử Các kết quả có thể xảy ra của công việc đó được gọi là biến cố

Người ta thường dùng các chữ cái in hoa để đặt tên cho các biến cố, đôi khi có chỉ

số chẳng hạn: A, B, C, Di ,…

Ví dụ 4 Gọi A “Đồng xu xuất hiện mặt sấp”; Gọi Ai “Hột xí ngầu xuất hiện mặt i nút”, i=1,…,6 ta được các biến cố: A1, A2,…, A6

2 Biến cố chắc chắn, kí hiệu Ω, là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thực hiện

phép thử

Ví dụ Khi tung một con xúc xắc 6 mặt, biến cố “Xuất hiện mặt có số chấm

không quá 6” là biến cố chắc chắn

3 Biến cố không thể, kí hiệu Φ, là biến cố không bao giờ xảy ra khi thực hiện

phép thử

Ví dụ 5 Khi tung một con xúc xắc 6 mặt, biến cố “Xuất hiện mặt có số chấm lớn

hơn 6” là biến cố không thể

4 Biến cố ngẫu nhiên là biến cố có thể xảy ra cũng có thể không xảy ra khi

thực hiện phép thử Ta thường dùng các kí tự A, A1, A2, B, C,… để chỉ các biến cố ngẫu nhiên

Ví dụ 6 Khi tung một con xúc xắc 6 mặt, biến cố “Xuất hiện mặt 1 chấm” là một

biến cố ngẫu nhiên

2.2 Quan hệ giữa các biến cố

1 Biến cố đối lập

Bài Toán 1 Tung đồng xu Gọi A “Đồng xu xuất hiện mặt sấp”; Gọi B “Đồng xu

xuất hiện mặt ngửa”

? Quan hệ giữa A và B ?

Nhận xét Nếu A xảy ra thì B không xảy ra và ngược lại, vậy A, B có quan hệ đối lập

Định nghĩa Hai biến cố A và B được gọi là đối lập nếu A xảy ra thì B không xảy

ra và ngược lại Kí hiệu: B A

Ví dụ 7 Một hộp thuốc có 6 lọ tốt và 4 lọ hỏng Lấy từ hộp thuốc ra 3 lọ

Gọi A “Ba lọ lấy ra có ít nhất 1 lọ hỏng”

Gọi B “Ba lọ lấy ra có nhiều nhất 2 lọ hỏng”

Hãy tìm biến cố đối lập của A, B?

2 Biến cố xung khắc

Bài Toán 2 Tung hột xí ngầu

Gọi Ai “Hột xí ngầu xuất hiện mặt i nút”, i=1,2,3,4,5,6;

? Quan hệ giữa A1 và A2 ?

Nhận xét Nếu A1 xảy ra thì A2 không xảy ra và nếu A2 xảy ra thì A1 không xảy ra

Nhưng nếu A1 không xảy ra thì sao?(chưa chắc A2 xảy ra mà có thể là A3, A4, A5,

A6)

Định nghĩa Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu A xảy ra thì B không

xảy ra và nếu B xảy ra thì A không xảy ra

Ví dụ 8 Một lô thuốc có 6 lọ tốt và 4 lọ hỏng Lấy từ lô ra 3 lọ

Gọi Ai “Ba lọ lấy ra có i lọ hỏng”, i = 0,1,2,3

Thì A0, A1, A2, A3, là các biến cố xung khắc

2.3 Phép toán của các biến cố

1 Phép cộng biến cố

Bài Toán 1 Lấy ngẫu nhiên từ hộp thuốc có 6 lọ tốt và 4 lọ hỏng ra 3 lọ

Gọi A “Ba lọ thuốc lấy ra có cùng loại”

Gọi A1 “Ba lọ thuốc lấy ra là 3 lọ hỏng”

Gọi A2 “Ba lọ thuốc lấy ra là 3 lọ tốt”

?Biểu diễn A qua A1, A2

Định nghĩa Tổng của hai biến cố là một biến cố xảy ra khi có ít nhất 1 trong 2

biến cố đó xảy ra

2 Phép nhân biến cố

Bài toán 2 Có hai hộp thuốc, hộp 1: 6 lọ tốt, 4 lọ hỏng; hộp 2: 7 lọ tốt, 3 lọ hỏng

Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một lọ Gọi Ai “Lọ thuốc lấy ra từ hộp i là lọ hỏng” (i=1,2)

? Dùng A1, A2 biểu diễn các biến cố sau

a) A “Hai lọ thuốc lấy ra là hai lọ hỏng”

b) B “Hai lọ thuốc lấy ra có một lọ hỏng”

Định nghĩa Tích của hai biến cố là một biến cố xảy ra khi cả hai biến cố đó đồng

thời xảy ra

Ví dụ 9 Có 2 hộp thuốc, mỗi hộp có 10 lọ trong đó hộp thứ i có i + 2 lọ hỏng còn

lại là lọ tốt Lấy từ mỗi hộp ra 1 lọ thuốc Gọi Ai “Lọ thuốc lấy ra từ hộp i là lọ

hỏng”, i = 1,2

Hãy dùng A1, A2 để biểu diễn các biến cố sau

a) Hai lọ thuốc lấy ra là hai lọ hỏng

b) Hai lọ thuốc lấy ra có 1 lọ hỏng

c) Hai lọ thuốc lấy ra có cùng loại

d) Hai lọ thuốc lấy ra có ít nhất 1 lọ hỏng

e) Hai lọ thuốc lấy ra có nhiều nhất 1 lọ hỏng

Ví dụ 10 Ba bác sĩ khám bệnh độc lập nhau Khả năng chuẩn đoán sai của các bác

sĩ tương ứng là 5%, 10% và 15% Ba người đã khám cho một bệnh nhân

Gọi Ai ‘‘ Bác sĩ thứ i chuẩn đoán đúng’’, i=1,2,3

Hãy dùng A1, A2, A3 để biểu diễn các biến cố sau

a) Cả ba bác sĩ chuẩn đoán đúng

b) Có 1 bác sĩ chuẩn đoán đúng

c) Có 2 bác sĩ chuẩn đoán đúng

d) Có ít nhất 1 bác sĩ chuẩn đoán đúng

e) Có nhiều nhất 2 bác sĩ chuẩn đoán đúng

f) Chỉ có bác sĩ thứ hai chuẩn đoán đúng

2.4 Định nghĩa xác suất

Định nghĩa

Ví dụ 11 Tung một đồng xu, gọi A “Đồng xu xuất hiện mặt sấp”

?Khả năng đồng xu xuất hiện mặt sấp khi tung là bao nhiêu và tại sao? (khả

năng A xảy ra?)

Ví dụ 12 Tung một hột xí ngầu, gọi B “Hột xí ngầu xuất hiện mặt có nút lẻ”

? Khả năng hột xí ngầu xuất hiện mặt có nút lẻ là bao nhiêu và tại sao? (khả

năng B xảy ra)

Xác suất của biến cố A, kí hiệu là P(A) là một số đặc trưng cho khả năng xảy

ra của A khi thực hiện phép thử và được xác định như sau

( ) m

P A

n

 Trong đó m: Số kết quả thuận lợi cho biến cố A (số kết quả để biến cố A xảy

ra khi thực hiện phép thử);

n: Tất cả các kết quả có thể xảy ra khi thực hiện phép thử

Ví dụ 13 Một hộp thuốc có 6 lọ tốt và 4 lọ hỏng Lấy ngẫu nhiên từ hộp đó ra ba

lọ Tính các xác suất sau:

a) Ba lọ thuốc lấy ra là 3 lọ tốt

b) Ba lọ thuốc lấy ra có 1 lọ tốt

c) Ba lọ thuốc lấy ra có nhiều nhất 2 lọ tốt

d) Ba lọ thuốc lấy ra có ít nhất 1 lọ tốt

Ví dụ 14 Một lô hàng chứa 15 sản phẩm gồm 10 sản phẩm tốt và 5 sản phẩm xấu

Chọn ngẫu nhiên từ lô hàng ra 3 sản phẩm Tính xác suất để trong 3 sản phẩm chọn ra có:

a) Nhiều nhất 2 sản phẩm xấu

b) Ít nhất 1 sản phẩm xấu

Ví dụ 15 Một lớp có 30 nam, 20 nữ Chọn ngẫu nhiên 5 sinh viên từ lớp đó Tính

xác suất để:

a) Có 5 sinh viên nữ trong 5 sv được chọn

b) Có 3 sv nữ trong 5 sv được chọn

c) Có ít nhất 4 sv nữ trong 5 sv được chọn

d) Có nhiều nhất 2 sv nữ trong 5 sv được chọn

e) Có ít nhất 1sv nữ trong 5sv được chọn

f) Có nhiều nhất 4sv nữ trong 5sv được chọn

Ví dụ 16 Một túi bài thi có 5 bài loại G, 8 bài loại K và 7 bài loại TB Rút ngẫu

nhiên 3 bài thi từ túi bài đó Tính xác suất để:

a) 3 bài thi có 2 bài đạt loại G

b) 3 bài thi thuộc 3 loại khác nhau

c) 3 bài thi thuộc cùng một loại

d) 3 bài thi có ít nhất 1 bài loại giỏi

e) 3 bài thi có nhiều nhất 2 bài loại giỏi

2.5 Xác suất có điều kiện

Xác suất của biến cố A được tính với điều kiện biến cố B đã xảy ra được gọi là xác suất có điều kiện của A đối với B, kí hiệu P(A/B) và được xác định như sau

( ) ( )

P

  

 

 

 P(AB) là xác suất để cả A và B cùng xảy ra

 P(B) là xác suất để B xảy ra

Ví dụ 17 Có 3 sinh viên X, Y, Z cùng thi xác suất thống kê và có hai sinh viên thi

đậu Tính xác suất để sinh viên X thi đậu biết rằng sinh viên Y đã thi đậu

Giải

Gọi A là sinh viên X thi đậu

Gọi B là sinh viên Y thi đậu

Xác suất để sinh viên X thi đậu biết rằng sinh viên Y thi đậu chính là xác suất có điều kiện của A đối với B

( )

A P AB

P

B P B

  

 

  , với

1 ( )

3

P AB  ; ( ) 2

3

P B 

Vậy 1 0,5

2

A

P

B

   

 

3.1 Công thức cộng xác suất

1 Công thức cộng xác suất thứ nhất

Với A và B là hai biến cố xung khắc, ta có : P(A+B) = P(A) + P(B)

Mở rộng: Với A1, A2, …, An là n biến cố xung khắc từng đôi, ta có:

P(A1 + A2 + …+ An) = P(A1) + P(A2) +…+ P(An)

Hệ quả Với A là một biến cố bất kỳ, ta có: P( A ) = 1 − P(A)

Ví dụ 1 Một lô hàng có 20 sản phẩm trong đó có 6 sản phẩm loại A, còn lại là

loại B Lấy từ lô hàng ra 5 sản phẩm

a) Tính xác suất để 5 sản phẩm lấy ra có ít nhất 1 sản phẩm loại A

b) Tính xác suất để 5 sản phẩm lấy ra có nhiều nhất 4 sản phẩm loại A

Giải

a) Gọi A là 5 sản phẩm lấy ra có ít nhất 1 sản phẩm loại A

Suy ra A là 5 sản phẩm lấy ra là 5 sản phẩm loại B

5

14

5

20

P A

C



Mà P A( ) 1 P A( ) nên

5 14 5 20

P A

C

 

b) Gọi B là 5 sản phẩm lấy ra có nhiều nhất 4 sản phẩm loại A

Suy ra B là 5 sản phẩm lấy ra là 5 sản phẩm loại A

5

6

5

20

P B

C



Mà P B( ) 1 P B( ) nên

5 6 5 20

P A

C

 

2 Công thức cộng xác suất thứ hai

Với A và B là hai biến cố bất kỳ, ta có: P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB)

Ví dụ 2 Một lớp học có 100 sinh viên, trong đó có 50 sinh viên giỏi Toán, 60 sinh

viên giỏi ngoại ngữ và 20 sinh viên giỏi cả hai môn Toán và ngoại ngữ Chọn ngẫu nhiên một sinh viên của lớp Tính các xác suất sau

a) Sinh viên đó chỉ giỏi môn toán

b) Sinh viên đó chỉ giỏi ngoại ngữ

c) Sinh viên đó giỏi ít nhất một trong hai môn

Giải

a) Gọi A là "Sinh viên chỉ giỏi môn toán"

Số sinh viên chỉ giỏi Toán là: 50 20   30

100

b) Gọi B là "Sinh viên chỉ giỏi môn ngoại ngữ"

Số sinh viên chỉ giỏi Ngoại ngữ là: 60 20   40

( ) 0, 4

100

c)

Cách 1

Gọi C là “sinh viên được chọn giỏi môn Toán”

Gọi D là “sinh viên được chọn giỏi môn ngoại ngữ”

Khi đó

- CD là biến cố sinh viên được chọn giỏi cả hai môn Toán và ngoại ngữ

- C + D là biến cố sinh viên được chọn giỏi ít nhất một trong hai môn Toán hoặc ngoại ngữ Vì C, D không xung khắc nên

P(C + D) = P(C) + P(D) − P(CD)

Cách 2

Gọi E là “Sinh viên giỏi ít nhất một trong hai môn”

Khi đó E  A B AB, vì A B AB, , xung khắc nên theo công thức cộng thư nhất ( ) ( ) ( ) ( ) 0,3 0, 4 0, 2 0,9

P E P A P B P AB    

3.2 Công thức nhân xác suất

1 Biến cố độc lập Nếu P(A/B) = P(A) hay P(B/A) = P(B), nghĩa là sự xuất

hiện của biến cố B không ảnh hưởng đến xác suất của biến cố A hoặc ngược lại,

thì ta nói A độc lập với B

2 Công thức nhân xác suất thứ nhất

Nếu biến cố A độc lập với biến cố B thì B cũng độc lập với A và ta có

P(AB) = P(A) P(B)

Mở rộng Với A1, A2, …, An là n biến cố độc lập từng đôi, nghĩa là với mọi

1 ≤ i ≠ j ≤ n , Ai và Aj độc lập, ta có: P(A1A2 …An) = P(A1)P(A2)… P(An)

Ví dụ 3 Có 2 hộp thuốc, mỗi hộp có 10 lọ trong đó hộp thứ i có i + 2 lọ hỏng còn lại là lọ tốt Lấy từ mỗi hộp ra 1 lọ thuốc Tính các xác suất sau :

a) Hai lọ thuốc lấy ra là hai lọ hỏng

b) Hai lọ thuốc lấy ra có 1 lọ hỏng

c) Hai lọ thuốc lấy ra có cùng loại

d) Hai lọ thuốc lấy ra có ít nhất 1 lọ hỏng

e) Hai lọ thuốc lấy ra có nhiều nhất 1 lọ hỏng

f) Lọ thuốc lấy từ hộp 2 là hỏng, biết rằng hai lọ thuốc lấy ra có một lọ hỏng g) Lọ thuốc lấy từ hộp 1 là tốt, biết rằng hai lọ thuốc lấy ra có một lọ tốt

Ví dụ 4 Ba bác sĩ khám bệnh độc lập nhau Khả năng chuẩn đoán sai của các bác

sĩ tương ứng là 5%, 10% và 15% Ba người đã khám cho một bệnh nhân Tính xác suất :

a) Cả ba bác sĩ chuẩn đoán đúng

b) Có 1 bác sĩ chuẩn đoán đúng

c) Có 2 bác sĩ chuẩn đoán đúng

d) Có ít nhất 1 bác sĩ chuẩn đoán đúng

e) Có nhiều nhất 2 bác sĩ chuẩn đoán đúng

f) Bác sĩ thứ hai chuẩn đoán sai, biết rằng có một bác sĩ chuẩn đoán đúng g) Bác sĩ thứ nhất chuẩn đoán đúng, biết rằng có hai bác sĩ chuẩn đoán đúng

Ví dụ 5 Có ba hộp thuốc, mỗi hộp có 20 lọ Trong đó hộp thứ i có i lọ hỏng, 20 –

i lọ tốt (i = 1, 2, 3) Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một lọ Tính các xác suất sau: a) Ba lọ thuốc lấy ra là 3 lọ hỏng

b) Ba lọ thuốc lấy ra có một lọ hỏng

c) Ba lọ thuốc lấy ra có ít nhất 1 lọ hỏng

d) Ba lọ thuốc lấy ra có nhiều nhất 2 lọ hỏng

e) Ba lọ thuốc lấy ra có cùng loại

f) Lọ thuốc lấy từ hộp 2 là hỏng, biết rằng 3 lọ thuốc lấy ra có 1 lọ hỏng

g) Lọ thuốc lấy từ hộp 1 là tốt, biết rằng 3 lọ thuốc lấy ra có 1 lọ hỏng

3 Công thức nhân xác suất thứ hai

Với A, B là hai biến cố bất kỳ, ta có P(AB) = P(A) P(B/A) = P(B)P(A/B)

Mở rộng Với A1, A2, …, An là n biến cố bất kỳ, ta có:

P(A1A2 …An) = P(A1)P(A2/A1)… P(An/A1 A2 …An−1)

Chẳng hạn: P(ABC) = P(A)P(B/A)P(C/AB)

Ví dụ 6 Trong một hộp thuốc cấp cứu có 100 ống thuốc tiêm, trong đó có 10 ống

atropin Lấy ngẫu nhiên lần lượt 3 ống thuốc Tính xác suất sao cho lấy được a) Ba ống Atropin

b) Hai ống Atropin

§4 CÔNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ VÀ CÔNG THỨC BAYES