Bài giảng Chương I: Đại cương về xác suất

Bài giảng Chương I: Đại cương về xác suất tập trung trình bày các vấn đề cơ bản về biến cố và quan hệ của giữa các biến cố; các định nghĩa xác suất; các định lý xác suất;... Hy vọng tài liệu là nguồn thông tin hữu ích cho quá trình học tập và nghiên cứu của các bạn.

CHƯƠNG I. Đ I CẠ ƯƠNG V  XÁC SU TỀ Ấ

§1:Bi n c  và quan h  c a gi a các bi n cế ố ệ ủ ữ ế ố

Đ nh nghĩa 1.2: A đị ược goi la  bi n c  s  c p ̣ ̀ ế ố ơ ấ

4. Các phép toán trên bi n c ế ố

      x y ra khi và ch  khi A x y ra ả ỉ ả và B x y ra.ả

       x y ra khi và ch  khi A x y ra ả ỉ ả ho cặ  B x y ả

Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương 1 3

• Hình 1.1 Hình 1.2

• Các phép toán c a bi n c  có tính ch t gi ng các phép toán ủ ế ố ấ ố

c a t p h p, trong đó có các tính ch t đ i ng u:ủ ậ ợ ấ ố ẫ

Ngôn ng  bi u di nữ ể ễ : t ng = có ít nh t m t ;tích = t t c  ổ ấ ộ ấ ả

@Copyright 2010

§2: Các đ nh nghĩa xác su tị ấ

• 1. Đ nh nghĩa c  đi n v  xác su tị ổ ể ề ấ

• Đ nh nghĩa 2.1: gi  s  trong m i phép th  các k t c c là ị ả ử ỗ ử ế ụ

đ ng kh  năng và có t t  c  n k t c c nh  v y. Kí hi u m ồ ả ấ ả ế ụ ư ậ ệ

là s  các k t c c thu n l i cho bi n c  A. Khi â y xác su t ố ế ụ ậ ợ ế ố ́ ấ

c a ủ

    bi n c  A là:ế ố

• Ví d  2.1: Trong 1 h p co  6 bi tr ng, 4 bi đen.L y ng u ụ ộ ́ ắ ấ ẫ

nhiên ra 5 bi. Tính xác su t đ  l y đấ ể ấ ược đúng 3 bi tr ng.ắ

.

C C C

Ρ =Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương 1 5

Chú ý: l y 1 lúc 5 bi gi ng l y l n lấ ố ấ ầ ượt 5 bi không hoàn l iạ

• Ví d  2.2: Có 10 ng i lên ng u nhiên 5 toa tàu. Tính xác ụ ườ ẫ

su t đ  toa th  nh t không có ngấ ể ứ ấ ười lên:

2. Đ nh nghĩa hình h c v  xác su t: ị ọ ề ấ

Đ nh nghĩa 2.2: gi  s  trong m i phép th  các k t c c là đ ngị ả ử ỗ ử ế ụ ồ

kh  năng và đả ược bi u di n b ng các đi m hình h c trên mi n ể ễ ằ ể ọ ề

     Kí hi u D là mi n bi u di n ca c k t c c thu n l i cho ệ ề ể ễ ́ ế ụ ậ ợ

bi n c  A. Khi  y xác su t c a bi n c  A là: ế ố ấ ấ ủ ế ố

 P(A)= đ  đo D/đ  đo    (đ  đo là đ  dài,di n tích ho c th  ộ ộ ộ ộ ệ ặ ể

tích)

10 10

45

Ρ =

.Ω

Ω

Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương 1 6

@Copyright 2010

• Ví d  2.3ụ : Chia đo n AB c  đ nh ng u nhiên thành 3 đo n. ạ ố ị ẫ ạTính xác su t đ  3 đo n đó l p thành 3 c nh c a 1 tam giác.ấ ể ạ ậ ạ ủ

• Giai: Goi đô da i đoan th  1,2 la  x,y.Khi â y đoan th  3 la  ̉ ̣ ̣ ̀ ̣ ứ ̀ ́ ̣ ứ ̀l­x­y

HÌNH 2.1

Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương 1

@Copyright 2010

8

• Ví d  2.4ụ : Ném lên m t ph ng có ke nh ng đặ ẳ ̉ ữ ường thăng ̉song

song ca ch nhau 1 khoang la  2a môt cây kim co  đô da i ́ ̉ ̀ ̣ ́ ̣ ̀

2t<2a.Ti nh xa c suâ t đê cây kim că t 1 trong ca c đ́ ́ ́ ̉ ́ ́ ường thăng song song ̉

Giai: G i I là đi m gi a cây kim khi quay kim,IH là kho ng ̉ ọ ể ữ ả

cách  t  I t i đừ ớ ường thăng g n nh t;     la  go c nghiêng.Khi ̉ ầ ấ ̀ ́

HÌNH 2.2

Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương 1

@Copyright 2010

10

HÌNH 2.3

Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương 1 11

§3: Các đ nh lý xác su t ị ấ

1: Đ nh lý c ng xác su tị ộ ấ

Đ nh lý 3.1.        ị P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB)

Ví d  3.1ụ : Có k người lên ng u nhiên n toa tàu (k<n).Tính xác ẫ

su t đ  t t c  các toa đ u có ngấ ể ấ ả ề ười lên

Bài gi iả

• A ­ t t c  các toa đ u có ngấ ả ề ười lên

•     ­ có ít nh t 1 toa không có ng i lên.ấ ườ

•     ­ toa th  i không co  ng i lên, i =1, 2,…nAi ứ ́ ườ

Α

1

n i i

C n

2. Đ nh lý nhân xác su tị ấ

• Đ nh nghĩa 3.2: Xác su t c a bi n c  B khi bi t r ng bi n c  ị ấ ủ ế ố ế ằ ế ố

A đã x y ra đả ược g i là xác su t c a B v i đi u ki n A và kí ọ ấ ủ ớ ề ệ

hi u là P(B/A).ệ

• Chú ý: bi n c  A có th  x y ra tr c, đ ng th i ho c sau Bế ố ể ả ướ ồ ờ ặ

• Ngôn ng  bi u di n: P(B/A) = xác su t B biê t (n u)A ho c ữ ể ễ ấ ́ ế ặCho A… tính xác su t B.ấ

HÌNH 3.1

Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương 1 17

• Đ nh nghĩa 3.3:ị  Hai bi n c  A,B đế ố ược g i là đ c l p v i nhau ọ ộ ậ ớ

n u xác su t c a bi n c  này không thu c vào vi c bi n có ế ấ ủ ế ố ộ ệ ếkia đã x y ra hay ch a trong 1 phép th ả ư ử

• Đ nh nghĩa 3.4:ị  M t h  các bi n c  độ ệ ế ố ược g i là đ c l p toàn ọ ộ ậ

ph n n u m i bi n c  c a h  đ c l p v i 1 t  h p b t k  ầ ế ỗ ế ố ủ ệ ộ ậ ớ ổ ợ ấ ỳ

c a các bi n c  còn l i.ủ ế ố ạ

• Đ nh lý 3.3: A, B đ c l p khi và ch  khi P(AB)=P(A).P(B)ị ộ ậ ỉ

• Gi  s        la  đ c l p toàn ph n. Khi  y ta có:ả ửΑi ,i = 1,n ̀ ộ ậ ầ ấ

Chú ý: Trong trường h p đ c l p không nên dùng công ợ ộ ậ

th c c ng xác su t mà nên dùng công th c nhân xác su t.ứ ộ ấ ứ ấ

• Ví d  3.3: ụ 1 m ng g m n chi ti t m c n i ti p.Xác su t ạ ồ ế ắ ố ế ấ

Ví d  3.4ụ : Tung 3 xúc x c. Tính xác su t đ :ắ ấ ể

• 1. T ng s  ch m b ng 9 bi t có ít nhâ t 1 m t 1 ch mổ ố ấ ằ ế ́ ặ ấ

2. Có ít nh t 1 m t 1 ch m bi t s  ch m khác nhau t ng ấ ặ ấ ế ố ấ ừđôi m t.ộ

3. Công th c xác su t đ y đ  và công th c Bayes:ứ ấ ầ ủ ứ

• Đ nh nghĩa 3.5: H        đ c g i là h  đ y đ , ị ệ ượ ọ ệ ầ ủ

n u trong m i phép th  nh t đ nh 1 và ch  1 trong các bi n ế ỗ ử ấ ị ỉ ế

i i i

Ví d  3.5: Có 2 h p bi cùng c , h p 1 ch a 4 bi tr ng và 6 bi ụ ộ ỡ ộ ứ ắxanh, h p 2 ch a 5 bi tr ng và 7 bi xanh.L y ng u nhiên 1 ộ ứ ắ ấ ẫ

h p, t  h p đó l y ng u nhiên 1bi thì độ ừ ộ ấ ẫ ược bi tr ng. Tìm ắxác su t đ  viên bi ti p theo, cũng lâ y t  h p trên ra là bi ấ ể ế ́ ừ ộ

tr ng. ắ

Gi i: H p 1: 4t + 6x .L y ng u nhiên 1 h p:Hả ộ ấ ẫ ộ 1l y đấ ược h p ộ1

      H p 2: 5t + 7x      Hộ 2 l y đấ ược h p 2ộ

A­ bi n c  l y đế ố ấ ược bi tr ng   l n 1ắ ở ầ

B­ bi n c  l y đế ố ấ ược bi tr ng   l n 2ắ ở ầ

//

• N u sau l n 1 đã l y đ c bi tr ng ta tr  bi vào h p r i ế ầ ấ ượ ắ ả ộ ồ

m i l y ti p l n 2 thì l i gi i thay đ i nh  sau:ớ ấ ế ầ ờ ả ổ ư

4. Công th c Bernoulliứ

• Đ nh lý 3.5: Gi  s  trong m i phép th  1 bi n c  A có th  ị ả ử ỗ ử ế ố ể

xu t hi n v i xác su t p (khi A xu t hi n ta quy ấ ệ ớ ấ ấ ệ ước là 

thành công). Th c hi n n phép th  gi ng nhau nh  v y. Khi ự ệ ử ố ư ậ

Đ nh nghĩa 3.6: Kí hi u kị ệ 0 là s  sao cho: ố

Khi  y kấ 0 được g i là s  l n thành công có nhi u kh  năng ọ ố ầ ề ả

Đ nh lý 3.6:      ho cị ặ

• Chú ý: 

• Ví d  3.6: Tung cùng lúc 20 con xúc x cụ ắ

1 Tính xác su t đ  có đúng 4 m t l c xu t hi n.ấ ể ặ ụ ấ ệ

2 Tính s  m t l c có nhi u kh  năng xu t hi n nh t.ố ặ ụ ề ả ấ ệ ấ

Ví d  3.7ụ :Trong 1 h p có N bi trong đó có M bi tr ng còn l i là ộ ắ ạđen. L y ng u nhiên l n lấ ẫ ầ ượ ừt t ng bi có hoàn l i ra n bi. Khi ạ

y xác su t đ  l y đ c đúng k bi tr ng đ c tính b ng CT 

hi u(.) và 1/3 tín hi u(­) b  méo. Bi t r ng t  s  các tín hi u ệ ệ ị ế ằ ỉ ố ệ

ch m và v ch trong tin truy n đi là 5:3. Tính xác su t sao ấ ạ ề ấcho nh n đúng tín hi u truyê n đi n u đa  nh n đậ ệ ̀ ế ̃ ậ ược châ m.́

Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương 1 30

@Copyright 2010

• Goị A la  bi n c  nh n đ c ch m.̀ ế ố ậ ượ ấ

• H1 là bi n c  truy n đi ch m.ế ố ề ấ

• H2 là bi n c  truy n đi v chế ố ề ạ