DE VA DAP AN THI CHON HSG TOAN 9

[r]

Đề thi học sinh giỏi

Năm học : 2006-2007 Môn thi : Toán 9 Thời gian : 120’

Bài 1 : Cho biểu thức :

P =

1

2 1

3 1

1











x

a) Rút gọn biểu thức P

b) Chứng minh rằng : 0 P  1

Bài 2 : Giải phơng trình : 2 + 2 x 1 = x

Bài 3 : Chứng minh rằng khi K thay đổi , đờng thẳng sau luôn đi qua một điểm cố

định Tìm điểm cố định đó

y = (k-1)x +3k - 2

Bài 4 : Cho a; b ; c ; d là các số thực dơng có tổng bằng 1 Chứng minh rằng :

2

1

2 2

2 2















d d c

c c b

b b a a

Bài 5 : Cho hình vuông MAKE nội tiếp tam giác ABC vuông tại A , sao cho KBC ;

EAC ; MAB , các cạnh hình vuông tỉ lệ với bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác ABC theo tỉ số

2

2

2  a) Gọi O là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC Chứng minh : OA = 2 OK và

AB = 2 BK

b) Tính B, C của ABC

………

đáp án Bài 1 : (2 điểm)

a) Điều kiện để P có nghĩa : x0

Đặt x = a (a0) ta có :

P =

a a

a

a     1 

2 1

3 1

1

2 3

P =

1

) 1 ( 1 1

) 1 ( 2 3 1

3 3

2 3

2

























a

a a a

a a a

a a

a

P =

1

2  a

a

a

Vậy P =

1



 x x x

b) Ta có : x x 1= ( x

-2

1

)2 +

4

3

>0

Do đó : P =

1



 x x

x

0

Xét 1-P = 1-

1



 x x

x

1

) 1













P x

x x

Vậy 0P 1

Bài 2 : (1 điểm) : 2+ 2x 1 x  2x 1 x-2 (*)

ĐK :















0 2

0 1

2

x

x















 2 2

1

x

x

 x 2

(*)  2x-1 = (x-2)2  x2-6x+5 = 0

 (x-1)(x-5) = 0

+ x-1=0  x=1 (Không thỏa mãn)

+x-5 =0  x=5 (thỏa mãn)

Vậy nghiệm của phơng trình là x=5

Bài 3 : (2 điểm)

Giả sử các đờng thẳng y = (k-1)x +3k - 2 luôn đi qua điểm A(m, n)với mọi k thì :

n = (k-1)m +3k - 2 với mọi k

 n = km - m +3k - 2 với mọi k

 (m+3)k - (m+n+2) = 0 với mọi k



















0 2

0

3

n

m

m













 1

3

n

m

Vậy điểm cố định là : A(-3;1)

Bài 4 : (2 điểm) : áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có :

a b a b a

a b

a

b

a

a













2 2

Tơng tự : b c b

c b

b







2

c d c d c

c







2

d a d a d

d







2

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta có :

b

a

a2



c

b

b2



d c

c2



a d

d2

d c b a d c b a













 2



b

a

a2



c

b

b2



d c

c2

a d

d



2

2

1



Bài 5 : (3 điểm)

a) Đặt cạnh hình vuông là a Xét AMK có OH//KM

áp dụng định lý Ta - let ta có :

2

1 1

1   













OA

OK R

a AO

AK a

R AK

AO MK

OH AK AO

OK

OA 2



Xét ABK có BO là đờng phân giác  AB BK

BK

AB OK

OA

2





b) Xét AHO vuông tại H : A1=450  AHO vuông cân  AH = Ho = R

áp dụng Pitago ta có : OA2 = OH2+AH2=2R2  OA= 2 R

mà theo câu a) thì OA 2 OK  OK  R là bán kính đờng tròn nội tiếp ABC

 OKBC

 ABC vuông cân  B = C = 450

………