Đề và đáp án thi thử đại học, cao đẳng môn thi: Toán (số 145 đến 150)

Viết phương trình đường thẳng  nằm trong mặt phẳng P, vuông góc với d đồng thời thoả mãn khoảng cách từ M tới  bằng 42.. Giải hệ phương trình..[r]

Trang 1

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2012

Môn thi : TOÁN (ĐỀ 145 )

I PHẦN CHUNG (7 điểm) (Cho tất cả các thí sinh)

Câu 1 (2đ) Cho hàm số: y = 2x3 - 3x2 + 1 (1)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)

2 Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 8

Câu 2 (2đ) 1 Giải hệ phương trình:



















2 2

3

1 9

12 18

y xy

x xy

2 Giải phương trình: 9x + ( - 12).3x x + 11 - = 0x

Câu 3 (1đ) Tính thể tích khối chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và khoảng cách giữa cạnh

bên và cạnh đáy đối diện bằng m

Câu 4 (1đ) Tính tích phân: 2    2

0

)]

4 ln(

) 2 (

I

Câu 5 (1đ) Cho tam giác ABC, với BC = a, CA = b, AB = c

Thoả mãn hệ điều kiện: CMR:

















2

2 ) (

) (

c a b b

b c a a

C B

1 sin

II PHẦN RIÊNG (3đ) (Thí sinh chỉ làm một trong hai phần)

Theo chương trình chuẩn:

Câu 6a (2đ)

1 Trong mặt phẳng (oxy) cho đường thẳng (d): 3x - 4y + 5 = 0 và đường tròn (C): x2 + y2 + 2x - 6y + 9 = 0

Tìm những điểm M (C) và N (d) sao cho MN có độ dài nhỏ nhất. 

2 Trong không gian (oxyz) cho hai mặt phẳng:

(P1): x - 2y + 2z - 3 = 0

(P2): 2x + y - 2z - 4 = 0 và đường thẳng (d):

3

4 2

1







x

Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I (d) và tiếp xúc với hai mặt phẳng (P 1), (P2)

Câu 7a (1đ) Đặt: (1 - x + x2 - x3)4 = a0 + a1x + a2x2 + + a12x12

Tính hệ số a7

Theo chương trình nâng cao

Câu 6b (2đ)

1 Trong mặt phẳng (oxy) cho đường tròn (C): (x + 1)2 + (y - 3)2 = 1 và điểm

M  Tìm trên (C) những điểm N sao cho MN có độ dài lớn nhất











5

7 ,

5

1

2 Trong không gian (oxyz), cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 + 2x - 4y - 2z + 5 = 0 và mặt phẳng (P): x - 2y + 2z - 3 = 0

Tìm những điểm M (S), N (P) sao cho MN có độ dài nhỏ nhất. 

Câu 7b (1đ) Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số:

khi x 0, và ; tại điểm x0 = 0

x

x x

x

f( )3 13  12 

0 ) 0 ( 

f

Trang 2

ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2012

Câu 1 (2đ) y = 2x3 - 3x2 + 1

1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C)

* TXĐ: R





x

y

lim 





x

y

lim  + Bảng biến thiên: y’ = 6x2 - 6x = 6x (x - 1)









) 0 (

; 1

) 1 (

; 0

y x

Lập BBT; nêu đúng các khoảng đơn điệu và các điểm cực trị 0,25đ

* Đồ thị: (tự vẽ), rõ ràng, đầy đủ, chính xác 0,25đ

Giả sử M (x0; y0) (C)  y0 = 2x0 - 3x0 + 1

Tiếp tuyến ( ) của (C) tại M:

y = (6x0 - 6x0) (x - x0) + 2x0 - 3x0 + 1 0,25đ

( ) đi qua điểm P(0 ; 8)   8 = -4x0 + 3x0 + 1



x0 = -1 ; (4x0 - 7x0 + 7 > 0, x0) 0,25đ

Câu 2 (2đ)







































3 2 3

2 3

1 9

3 2 0

12 12

18

2

2 2

x y y

x y xy

x x

x xy

0,25đ 18

3



2 3;2 3



Thử lại, thoả mãn hệ đã cho

Vậy,  x;y  2 3;3 3, 2 3;3 3  0,25đ

2) Giải phương trình:  3x 2 x123x11x0













x

11 3

1 3

















(*) 0 11 3

) (

0

x x

f

x

có nghiệm duy nhất = 2 0,25đ (*)

0 )

2

(

, 0 1 3 ln 3 )

(

'



















f

x x

x

Vậy, tập nghiệm của phương trình: S = {0 ; 2} 0,25đ

Câu 3 (1đ) S

N

A C

O

B

Trang 3

S.ABC chóp đều   O là tâm tam giác đều ABC.

M BC

BC SO

BC AM













Trong SAM kẻ đường cao MN  MN = m

0,25đ 2

3 2

3 3

60 sin

a AO AM

a a

3 SO

SA h

h









3

4 4

3a  m h  a m











m

2 3

2

2 4 3 3

2

m a

am h







4 3

0,25đ 2

2

3 4 3 6 )

( 3

1

m a

m a h

ABC S V















m

2 3

Câu 4 (1đ) Tính tích phân

2

0

) 2 ( x dx x

0

2) 4 ln( x dx I1I2

(sử dụng đổi biến: ) 0,25đ



0

2 2

0



dx x

dx x x



0 2

2 2

0 2 2

0

2 2

4 2

| ) 4 ln(

) 4

x

x x

x dx x I

6ln24 (đổi biến x2tant) 0,25đ

0,25đ 2

ln 6 4 2

3 2

1   

I I

I

Câu 5 (1đ)

ABC:



















) 2 ( ) (

) 1 ( ) (

2

c a b b

b c a a

(1) sin2A + sinAsinC = sin2B (Đl sin)

sinAsinC = (cos2A - cos2B)



2 1 sinAsinC = sin(A + B) sin (B -A)

 sinA = sin (B - A) ; (sin (A + B) = sin C > 0)



A = B - A ; (A, B là góc của tam giác)



 Tương tự: (2) C = 2B

A + B + C = , nên A = ; B = ; C =

7

4

0,25đ



7



7

2

C

B sin

1 sin1 

7

3 sin 7

cos 7 sin 2

7

cos 7

3 sin 2 7

4 sin 7

2 sin

7

2 sin 7

4 sin







Trang 4

= (đpcm) 0,25đ

A

sin 1 7 sin

1 

II PHẦN RIÊNG (3 điểm)

Chương trình cơ bản

Câu 6a (2đ)

1) Tìm M (C), N (d)? 

(d): 3x - 4y + 5 = 0

(C): (x + 1)2 + (y - 3)2 = 1  Tâm I (-1 ; 3), bán kính R = 1

d (I ; d) = 2 (d) (C) = Ø

Giả sử tìm được N0 (d)   N0 là hình chiếu vuông góc của I trên (d)























 3; 4 )

(

) 3

; 1 (

u d I

0,25đ

































5

7

; 5

1 4

3

3 1

t y

t x

Rõ ràng    (C) = {M1; M2} ; M1  ; M2











5

11

; 5

2













5

19

; 5 8

M0 (C) để M 0N0 nhỏ nhất  M0 M 1 và M0N0 = 1 0,25đ

Kết luận: Những điểm cần tìm thoả mãn điều kiện bài toán











5

11

; 5

2











 5

7

; 5 1

2) Phương trình mặt cầu (S) ?

(P1): x - 2y + 2z - 3 = 0

(P2): 2x + y - 2z - 4 = 0

Giả sử I (x0 ; y0 ; z0) (d): 

3

4 2

1







x

I (-2 - t ; 2t ; 4 + 3t) là tâm của mặt cầu (S) 0,25đ



Mặt cầu (S) tiếp xúc với (P1), (P2)  d (I, (P1)) = d (I ; (P2))

0,25đ





















1

13 16

10 3

1 3 9

3

1

t

t t

t

I1 = (11 ; 26 ; -35) ; I2 (-1 ; 2 ; 1)



Vậy, có hai mặt cầu cần tìm:

(S1): (x - 11)2 + (y - 26)2 + (z + 35)2 = 382

(S2): (x + 1)2 + (y - 2)2 + (z - 1)2 = 22 0,25đ

Câu 7a (1đ) Tính hệ số a 7 ?

(1 - x + x2 - x3)4 = (1 - x)4 (1 + x2)4 0,25đ























4 0

2 4 4

0

4 1

i

i i k

k k k

x C x

C

(Gt) , 0,1,2,3,4     ; 1;3, 3;2 0,25đ

7 2

















i k

0,25đ 40

2 3 3





Trang 5

Chương trình nâng cao

Câu 6b (2đ)

1) Tìm N (C)?

(C): (x + 1)2 + (y - 3)2 = 1

Tâm I (-1 ; 3), bán kính R = 1 ; M









 5

7

; 5 1

0,25đ 2

5

8

; 5









 

IM

Giả sử tìm được N (C)   MN MI + IN = 3 0,25đ

Dấu “=” xảy ra  N là giao điểm của tia đối IM và đường tròn (C)

(IM): ;





















t y

t x

5

8 3 5

6 1

    IM  C  N1; N2















5

11

; 5

2 1











5

19

; 5

8 2

N











5

19

; 5

8

N

2) Tìm M (S) , N (P) ? 

(S): (x + 1)2 + (y - 2)2 + (z - 1)2 = 1

Tâm I (-1 ; 2 ; 1), bán kính R = 1

(P): x - 2y + 2z - 3 = 0  d I; P  = 2 (P)(S)Ø

Giả sử tìm được N0 (P) N0 là hình chiếu vuông góc của I trên (P) 0,25đ

, với:

   d P





















) 2

; 2

; 1 ( )

( ) (

) 1

; 2

; 1 (

d

u P d

I d

 



























t z

t y

t x

d

2 1

2 2

1













3

7

; 3

2

; 3

1 0

N

{M1 ; M2}



 )(

)

(d S















3

5

; 3

4

; 3

2 1











3

1

; 3

8

; 3

4 2

M

M1M0 = 1 < M2M0 = 3

M0 (S) để M 0N0 nhỏ nhất  M0 M 1

Vậy, những điểm cần tìm thoả mãn yêu cầu bài toán













3

5

; 3

4

; 3

2











3

7

; 3

2

; 3

1

N

Câu 7b (1đ)

Đạo hàm bằng định nghĩa:

x

f x f

x

) 0 ( ) (

lim

0



3 0

2 1 3 1 lim

x

x x

x









0

2 1 ) 1 ( ) 1 ( 3 1 lim

x

x x

x













Trang 6

= 0,25đ

x

1 lim

1 3 1 1 ) 3

1

(

3 lim

0 2 3







2

1

2

1

2

1 '(0)

f

Trang 7

Phần chung (7 điểm)

Câu I (2 điểm) Cho hàm số f x( )x3mx2,có đồ thị (C m)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m 3

2) Tìm tập hợp các giá trị của để đồ thị m (C m)cắt trục hoành tại một và chỉ một điểm

Câu II (2 điểm)

1) Giải phương trình: 2 tan cot 2 2sin 2 1

sin 2

x

2) Giải phương trình:  2 2 2

1 5 2 4;

Câu III (1 điểm) Tính

2 3

0

sin

1 cos 2

x







Câu IV (1 điểm) Một hình nón đỉnh , có tâm đường tròn đáy là S O A B, là hai điểm trên đường tròn

đáy sao cho khoảng cách từ đến đường thẳng O AB bằng , a A ASO SABA 600 Tính theo a

chiều cao và diện tích xung quanh của hình nón

Câu V (1 điểm) Cho hai số dương x y, thỏa mãn: x y 5

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 4 2

4

P xy

Phần riêng (3 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)

Phần A

Câu VI (2 điểm)

1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng ( )d có phương trình :x y 0 và điểm

Tìm phương trình đường thẳng cắt trục hoành tại cắt đường thẳng tại sao (2;1)

cho tam giác AMB vuông cân tại M

2) Trong không gian tọa độ Oxyz, lập phương trình mặt phẳng   đi qua hai điểmA0; 1;2 , 

và tiếp xúc với mặt cầu có phương trình:

1;0;3

Câu VII (1 điểm) Cho số phức là một nghiệm của phương trình: z z2  z 1 0

Rút gọn biểu thức

           

Phần B Câu VI (2 điểm)

1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn C có phương trình  2 2 và điểm

: x4 y 25 Tìm phương trình đường thẳng đi qua điểm và cắt đường tròn tại 2 điểm (1; 1)

sao cho

,

A B MA3MB

2) Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng  P có phương trình: x y  1 0 Lập phương trình mặt cầu  S đi qua ba điểm A2;1; 1 ,  B 0;2; 2 ,  C 1;3;0 và tiếp xúc với mặt phẳng  P

Câu VII (1 điểm) Giải bất phương trình:

2

2 1

2

3

2

log 1

2 log ( 1)

x x

Trang 8

-Hết -HƯỚNG DẪN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2012

Câu I.1

(1,0 đ) m 3 hàm số trở thành:

3

f x x  x

Tập xác định D R

Sự biến thiên

' 3( 1) 0

1

x

 





' 0 1 hàm số đồng biến trên và

1

x y

x

 



   

y' 0    1 x 1 hàm số nghịch biến trên 1;1

điểm CĐ1; 4, điểm CT 1;0

lim

   lim

  

Điểm uốn:

y'' 6 x  0 x 0, Điểm uốn U 0;2

Bảng biến thiên:

x  1 1 

'

y + 0  0 

y





CT CĐ

Đồ thị

0,25

Câu I.2

(1,0 đ) Phương trình cho HĐGĐ

x mx  không thỏa mãn nên:

0

x



  

Xét hàm số

3

2



        

ta có bảng biến thiên:

'( ) 0 1

g x   x

x  0 1 

'( )

g x + ll  0  ( )

g x







-3

Số nghiệm của (*) là số giao điểm của đường thẳng y m và đồ thị hàm số

nên để (*) có một nghiệm duy nhất thì ( )

Lưu ý:

Có thể lập luận để đồ thị (C m)của hàm số y f x( ) hoặc không có cực trị hoặc

có hai điểm cực trị và hai điểm cực trị nằm cùng phía đối với trục hoành

0,25 0,25 0,25

0,25

Câu II.1

(1,0 đ) 2 tan cot 2 2sin 2 1 ,(1)

sin 2

x



Trang 9

Điều kiện:

2

x k 

2 2

4sin cos 2 2sin 2 1 (1)

2(1 cos 2 ) cos 2 2(1 cos 2 ) 1 2cos 2 cos 2 1 0

cos 2 1 (loai do:sin 2 0)

1

3 cos 2

2

x





 Đối chiếu điề kiện phương trình có nghiệm là: ,

3

x  k k Z 

0,25 0,25

Câu II.2

1 5 2 4;

Đặt t  x 2x2  4 t2 2(x42 )x2 ta được phương trình

2

t

       4

2

t t

 



  



+ Với t = 4 Ta có  2

2

0

2 2

x

x x









2 4 2

2

0

3 1

x

x x





 



ĐS: phương trình có 2 nghiệm x  2,x 3 1

0,25

0,25 Câu III

(1,0 đ)



1 2cos 2 cos

cos

dv

x





3

2

x

0

0,25

Trang 10

 

3 1

2 3

0,25

Câu IV

(1,0 đ)

Gọi I là trung điểm của AB, nên OI a

Đặt OA R

đều

A 600

SAB  SAB

A

ASO

Tam giác OIA vuông tại nên I OA2IA2 IO2

2

SA a

2

a

SO

2

xq

a

S Rl  a a

0,25

0,25 0,25

0,25 Câu V

(1,0 đ)

Cho hai số dương x y, thỏa mãn: x y 5

P

Thay y 5 xđược:



bằng khi Vậy Min P =

2 x1;y4 3

2

Lưu ý:

Có thể thay y 5 x sau đó tìm giá trị bé nhất của hàm số ( ) 3 5 3 5

(5 ) 4

g x



0,25 0,50 0,25

Câu

AVI.1

(1,0 đ)

nằm trên nên , nằm trên đường thẳng nên ,

(2;1)

M MA(a 2; 1),MB(b2;b1)

Tam giác ABM vuông cân tại M nên:

,

( 2)( 2) ( 1) 0

( 2) 1 ( 2) ( 1)

MA MB



 

do b2 không thỏa mãn vậy

2

1

2

1

2

b





2

2 1

1 2

a b

b b

a

 



        

Với: 2 đường thẳng qua AB có phương trình

1

a b





 

0,25

S

Trang 11

Với 4 đường thẳng qua AB có phương trình

3

a

b





 

0,25

Trang 12

Môn thi : TOÁN (ĐỀ147 )

Câu 1:

Cho hàm số y = 2 3 có đồ thị là (C)

2

x

x

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên

2) Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt 2 tiệm cận của (C) tại A,

B sao cho AB ngắn nhất

Câu 2:

1) Giải phương trình: 2 2 sin( ).cos 1

12

x  x

2) Giải hệ phương trình:

x y x y







Câu 3:

1) Tính tích phân I =

6

1 sin sin

2



2) Tìm các giá trị của tham số thực m sao cho phương trình sau có nghiệm thực:

(m - 3) x + ( 2- m)x + 3 - m = 0 (1)

Câu 4: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 1 Chứng minh rằng:

c   a   b  

Câu 5:

Cho hình chóp S ABC có góc ((SBC), (ACB)) =600, ABC và SBC là các tam giác đều cạnh a Tính theo a khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC)

PHẦN RIÊNG

1 Theo chương trình chuẩn:

Câu 6a: Cho  ABC có B(1;2), phân giác trong góc A có phương trình ( ) 2x +y –1 =0;

khoảng cách từ C đến ( ) bằng 2 lần khoảng cách từ B đến () Tìm A, C biết C thuộc trục tung

Câu 7a: Trong không gian Oxyz cho mp(P): x –2y +z -2 =0 và hai đường thẳng :

(d1) 1 3 2; (d2) Viết phương trình tham số của đường thẳng 

x    

1 2

1

y t t

 



   



  



A

nằm trong mp(P) và cắt cả 2 đường thẳng (d1) , (d2)

2 Theo chương trình nâng cao:

Câu 6b: Cho  ABC có diện tích bằng 3/2; A(2;–3), B(3;–2), trọng tâm G  (d) 3x –y –8 =0 tìm bán kinh đường tròn nội tiếp  ABC

Câu 7b: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (d) là giao tuyến của 2 mặt phẳng:

(P): 2x–2y–z +1 =0, (Q): x+2y –2z –4 =0 và mặt cầu (S): x2 +y2 +z2 +4x –6y +m =0 Tìm tất cả các giá trị của m để (S) cắt (d) tại 2 điểm MN sao cho MN= 8

Trang 13

Đáp án ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2012

Phần chung:

Câu 1: Cho hàm số y = 2 3 có đồ thị là (C)

2

x

x

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên

2) Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt 2 tiệm cận của (C) tại A,

b sao cho AB ngắn nhất

Giải: 1) y= 2 3 (C)

2

x

x

D= R\ {2}

TCĐ x = 2

lim ; lim

x y x y

      

y’ = 1 2 0; 2

(x2)   x

BBT

2) Gọi M(xo; 0 ) (C)

0

2

x x



Phương trình tiếp tuyến tại M: () y = 02 0

x

( )  TCĐ = A (2; 0 )

0

2

x x



( )  TCN = B (2x0 –2; 2)

 AB =

0 0

2

AB x

x



0

4

( 2)

cauchy

x

 AB min = 2 2 0 3 (3;3)

1 (1;1)

o

 



  



Câu 2:

1) Giải phương trình: 2 2 sin( ).cos 1

12

x  x

Giải: phương trình  2(cosx–sinx)(sinx– 3cosx)=0  3 ( )

4

k

  



 



A

2) Giải hệ phương trình:

x y x y







Giải: (1)  y  0

Hệ 

3

3 2 2

 

Đặt a = 2x; b = Ta có hệ: 3

y

1

a b

ab

ab a b

 



 Hệ đã cho có 2 nghiệm 3 5; 6 , 3 5; 6

f(x)=(2x-3)/(x-2) f(x)=2 x(t)=2 , y(t)=t

-3 -2 -1

1 2 3 4 5

x y

Trang 14

Câu 3:

1) Tính tích phân I =

6

1 sin sin

2



2

2 6

3

2



2

 I   2 =

4

2

sin 2 3



2

16 

2) Tìm các giá trị của tham số thực m sao cho phương trình sau có nghiệm thực:

(m - 3) x + ( 2- m)x + 3 - m = 0 (1)

Giải: Đk x  0 đặt t = x; t  0

(1) trở thành (m–3)t+(2-m)t2 +3-m = 0  2 22 3 3(2)

1

m

t t 



  Xét hàm số f(t) = 2 22 3 3 (t  0)

1

t t   Lập bảng biến thiên

(1) có nghiệm  (2) có nghiệm t  0  5 3

3 m

Câu 4: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 1 Chứng minh rằng:

c   a   b  

Giải:



8c  1 (2 1)(4c c 2 1)c cauchy 2c 1 3 2

c

c   

Tương tự, 3 2 ; 3 2

a    b   

Ta sẽ chứng minh: 2 2 2 1 (1)

2c a1 2 a b1 2 b c1

Bđt(1)  4(a3b2+b3a2+c3a2) +2(a3+b3+c3 )+2(ab2+bc2+ca2)+( a+b+c) 

 8a2b2c2 +4(a2b2 +b2c2 +c2a2) +2 (a2 +b2 +c2 )+1 (2)

Ta có: 2a3b2 +2ab2  4a2b2; … (3)

2(a3b2+b3a2+c3a2)  2.3.3a b c5 5 5 =6 (do abc =1)(4)

a3+b3+c3  3abc =3 = 1 +2 a2b2c2 (5)

a3 +a  2a2; … (6) Công các vế của (3), (4), (5), (6), ta được (2)

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1

Câu 5: Cho hình chóp S ABC có góc ((SBC), (ACB)) =600, ABC và SBC là các tam giác đều cạnh a Tính theo a khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC)

Giải:

Định dạng
Số trang	20
Dung lượng	369,11 KB