[r]
Trang 1
Chuyên đề 4: Phơng trình-hệ phơng trình
I Phương trỡnh bậc I, II, II, bậc cao và quy về bậc I, II, III, bậc cao.
I.1 Phương trỡnh bậc I
VD1: Giải phương trỡnh ) 152 3 115
3 4
7 3 )(
2 3
6 1 ( ) 5 3
3 2 (
(Đề thi chọn HSG TP HCM năm 2004) ĐS: x = 1, 4492
VD2:
4
x
ĐS: 301
16714
x
VD3: Giải phương trỡnh
5
6 7 2
5 3
15
a = 13425685 ĐS: a=9
VD4 Tỡm x:
4
3
8
x
VD5: Tìm giá trị gần đúng của x và y (chính xác đến 9 chữ số thập phân):
1)
8
5 6
4 7
5 3 12
9
5 7
4 5
3 2
28
x
2)
5
3 3
3 3
2 1 3
3
2 6
4 2 2
9
7
7
5
3
4
y y
VD6: Tỡm x biết :
x13,86687956
y0,91335986
Trang 2
HD:
3
8 3
8 1
1 x
382007
381978 ữ 382007 = 0.999924085
ấn liờn tiếp x 1 ì 3 - 8 và ấn 9 l ần phớm =
Ta ấn tiếp: Ans x
1
1
ti ếp tục ấn Ans x 1 - 1 =
KQ : x = - 1.11963298
I.2 Phương trỡnh bậc II.
VD1: Tính gần đúng với 5 chữ số thập phân của tổng lập phơng các nghiệm của
ph-ơng trình:
1,23785x2 + 4,35816x – 6,98753 = 0
x13+ x23 -103,26484
7
2
3 3
7 2
2 3
x x
498 ,0
626
,5 0
254 log 7
25 5
sin
2
1 8,
4 73 ,2 2
x
x x
e x
(Trớch đề thi KV BTTHPT 2006)
I.3 Phương trỡnh bậc III.
VD: 385x3+261x2-157x-105=0
ĐS: -5/7; -3/5; 7/11
I.4 Phương trỡnh bõc cao.
VD: 72x4+84x3+-46x2-13x+3=0 ĐS: -3/2; -1/3; 1/6; 1/2
I.5 Phương trỡnh vụ tỉ.
VD1: Giải phương trỡnh: 130307 140307 1 x 1 130307 140307 1 x
(trớch đề thi KV THCS 2007)
ĐS: -0,99999338
VD2: Giải phương trỡnh:
1 1332007 26612
178381643 1332007
26614
x
(trớch đề thi KV THCS 2007)
ĐS: x1=175744242; x2=175717629
VD3: 1) Giải phương trỡnh: ab 1 x 1 a b 1 x theo a, b
Trang 3
(trớch đề thi KV THCS 2004) ĐS: x= 2 2
4
1 4 4
b
a
2) Tớnh với a = 250204; b=260204 ĐS: 0,999996304
*** Giải phương trỡnh dựng SHIFT SOLVE
VD1: Tỡm 1 nghiệm pt: x9-2x7+x4+5x3+x-12=0
HD: Nhập cụng thức: Shifs Solve; X? nhập 1để dũ; Shift Solve
ĐS: 1,26857 (45,85566667) VD2: Tỡm 1 nghiệm pt: x60+x20-x12+8x9+4x-15=0
ĐS: Dũ với x = 1: 1,011458; Dũ với x = 10: -1.05918
* Một số bài tập ỏp dụng:
Bài tập 1: giải các phơng trình bậc 2 dạng tổng quát : ax2 + bx +c = 0 ( a ≠ 0)
a) x2 -4x + 3 = 0 b) 3x2 - 5x +2 = 0
Cách giải
a, cách ân : 3
MODE ,1,,2, 1,= (-4) = 3 =
Ta ấn tiếp dấu = để tìm nghiệm thứ 2 ta đợc kết quả 1
2
3 1
x x
Bài tập 2; Cho hai phơng trình
2
x - 4x + 3 = 0 2x2 -5x +3 = 0 a.Chứng minh rằng hai phơng trình có nghiệm chung x = 1
b.Chứng tỏ x = 2 là nghiệm của (1) nhng không là nghiệm của ( 2 )
c.Chứng tỏ x = 3/2 là nghiệm của phơng trình (2) nhng không là nghiệm của (1) d.Hai phơng trình đã cho có tơng tơng với nhau hay không ? vì sao?
Cách giải: Ta lần lợt thực hiện;
+) Nhập (1) vào máy tính ta ấn
2 ALPHA, X , x2 - 5, ALPHA, X - 3
Để kiểm nghiệm các giá trị x= 1, x =2, x= 3
2 ta ấn
CALC , 1 màn hình hiện kết quả
=> x = 1 là nghiệm
CALC , 2 màn hình hiện kết quả 0
=> x = 2 là nghiệm của phơng trình
CALC , 3/2 màn hình hiệ kết quả 1/4
=> x = 3/2 không là nghiệm của phơng trình
+) Nhập phơng trình (2), rồi thử các giá trị x =1, x =2 ,x=3ta thấy x= 1, x=3/2 là nghiệm , x= 2 không là nghiệm của phơng trình (2)
Vậy a) 2 pt có nghiệm chung là x = 1
b) x =2 là nghiệm của (1) nhng không là nghiệm của (2 )
c ) x = 3/2 là nghiệm của phơng trình (2) nhng không là nghiệm của (1)
d) 2 ph.trình không tơng đơng vì x = 2 là nghiệm của (1) nhng không là n0 của (1) Bài tập 3 Giải phơng trình đa đợc về dạng ax+b= 0
a 4(x -1) - ( x + 2 ) = - x b 5 2 2
1
x
c.(3x-4)(2x +1)- (6x +5)(x-3) = 3
Cách giải
0
Trang 4
Bớc 1: Nhập phơng trình vào máy tính
Bớc 2:Để tìm nghiệm ta ấn SHIFT,SLOVE,=,SHIFT, SLOVE
a.Nhập phơng trình vào máy tính ta ấn
4( ALPHA, X - 1) - (ALPHA, X + 2)ALPHA, = (-)ALPHA, X
Để tìm nghiệm ta ấn
SHIFT,SLOVE,=,SHIFT, SLOVE
Vậy phơng trình có nghiệm x= 1,5
Bài tập 4 Giải phơng trình tích
+, Bớc 1:nhập phơng trình vào máy tính
+, Bớc 2: Sử dụng hàm SLOVE nhiều lần để tìm các nghiệm bằng cách ấn
SHIFT, SOLVE ,= , SHIFT, SLOVE Lần 1
SHIFT, SOLVE ,=k , SHIFT, SLOVE lần tiếp với k (khác nghiệm )
ví dụ ; Giải phơng trình x2- 5x + 4 = 0
+, Nhập phơng trình vào máy tính ta ấn
ALPHA, X, x2 - 5 ALPHA ,X + 4 , ALPHA= 0
Để tìm nghiệm ta ấn
SHIFT, SOLVE ,= , SHIFT, SLOVE
SHIFT, SOLVE, 3 = SHIFT, SLOVE
Vậy phơng trình có nghiệm x =1, x= 4
Bài tập t ơng tự G iải các phơng trình sau
a x2 - 4x + 4 = 0 b x2 + x + 4 = 0 c.x3 9x 0
Bài toán 5 : Giải phơng trình chứa ẩn ở mẫu
Phơng pháp
+,Bớc 1 nhập phơng trình vào máy
+, Bớc 2 Sử dụng hàm SLOVE nhiều lần để tìm các nghiệm
+Bớc 3 Kiểm tra điều kiện có nghĩa cho nghiệm tìm đợc
ví dụ ; Giải phơng trình
x +2 1
1
x
x
= - 1
- ĐKXĐ x #1
- Nhập phơng trình vào maý ta ấn
ALPHA, X + (2, ALPHA, X - 1) ( 1 - ALPHA, X) ALPHA = (- 1)
Để tìm nghiệm ta ấn
SHIFT, SOLVE ,1 = , SHIFT, SLOVE
SHIFT, SOLVE ,2 = , SHIFT, SLOVE
Vậy phơng trình có 2 nghiệm x= 0 và x= 2
Bài tập 6 Giải bài toán bằng cách lập hệ phơng trình
Phơng pháp
+, Bớc 1 Thiết lập phơng trình cho bài toán
+, Bớc 2 sử dụng máy tính giải phơng trình tìm đợc ở bớc 1
Ví dụ : tổng 2 số bằng 72 , hiệu của chúng bằng 6 Tìm 2 số đó
Giải
Gọi x là số lớn trong 2 số đã cho ĐK: 6 x72
Vì tổng 2 số bằng 72 nên số nhỏ = 72 - x
Hiệu 2 số bằng 6 nên ; x- (72 - x) = 6 <=> x =39 ( thỏa mãn ĐK)
Cách ấn ALPH A, X - ( 72 - ALPH A, X) ALPHA = 6 SHIFT, SOLVE ,1 =
1
4
0 2
1,5
Trang 5
SHIFT, SOLVE
Vậy số lớn bằng 39, số nhỏ bằng 33
Bài tập luyện tập
Bài 1 Tổng 2 số bằng 33, số này gấp đôi số kia Tìm 2 số đó
Bài 2 Hiệu 2 số bằng 29, số này gấp đôi số kia tìm 2 số đó
Bài toán 7 Giải một số phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
Phơng pháp ; nhập phơng trình vào máy tính rồi sử dụng hàm SOLVE
Ví dụ :giải các phơng trình sau
a)2x 3 - x 3 = 0 b) x 4 + 3x = 5
Giải
a) Cách ấn
2, ALPH A, X + 3 ,ALPHA = ALPH A, X - 3 (*)
SHIFT, SOLVE ,1 =SHIFT, SOLVE
Dùng phím để hiện lại biểu thức(*), rồi sửa nó thành 2x + 3 = 3 - x tiếp đến ta ấn SHIFT, SOLVE ,1 =SHIFT, SOLVE
Vậy phơng trình có 2 nghiệm x = - 6 và x = 0
b) Biến đổi tơng đơng phơng trình
4
x + 3x = 5 <=>
4 5 3
x
<=>
5 3 1 4 9 2
x x x
<=>x = 1
4
Bằng cách ấn ALPHA, X,+ 4 ALPHA, = 5 - 3 ALPHA ,X (*)
SHIFT, SOLVE ,1 =SHIFT, SOLVE
Dùng phím để hiện lại biểu thức , rồi sửa nó thành x + 4 = 3x - 5 tiếp đến ta ấn SHIFT, SOLVE ,1 =SHIFT, SOLVE
Vậy phơng trình có 2 nghiệm x = 1
4và x =
9 2
Bài tập luyện tập
Bài 1 Giải các phơng trình sau
1
2
1 0 1
x
x
x
x
3 2
Bài 2 Giải các phơng trình sau
3 2
39
- 6 0
0,25
4,5
Trang 6
Bài 3 Giải các phơng trình sau
2 2
1
Bài toán 7 Giải phơng trình bậc 3 một ẩn có dạng a 3
x + cx + d = 0
ách ân : 3
MODE ,1,,3 rồi nhập các hệ số a, b, c, d
Ví dụ Giải phơng trình 3
x + 8x - 6 = 0
Ta ấn 3
MODE ,1, ,3, 1=(-5) = 8= (- 6)
Khi đó màn hình có dạng
ấn tiếp dấu = để nhận nghiệm tiếp theo của phơng trình, khi đó nhận đợc màn hình có dạng
Ta tiếp tục ấn dấu = để nhận nghiệm tiếp theo của phơng trình , khi đó nhận đợc màn hình có dạng nh trên Vậy phơng trình đã cho có nghiệm x= 3 Bài tập 8 Giải phơng trình có chứa căn 2 1 x x = 1 2 Biến đổi phơng trình về dạng 2 ( x 1) =1 2<=> 1 1 2 x <=> 1 1 2 x <=> x= 1 2 (1 ) 2 <=>x=21 4và x= 1 4 Dùng máy tính ấn các giá trị của x II Hệ ph ơng trình Bài toán 9 Giải hệ phơng trình bậc nhất 2 ẩn 1 1 1 2 2 2 a x b y c a x b y c Cách giải Ta ấn MODE3,1,2 để chọn chơng trình giải hệ phơng trình bậc nhất 2 ẩn, sau đó nhập các hệ số của từng phơng trình ví dụ : giải hệ phơng trình 2 4 0 2 3 x y x y Trớc tiên ta biến đổi về hệ phơng trình dạng chính tắc 2 4 2 3 x y x y Ta lần lợt thực hiện 3 MODE ,1,2 ,1=2=4=2=(-1)=3= Khi đó màn hình có dạng
Vậy hệ phơng trình có nghiệm là x =2 và y =1 Bài toán 10 Giải hệ phơng trình bậc nhất 3 ẩn 1 x = 3
R<=> i 2 x 1
X=
2
Y=
1
Trang 7
Ta biến đổi đa hệ phơng trình về dạng
0 0 0
a x b y c z
a x b y c z
a x b y c z
Cách giải :ấn 3
MODE ,1,3 để chọn chơng trình giải hệ phơng trình bậc nhất 3 ẩn
Ví dụ : Giải hệ phơng trình
6 0 2 3 4 16 x y z x y z x y z Cách giải : Ta đa hệ phơng trình về dạng tổng quát 0 0 2 3 4 16 x y z x y z x y z Ta lần lợt thực hiện 3 MODE ,1,3,1 = 1=1=(-6) =1 =1 =(-1) 2= (-3)=(-4)=(-16)= Khi đó màn hình có dạng
ấn tiếp phím = Màn hình hiện
ấn tiếp phím =
Vậy hệ phơng trình đã cho có nghiệm x=1, y=2, z=3 Bài tập tơng tự :giải các hệ phơng trình sau 7 1 3 x y z x y z y z x 3 5 34 6 3 18 x y z x y z III Nghiệm nguyên của ph ơng trình Ví dụ :tìm các số nguyên x và y sao cho xy - x - y Ta biến đổi phơng trình thành x(y- 1) - ( y- 1) = 6 + 1 <=>(x-1)(y-1) = 7 Do x và y là các số nguyên nên x-1 ,y- 1 là ớc của 7 Gỉa sử xy khi đó x -1y -1 x-1 7 - 1 y-1 1 -7 Khi đó
x 8 0 y 2 -6 Bài tập tự luyện Bài 1: Tìm nghiệm nguyên dơng của các phơng trình A.x2 y2 15 B.(2x-y)(x+y) = 9 C.(5x- y)(x+2y) = 15 D.xy- 3x- 3y = 2 Bài 2 Tìm nghiệm nguyên của các phơng trình A,x+5y=7 B,2x +5y =10 X=
1
Y= 2
Z= 3
Trang 8
Bài toán 3 Tìm giá trị nguyên của x để các biểu thức sau có giá trị nguyên
ví dụ : Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị nguyên A=
2
x x
Cách giải : ta biến đổi về dạng A= x-2 + 3
2
x
Do x là các giá trị nguyên nên 3
2
x là số nguyên, do đó x +2 là ớc của 3
Dùng máy tính để tính các giá trị của x
Ta tính đợc với x = -5,-3,-1,1 thì biểu thức A nhận các giá trị nguyên
Bài 4 Tìm giá trị nguyên của x để các biểu thức sau có giá trị nguyên
A=
1
x x
B =
2
1
x