Chøng minh r»ng AE vu«ng gãc víi BC.. Gäi H lµ giao ®iÓm cña AE vµ BC.b[r]
Trang 1Đề thi học sinh giỏi Môn Toán lớp 9
Thời gian làm bài 150 phút
Bài 1 (2đ):
1 Cho biểu thức:
1
1 1
1 : 1 1
1
1
xy
x xy
x xy xy
x xy xy
x
a Rút gọn biểu thức
b Cho 1 1 6
y
2 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n ta có:
2 2
1 1 1 ) 1 (
1 1
n n n
2006
1 2005
1 1
3
1 2
1 1 2
1 1
1
Bài 2 (2đ): Phân tích thành nhân tử: A = (xy + yz + zx) (x + y+ z) – xyz
Bài 3 (2đ):
1 Tìm giá trị của a để phơng trình sau chỉ có 1 nghiệm:
6 13 ( 5)((2 3)1)
a x a x
a a a
x
a x
2 Giả sử x1,x2 là 2 nghiệm của phơng trình: x2+ 2kx+ 4 = 4
Tìm tất cả các giá trị của k sao cho có bất đẳng thức:
3
2
1 2 2
2
x
x x
x
Bài 4: (2đ) Cho hệ phơng trình:
1 1
3 2 2
2 2 1
1
x
m y
y
m x
1 Giải hệ phơng trình với m = 1
2 Tìm m để hệ đã cho có nghiệm
Bài 5 (2đ) :
1 Giải phơng trình: 3x2 6x 7 5x2 10x 14 4 2x x2
2 Giải hệ phơng trình:
9 27 27 0
9 27 27 0
9 27 27 0
Bài 6 (2đ): Trên mặt phẳng toạ độ cho đờng thẳng (d) có phơng trình:
2kx + (k – 1)y = 2 (k là tham số)
1 Tìm k để đờng thẳng (d) song song với đờng thẳng y = 3 x? Khi đó hãy tính góc tạo bởi (d) và tia Ox
2 Tìm k để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đờng thẳng (d) là lớn nhất?
Bài 7 (2đ): Giả sử x, y là các số dơng thoả mãn đẳng thức: xy 10
Tìm giá trị của x và y để biểu thức:
) 1 )(
1
P đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất ấy
Bài 8 (2đ): Cho ABC với BC = 5cm, AC= 6cm; AB = 7cm Gọi O là giao điểm
3 đờng phân giác, G là trọng tâm của tam giác
Tính độ dài đoạn OG
Trang 2Bài 9(2đ) Gọi M là một điểm bất kì trên đờng thẳng AB Vẽ về một phía của AB
các hình vuông AMCD, BMEF
a Chứng minh rằng AE vuông góc với BC
b Gọi H là giao điểm của AE và BC Chứng minh rằng ba điểm D, H, F thẳng hàng
c Chứng minh rằng đờng thẳng DF luôn luôn đi qua một điểm cố định khi M chuyển động trên đoạn thẳng AB cố định
d Tìm tập hợp các trung điểm K của đoạn nối tâm hai hình vuông khi M chuyển
động trên đờng thẳng AB cố định
Bài 10 (2đ): Cho xOykhác góc bẹt và một điểm M thuộc miền trong của góc Dựng đờng thẳng qua M và cắt hai cạnh của góc thành một tam giác có diện tích nhỏ nhất
Trang 3Đáp án Đề thi học sinh giỏi Môn Toán lớp 9
Ngời ra đề : Lơng Thị Nhàn
Đơn vị : Trờng THCS Thọ Xơng
………
Bài 1:
2
a) Đk : x 0; y 0; x.y 1
Quy đồng rút gọn ta đợc:
A = x.1y b) 1 1 6 1 . 1 9
y x
A y
x
Max A = 9 1 1 3 xy 91
y x
2 2
1
1 1 1 ) 1 (
2 1
2 2 1
1 1 1 1
1 1 1
n n n
n n n n
n n
n
S =
2006
1 2005
1 1
4
1 3
1 1 3
1 2
1 1 2
1 1
1
2006
4024035 2006
1
0,5
0,5 0,5
0,5
Bài 2:
(2đ) A= (xy+ yz+ zx) (x+y+ z) – xyz= xy (x+ y+ z)+ yz (x+ y + z) + zx (x+ z)
= y (x+ y + z) (x+z)+ zx (x+ z)
= (x+ z) [y(x+ y+ z)+ zx]
= (x+ z ) [x (y+ z) + y ( y+ z)]
= (x+ y) (x+ z) ( y+ z)
0,5 0,5 0,5 0,5
Bài 3:
(2đ) 1. Đk: x (a+ 1) ; x a (*)(1) (x + 6a +3) (x- a) = - 5a (2a+ 3)
x2+ (5a+ 3)x + 4a(a+ 3) = 3 (2)
Pt (2) có nghiệm: x1= 4a; x2= -(a+3) PT(1) có 1 nghiệm :
a) x1 = x2 và T/m (*) 4a = - (a+3) a=1 Khi đó : x1 = x2 = - 4 T/m (*)
b) x1 không t/m (*) 4a = - (a+ 1) hoặc – 4a = a +) 4a = -(a+1) a=
3
1
khi đó x2=
3
10
T/m (*) +) - 4a= a a = 0 Khi đó : x2 = -3 T/m (*)
0,25
0,25
Trang 4c) x2 không thỏa mãn (*) - (a+ 3) = a vì - (a+ 3) - (a+ 1)
a =
2
3
khi đó : x = - 6 thoả mãn (*)
Kết hợp a, b, c ta có: 4 giá trị của a là: 1;
3
1
; 0;
2
3
Ta thấy: x1 0; x2 0
Ta có :
) 1 ( 5 5
2 3
2
1 2 2 1
2
1 2 2 1
2
1 2 1 2 2 1 2
2 1
x
x x x x
x x x
x
x x
x x
x x
x
Mặt khác :
1
2 2
1
x
x x
x
=
4
2 2
2 1 2 1
2 2
2
x x
x
> 0 (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra:
1
2 2
1
x
x x
x
.
) ( 5
2 1
2 2 1
x x
x x
4
) 2
k k
k
0,25 0,25
0,25 0,25 0,25 0,25
Trang 5Bµi 4:
§k:
2
1
y x
§Æt
2 1 1 1
y v
x
u
§k : u, v 0
Ta cã hÖ ph¬ng tr×nh:
)2 (1 3
2
)1
(2
mu v
mv
u
Víi m = 1 ta cã:
7 19 3 8
5
7 2 1 5
3 1 1
5 7 5
3 132
2
y
x
y
x v
u uv vu
VËy víi m = 1, hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ:
7 19 3 8
y x
0,5
0,5
2 Tõ (1) u = 2- mv ThÕ vµo (2) ta cã:
2v – 6m + 3m2v = 1 v =
2 3
6 1
2
m
m
víi m R
u = 2 – m(
2 3
6 1
2
m
m
) =
2 3
4
2
m m
0,5
Trang 6Để hệ có nghiệm thì:
6 1
4 061
04 0
0
m
m m
m v u
Vậy với
6 1
4
m
m
thì hệ phơng trình có nghiệm
0,5
Bài 5:
2 2
2
) 1 ( 5 9 ) 1 ( 5 4 ) 1 ( 3
2 4 14 10 5 7 6 3
x x
x
x x x
x x
x
Ta có:
1 0
1
5 5
5
3 9 9 ) 1 ( 5
2 4 4 ) 1 ( 3
2 2
x x
VP VT VP VT VP VT x x
Vậy S = 1
0,25
0,5 0,25
2 Cộng từng vế 3 phơng trình ta đợc:
(x + 3)2 + (y-3)2 + (z- 3)2 = 0 (4) Mặt khác: (1) 9x2- 27x + 27 = y3= 9 (
4
27 ) 2
3 2
y> 0; tơng tự : x > 0; z > 0
a Xét x 3 từ (3) 9z2 – 27z = x3- 27 0
9z (z – 3) 0 z 3 Tơng tự y 3
Từ (4) x = y= z = 3
b Xét 0 < x < 3 Từ (3) 9z2- 27z = x3 – 27 < 0 9z (z-3) < 0 z < 3
Từ (4) hệ phơng trình vô nghiệm
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x= 3; y = 3; z = 3)
0,25 0,25
0,25
0,25 Bài 6:
(2đ) 1 Với k = 1 thì (d) là x = 1, (d) không song song với đờng thẳng y =3 x
Với k 1, đa phơng trình về dạng : y =
1
2
1
2
k
x k
k
(*)
Điều kiện cần và đủ để (d) song song với đờng thẳng y = 3 x là :
) 3 2 ( 3 3
1
2
k k
k
Khi đó góc nhọn tạo bởi (d) với tia Ox có Tg = 3 nên =600
0,5 0,5
2 Với k = 1 thì khoảng cách từ O đến (d) là 1
Trang 7Với k = 0 phơng trình đờng thẳng (d) là y = -2, suy ra khoảng
Với
0
1
k
k
gọi giao điểm của (d) với Ox, Oy tơng ứng là A, B
Thay y = 0 vào (*) đợc :
k OA
k
1
Thay x = 0 vào (*) đợc yB= ( )
1
2 1
2
d k
OB
k không đi qua gốc tọa độ với k 0; k 1
Trong tam giác vuông AOB, ta có: 2 12 12
OH
1
OB
OA
Từ đó: OH =
1 2 5
2
2
k
k , ta có:
5k2 – 2k + 1 = 5(
5
4 ) 5
1 2
5
4
Với k
5
1 5
,
Vậy với k =
5
1
thì khoảng cách từ O đến (d) là lớn nhất
0,5
Bài 7:
4 + 1) (y4+ 1) = (x4+ y4) + (xy)4 + 1
Đặt: t = xy, ta có:
x2+ y2 = (x +y)2 – 2xy = 10 – 2t
x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2(xy)2
= (10 – 2t)2 – 2t2 = 2t2- 40t+ 100 Khi đó : P = t4 + 2t2- 40 t + 101
= (t4 – 8t + 16) + 10 (t2- 4t + 4) + 45
= (t2 – 4)2+ 10 (t – 2)2 + 45 Suy ra P 45 Đẳng thức xảy ra khi t = 2
x+y = 10 và xy = 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là P = 45 khi:
(x,y) =
2
2 10
; 2
2
2
2 10
; 2
2 10
0,5
0,5 0,5 0.5 Bài 8:
(2đ) BI là phân giác của góc B, nên:
12
7 AC 5
7
BC
AB IC AI
12
6 7 12
AC 7.
O G
AO là phân giác của góc A trong ABI,
2
1 7
5 , 3 OB
OI
AB IA
Mặt khác, do G là trọng tâm của ABC, nên ( 2 )
2
1
GB GM
0,5
0,5
Từ (1) và (2) suy ra:
GB
GM
OB
OI
Khi đó ta lại có :
3
2
BM
BG IM
OG
B
A C
M
Trang 8Suy ra: ( )
3
1 ) 3 5 , 3 ( 3
2 ) (
3
2 3
2
OG IM IA MA cm
Vậy : OG = ( )
3
1
Bài 9:
(2đ) a Xét CAB, ta có: CM AB, BE AC
( vì BE MF, MF//AC) I H
AE là đờng cao thứ ba E
AE BC
A
b Gọi O là giao điểm của AC và DM
Do góc AHC = 900 (câu a) nên:
2
DM OH 2
AC
Chứng minh tơng tự: góc MHF = 900 (2)
Từ (1) và (2) D, H, F thẳng hàng
c Gọi I là giao điểm của DF và AC; DMF có DO = OM OI//MF nên I là trung điểm DF
Kẻ I I’ AB thì I’ là trung điểm của AB và
2 2
2
Do đó điểm I cố định: I nằm trên đờng trung trực của AB và cách
AB một khoảng bằng
2
AB
d Tập hợp các điểm K là đờng trung bình của IAB
0,5
0,5
0,5
0,5
………
Bài 10:
(2đ) Lấy A Ox, B Oy, M ABVẽ MH//OA, MK//OB thì
SOHMK không đổi
Đặt SOHMK = S3; SAKM= S1 a
SMHB= S2; SABC = S
Đặt MA = a; MB = b b
Ta có: S3 = S – (S1+ S2)
S
S S S
S3 1 2
1
Các tam giác AKM, MHB, AOB đồng dạng nên :
2 1
b a
a S
S
2 2
2 2 3
2 2
) (
2 ) (
1
b a
ab b
a
b a S
S b a
b S
S
0,5
0.5
ab
b a S
S
2
)
3
(a+b)2 4ab dấu bằng sảy ra khi a = b
SAOB nhỏ nhất a = b M là trung điểm AB 0,5
………
B H
M
x y
F
B M
I’
O