Cho hai đường tròn có bán kính bằng nhau và bằng 1, chúng đi qua tâm của nhau... Chọn ngẫu nhiên đồng thời 3 viên.[r]
Trang 1Së Gi¸o dôc vµ §µo t¹o Kú thi chän häc sinh giái cÊp tØnh
§Ò chÝnh thøc N¨m häc 2010 - 2011
Đáp án gồm 04 trang
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM MÔN: TOÁN THPT
Bài 1: (5 điểm) Tìm tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số y 2x 3 x2 4x 5 Tóm tắt cách giải:
TXĐ: D=5;1
2
x 2
Giải phương trình y' = 0 lập bảng biến thiên ta có tọa độ điểm
cực đại
Kết quả:
1điểm
(0,6833; 5,7082) 4 điểm
Bài 2: (5 điểm) Cho hình thang ABCD có đường chéo AC 7 , BD 5 , cạnh đáy
CD 1 , góc giữa hai đường thẳng AC và BD bằng 15 Tính độ dài cạnh đáy AB 0
Tóm tắt cách giải:
CD(A) A '
T
Tứ giác A'ACD là hình bình hành
Áp dụng định lí cosin trong tam giác A'BD, tính được A'B
AB A 'B CD
Kết quả:
2điểm
AB 1,5269 3 điểm
Bài 3: (5 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
y 2sin x 3cos2 x
4
Tóm tắt cách giải:
Đưa hàm số về dạng y 3sin2x cos2x 1
Kết quả:
2 điểm maxy 4,1623
miny 2,1623
3 điểm
A'
Trang 2Bài 4: (5 điểm) Tính gần đúng nghiệm (độ, phút, giây) của phương trình
3 tanx 1(sinx 2cosx) 5(sinx 3cosx)
Tóm tắt cách giải:
Điều kiện: cosx 0
tanx 1
Đặt t tanx , đưa phương trình về dạng
3 t 1(t 2) 5(t 3)
Giải phương trình trên, ta có t 3
Kết quả:
2 điểm
x 71 33'54" K180 (K Z)
3 điểm
Bài 5: (5 điểm) Giải hệ phương trình
Tóm tắt cách giải:
Biến đổi hệ phương trình về dạng
(x y 5)(x y 13) 0
xy 3x 2y 16
xy 3x 2y 16
Kết quả:
2 điểm
x 4,7321
y 0,2679
1,5 điểm
x 1,2679
y 3,7321
1,5 điểm
Bài 6: (5 điểm) Cho hai đường tròn có bán kính bằng nhau và bằng 1, chúng đi qua tâm
của nhau Tính diện tích phần chung của hai hình tròn đó
Tóm tắt cách giải:
Tính diện tích S1 của hình thoi AO BO1 2
Tính diện tích S2 của hình quạt O AO B1 2
Diện tích cần tìm là S S S2 2 1
Kết quả:
2 điểm
1 O B
A
2 O
Trang 3S 1,2284 3 điểm
Bài 7: (5 điểm) Tính các cạnh của hình hộp chữ nhật biết thể tích của nó bằng 15,625;
diện tích toàn phần bằng 62,5 và các cạnh lập thành một cấp số nhân
Tóm tắt cách giải:
Gọi x, y, z là 3 kích thước của hình hộp chữ nhật
Không mất tính tổng quát, giả sử 0 x y z
Ta lập được hệ phương trình
2
2(xy yz zx) 62,5
Kết quả:
2 điểm
x 0,6699
y 2,5000
z 9,3301
3 điểm
Bài 8: (5 điểm) Trong hộp có 100 viên bi được đánh số từ 1 đến 100 Chọn ngẫu nhiên
đồng thời 3 viên Tính xác suất của biến cố: "Tổng 3 số trên 3 viên bi là một số chia hết cho 3"
Tóm tắt cách giải:
Trong 100 số tự nhiên từ 1 đến 100, có 33 số chia hết cho 3,
có 34 số chia cho 3 dư 1 và có 33 số chia cho 3 dư 2
T/h 1: Cả 3 số trên 3 viên có cùng số dư khi chia cho 3:
C333C334C333
T/h 2: Ba số trên 3 viên bi chia cho 3 có số dư khác nhau từng
đôi: C C C133 134 133
Gọi A là biến cố cân tính xác suất, ta có
3 100
P(A)
C
Kết quả:
3 điểm
P(A) 0,3335
2 điểm
Bài 9: (5 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (E):x2 y2 1
25 9 và đường thẳng (d):y 2010x 2011
a) Tìm tọa độ giao điểm A và B của (E) và (d)
b) Tìm tọa độ điểm M trên (E) sao cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất
Tóm tắt cách giải:
a/ Tọa độ giao điểm của (d) và (E) là nghiệm của hệ phương
trình
25 9
y 2010x 2011
Kết quả:
( 0,9990; 2,9395) ( 1,0020; 2,9391)
2 điểm
Trang 4b)
2
2
3
5
Diện tích MAB lớn nhất y'(x ) 2010M M(5,0000; 0,0009)
3 điểm
Bài 10: (5 điểm) Cho dãy số x , n n N * được xác định như sau: x1 2
3
và
n
n 1
n
x x
2(2n 1)x 1
, n N* Tính tổng của 2010 số hạng đầu tiên
Tóm tắt cách giải:
Đặt n
n
2
u
x
, từ công thức xác định dãy x của đề bài, suy n
ra u13; un 1 4(2n 1) u , n N n *
Bằng phương pháp quy nạp, ta được:
un(2n 1)(2n 1) , n N *
n
u (2n 1)(2n 1) 2n 1 2n 1
Suy ra
2010
i
i 1
1
4021
Kết quả:
3 điểm
S 0,9998 2 điểm
Ghi chú: Nếu học sinh trình bày cách giải khác với đáp án mà đúng thì cho điểm tối đa.
Hết