De thi va dap an thi giai toan tren may tinh cam taynam 2011 2012

[r]

Trang 1

UBND TỈNH BẮC GIANG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY

NĂM HỌC 2011-2012

Môn: Toán-Khối THPT

Thời gian làm bài : 150 phút

Ngày thi: 07/02/2012

(họ tên và chữ kí) Bằng số Bằng chữ

SỐ PHÁCH

(do chủ tịch hội ñồng chấm

ghi)

Chú ý:

- Đề thi này có 5 trang với 10 bài, tổng 50 ñiểm;

- Thí sinh làm bài trực tiếp vào bản ñề thi này, những phần không yêu cầu trình bày lời giải thì

ñiền kết quả vào ô trống tương ứng

- Nếu không có yêu cầu gì thêm, hãy tính chính xác ñến 4 chữ số thập phân

- Các ñoạn thẳng ñược ño theo cùng một ñơn vị dài

Bài 1: (5 ñiểm)

a) Tìm nghiệm gần ñúng (ñộ, phút, giây) của phương trình: 8 cos 3x−5sin 3x=7

b) Tìm nghiệm gần ñúng của hệ phương trình 5 3 1

25 4.3 7

x y





Bài 2: (5 ñiểm)

a) Cho hàm số

3

2 ( ) x+

1

f x

x

=

− + Tính gần ñúng giá trị của m ñể ñường thẳng y = m cắt ñồ thị (C) tại 2

⊥

http://toanhocmuonmau.violet.vn

Trang 2

Cách giải Kết quả

b) Tìm số dư khi chia 132011 cho 2012

Bài 3.(5 ñiểm) Hỏi trong tập X ={1, 2, 3, 4, , 9999,10000} có bao nhiêu số không chia hết cho bất cứ số nào trong các số 3, 4, 7

Thời gian là:

P x = x+ + x+ + x+ + ⋅⋅⋅ + x+

a) Tính gần ñúng 2

3

−

b) Tìm hệ số chính xác của số hạng chứa x trong khai triển và rút gọn ña thức P(x) 7

Trang 3

Bài 5: (5 ñiểm)

a) Tính gần ñúng giá trị của a và b sao cho ñường thẳng y=ax+b ñi qua ñiểm M(3;4) và là tiếp tuyến của ñồ thị

3 1

x

−

b) Cho tam giác ABC, lấy ñiểm M tùy ý bên trong tam giác (không nằm trên các cạnh) Qua M vẽ ba ñường thẳng lần lượt song song với ba cạnh của tam giác Các ñường thẳng ñó chia tam giác ABC thành nhiều phần (như hình vẽ) Xét ba tam giác, diện tích mỗi tam giác lần lượt là S1=2,1234cm ; S2 2 =3,1425cm ;2

2 3

S =4, 0213cm Tính diện tích của tam giác ABC

S2

S3

S1

I E

G

F H

D

A

M

Bài 6 (5 ñiểm)

Từ một phôi hình nón có chiều cao h=12 3 và bán kính ñáy R=5 2, người ta tiện ñể ñược một hình trụ Tính thể tích hình trụ trong trường hợp tiện bỏ ít vật liệu nhất

Trang 4

Bài 7 (5 ñiểm) Bác An gửi tiết kiệm số tiền ban ñầu là 20 triệu ñồng theo kỳ hạn 3 tháng với lãi suất

0,72%/tháng Sau một năm, bác An rút cả vốn lẫn lãi và gửi lại theo kỳ hạn 6 tháng với lãi suất 0,78%/tháng Gửi ñúng một số kỳ hạn 6 tháng và thêm một số tháng nữa thì bác An phải rút tiền trước kỳ hạn ñể sửa chữa nhà ñược số tiền là 29451583,0849007 ñồng (chưa làm tròn) Hỏi bác An gửi bao nhiêu kỳ hạn 6 tháng, bao nhiêu tháng chưa tới kỳ hạn và lãi suất không kỳ hạn mỗi tháng là bao nhiêu tại thời ñiểm rút tiền ? Biết rằng gửi tiết kiệm có kỳ hạn thì cuối kỳ hạn mới tính lãi và gộp vào vốn ñể tính kỳ hạn sau, còn nếu rút tiền trước kỳ hạn, thì

lãi suất tính từng tháng và gộp vào vốn ñể tính tháng sau Nêu sơ lược quy trình bấm phím trên máy tính ñể giải

Bài 8 (5 ñiểm) Cho ñường tròn có phương trìnhx2+y2− +3x 4y− =7 0 và ñiểm A (4;5) Từ A vẽ hai tiếp tuyến với ñường tròn ñó Gọi hai tiếp ñiểm tương ứng là B, C Tính gần ñúng diện tích hình phẳng giới hạn bởi các

ñoạn thẳng AB, AC và cung nhỏ BC của ñường tròn ñó

Trang 5

Bài 9 (5 ñiểm) Tính gần ñúng thể tích và diện tích toàn phần của hình tứ diện ABCD, biết BC=6dm, CD=7dm,

BD=8dm, AB=AC=AD=9dm

Bài 10 ( 5ñiểm) Thể tích một hình nón gấp 2012 lần thể tích hình cầu nội tiếp hình nón ñó Tính gần ñúng góc

(ñộ, phút, giây) tạo bởi ñường sinh của hình nón và mặt phẳng ñáy

-Hết -

Trang 6

UBND TỈNH BẮC GIANG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY

NĂM HỌC 2011-2012

Môn: Toán-Khối THPT

Thời gian làm bài : 150 phút

Đáp án

(họ tên và chữ kí) Bằng số Bằng chữ

SỐ PHÁCH

(do chủ tịch hội ñồng chấm ghi)

Chú ý:

- Đề thi này có 5 trang với 10 bài, tổng 50 ñiểm;

- Thí sinh làm bài trực tiếp vào bản ñề thi này, những phần không yêu cầu trình bày lời giải thì

ñiền kết quả vào ô trống tương ứng

- Nếu không có yêu cầu gì thêm, hãy tính chính xác ñến 4 chữ số thập phân

- Các ñoạn thẳng ñược ño theo cùng một ñơn vị dài

Bài 1: (5 ñiểm)

a) Tìm nghiệm gần ñúng (ñộ, phút, giây) của phương trình: 8 cos 3x−5sin 3x=7

Phương trình trở thành

cos 3 sin 3

7

c

α α

α

 + ≈ +



1ñ

Từ ñó suy ra x

24 42 ' 4 '' 120

k

∈ℤ

và

3 21'51'' 120 ( )

k

∈ℤ

1ñ

b) Tìm nghiệm gần ñúng của hệ phương trình 5 3 1

25 4.3 7

x y





Trang 7

Hệ phương trình trở thành:

25 4.5 11 0

y x





x

y

 = − +



⇔

= − +



Từ ñó suy ra x và y ( ; )x y ≈(0.3899; 0.1236)−

1ñ

Bài 2: (5 ñiểm)

a) Cho hàm số

3

2 ( ) x+

1

f x

x

=

− + Tính gần ñúng giá trị của m ñể ñường thẳng y = m cắt ñồ thị (C) tại 2 ñiểm phân biệt A, B sao cho OA ⊥ OB, trong ñó O là gốc tọa ñộ

Xét phương trình hoành ñộ giao ñiểm

3

2

1

x

− +

≠





0.5ñ

Yêu cầu bài toán tương ñương với tìm m ñể phương trình (*) có hai

nghiệm phân biệt x x1, 2 ≠1 và x x1 2 = −m2

Điều kiện:

3 2 3

2

m







− = −



⇒

1ñ

0.7288 và

1, 7288

m m

≈

≈ −

1ñ

b) Tìm số dư khi chia 132011 cho 2012

Ta có

67

67 2

13 1085(mod 2012), 13 1753(mod 2012)

13 1901(mod 2012)

13 x 249(mod 2012)

≡

1ñ

2010 67 3 2 5

2011

x x x

⇒ ≡

Số dư của phép chia là

185

1,5ñ

Bài 3.(5 ñiểm) Hỏi trong tập X ={1, 2, 3, 4, , 9999,10000} có bao nhiêu số không chia hết cho bất cứ số nào trong các số 3, 4, 7

Gọi A, B, C thứ tự là tập hợp bao gồm các số của X mà nó chia hết cho

3, 4 và 7

Kí hiệu ( )n A là số phần tử của A

1ñ

Trang 8

Số các số cần tìm là:

( ) [ ( ) ( ) ( )]+ ( ) ( )

2ñ

10000 10000 10000 10000 10000

10000 10000 10000

4286

=

P x = x+ + x+ + x+ + ⋅⋅⋅ + x+

a) Tính gần ñúng 2

3

−

b) Tìm hệ số chính xác của số hạng chứa x trong khai triển và rút gọn ña thức P(x) 7

a)

20

(2 3) 1 ( ) (2 3)

x

+

1ñ

2

( ) 68375.2807

3

a)

2 ( ) 3 68375.2807

P −

≈

1.5ñ

b) Số hạng chứa x7 xuất hiện trong khai triển nhị thức

(2x+3) , k với (7≤ ≤k 20)

1ñ

Hệ số của số hạng chứa x là 7

13

7

0

q q

=

13

7 0

q

C +

=

∑

1,5ñ

Bài 5: (5 ñiểm)

a) Tính gần ñúng giá trị của a và b sao cho ñường thẳng y=ax+b ñi qua ñiểm M(3;4) và là tiếp tuyến của ñồ thị

3 1

x

−

Đường thẳng y=ax+b là tiếp tuyến của ñồ thị hàm số khi và chỉ

khi

hệ phương trình sau có nghiệm:

2

15 2

(3 1)

5

3 1

a x

x









0,5ñ

0.1794016

a

≈



− − = ⇒  ≈ −

 Suy ra b

1 1

1, 7419

1, 2257

a b

≈





≈ −



và

2 2

0,1794

4, 5382

a b

≈ −





≈



1,5ñ

Trang 9

b) Cho tam giác ABC, lấy ñiểm M tùy ý bên trong tam giác (không nằm trên các cạnh) Qua M vẽ ba ñường thẳng lần lượt song song với ba cạnh của tam giác Các ñường thẳng ñó chia tam giác ABC thành nhiều phần (như hình vẽ) Xét ba tam giác, diện tích mỗi tam giác lần lượt là S1=2,1234cm ; S2 2 =3,1425cm ;2

2 3

S =4, 0213cm Tính diện tích của tam giác ABC

S2

S3

S1

I E

G

F H

D

A

M

Các tam giác HDM, EMI, MGF ñôi một ñồng dạng Ta có

2

3

+

1ñ

2 2

3

EGC EGC

S

 

⇒ =  =  ⇒ = +

+

   

Tương tự:

2

DBI

S = S + S , S HAF =( S1 + S2)2

AF ( 1 2 3)

ABC EGC DBI H

2

27.4075 cm

1,5ñ

Bài 6 (5 ñiểm)

Từ một phôi hình nón có chiều cao h=12 3 và bán kính ñáy R=5 2, người ta tiện ñể ñược một hình trụ Tính thể tích hình trụ trong trường hợp tiện bỏ ít vật liệu nhất

r h

Gọi , x r thứ tự là chiều cao và bán kính của hình trụ

Ta có x R r r R(1 x)

−

1ñ

Ta có

2

tru

1,5ñ

3

2

h

483.6798

2,5ñ

Bài 7 (5 ñiểm) Bác An gửi tiết kiệm số tiền ban ñầu là 20 triệu ñồng theo kỳ hạn 3 tháng với lãi suất

0,72%/tháng Sau một năm, bác An rút cả vốn lẫn lãi và gửi lại theo kỳ hạn 6 tháng với lãi suất 0,78%/tháng Gửi ñúng một số kỳ hạn 6 tháng và thêm một số tháng nữa thì bác An phải rút tiền trước kỳ hạn ñể sửa chữa nhà

Trang 10

ñược số tiền là 29451583,0849007 ñồng (chưa làm tròn) Hỏi bác An gửi bao nhiêu kỳ hạn 6 tháng, bao nhiêu tháng chưa tới kỳ hạn và lãi suất không kỳ hạn mỗi tháng là bao nhiêu tại thời ñiểm rút tiền ? Biết rằng gửi tiết kiệm có kỳ hạn thì cuối kỳ hạn mới tính lãi và gộp vào vốn ñể tính kỳ hạn sau, còn nếu rút tiền trước kỳ hạn, thì

lãi suất tính từng tháng và gộp vào vốn ñể tính tháng sau Nêu sơ lược quy trình bấm phím trên máy tính ñể giải

Số tiền nhận ñược cả vốn lẫn lãi sau 4 kỳ hạn 3 tháng và sau

1; 2; 3 ; 4; 5; 6; 7 kỳ hạn 6 tháng lần lượt là:

20000000 1 0, 72 3 100+ × ÷ 1 0, 78 6 100+ × ÷ A

1,5ñ

Dùng phím CALC lần lượt

nhập giá tri của A là 1; 2; 3; 4; 5; 6 ta ñược: 22804326,3

ñồng;

232871568,78 ñồng; 24988758,19 ñồng; 26158232,06

ñồng;

27382437,34 ñồng ; 28663935,38 ñồng; 30005407,56 ñồng

Ta có: 28663935,38 < 29451583,0849007< 30005407,56,

1

Nên số kỳ hạn gửi sáu tháng ñủ là: 6 kỳ hạn

Giải phương trình sau, bằng dùng chức năng SOLVE và

nhập cho A lần lượt là 1 ; 2; 3 ; 4; 5, nhập giá trị ñầu cho X

là 0,6

(vì lãi suất không kỳ hạn bao giờ cũng thấp hơn có kỳ hạn)

20000000 1 0, 72 3 100 1 0, 78 6 100 1 100

29451583.0849007 0

A

X

X = 0,68% khi A = 4

Vậy số kỳ hạn 6 tháng bác An gửi tiết kiệm là:

6 kỳ hạn ; số tháng gửi không kỳ hạn là: 4 tháng

và lãi suất tháng gửi không kỳ hạn là 0,68%

2,5ñ

Bài 8 (5 ñiểm) Cho ñường tròn có phương trìnhx2+y2 − +3x 4y− =7 0 và ñiểm A (4;5) Từ A vẽ hai tiếp tuyến với ñường tròn ñó Gọi hai tiếp ñiểm tương ứng là B, C Tính gần ñúng diện tích hình phẳng giới hạn bởi các

ñoạn thẳng AB, AC và cung nhỏ BC của ñường tròn ñó

A I

B

C

Đường tròn tâm ( ; 2), bán kính 3 53

, AB=

IA=

2ñ

tan( )

ABIC

AB BIA

R

1ñ

2

1

2 arctan( )

2

quatBIC

9.5580

S ≈

2ñ

Trang 11

Bài 9 (5 ñiểm) Tính gần ñúng thể tích và diện tích toàn phần của hình tứ diện ABCD, biết BC=6dm, CD=7dm,

BD=8dm, AB=AC=AD=9dm

8 7 6

9

C

A

H

Đặt 9 9 6, y=9 9 7, 9 9 8, 6 7 8

1ñ

.( 9)( 9)( 6) ( 9)( 9)( 7) ( 9)( 9)( 8) ( 6)( 7)( 8)

tp

1ñ

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên (BCD) Từ giả thiết

suy ra H là tâm của ñường tròn ngoại tiếp tam giác BCD

0.5ñ

2

6.7.8

81

1ñ

1 ( 6)( 7)( 8) 3

ABCD

2

107.0585

tp

3

54,1935 dm

V ≈

1.5ñ

Bài 10 ( 5ñiểm) Thể tích một hình nón gấp 2012 lần thể tích hình cầu nội tiếp hình nón ñó Tính gần ñúng góc

(ñộ, phút, giây) tạo bởi ñường sinh của hình nón và mặt phẳng ñáy

O

S

A

Gọi bán kính của hình chóp là r, bán kính của mặt cầu nội tiếp là R và h là

chiều cao của chóp

x là góc tạo bởi ñường sinh và mặt phẳng ñáy

Ta có cot , tan cot tan

1,5ñ

Theo giả thiết ta có

8048 cot tan 8048

2

x

1,5ñ

Trang 12

4 2 1

Từ ñó suy ra x

0

89 59 '34 ''

x≈ hoặc

0

1 48 ' 23''

x≈

2ñ

-Hết -

Định dạng
Số trang	12
Dung lượng	204,4 KB