Đại lượng vô cùng lớn, vô cùng bé và áp dụng

Sinh viên được dạynhiều phương pháp để tìm giới hạn hàm số, chẳng hạn: Phương pháp dùngcác giới hạn cơ bản, phương pháp L’Hospital, phương pháp thay thế các vô cùng bé, vô cùng lớn tương

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS Phan Đức Tuấn

ĐÀ NẴNG - NĂM 2018

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi.Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được aicông bố trong bất kì công trình nào khác.

Tác giả

Nguyễn Thị Thu Hà

Lời đầu tiên của luận văn tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáohướng dẫn TS Phan Đức Tuấn đã tận tình hướng dẫn tác giả trong suốtquá trình thực hiện để tác giả có thể hoàn thành được luận văn này.Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến tất cả các thầy

cô giáo đã tận tình dạy bảo tác giả trong suốt thời gian học tập củakhóa học

Đồng thời, tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn đến các anh chị em tronglớp Phương pháp Toán sơ cấp K32-Đà Nẵng đã nhiệt tình giúp đỡ tác giảtrong quá trình học tập tại lớp

Tác giả

Nguyễn Thị Thu Hà

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 ĐẠI LƯỢNG VÔ CÙNG BÉ, VÔ CÙNG LỚN 5

1.1 MỘT SỐ KIẾN THỨC LIÊN QUAN 5

1.1.1 Hàm số Hàm số đơn điệu Hàm số bị chặn 5

1.1.2 Các định nghĩa về giới hạn hàm số 7

1.1.3 Tính chất của giới hạn 8

1.1.4 Quy tắc L’Hospital 10

1.1.5 Khai triển Taylor, Maclaurin của hàm số 11

1.2 ĐẠI LƯỢNG VÔ CÙNG BÉ 13

1.2.1 Định nghĩa 13

1.2.2 Tính chất 13

1.2.3 Bậc của vô cùng bé 14

1.2.4 Vô cùng bé tương đương 15

1.2.5 Các vô cùng bé tương đương bậc cao 19

1.3 ĐẠI LƯỢNG VÔ CÙNG LỚN 21

1.3.1 Định nghĩa 21

1.3.2 Tính chất 21

1.3.3 Bậc của vô cùng lớn 21

1.3.4 Vô cùng lớn tương đương 22

1.3.5 Các vô cùng lớn tương đương 24

2.1 ÁP DỤNG VÀO TÍNH GIỚI HẠN HÀM SỐ 26

2.1.1 Khử dạng vô định 0/0 khi x → 0 27

2.1.2 Khử dạng vô định 0/0 khi x → x0 6= 0 30

2.1.3 Khử dạng vô định ∞/∞ 32

2.1.4 Khử dạng vô định ∞ − ∞ 34

2.1.5 Khử dạng vô định 0 · ∞ 36

2.1.6 Khử các dạng vô định 1∞; 00 và ∞0 37

2.2 MỘT SỐ SAI LẦM KHI ÁP DỤNG VÔ CÙNG BÉ, VÔ CÙNG LỚN TƯƠNG ĐƯƠNG 39

2.2.1 Sai lầm khi thay tương đương vào hiệu 39

2.2.2 Sai lầm khi thay tương đương trong hàm 42

CHƯƠNG 3 ÁP DỤNG VÀO TÍCH PHÂN SUY RỘNG 44 3.1 MỘT SỐ KIẾN THỨC LIÊN QUAN 44

3.1.1 Tích phân suy rộng loại I 44

3.1.2 Tích phân suy rộng loại II 49

3.1.3 Các tiêu chuẩn so sánh 51

3.2 ÁP DỤNG XÉT SỰ HỘI TỤ CỦA TÍCH PHÂN SUY RỘNG 58

3.2.1 Áp dụng cho tích phân suy rộng loại I 58

3.2.2 Áp dụng cho tích phân suy rộng loại II 60

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 64

TÀI LIỆU THAM KHẢO 65

QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (BẢN SAO)

đã viết: “Giới hạn là một trong các vấn đề cơ bản của Giải tích Có thểnói: Không có Giới hạn thì không có Giải tích, hầu hết các khái niệm củaGiải tích đều liên quan đến Giới hạn” Chủ đề Giới hạn có vai trò hếtsức quan trọng trong toán học phổ thông còn bởi lẽ: “Khái niệm Giới hạn

là cơ sở, hàm số liên tục là vật liệu để xây dựng các khái niệm đạo hàm

và tích phân Đây là nội dung bao trùm chương trình Giải tích trung họcphổ thông”

Trong chương trình Toán trung học phổ thông, phần giới hạn của hàm sốnằm ở học kỳ II của Toán lớp 11 và một vài dạng toán liên quan ở lớp 12.Các bài toán về giới hạn hàm số cũng được xem là một trong những dạngtoán khó ở bậc trung học phổ thông

Ở bậc cao đẳng, đại học, giới hạn hàm số được đưa vào học phầnGiải tích 1 Ở đây, giới hạn được nghiên cứu sâu hơn cả lý thuyết và cũngnhư hệ thống các bài tập phong phú và đa dạng hơn Sinh viên được dạynhiều phương pháp để tìm giới hạn hàm số, chẳng hạn: Phương pháp dùngcác giới hạn cơ bản, phương pháp L’Hospital, phương pháp thay thế các

vô cùng bé, vô cùng lớn tương đương, phương pháp sử dụng công thứckhai triển Taylor

Với mong muốn tìm ra một công cụ đơn giản nhưng hiệu quả trong

việc giải các bài toán về giới hạn và cùng với sự định hướng của thầy giáo

TS Phan Đức Tuấn, tôi đã quyết định chọn đề tài: “Đại lượng vô cùng lớn,

vô cùng bé và áp dụng” làm đề tài luận văn thạc sĩ của mình

2 Mục đích nghiên cứu

Trên cơ sở hệ thống lại các kiến thức liên quan đến giới hạn hàm số vàmột số phương pháp tìm giới hạn hàm số, luận văn trình bày, tổng hợp, sắpxếp lại lý thuyết về các đại lượng vô cùng bé, vô cùng lớn, cũng như cácphương pháp giải cho các bài toán về tìm giới hạn hàm số và xét sự hội tụcủa tích phân suy rộng bằng các đại lượng vô cùng bé, vô cùng lớn tươngđương Luận văn cũng tập trung vào nghiên cứu một số cách thức sángtạo ra các bài toán về tìm giới hạn hàm số và xét sự hội tụ của tích phânsuy rộng bằng các đại lượng vô cùng bé, vô cùng lớn tương đương Cũngnhư các sai lầm thường mắc phải khi sử dụng các đại lượng vô cùng bé,

vô cùng lớn tương đương trong việc tìm giới hạn hàm số

3 Đối tượng nghiên cứu

- Lý thuyết giới hạn hàm số

- Các vô cùng bé, vô cùng lớn tương đương

- Các phương pháp giải các bài toán về giới hạn hàm số và xét sựhội tụ của tích phân suy rộng bằng các đại lượng vô cùng bé, vô cùng lớntương đương

- Các phương pháp sáng tạo ra các bài toán mới về giới hạn hàm số

và xét sự hội tụ của tích phân suy rộng bằng các đại lượng vô cùng bé,

vô cùng lớn tương đương

4 Phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu lý thuyết giới hạn hàm số, các vô cùng bé, vô cùng lớn tươngđương, các phương pháp giải và sáng tạo các bài toán về giới hạn hàm số

và xét sự hội tụ của tích phân suy rộng bằng các vô cùng bé, vô cùng lớntương đương.

5 Phương pháp nghiên cứu

Với đề tài: “Đại lượng vô cùng lớn, vô cùng bé và áp dụng” tôi đã sửdụng các phương pháp nghiên cứu sau:

+ Thu thập, phân tích, so sánh, đánh giá và tổng hợp

+ Áp dụng phương pháp giải các bài toán về giới hạn hàm số và xét

sự hội tụ của tích phân suy rộng bằng các vô cùng bé, vô cùng lớn tươngđương

+ Sáng tạo ra các phương pháp giải dựa trên bài toán gốc

+ Tham gia các buổi seminar của thầy hướng dẫn để trao đổi cáckết quả đang nghiên cứu

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

6.1 Luận văn góp phần bổ sung thêm các tính chất liên quan đến cácđại lượng vô cùng bé, vô cùng lớn tương đương Đưa ra được mối quan hệtương đương giữa các hàm sơ cấp

6.2 Luận văn có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo dành cho sinh viênngành toán, giáo viên phổ thông giảng dạy toán và các đối tượng quan tâmđến các phương pháp giải bài toán giới hạn và xét sự hội tụ của tích phânsuy rộng

7 Cấu trúc luận văn

Ngoài Lời cam đoan, Lời cảm ơn, Mục lục, phần Mở đầu, phần Kết luận

và Kiến nghị, danh mục các tài liệu tham khảo, nội dung luận văn đượcchia thành ba chương:

Chương 1 Các đại lượng vô cùng bé, vô cùng lớn Trong chương 1,

luận văn trình bày gồm 3 mục Mục 1.1, trình bày các định nghĩa, khái niệm

và tính chất cơ bản của giới hạn hàm số; Mục 1.2, trình bày về đại lượng

vô cùng bé; Mục 1.3, trình bày về đại lượng vô cùng lớn

Chương 2 Áp dụng vào tính giới hạn hàm số Trong chương 2, luận văntrình bày gồm 2 mục Mục 2.1, trình bày áp dụng vào tính giới hạn hàm sốbằng đại lượng vô cùng bé, vô cùng lớn; Mục 2.2, trình bày một số sai lầmthường mắc phải khi áp dụng vô cùng bé, vô cùng lớn tương đương.Chương 3 Áp dụng vào xét sự hội tụ của phân suy rộng Trong chương 3,luận văn trình bày gồm 2 mục Mục 3.1, trình bày một số kiến thứcliên quan của tích phân suy rộng; Mục 3.2, trình bày về việc xét sự hội tụcủa tích phân suy rộng loại I, loại II

CHƯƠNG1 ĐẠI LƯỢNG VÔ CÙNG BÉ, VÔ CÙNG LỚN

Chương này dành cho việc nhắc lại các khái niệm cơ bản về hàm số,giới hạn hàm số và một số tính chất cơ bản của giới hạn hàm số cũng nhưkhái niệm và tính chất của đại lượng vô cùng bé, vô cùng lớn, quy tắcL’Hospital và khai triển Taylor, Maclaurin của hàm số

Trong toàn bộ luận văn, chúng tôi quy ước viết tắt vô cùng lớn (VCL),

vô cùng bé (VCB)

1.1 MỘT SỐ KIẾN THỨC LIÊN QUAN

Mục này dành cho việc nhắc lại các khái niệm cơ bản về hàm số, giớihạn hàm số; các tính chất cơ bản của giới hạn hàm số; quy tắc L’Hospital

và khai triển Taylor, Maclaurin của hàm số

hoặc đơn giản là y = f (x), x ∈ D Khi đó,

Đại lượng biến thiên x được gọi là đối số hay biến độc lập, D gọi làtập xác định của hàm số f Đại lượng y gọi là hàm số và tập hợp E đượcđịnh nghĩa bởi E = {f(x), x ∈ D} được gọi là tập giá trị của hàm số f

Về sau nếu cho hàm số y = f (x) thì ta kí hiệu Df là tập xác định của

f và Ef là tập giá trị của f

Định nghĩa 1.1.2 ([5]) Hai hàm số y = f (x) và y = g(x) được gọi làbằng nhau nếu Df = Dg và đẳng thức f (x) = g(x) thỏa mãn với mọi

1.1.2 Các định nghĩa về giới hạn hàm số

Cho I là một khoảng của R, không rỗng và cũng không thu về mộtđiểm Kí hiệu I chỉ khoảng đóng cùng có mút vớiI và Io chỉ khoảng mở cócùng mút với I

Định nghĩa 1.1.6 ([5], Giới hạn hữu hạn) Cho f : I → R, l ∈ R

i) Cho a ∈ I, ta nói f có giới hạn là l tại a khi và chỉ khi

Định nghĩa 1.1.7 ([5], Giới hạn vô cùng) Cho f : X → R.

i) Cho a ∈ I, ta nói f có giới hạn là +∞ tại a nếu và chỉ nếu

Định nghĩa 1.1.8 ([5], Giới hạn một bên) Cho hàm số f : I → R,a ∈ I,

l ∈ R∪ {−∞, +∞} Ta nói f có giới hạn trái (tương ứng: phải) tại a là l

nếu và chỉ nếu thu hẹp f |(−∞;a)∩I (tương ứng: f |(a;+∞)∩I) có giới hạn tại

x→a −f (x) hay l = lim

a − f hay f (x) → l khi x → a− hay l = f (a−).(tương ứng: l = lim

x→a +f (x) hay l = lim

a + f hay f (x) → l khi x → a+ hay

Mệnh đề 1.1.10 chứng tỏ rằng: Nếu f có giới hạn là l tại a, ta nói l làgiới hạn của f tại a và kí hiệu

l = lim

x→af (x)

Mệnh đề 1.1.11 ([5]) Nếu hàm số f : I → R có giới hạn hữu hạn tại

a ∈ I thì f bị chặn trong một lân cận của a

Chứng minh Ta giả thiết, chẳng hạn a ∈ I, vì các trường hợp a = +∞,

(c, d) ∈ R2 Giả sử f có giới hạn là l tại a

i) Nếu c < l, thì trong lân cận của a : c < f (x)

ii) Nếu l < d, thì trong lân cận của a : f (x) < d

iii) Nếu c < l < d, thì trong lân cận của a : c < f (x) < d

Định lí 1.1.13 ([9]) Giả sử lim

x→af (x) = L, lim

x→ag(x) = M (L, M ∈ R).Khi đó

x → x0 cả f (x), g(x) đều tiến tới 0, còn các đạo hàm f′(x), g′(x) tồn tạitrong lân cận nói trên (có thể trừ điểm x0) và tồn tại giới hạn lim

liên tục trên [x0,x] và có các đạo hàm hữu hạn trên khoảng (x0, x)

Ngoài ra, g′(t) 6= 0 với mọi t ∈ (x0, x) (với x đủ gần x0) Theo định lýCauchy, tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (x0, x) sao cho

f (x)

f (x) − f(x0)g(x) − g(x0) =

1.1.5 Khai triển Taylor, Maclaurin của hàm số

Định nghĩa 1.1.16 ([12]) Hai hàma(x) vàb(x) cho trước xác định trongmột lân cận nào đó của điểm x0 thì khi x → x0 hàm b(x) biểu diễn đượcdưới dạng

b(x) = a(x) + o(a(x))

Khi đó hàm a(x) được gọi là phần chính của hàm b(x)

Định lí 1.1.17 ([12], Công thức Taylor) Giả sử hàm số f có đạo hàmđến cấp n liên tục trên đoạn I = [α; β] và có đạo hàm cấp n + 1 trênkhoảng (α; β) Nếu a, b ∈ I thì tồn tại một số thực c giữa a và b (c ∈ (a; b)

nếu a < b, c ∈ (b; a) nếu a > b) sao cho

f (b) = f (a) + f′(a)

1! (b − a) + f′′(a)

2! (b − a)2 + +

f(n)(a)n! (b − a)n+ f

(n+1)(c)(n + 1)! (b − a)n+1

(1.1)

Công thức (1.1) gọi là công thức Taylor, biểu thức

Rn = f

(n+1)(c)(n + 1)! (b − a)n+1

được gọi là phần dư dạng Lagrăng

Nếu a = 0 thì (1.1) được gọi là công thức Maclaurin.

Hệ quả 1.1.18 Khai triển Maclaurin của các hàm sơ cấp thường dùng:

1) Khai triển Taylor của các hàm số cần tính giới hạn

2) Tìm phần chính (ở tử số và mẫu số của phân thức) với độ chính xáctương ứng cho trước

3) Sử dụng tính chất của đa thức và định lí về giới hạn để suy ra kết quảcần tìm.

1.2 ĐẠI LƯỢNG VÔ CÙNG BÉ

Mục này dành cho việc trình bày một số kiến thức liên quan đến đạilượng vô cùng bé

1

2x→0lim sin 1

x

Nhưng không tồn tại lim

x→0 sin1

x.

Nên không thể kết luận x

2sin 1x2x2 là VCB(x → 0)

Từ Nhận xét 1.2.4 đặt ra cho ta câu hỏi: Liệu rằng có thể so sánh haiVCB(x → x0) với nhau được hay không? Cần căn cứ vào tiêu chí nào để

ii) Nếu lim

x→x 0

α(x)β(x) = c ∈ R\ {0}, ta nói rằng α(x) và β(x) là các VCBcùng bậc

iii) Nếu lim

x→x 0

α(x)β(x) = ∞, ta nói rằng α(x) là VCB bậc thấp hơn β(x)

iv) Nếu lim

x→x 0

α(x)β(x) không tồn tại, ta nói rằng α(x) vàβ(x) không so sánhđược với nhau

Ví dụ 1.2.7 α (x) = sin x − tan x và β (x) = 1 − cos x đều là cácVCB(x → 0) Vì:

Do đó, α(x) là vô cùng bé bậc cao hơn β(x)

Liệu rằng điều này còn đúng trong giới hạn hàm số hay không?

Tức là, giả sử α (x) , β (x) , γ (x) là các VCB(x → x0) và các giới hạn đềutồn lại thì

1.2.4 Vô cùng bé tương đương

Định nghĩa 1.2.10 ([10]) Cho α(x), β(x) là hai VCB(x → x0) Khi đó,

α(x) được gọi là tương đương với β(x) (ký hiệu là α(x) ∼ β(x)) nếu

lim

x→x 0

α(x)

Mệnh đề 1.2.11 ([11], Các VCB tương đương cơ bản khi x → 0) Giả sử

n ≥ p > 0, ap 6= 0, ta có các cặp VCB(x → 0) sau tương đương với nhau:1) sin x ∼ x, tan x ∼ x, 1 − cos x ∼ x

2

2 2) arcsin x ∼ x, arctan x ∼ x

3) ex − 1 ∼ x, ax− 1 ∼ x ln a

4) ln(1 + x) ∼ x, loga(1 + x) ∼ 1

ln ax.5) (1 + x)α− 1 ∼ αx

6) anxn + an−1xn−1 + + apxp ∼ apxp.

Nhận xét 1.2.12

i) Mệnh đề 1.2.11 cho thấy các hàm sơ cấp thường gặp mà là VCB thìđều tương đương được với một hàm lũy thừa

ii) Theo Mệnh đề 1.2.11 thì sin x ∼ x khi x → 0 Do đó, việc thay

x bằng đại lượng α(x) → 0 thì sin α(x) ∼ α(x) Do đó, các kếtquả của Mệnh đề 1.2.11 được tổng quát thành arcsin(α(x)) ∼ α(x),

α(x)β(x) · β(x)

sin x ∼ x, x cos x ∼ x cos x, sin x ∼ tan x

Tuy nhiên, sin x − x cos x ≁ x − x cos x và 1 −

1 −

r

xtan x

2.

Hệ quả 1.2.19 ([10], Thay thế VCB tương đương) Nếu α(x), β(x) là cácVCB(x → x0), α(x) ∼ α1(x) , β(x) ∼ β1(x) thì

nếu các giới hạn trên tồn tại.

Chứng minh Thật vậy, vì α(x) ∼ α1(x) , β(x) ∼ β1(x) khi x → x0

1.2.5 Các vô cùng bé tương đương bậc cao

Trên cơ sở các khai triển Taylor, Maclaurin của hàm số (Hệ quả 1.1.18)

và sử dụng quy tắc ngắt bỏ VCB bậc cao (Hệ quả 1.2.20), ta xây dựngđược các VCB tương đương bậc cao như sau:

2 7) tan(sin x) − x ∼ x3

12.12) arcsin x − arctan x ∼ x3

2 13) sin x + cos x − 1 − x ∼ −x2

2 14) ln(cos x) ∼ −x2

2 15) ex − e−x ∼ 2x; ex− e−x− 2x ∼ x

3

3 19) ex − sin x − 1 ∼ x

2

2 20) ex − cos x ∼ x.

21) etan x − 1 ∼ x; etan x− 1 − x ∼ x

2

2 22) sin x − ln(1 + x) ∼ x2

2 23) x − ln(1 + x) ∼ x2

2 ; x − ln(1 + x) − x2

3

3 24) ex − x − 1 ∼ x

2

1.3 ĐẠI LƯỢNG VÔ CÙNG LỚN

Mục này dành cho việc trình bày một số kiến thức liên quan đến đạilượng vô cùng lớn

iii) Nếu f (x) là VCL(x → a) và c ∈ R\ {0} thì cf (x) là VCL(x → a).iv) Nếu f (x) là VCL(x → a) và g(x) là hàm bị chặn trong lân cận của

ii) Nếu lim

x→a

f (x)g(x) = 0 thì ta nói rằng f (x) là VCL bậc thấp hơn g(x)

iii) Nếu lim

x→a

f (x)g(x) = c ∈ R\ {0} thì ta nói rằng f (x), g(x) là các VCLcùng bậc

Ví dụ 1.3.3 f (x) = 2x và g(x) = x ln x đều là các VCL(x → +∞)

Ta có lim

x→+∞

f (x)g(x) = limx→+∞

1.3.4 Vô cùng lớn tương đương

Định nghĩa 1.3.5 ([11]) Cho f (x) và g(x) là hai VCL(x → a) Khi đó,

f (x) được gọi là tương đương với g(x) nếu

Hệ quả 1.3.8 Có thể dễ dàng thấy rằng nếu f (x) là VCB(x → a) thì

1

f (x) là VCL(x → a) và ngược lại, nếu f (x) là VCL(x → a) thì 1

f (x) làVCB(x → a)

Hệ quả 1.3.9 ([11], Quy tắc ngắt bỏ các VCL bậc thấp) Nếu f (x), g(x)

là các VCL(x → a),g(x)là VCL bậc thấp hơn f (x)thìf (x)±g(x) ∼ f(x).Chứng minh Thật vậy

x = limx→+∞

x35x3 = 1

5.Mệnh đề 1.3.12 Trong các hàm sơ cấp cơ bản, ta có ln x, ex, xn là

i) ln x là VCL bậc thấp hơn xn (với n > 0)

ii) ln x là VCL bậc thấp hơn ex

iii) xn là VCL bậc thấp hơn ex (với n > 0)

Chứng minh Thật vậy, ta dễ dàng chứng minh được mệnh đề trên bằngquy tắc L’Hospital

Từ Mệnh đề 1.3.12, đặt ra cho ta câu hỏi: Trong các hàm sơ cấp cơ bản,hàm nào sẽ tương đương với nhau?

1.3.5 Các vô cùng lớn tương đương

Trên cơ sở so sánh bậc của các VCL(x → +∞) và quy tắc ngắt bỏ VCLbậc thấp, ta xây dựng được các VCL tương đương như sau:

Ví dụ 1.3.17.

L = lim

x→+∞

(2x + 1)7 + 6ln3(4x − 1)32x7 − 3x5 + 9x

= lim

x→+∞

(2x + 1)732x7

= 4

2 + 2x sin

x

2cos

x2

lim

x→0

sin2x2

x→0

sinx2

x2

+ Giải theo cách sử dụng vô cùng bé tương đương

Bài toán 2 Tính giới hạn L2 = lim

x→0

ln (cos 4x)sin 2x − ln (1 + 2x).

Lời giải: Sử dụng các VCB tương đương bậc cao (xem mục 1.2.5) khi

Bài toán 3 Tính giới hạn L3 = lim

Sáng tạo bài tập: Trên cơ sở sử dụng các vô cùng bé tương đương bậccao, tác giả xây dựng một số bài toán sau đây:

Bài toán 4 Tính giới hạn

3 (xem Bài toán 1)

Bài toán 5 Tính giới hạn

L5 = lim

x→0

(√3ex−√3)2

p

1 + (ex− 1) · sin(ex− 1) −pcos(ex− 1)

= 4 (xem Bài toán 1)

Bài toán 6 Tính giới hạn

Giải tương tự Bài toán 6 ta có kết quả L7 = −16

Bài toán 8 Tính giới hạn

2.

Sử dụng VCB tương đương, ta thu được

sin(et − 1) ∼ et− 1 ∼ t,ln(1 + t) ∼ t

Suy ra, sin(et− 1)

x→ π 4

Sử dụng các VCB tương đương, ta thu được

Vậy, L13 = lim

x→ π 4

= lim

x→+∞

141

2e

x 2

2

1lim

x→+∞ex

2 = 0

(Sử dụng giới hạn cơ bản lim

Bài toán 18 Tính giới hạn

x→+∞

e2x2+3x+2 + x5 + 3x4 + 2018x33ln9(x2 + x + 2) + e2x 2 +3x

Lời giải:

x→+∞

e2x2+3x+2 + x5 + 3x4 + 2018x33ln9(x2 + x + 2) + e2x 2 +3x

Dạng tổng quát của giới hạn vô định ∞ − ∞ là

x22x2 = 1

2.