Phép tính tích phân và áp dụng

Các tính chất của tích phân xác định .... MỘT SỐ CÔNG THỨC ỨNG DỤNG HÌNH HỌC, VẬT LÝ CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH .... Các kết quả nghiên cứu được trong giải tích không chỉ áp dụng trong các l

LÊ THỊ THU VÂN

PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN VÀ ÁP DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng – Năm 2016

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS PHAN ĐỨC TUẤN

Đà Nẵng – Năm 2016

Những nội dung được trình bày trong luận văn này là do tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của TS Phan Đức Tuấn

Mọi tài liệu trong luận văn đều được trích dẫn rõ ràng và trung thực tên tác giả, tên công trình, thời gian và địa điểm công bố

Nếu có sao chép không hợp lệ, vi phạm quy chế đào tạo tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm

Tác giả luận văn

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1. Lý do chọn đề tài 1

2. Mục tiêu và nội dung nghiên cứu của đề tài 1

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 1

4. Phương pháp nghiên cứu 2

5. Cấu trúc của luận văn 2

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1. ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 3

1.1.1. Bài toán diện tích hình thang cong 3

1.1.2. Định nghĩa tích phân xác định 4

1.1.3. Ý nghĩa hình học của tích phân xác định 5

1.2. ĐIỀU KIỆN KHẢ TÍCH 5

1.2.1. Điều kiện cần để hàm khả tích 5

1.2.2. Các tổng Darboux 6

1.2.3. Các tính chất của tổng tích phân Darboux 6

1.2.4. Dấu hiệu tồn tại của tích phân xác định 8

1.3. CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA TÍCH PHÂN 10

1.3.1. Công thức Newton-Leibniz 10

1.3.2. Công thức tích phân từng phần 10

1.3.3. Đổi biến số 10

1.3.4. Các tính chất của tích phân xác định 11

1.3.5. Các định lí giá trị trung bình 12

1.4. MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC VỚI TÍCH PHÂN 14

1.4.1. Bất đẳng thức Bunhiacopxki 14

1.4.2. Bất đẳng thức Chebyshev 15

1.4.6. Bất đẳng thức với số thực 19

1.5. MỘT SỐ CÔNG THỨC ỨNG DỤNG HÌNH HỌC, VẬT LÝ CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 19

1.5.1. Tính diện tích hình phẳng 19

1.5.2. Tính độ dài đường cong phẳng 21

1.5.3. Tính thể tích vật thể 21

1.5.4. Tính diện tích mặt tròn xoay 23

CHƯƠNG 2 ÁP DỤNG CỦA PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN 25

2.1. ÁP DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 25

2.1.1. Áp dụng tính tích phân xác định 25

2.1.2. Tính giới hạn của tổng nhờ tích phân không xác định 32

2.2. ÁP DỤNG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 36

2.2.1. Bất đẳng thức tích phân 36

2.2.2. Áp dụng cho bài toán cực trị 54

2.3. ÁP DỤNG TRONG HÌNH HỌC, VẬT LÝ 57

2.3.1. Tính diện tích hình phẳng 57

2.3.2. Tính độ dài đường cong phẳng 58

2.3.3. Tính thể tích vật thể 59

2.3.4. Diện tích mặt tròn xoay 60

KẾT LUẬN 63 TÀI LIỆU THAM KHẢO

QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao)

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Toán học là môn khoa học gắn liền với thực tiễn Trong toán học, giải tích chiếm một vị trí vô cùng quan trọng Các kết quả nghiên cứu được trong giải tích không chỉ áp dụng trong các lĩnh vực của Toán học mà còn áp dụng trong các ngành khoa học khác như Vật lý, Hóa học,Thiên văn học

Để có các kiến thức về giải tích một cách có hệ thống và khoa học thì việc nắm vững và hiểu sâu sắc các kiến thức ban đầu của giải tích: “ Phép tính tích phân” là điều cần thiết và quan trọng Vì những lí do trên chúng tôi lựa

chọn đề tài: “Phép tính tích phân và áp dụng”

2 Mục tiêu và nội dung nghiên cứu của đề tài

Mục tiêu của đề tài là nhằm giúp người đọc hiểu được về phép tính tích phân và một số áp dụng của nó Một số điểm cố gắng đưa vào trong luận văn là:

- Trình bày một số định nghĩa liên quan đến phép tính tích phân, chứng minh chặt chẽ các định lý liên quan

- Giới thiệu một số áp dụng cụ thể của tích phân

- Đưa nhiều ví dụ và bài tập liên quan đến đề tài

Nội dung của đề tài được chia thành 2 chương và phụ lục:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Áp dụng của phép tính tích phân

Trong mỗi phần sẽ đưa vào các ví dụ và bài tập áp dụng cụ thể

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là các bài toán áp dụng trong tích phân Phạm vi nghiên cứu của đề tài là vận dụng các phương pháp giải toán thích hợp trong tích phân để giải quyết các bài toán bất đẳng thức và giới hạn

4 Phương pháp nghiên cứu

1 Thu thập các bài báo khoa học và tài liệu của các tác giả nghiên cứu liên quan đến phép tính tích phân

2 Tham gia các buổi seminar của thầy hướng dẫn để trao đổi các kết quả đang nghiên cứu

5 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu và kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo, nội dung luận văn được chia thành hai chương:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương 1, luận văn trình bày: Các định nghĩa, khái niệm và kết quả cơ bản của tích phân xác định; bất đẳng thức tích phân và một số ứng dụng hình học, vật lý của của tích phân để làm cơ sở cho chương sau

Chương 2 Các dạng bài tập áp dụng phép tính tích phân Trong chương

2, luận văn trình bày:

Các bài toán liên quan các tính chất của tổng Darboux; bất đẳng thức tích phân và giới thiệu một số bài toán áp dụng hình học, vật lý trong tích phân xác định

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này nhắc lại một số kiến thức cơ sở về tích phân,bất đẳng thức

có liên quan đến việc nghiên cứu trong chương tiếp theo Các nội dung trình bày trong chương chủ yếu được tham khảo trong các tài liệu [1], [3], [4], [5], [7]

1.1 ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

1.1.1 Bài toán diện tích hình thang cong

Cho hàm 𝑓(𝑥) liên tục và không âm trên [𝑎, 𝑏] Miền D giới hạn bởi đường cong 𝑦 = 𝑓(𝑥), ba đường thẳng 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏, 𝑦 = 0 được gọi là hình

thang cong

Yêu cầu đặt ra là tính diện tích hình thang

Chia đoạn [𝑎, 𝑏] thành n-phần tùy ý bởi các điểm

Với n-điểm chia ta có n-hình thang cong nhỏ với diện tích được tính xấp

xỉ như trên nên diện tích hình thang cong 𝐷 được tính xấp xỉ với

Ta cho max ∆4 → 0 khi đó 𝑛 → ∞

Nếu 𝑆2 tiến đến một giới hạn hữu hạn mà không phụ thuộc cách chia [𝑎, 𝑏] và cách lấy điểm 𝑀4 thì giới hạn đó được gọi là diện tích của hình thang cong 𝐷

𝑓 𝑥 𝑑𝑥

U

K

Khi ấy, ta nói hàm 𝑓(𝑥) khả tích trên 𝑎, 𝑏

1.1.3 Ý nghĩa hình học của tích phân xác định

Theo định nghĩa tích phân xác định vừa nói trên diện tích hình thang cong được tính theo công thức

𝜎2 = 𝑓 ξ0 ∆𝑥0+ 𝜎′ ≥ 𝑓(ξ0) ∆𝑥0 − 𝜎′ ≥ 𝑀 1.2.3

Do đó, tổng tích phân 𝜎2 không thể có giới hạn hữu hạn, điều này nghĩa

là tích phân xác định của hàm 𝑓 không tồn tại

1.2.3 Các tính chất của tổng tích phân Darboux

Tính chất 1.1 Tổng tích phân Darboux trên (dưới) tương ứng với phân

điểm 𝑥4 của đoạn [𝑎, 𝑏] là cận trên (dưới) đúng của các tổng tích phân Reimann tương ứng với cách chọn các điểm khác nhau 𝜉4 ∈ 𝑥4;0, 𝑥4 , 𝑘 =

Tính chất 1.3 Gọi 𝑆0, 𝑆0 là tổng dưới, tổng trên ứng với phân điểm 𝑇0và

𝑆W, 𝑆Wlà tổng dưới, tổng trên ứng với phân điểm 𝑇W Khi đó: 𝑆0 ≤ 𝑆W

Chứng minh

Gọi 𝑇 phân điểm thứ ba có được bằng cách tập hợp các điểm chia của phân điểm 𝑇0 và của phân điểm 𝑇W Gọi 𝑆, 𝑆 lần lượt là tổng trên, tổng dưới của phân điểm 𝑇 Khi đó

𝑆0 ≤ 𝑆 ≤ 𝑆 ≤ 𝑆W Suy ra

𝑆0 ≤ 𝑆W

Từ tính chất 1.2 và tính chất 1.3 suy ra rằng tập hợp các tổng tích phân dưới 𝑆2 ứng với các phân điểm 𝑇 khác nhau của đoạn [𝑎, 𝑏] là một tập hợp

bị chặn trên, (ví dụ bởi tổng tích phân bất kì) nên có cận trên đúng hữu hạn :

1.2.4 Dấu hiệu tồn tại của tích phân xác định

Định lý 1.2 Để hàm bị chặn 𝑓(𝑥) khả tích trên đoạn [𝑎, 𝑏] điều kiện cần

và đủ là

𝑑 = max

4 ∆𝑥4, lim

€→. 𝑆2 − 𝑆2 = 0 (1.2.10) Điều kiện (1.2.10) nghĩa là

∀𝜀 > 0, ∃𝛿 = 𝛿(𝜀) > 0, sao cho nếu 𝑑 < 𝛿 thì

𝑆2− 𝑆2 < 𝜀 (1.2.11) không phụ thuộc vào cách chọn các điểm 𝜉4 ∈ 𝑥4;0, 𝑥4

1.3 CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA TÍCH PHÂN

= 𝐹 𝑏 − 𝐹 𝑎 = 𝐹 𝑥 |KU Bảng công thức nguyên hàm cơ bản

a

x x

1

) ( 1 ) (

a dx b

cos(

a dx b

( cos

( sin

1

2

7) + = e + +c

a dx

a

a m dx a

n mx n

mx

ln 1

Giả sử thoả mãn các điều kiện sau:

1) Hàm 𝑓(𝑥) liên tục trên đoạn [a,b]

2) Hàm 𝜑(𝑡) khả vi, liên tục trên đoạn 𝛼, 𝛽

3) 𝜑 𝛼, 𝛽 ⊂ 𝑎, 𝑏 , 𝜑 𝛼 = 𝑎, 𝜑 𝛽 = 𝑏

Với các điều kiện này thì ta có công thức

Định lí 1.5 (Tính chất cộng của tích phân) Cho ba đoạn

𝑎, 𝑏 , 𝑎, 𝑐 và [𝑐, 𝑏] Nếu 𝑓(𝑥) khả tích trên đoạn có độ dài lớn nhất thì nó cũng khả tích trên đoạn còn lại và

Định lí 1.6 Tính khả tích và giá trị của tích phân không thay đổi nếu ta

thay đổi giá trị của nó tại một số hữu hạn điểm

≤ 𝑔 𝑥 𝑑𝑥

U K

và 𝑓 𝑥 − 𝑚 𝑑𝑥 ≥ 0

U K

Hệ quả 1.1 Nếu hàm số 𝑓(𝑥) liên tục trên đoạn [𝑎; 𝑏] thì tồn tại điểm

𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 𝑑𝑥

U K

= 𝑓 𝑐 𝑔 𝑥 𝑑𝑥

U K

, công thức 1.3.4 hiển nhiên đúng

𝑏) Nếu 𝑔 𝑥 𝑑𝑥

U K

> 0, chia cả hai vế 1.2.6 cho 𝑔 𝑥 𝑑𝑥

U K

ta được:

𝑔 𝑥 𝑑𝑥

U K

𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 𝑑𝑥

U K

≤ 𝑀

Đặt

𝜇 = 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 𝑑𝑥

U K

𝑔 𝑥 𝑑𝑥

U K

ta có 𝑚 ≤ 𝜇 ≤ 𝑀 suy ra điều phải chứng minh

− 2𝑡 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 𝑑𝑥

U K

+ 𝑔W 𝑥 𝑑𝑥

U K

≥ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

U K

𝑔 𝑥 𝑑𝑥

U K

+ 𝑏 − 𝑎 𝑓 𝑥. 𝑔(𝑥.) ≥ 0

⇒ 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 − 𝑔 𝑥.

U K

𝑎 − 𝑏 𝑓 𝑥.

−𝑓 𝑥. 𝑔 𝑥 𝑑𝑥

U K

𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 𝑑𝑥

U K

≤ 2 𝑏𝐵

𝑎𝐴 𝑓W 𝑥 𝑑𝑥 𝑔W 𝑥 𝑑𝑥

U K

U K

𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 𝑑𝑥

U K

W ≤ 𝑎𝑏 + 𝐴𝐵

W

4𝑎𝐴𝑏𝐵 (1.4.4) Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy ta có

𝑎𝑏 + 𝐴𝐵 ≥ 2 𝑎𝐴𝑏𝐵 ⇒ 𝑎𝑏 + 𝐴𝐵 W ≥ 4𝑎𝐴𝑏𝐵 ⇒ 4𝑎𝐴𝑏𝐵

𝑎𝑏 + 𝐴𝐵 W ≤ 1 Hơn nữa, theo bất đẳng thức Bunhacopxki ta có

𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 𝑑𝑥

U K

𝑎𝑏 + 𝐴𝐵 W đpcm

1.4.5 Bất đẳng thức với số tự nhiên

Mệnh đề 1.1 Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) là một hàm lồi, liên tục và không

âm trên [𝑎, 𝑏] Khi đó với mọi phép phân hoạch đoạn [𝑎, 𝑏] bởi các điểm chia

Mệnh đề 1.2 Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) là một hàm lõm, liên tục và không

âm trên [𝑎, 𝑏] Khi đó với mọi phép phân hoạch đoạn [𝑎, 𝑏] bởi các điểm chia

Mệnh đề 1.3 Cho hàm số 𝑦 = 𝑓 𝑥 liên tục và không âm trên [𝑎, 𝑏] Khi

đó với mọi phép phân hoạch đoạn [𝑎, 𝑏] bởi các điểm chia

b Nếu 𝑓(𝑥) nghịch biến trên [𝑎, 𝑏] thì

Dấu ′′ = ′′ chỉ xảy ra khi và chỉ khi 𝑏 = 𝑓 𝑎

Mệnh đề 1.5.Cho hàm số 𝑦 = 𝑓 𝑥 liên tục, không âm và đơn điệu tăng trên 𝛼, 𝛽 , 0 ≤ 𝛼 ≤ 𝛽 Khi đó ∀𝑎 ∈ 𝛼, 𝛽 , ∀𝑏 ∈ [𝑓 𝛼 , 𝑓 𝛽 ) ta có

𝑓 𝑥 𝑑𝑥

K

1.5.1 Tính diện tích hình phẳng

a) Nếu hàm số 𝑓(𝑥) liên tục trên đoạn [𝑎, 𝑏] thì diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) và các đường thẳng 𝑥 = 𝑎; 𝑥 = 𝑏; 𝑦 = 0 được tính theo công thức

𝑆 = 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

U K

khi 𝑓(𝑥) ≤ 0

b) Nếu các hàm số 𝑓(𝑥)và 𝑔(𝑥) liên tục trên đoạn [𝑎, 𝑏] thì diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số 𝑦 = 𝑓 𝑥 ; 𝑦 = 𝑔(𝑥) và các đường thẳng 𝑥 = 𝑎; 𝑥 = 𝑏 được tính theo công thức

𝑆 = 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥

U K

c) Nếu phương trình đường cong cho dưới dạng , 𝑥 = 𝜑 𝑦 , 𝜑(𝑦)liên tục trên đoạn [a; b] thì diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 𝑥 =

𝜑 𝑦 , 𝑦 = 𝑎; 𝑦 = 𝑏 và 𝑥 = 0 được tính theo công thức

§z 𝑑𝑡 trong đó 𝑡0, 𝑡W lần lượt là nghiệm của các phương trình 𝑎 = 𝜑 𝑡 , 𝑏 = 𝜑(𝑡) và 𝜑 𝑡 , 𝜇 𝑡 , 𝜑¦ 𝑡 là các hàm số liên tục trên đoạn [𝑡0, 𝑡W]

e) Giả sử miền phẳng D giới hạn bởi các đường: 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 𝑎 ≤ 𝑏 ,

𝑦 = 𝑓0 𝑥 , 𝑦 = 𝑓W(𝑥) trong đó 𝑓0, 𝑓W liên tục từng khúc trên [𝑎, 𝑏] Gọi diện tích của miền phẳng D là 𝑆 Theo ý nghĩa hình học của tích phân xác định, nhận được công thức tính S như sau

𝑆 = 𝑓0 𝑥 − 𝑓W(𝑥) 𝑑𝑥

U

K

f) Tương tự miền phẳng D giới hạn bởi các đường: 𝑦 = 𝑐, 𝑦 =

𝑑 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑥 = 𝑔0 𝑦 , 𝑥 = 𝑔W(𝑦) trong đó 𝑔0, 𝑔W liên tục từng khúc trên [𝑐, 𝑑] Gọi diện tích của miền phẳng D là 𝑆 Ta có

𝑆 = 𝑔0 𝑦 − 𝑔W(𝑦) 𝑑𝑦

€

‘

1.5.2 Tính độ dài đường cong phẳng

a) Cung cho bởi đường cong có phương trình 𝑦 = 𝑓 𝑥 , trong đó 𝑓 𝑥 là hàm số đơn trị và có đạo hàm liên tục trên đoạn 𝑎, 𝑏 Độ dài cung AB, với 𝐴(𝑎, 𝑓 𝑎 ) và 𝐵(𝑏, 𝑓 𝑏 ) được tính theo công thức

𝑙 = U 1 + 𝑓¦(𝑥) W K

𝑑𝑥

b) Cung cho bởi đường cong có phương trình 𝑥 = 𝑔 𝑡

𝑦 = ℎ 𝑡 (𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏), trong đó 𝑔(𝑡) và ℎ(𝑡) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [𝑎, 𝑏] Độ dài cung 𝐴𝐵, với 𝐴(𝑔 𝑎 , ℎ 𝑎 ) và 𝐵(𝑔 𝑏 , ℎ 𝑏 ) được tính theo công thức:

số liên tục trên đoạn 𝑎, 𝑏 Khi đó thể tích của vật thể được tính theo công thức

𝑉 = 𝑆 𝑥 𝑑𝑥

U

K

b) Vật thể tròn xoay: Là vật thể được tạo ra khi quay hình thang cong giới hạn bởi đường 𝑦 = 𝑓 𝑥 , 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 và 𝑦 = 0 quanh trục 0𝑥 Khi đó thể tích vật thể tròn xoay được tính theo công thức

𝑉L = 𝜋 𝑓W 𝑥 𝑑𝑥

U

K

Chú ý 1: Vật thể tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong giới

hạn bởi đường 𝑦 = 𝑓 𝑥 , 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 và 𝑦 = 0 quanh trục 0𝑦 Khi đó thể tích vật thể tròn xoay được tính theo công thức:

𝑉¯ = 2𝜋 𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥

U K

1.5.4 Tính diện tích mặt tròn xoay

Mặt tròn xoay là một mặt cong sinh ra do ta quay quanh trục 𝑂𝑥 một cung đường cong phẳng AB có phương trình 𝑦 = 𝑓 𝑥 , 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], với 𝑓(𝑥) là hàm số đơn trị và có đạo hàm liên tục trên đoạn [𝑎, 𝑏], 𝐴(𝑎, 𝑓(𝑎)), 𝐵(𝑏, 𝑓(𝑏))

Diện tích mặt tròn xoay được tính theo công thức

𝑆 = 2𝜋 𝑓(𝑥) 1 + 𝑓¦(𝑥) W𝑑𝑥

U K

Cung AB cho bởi phương trình tham số: 𝑥 = 𝑥(𝑡)

a) Khi quay quanh trục O𝑥

𝑆 = 2𝜋 𝑦

U

K

1 + 𝜑¦(𝑦) W𝑑𝑦

b) Khi quay quanh trục Oy

CHƯƠNG 2

ÁP DỤNG CỦA PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số bài toán liên quan đến các tính chất tổng Darboux,bất đẳng thức tích phân và giới thiệu một số bài toán liên quan đến hình học, vật lí của tích phân xác định…Các kiến thức trình bày trong chương được tham khảo ở các tài liệu [1],[2],[3],[4],[6],[7] và [8]

∆𝑥r < 𝛿𝜔· 𝑥r, 𝑥r50 < 𝜀

𝑀 𝑏 − 𝑎 (𝜔·[𝑥r, 𝑥r50] là dao độ của hàm 𝑔(𝑥) trên đoạn [𝑥r, 𝑥r50])

Cố định phân hoạch 𝜋 của 𝑎, 𝑏 với ∆𝑥r < 𝛿 Rõ ràng

, còn 𝛾2 → 0 khi max ∆𝑥r → 0 vì

𝑘𝑛

Lời giải Với phân hoạch 𝜋 bất kì của đoạn 0,1 , mỗi đoạn 𝑥r, 𝑥r50 sẽ chứa những điểm hữu tỉ cũng như những điểm vô tỉ, vì đối với hàm 𝜑(𝑥)

Bài toán 2.4 Giả sử 𝐹(𝑥) và 𝐺(𝑥) là những hàm khả tích trên đoạn [0,1] đồng thời trên đoạn này 𝐹(𝑥) ≤ 𝐺(𝑥)

Nếu hàm 𝑓(𝑥) bằng 𝐺(𝑥) khi 𝑥 ∈ 𝑋Ä ,bằng F(x) nếu 𝑥 ∉ 𝑋Ä (𝑋Ä kí hiệu giống bài toán trước), hãy chứng minh rằng

𝐼¢∗ = 𝐺 𝑥 𝑑𝑥

0

, 𝐼∗¢ = 𝐹 𝑥 𝑑𝑥

0

ở đây 𝐼¢∗ là tích phân Darboux trên của hàm 𝑓(𝑥) trên [0,1] , 𝐼∗¢ là tích phân Darboux dưới của hàm 𝑓(𝑥) trên [0,1]

Lời giải Nhắc lại theo định nghĩa

𝐼¢∗ = inf 𝑆§ , 𝐼∗¢ = sup 𝑆§

Ở đây 𝑆§ là tập hợp những tổng Darbuox trên của hàm 𝑓(𝑥) trên [0,1],

𝑆§ là tập hợp những tổng Darbuox dưới của hàm 𝑓(𝑥) trên [0,1] Rõ ràng rằng hàm 𝑓(𝑥) có thể biểu diễn dưới dạng

𝑓 𝑥 = 𝜑 𝑥 𝐺 𝑥 + 1 − 𝜑 𝑥 𝐹 𝑥

Ở đây 𝜑(𝑥) là hàm đặc trưng của 𝑋Ä Với phân hoạch bất kỳ của đoạn [0,1], mỗi đoạn 𝑥r, 𝑥r50 (𝑖 = 0,1, … , 𝑛 − 1) chứa tất cả những điểm vô tỉ lẫn hữu tỉ, vì vậy ( chú ý rằng 𝐹(𝑥) ≤ 𝐺(𝑥))

Ở đây 𝑆É là tập hợp những tổng Darbuox dưới của hàm 𝐹(𝑥) trên [0,1]

Từ những đẳng thức nhận được, ta có

inf 𝑆§ = inf 𝑆È = 𝐼È∗ = 𝐺 𝑥 𝑑𝑥

0

sup 𝑆§ = sup 𝑆É = 𝐼∗É = 𝐹 𝑥 𝑑𝑥

0

.

Do 𝐹(𝑥) và 𝐺(𝑥) là những hàm khả tích

Bài toán 2.5 Tính tích phân xác định, xem chúng như là giới hạn của

tổng tích phân tương ứng và phân chia đoạn lấy tích phân một cách thích hợp 𝑎) 𝑥W𝑑𝑥

W 2;0

2;0

r<.

= 𝜋2𝑛

sinËÌ sin2;0ÌË 𝜋sinÌ2Ë =

2𝜋4𝑛 .

sin Ë

Ì− Ë

Ì2

sinÌ2Ë Chuyển qua giới hạn khi 𝑛 → ∞ và chú ý rằng

lim

2→I

Ë Ì2

sinÌ2Ë = 1 , lim2→Isin 𝜋

4−

𝜋4𝑛 = sin

c) Giả sử 𝜋 là một phân hoạch bất kỳ của đoạn [𝑎, 𝑏] bằng các điểm

𝑑𝑥

𝑥W

0

𝑎

x(ÏÅz) Î

z

Î ;0

z Î Ð

Ñ

ÏÅz

Î ;0

ÏÅz Î

1

𝑚 + 1

Chuyển qua giới hạn khi 𝑛 → ∞ ta nhận được

𝑥J𝑑𝑥

U K

Điều này có nghĩa là

lim

Ò→. 𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 =

U K

Lời giải Điều kiện cần Ta chứng minh bằng phản chứng

Giả sử 𝑓W 𝑥 𝑑𝑥 = 0

U K

, 𝑓 𝑥 liên tục tại điểm 𝑥. ∈ 𝑎, 𝑏 Giả thiết rằng 𝑓(𝑥.) ≠ 0

Do 𝑓(𝑥) liên tục tại điểm 𝑥. nên tồn tại 𝜎 > 0 để 𝑓W(𝑥) > 0 khi