Một số dạng toán về phép tính tích phân và ứng dụng

Một trong những phân môn quan trọng có liên quan đến nhiềulĩnh vực khoa học kỹ thuật khác là phép tính tích phân và các ứng dụngcủa nó.. Luận văn này nhằm mục đích tìm hiểusâu hơn về phé

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TS HOÀNG NHẬT QUY

Đà Nẵng - 2020

Mục lục

1.1 Bài toán diện tích và khoảng cách 3

1.1.1 Bài toán diện tích 3

1.1.2 Bài toán khoảng cách 13

1.2 Định nghĩa tích phân 15

1.2.1 Định nghĩa 16

1.2.2 Các tính chất của tích phân 17

1.2.3 Tính chất so sánh của tích phân 18

1.3 Định lý cơ bản về tích phân 18

1.3.1 Định lý cơ bản về tích phân 18

1.3.2 Tích phân không xác định 19

1.3.3 Phương pháp đổi biến số 20

1.3.4 Phương pháp đổi biến số đối với tích phân xác định 21 1.3.5 Phương pháp tích phân từng phần 23

1.4 Tích phân hàm hữu tỷ 24

1.4.1 Định lý tổng quát về phân tích đa thức 24

1.4.2 Phương pháp tính tích phân hàm hữu tỉ thường gặp 25 1.5 Tích phân hàm vô tỷ 28

1.6 Tích phân hàm lượng giác 34

1.7 Tính gần đúng tích phân 39

1.7.1 Phương pháp khai triển hàm số dưới dấu tích phân thành chuỗi 39

1.7.2 Sử dụng các quy tắc tính gần đúng 42

1.8 Tích phân suy rộng 44

1.8.1 Tích phân suy rộng loại 1 44

1.8.2 Tích phân suy rộng loại 2 47

1.8.3 Định lý so sánh 48

2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 50 2.1 Tính diện tích và thể tích 50

2.1.1 Tính diện tích 50

2.1.2 Thể tích vật thể 52

2.2 Tính độ dài cung 55

2.3 Tính diện tích mặt cong 58

2.4 Một số ứng dụng trong vật lý và kỹ thuật 61

2.4.1 Tính vận tốc từ gia tốc, tính quảng đường từ vận tốc 61 2.4.2 Công thức tính quãng đường và vận tốc 62

2.4.3 Lực thủy tĩnh 62

2.5 Một số ứng dụng trong kinh tế và sinh học 65

2.5.1 Ứng dụng để xác định quỹ vốn dựa theo lượng đầu tư trong kinh tế 65

2.5.2 Ứng dụng tính cung lượng máu trong sinh học 66

2.6 Ứng dụng trong xác suất 68

MỞ ĐẦU

Giải tích là lĩnh vực quan trọng của Toán học và ngày càng gắn liền vớithực tiễn Một trong những phân môn quan trọng có liên quan đến nhiềulĩnh vực khoa học kỹ thuật khác là phép tính tích phân và các ứng dụngcủa nó Trong xu hướng giáo dục mới, việc học tập của học sinh và sinhviên và việc giảng dạy của giáo viên phải theo định hướng gắn lý thuyếtvới thực tiễn cuộc sống hàng ngày Luận văn này nhằm mục đích tìm hiểusâu hơn về phép tính tích phân cũng như các ứng dụng của nó, vận dụngthích hợp vào công tác giảng dạy bộ môn Toán trong chương trình phổthông hiện nay

Luận văn bao gồm: Mở đầu, Nội dung, Kết luận, và Tài liệu tham khảo.Nội dung của luận văn gồm hai chương

Chương 1: Một số dạng toán về phép tính tích phân

Chương này trình bày bài toán diện tích và bài toán khoảng cách, địnhnghĩa và một số định lí cơ bản về tích phân, phép tính tích phân của một

số hàm số thường gặp trong chương trình phổ thông và tích phân suy rộng.Chương 2: Một số ứng dụng của tích phân

Chương này trình bày bài toán tính diện tích và thể tích, tính độ dàicung, diện tích mặt cong và một số ứng dụng của tích phân trong vật lý

và kỹ thuật, trong kinh tế và sinh học, trong xác suất

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy TS Hoàng NhậtQuy, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng Nhân dịp này tác giảxin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy đã giúp đỡ tácgiả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn Tác giả cũng xingửi lời cảm ơn đến quý Ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm - Đại học

Đà Nẵng, Phòng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Toán, cùng quý thầy cô đãdày công giảng dạy lớp cao học K36 - Phương Pháp Toán Sơ Cấp và tạođiều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập và thực hiện đề tài.Nhân đây tác giả cũng xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đã luôn

sự hỗ trợ về mặt tinh thần và tạo mọi điều kiện để tác giả hoàn thành tốtkhóa học và luận văn này

Mặc dù luận văn được thực hiện với sự nỗ lực cố gắng hết sức củabản thân, nhưng do điều kiện về mặt thời gian, trình độ kiến thức vàkinh nghiệm nghiên cứu còn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi nhữngthiếu sót Do vậy, tác giả mong nhận được những góp ý của quý thầy cô

và đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn

Tác giả xin chân thành cảm ơn

Chương 1

MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN

Chương này được giành để xây dựng khái niệm tích phân của hàm sốmột biến số Mở đầu chương là một số bài toán dẫn tới khái niệm tíchphân Tiếp đến là định nghĩa tích phân, nghiên cứu các tính chất của tíchphân và một số phương pháp tính tích phân Các nội dung của chương nàyđược tham khảo từ các tài liệu ([4], [8], [9], [10])

1.1 Bài toán diện tích và khoảng cách

1.1.1 Bài toán diện tích

Ta bắt đầu bằng bài toán diện tích như sau: Cho hàm số f (x) liên tục

và không âm trên đoạn [a; b] Tính diện tích S của hình phẳng giới hạnbởi đồ thị hàm số y = f (x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b

Bài toán được giải quyết dễ dàng nếu hình phẳng là đa giác Tuy nhiênnếu đồ thị hàm số y = f (x) là một đường cong thì công việc không hề đơngiản nếu chỉ dùng công cụ tính diện tích của đa giác phẳng Ta xét một

số ví dụ sau đây:

Ví dụ 1.1.1 Dùng công thức diện tích hình chữ nhật để ước tính diệntích của hình phẳng S giới hạn bởi parabol y = x2, trục hoành, trục tung

và đường thẳng x = 1

Lời giảiGiả sử rằng ta chia hình phẳng S thành 4 phần bởi các đường thẳng

2

,

12

2

,

34

2

, (1)2 (xem Hình 4)

Gọi R4 là tổng diện tích của bốn hình chữ nhật nói trên.

Ta có:

R4 = 1

4.

14

2

+ 1

4.

12

2

+ 1

4.

34

2

,

12

2

,

34

2

(xem Hình 5)

Gọi L4 là tổng diện tích của năm hình chữ nhật nói trên Ta có:

L4 = 0

14

2

+ 1

4.

14

2

+ 1

4.

12

2

+ 1

4.

34

Bằng máy tính ta có thể tính được Ln và Rn với một số giá trị n lớn

và ta có bảng kết quả dưới đây:

Bảng kết quả trên cho ta tin rằng A ≈ 0, 3333335.

Từ dữ liệu ở bảng trên ta thấy (Rn) là một dãy số giảm và bị chặndưới nên tồn tại giới hạn và (Ln) là một dãy số tăng và bị chặn trên nêncũng tồn tại giới hạn Từ dữ liệu được tính toán dựa vào sự hỗ trợ củaphần mềm tin học ta có thể phán đoán hai giới hạn trên bằng 1

3 khi ntăngtới vô hạn Ví dụ sau đây sẽ tính toán cụ thể hai giới hạn của hai dãy sốnói trên

Ví dụ 1.1.2 Với kết quả ở Ví dụ 1.1.1 Chứng minh rằng lim

n→∞Rn = 13.Lời giải

Ta có Rn là tổng diện tích của n hình chữ nhật ở Hình 6

Mỗi hình chữ nhật có chiều rộng là 1

n và chiều dài là

1n

2

,

2n

2

,

3n

2

,

nn

2

.Khi đó:

Rn = 1

n.

1n

2

+ 1

n.

2n

2

+ 1

n.

3n

2

+ + 1

n.

nn

2

Định nghĩa 1.1.3 Cho hàm số f (x) liên tục và không âm trên đoạn[a; b] Diện tích A của hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x),trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b là

Ví dụ 1.1.4 Gọi A là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

y = f (x) = e−x, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 2

1 Dùng điểm chia phải, tìm công thức tính Atheo giới hạn Không tínhgiới hạn đó

2 Hãy ước tính A bằng cách dùng 4 điểm chia trung bình Làm tương

Pn i=1.e−2i/n.

2 Với n = 4: các khoảng con có độ rộng bằng nhau ∆x = 0.5 Cácđiểm chia trung bình là

Với n = 10 : ∆x = 0.2 Khi đó, các điểm chia trung bình là

x∗1 = 0.1, x∗2 = 0.3, x∗3 = 0.5, , x∗10 = 1.9

Tổng diện tích của bốn hình chữ nhật xấp xỉ là

Hình 12 cho ta kết quả xấp xỉ tốt hơn khi n = 4.

1.1.2 Bài toán khoảng cách

Bây giờ ta xem xét vấn đề khoảng cách: Tìm quãng đường mà vật điđược trong khoảng thời gian nhất định nếu biết vận tốc của vật thể tại mọi

thời điểm Nếu vận tốc không đổi tại mọi thời điểm thì việc tính quãngđường quá đơn giản.

Nếu vận tốc thay đổi cũng không quá khó khăn để tìm quãng đường

Ta xét ví dụ sau đây:

Ví dụ 1.1.5 Giả sử đồng hồ đo trên xe bị hỏng và tôi muốn ước tínhkhoảng cách điều khiển trong khoảng thời gian 30 giây Cứ 5 giây chúngtôi đọc công-tơ-met và có bảng kết quả sau:

Trong 5 giây đầu tiên, vận tốc không thay đổi nhiều, vì vậy chúng ta

có thể ước tính quãng đường đi được trong thời gian đó bằng cách giả sửrằng vận tốc không đổi Nếu chúng ta lấy vận tốc trong khoảng thời gian

đó là vận tốc ban đầu (25f t/s) thì quãng đường di chuyển gần đúng trong

5 giây đầu tiên là

Nếu muốn có một ước tính chính xác hơn, chúng ta có thể thực hiệnđọc vận tốc hai giây một lần hoặc một giây một lần.

Tổng quát, giả sử một vật di chuyển với vận tốc

v = f (t), a ≤ t ≤ b, f(t) > 0

Ta có bài đọc vận tốc tại các thời điểm t0 = a, t1, t2, t3, , tn = b saocho vận tốc xấp xỉ không đổi trên mỗi khoảng thời gian phụ Nếu nhữngthời gian này cách đều nhau, khi đó khoảng thời gian giữa hai lần đọc liêntiếp là ∆t = b − a

n Nếu ta lấy vận tốc tại thời điểm đầu thì tổng quảngđường đi được trong khoảng thời gian từ a đến b xấp xỉ là

phải là hàm không âm Sau đây ta định nghĩa khái niệm tích phân độc lậpcho một hàm số một biến bất kỳ Trường hợp định nghĩa tích phân trênkhông gian tổng quát hơn như không gian Rn hay không gian tuyến tínhđịnh chuẩn (xem [4]).

Khi đó hàm f (x) được gọi là khả tích trên đoạn [a; b].

Định lý 1.2.1 [10] Nếu f là hàm số liên tục trên đoạn [a; b] thì f khảtích trên đoạn [a; b], nghĩa là tích phân

liên tục trên đoạn [a; b] và g′(x) = f (x).

Nếu x và x + h thuộc khoảng (a; b) thì

F (x) = g(x) + C,trong đó C là một hằng số nào đó.

1.3.2 Tích phân không xác định

Hai định lý cơ bản về tích phân thiết lập mối liên hệ giữa nguyên hàm

và tích phân xác định Chúng ta cần một kí hiệu thuận tiện hơn về nguyênhàm trong việc tính tích phân Do mối quan hệ được đưa ra bởi định lý cơbản giữa nguyên hàm và tích phân nên ta có khái niệm tích phân khôngxác định như sau:

Z

f (x)dx = F (x) nghĩa là F′(x) = f (x) (1.10)

Vì vậy ta có thể coi một tích phân không xác định là đại diện cho toàn

bộ họ các nguyên hàm của hàm f với từng giá trị của hằng số C

Từ đó ta có mối liên hệ giữa tích phân không xác định và tích phân xácđịnh như sau:

2 0

= −4 + 3 tan−12

1.3.3 Phương pháp đổi biến số

Nếu u = g(x) là hàm số có đạo hàm trên khoảng I và f là hàm số liêntục trên I thì

⇒ x3dx = du

4Khi đó ta có

Z

x3cosx4 + 2dx =

Zcos u.1

4du

= 14

Zcos udu

g(b) g(a)

Đặt u = 2x + 1 ⇒ dx = du

2u(0) = 1, u(4) = 9

9

Z

1

12

√udu = 1

2.

2

3u

3 2

9

1 = 26

3 .Tính chất đối xứng: Giả sử f là hàm liên tục trên đoạn [−a; a]

(a) Nếu f thỏa mãn điều kiện f (−x) = f(x), ∀x ∈ [−a, a] thì

2 0

Zudv = uv −

Đặt t = 1 + x2, khi đó xdx = 1

2dt.Khi x = 0 thì t = 1 , khi x = 1 thì t = 2 Ta có

Nếu deg P ≥ deg Q thì ta có

Do việc tính Z U (x)dx dễ dàng nên ta chỉ xét tích phân Z P (x)

Q(x)dx.với deg P < deg Q

1.4.1 Định lý tổng quát về phân tích đa thức

Mọi đa thức không đồng nhất không với hệ số thực đều có duy nhấtmột cách phân tích thành các nhân tử (không tính theo thứ tự sắp xếp cácnhân tử) gồm các nhị thức bậc nhất hoặc các tam thức bậc hai vô nghiệm,tức là ta có

trong đó A 6= 0; x1, , xn là các nghiệm thực phân biệt của Q(x);

a(x − 1)2 + b

x − 1 +

c

x + 2.

⇔ 3x2 + 3x + 3 = (b + c)x2 + (a + b − 2c)x + 2a − 2b + c, ∀x (1.18)Đồng nhất hai vế của 1.18 như Ví dụ 1.4.1 ta được a = 3, b = 2, c = 1

Z2

x − 1dx +

Z1

a

x +

bx + c

x2 + 1.Dùng phương pháp hệ số bất định ta tìm được a = 2, b = 1, c = 0

Suy ra

2x2 + x + 2x(x2 + 1) =

xdx +

Z1

x2 + 1dx = 2 ln |x| + tan−1x + C

Dạng 4: Q(x) = (x − x1) (x − x2) (x − x3) x2 + px + q
k

(x − xn)với p2 − 4q < 0

Lời giải

Ta có

2x2 + 18(x2 − 6x + 13)2 =

ax + b(x2 − 6x + 13)2 +

cx + d

x2 − 6x + 13.Dùng phương pháp hệ số bất định như các ví dụ trên ta được

2

x2 − 6x + 13

= 6(2x − 6)(x2 − 6x + 13)2 +

28(x2 − 6x + 13)2 +

5

Z

1

1(x2 − 6x + 13)2dx + 2

5

Z

1

1(x − 3)2 + 4dx

(x2 − 6x + 13)2

5 1

2

... âm

Như vậy, ta đưa tích phân 1.20 ba dạng tích phânsau:

Để tính phân này, ta thường đặt biến phụ: u = α tan t đối vớitích phân thứ nhất, u = α sin t tích phân thứ hai u = α... tính tích phân bất định dạng

1.6 Tích phân hàm lượng giác

Xét tích phân dạng. .. với A, B số) .

Ví dụ 1.6.4 Chứng minh tích phân dạng

L =

Z

u1sin x + b1cos x(a sin x + b cos x)2dxđều phân tích dạng