Phép tính tích phân và ứng dụng

Phép tính tích phân và ứng dụng

Bài giảng số 12 PHEP TINH TICH PHAN VA

Thi dal: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối D-2009)

Tacéi=—L | : (sin x —cosx)dx = oe (1+ sinx + cos) si ree)

2 ¡1 +sin2x + 2(sink + cosx)+ | ¥2 5 (1+sinx +cosx)

l

MU

Thi dụ 3: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối A — 2006)

Nhận thấy d(cos’x + 4sin’x) = (-2cosxsinx + 8sinxcosx)dx = 3sin2xdx

Phương pháp dùng bảng nguyên hàm thực chất là một phép đổi biến và là một

phép đổi biên đơn giản Tuy nhiên, dùng phương pháp này có hai thuận lợi:

218

- Không cần thực hiện các phép đổi cận không cần thiết

- Cách trình bày đơn giản

~ (se) els 1= fn} = fio [a fin 14x? fe

Nhận xét:

Đây là thí dụ đẹp chứng tỏ tính hiệu quả cao của việc sử dụng phương pháp bảng nguyên hàm

B PHƯƠNG PHÁP ĐỎI BIEN SO

Đôi biên số là một trong những phương pháp quan trọng nhật đề tính nguyên hàm và tích phân Trong mục này chúng tôi trình bày các phương pháp đôi biên số thông dụng nhât:

Loại 1: Sử dụng công thức: feud u (x) Ju'(x )dx = free

a

b

Gia str ta can tính tich phan I= Js(x) dx Nếu băng cách nào đó ta viết được

a

biểu thức dưới dấu tích phân St dưới dạng

f[u(x Hui x)dx = f[ u(x) (x) |d(u(x))

khi đó ta có: he) )dx = = (e(w) (u) du , với œ= u(a); B = u(b)

a

Vay bai toan quy vẻ việc tính tích phân mới này đơn giản hơn nhiều so với tích phân ban đầu Phép đổi biến ở đây là t = u(x), và nhớ khi đổi biến thì phải đổi cận lây tích phân

Thí dụ I: (Dé thi tuyển sinh Đại học khối 4 — 2008)

Tính tích phân:

TL

I= xdx cos2x

0 ial

Ta có:

pa xdx =Ï tan" xdx — : tan! xd(tan x) (1)

0 cos2x li — tan * x}cos? x 9 ! — tan? x

220

sin? x cos2x

(do I-tan'x=l=—=—=——)

COS X CoS xX

v3

Dat t = tan x (khi x = 0, thì t = 0, con khi x = ° thì t= +)

Vay tt (1) ta co:

nae +26 — cua e2 — —3eŸ*+2 ge ~—3e* +2

Dat t = e* (khi x = In3, thi t = 3; khi x = In5, thi t = 5)

0

cos -0s"x }d(cosx)

Loại 2: Đổi biến khi hàm dưới dấu tích phân chứa biểu thức dạng #/f(x)

Trong nhiều trường hợp (chứ không phải tất cả các trường hợp) ta có thể dùng phép đổi biến sau đây:

t= FG)

Đây là một trong những phép biến đổi thông dụng hay gặp

Thứ dụ 1: (Đề thủ tuyển sinh Đại học khối 4 — 2004)

Tính tích phân: I= pe

223

Dat t = J1+3cosx (khi x= 0 => t=2; khix = > t=1)

Trong thí dụ trên ta sử dụng nhiều phương pháp để tính tích phan | (bảng

nguyên hàm, đổi biến số loại 1, loại 2)

Loại 3: Đôi biến khi hàm dưới dấu tích phân có dạng a? —x? hoặc

(a” + x)* hoặc Vx? —a?

224

— Khi biểu thức dưới dấu tích phân có chứa biểu thức dưới dạng a?—x?

hoặc Vx?—a7 nói chung ta sẽ gặp khó khăn nếu sử dụng phương pháp đôi biến nói trong loại 2 (đặt t = Vx? =a? hoac t= Va? —x? ) Voi tich phân này người ta

+ Nếu biểu thức dưới đầu tích phân có dạng a°—X? ta hay dat x = asint

- Khi biểu thitc duéi dau tich phan c6 chira biéu thire dudi dang (a’+x’)* ta

hay đặt: x = tant hoặc x = cott

Thứ dụ 1: (Trích trong đề thi tuyển sinh Đại học khối B — 2002)

Thi du 2:

Tinh tich phan: I=

Dat x = 3sint, voit € |-2:2]

3 Tinh tich phan: T= J _—%

, dt Taco: dx=——

cost

Loại 4: Đôi biến khi biểu thức dưới dấu tích phân có chứa hàm số lượng giác Các phép biến đổi thường dùng với tích phân này là đặt t = sinx, hoặc

t= cos x; t= tan x, hoặc † = cotf x

Thứ dụ I (Đề thì tuyển sinh Đại học khối A- 2009)

_ Thí dụ 2: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối B — 2005)

Ta co: dt = —sinxdx Khi đó l= fF ` - Pe

h 1+cosx i 5!

= 2In2 I (tính như trong thí dụ 3, loại 1, mục B)

227

Loại 5: Một số phương pháp đổi biến đặc biệt đề tính tích phân:

Trong mục này chúng tôi giới thiệu vài phép đổi biến đặc biệt (không thông

dụng) để tính tích phân với mục đích để các bạn tham khảo thêm

Dang 1: Déi bién x = ~t

Phép đổi biến này dùng khi:

k>0 Khi đó ta tách tích phân thành 2 phần: từ -a đến 0 và từ 0 đến a Với tích

phân thuộc phân thứ nhất đặt x = -t

Thay (2) vao (1) ta cd: I=0

Chú ý: Hàm đưới dẫu tích phân f{x) = In(x +V14x? là ham lẻ trên [—1;L]

Thay y (2) (2) vao (1), va cé: | = xụ f _= —dx = [x°dx =— Ỉ 128

228

Dạng 2: Phép thay biến x=a— t

Phép đổi biến này thường dùng để tính các tính phân có cận trên là a, hàm dưới dấu tích phân chứa các biểu thức lượng giác và các biểu thức này liên quan đến cận trên a (theo nghĩa chúng có mối liên hệ của các hàm lượng gác của các góc liên quan đặc biệt) Vì thế các tích phân này thường có cận trên là 2 ; 2T „TL,

Với các tích phân này, sau khi biến đổi x = a-t sẽ dẫn đến việc giải phương trình đơn giản mà ân số ở đây là tích phan I can tinh

Thi du 1: (Dé thi tuyển sinh Cao đẳng Sư phạm Hà Nội - 2004)

Tính tích phân: nn ticn pnan: | {n2 = { sa x d X

Dat x = 2m-t => cosx =—-cost va dx = -dt Ta có:

]=- [0 — t)(cos*t)dt = lúa - t)(cos*t) dt

C PHUONG PHAP TiCH PHAN TUNG PHAN

Phương pháp tích phân từng phần cũng là một trong các phương pháp cơ bản

nhất đề tính tích phân Cần nhấn mạnh rằng các bài toán sử dụng tích phân từng

phần để tính tích phân nhiều lần xuất hiện trong các để thi tuyên sinh vào Đại học

và Cao đẳng trong những năm gần đây

Loại 1: Cac dang | toán cơ bản của phép lấy tích phân từng phan

Cần nhân mạnh rằng các dạng toán này chiếm trên 90% các bài toán sử dụng:

phương pháp tích phân từng phần để tính tích phân trong các đề thi từ 2002 đến

2009 (và 100% trong các dé thi tuyển sinh môn Toán vào các trường Đại học khối

A, B, D trong những năm đó) Có 4 dạng toán chịnh

b

1 Với tích phân dạng: [P (x)e**dx hoặc P(x) )sin kxdx; Jets )}coskxdx, ở

day p(x) la da thie thi dat u = P(x) ; dv = e**dx (hoặc dv = sinkxdx, )

2/ Với tích phân dạng Jets) in* xdx (c6 thé ép dung véi mét sé trudng hop

thì dat u =e , dv=sin adx (hoac dv = cos Bdx)

hoặc u = sin œx (hoặc u = cos Bx), dv = e“dx

Thi du 1: (Dé thi mayen sinh Đại học khối B - 2009)

Tính tích phan: I = pe MR ay

i(x+1)

Theo công thức tích phân từng phân, ta có:

Thí dụ 4: (Đề thi tuyên sinh Đại học khối D — 2006)

I

Tính tích phân: l= [( —2)e**dx

0

231

Chit y: Néu sau khi cé (1) ta dùng phép tích phân từng phần lần thứ hai như sau:

Đặt u = sin3x => du=3cos3xdx; v = fe?*dx = se

Thay (3) vao (1), vaco: l=— 2® + se” vi <> 1=1.(4)

(4) có nghĩa là ta gặp hiện tượng “ 'xoay vòng” tức là sau một loạt phép toán —

ta quay lại đầu bài Do đó ta chưa giải quyết được bài toán

Khi áp dụng phương pháp tính tích phân từng phần từ hai bước trở lên, nếu không cân thận sẽ gặp “hiện tượng xoay vòng” và cân phải tránh nó

Loại 2: Phương pháp tích phân từng phần với các dạng tích phân khác Đề sử dụng có hiệu quả phương pháp tính tích phân từng phần khi tính tích phân, điều quan trọng nhất làm sao chọn hàm u một cách thích hợp Phép chọn hàm u phải

đảm bảo được hai điều sau đây:

1/ Dễ dàng tính được [vdu

2/ Thông thường khi sử dụng công thức tích phân từng phần đề tính tích phân,

ta đều phải trai qua nhiều bước Vì vậy hàm u cần chọn sao cho trong các bước tiếp theo sử dụng công thức tích phân, thì việc tính fvdu phai ngay cang don gian di

Thi du 1: (Bé thi tuyén sinh Cao đẳng Giao thông - 2004)

233

2

Dé thay (xem loai 1, tich phan tig phan), ta cd [xe*dx =e?+1.(2)

0 Thay (2) vào (1), và có I= 1

Thi du 2: (Dé thi tuyển sinh Cao dang Sw phạm khỗi A — 2004)

§2 MOT SO UNG DUNG CUA TICH PHAN

A TINH DIEN TICH HINH PHANG

- Diện tích hình phẳng xác định bởi đường cong y = f(x)

Cho hình păng giới hạn bởi các đường

Cho hình phẳng giới hạn bởi: |

Giải bài toán tìm diện tích hình phẳng thường có lược đồ chung để giải như sau:

- Vẽ hình (nếu thấy cần thiết và dễ vẽ Khí vẽ đường cong chỉ nên vẽ phác hình)

- Tìm giao điểm của các đường tạo nên hình phẳng

- Sử dụng các công thức đã nêu ở trên

Loại 1: Các bài toán có thể vẽ phác được hình cần tính diện tích:

Với các bài toán thuộc loại này việc vẽ hình giúp cho việc nhận diện hình cần

tính để dàng hơn nhiều Dĩ nhiên ta chỉ cần lưu tâm đến hình dáng của hình, nên

việc vẽ hình chỉ cần là vẽ phác mà thôi!

Thứ dụ 1: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối A — 2002)

Tìm diện tích giới hạn bởi các đường y = |x’ - 4x + 3] vay = x+3

-y=x +3 đều rat dé vé, vi thé ta có ngay hình vẽ sau:

Từ hình vẽ ta suy ra hoành dộ giao điểm A, B là nghiệm của phương trình: xŸ -4x+3=x 43

(vi nó cắt nhau trên phần mà x7- 4x +3> 0) x= 0 hoặc x = 5

235

Dé thay y =—= [Aa parabol, nén ta cé hinh vẽ sau: yy 4/2 p

Hoành độ của giao điểm A, B

là nghiệm của phương trình: )

Ta suy ra có 3 giao điểm A,B,C

với hoành độ giao điêm lân lượt là:

¥2;2;¥32 Dễ thấy:

¥5 x 5 \* 4 Cac tich phan trén đều tính được một cách dé dang va ta sé có:

S=8In Ÿ⁄4 +2In 1/4 = In4(40)

Loại 2: Các bài toán tính diện tích hình phẳng mà việc vẽ hình khó thực hiện

Với các bài toán loại này chưa thể nhận ra ngay khi nào f(x) > gŒ) (hoặc

f(x) < g(x)) Vì thê cách tôt nhất khi tính điện tích S là sử dụng công thức:

b

s= Íf(x)ldx,

và xử lí theo cách tính tích phân trong trường hợp hàm dưới dấu tích phân có chứa

dấu giá trị tuyệt đôi

b

Dạng 1: Bỗ sung về tính tích phân dạng: i f (x)| dx

a

Khi giải các loại bài tập này trước hết phải tiến hành xét dấu để phá đi các dấu

giá trị tuyệt đôi (kiên thức hay dùng nhất là sử dụng ˆ định lí về dâu của tam thức bậc

hai, nhị thức bật nhất và sử dụng đường tròn đơn vị x 2 đê xét dấu các hàm lượng giác)

Thi du 1: (Dé thi tuyén sinh Dai hoc, Cao đẳng khối D — 2003)

Dựa vào đường tròn đơn vị ta có ngay:

sint < 0 khi _<t <0 vàsint>0khi 0<t <=

Thí dụ: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối 4 — 2007)

Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong y = (e + 1)x va

y=(l+e)x

238

Giải Hoành độ giao điểm của hai đường là nghiệm của phương trình:

(e+ 1)x=(1+e)x @ x(e“-e)=00 x=0vàx= Ì

Từ đó diện tích S cân tìm được tính theo công thức:

1 S= {lie Jx=0+shle= Jxƒc ~e)[dx (1)

Khi0<x <1 thi x > 0; con e* —e <0, nén tir (1) ta có:

8 TINH THE TICH VAT THE

- Giả sử vật thể sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường

y=f(x);y=0 và quay quanh trục Ox Khi đó thê tích V của vat thé ay la: aed eich V ena wat Thế Âu là

a

Thi dul: (Đề thi tuyễn sinh Đại học khối B - 2007)

Cho hình phăng giới hạn bởi các đường y = xÌnx; y = 0 va x = e Dem hinh phăng quay quanh trục Ox Tìm thể tích khối tròn xoay thu được

9 ` Goi Vi, V2, V3 tuong ứng là thể tích

của các vật thể sinh bởi khi đem cungOA, AB va OB quay quanh Ox Khi đó ta có:

239

Su dung phuong phap bang nguyên hàm, tính các tích phân sau:

Bài 1 (Đề thi tuyên sinh Cao đẳng sư phạm Quảng Ngãi — 2006)

Bài 2: (Đề thi tuyển sinh Cao đẳng Kinh tế Tài chính — 2003)

ộl+3cosx Bài 7:

Bai 20:

2 In(l+ , Tính tích phân: I= pleas Đáp số: 3In2~ n3

Tìm điện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P): y = x? + 4x + 5 và hai tiếp

tuyến của (P) tại điểm A (1; 2); B(4;5) năm trên (P)

Cho hình phẳng tạo bởi hai đường y = 2x-x” và y = 0 Tim thé tích vật thé khi

đem hình phẳng quay quanh trục Ox

242

Đáp số: T 1 (đvtf)