Phương trình parabolic ngược thời gian

Luận văn

LỜI CAM ĐOAN

Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS TSKH ĐinhNho Hào và PGS TS Đinh Huy Hoàng Tôi xin cam đoan rằng các kếtquả được trình bày trong luận án là mới và chưa từng được ai công bốtrước đó

Tác giả

Nguyễn Văn Đức

MỤC LỤC

Trang

Lời cam đoan 1

Mục lục 2

Một số ký hiệu dùng trong luận án 3

Mở đầu 4

Chương 1: Phương trình parabolic ngược thời gian với hệ số không phụ thuộc thời gian 28

1.1 Một số khái niệm và bổ đề cơ sở 29

1.2 Chỉnh hóa phương trình parabolic ngược thời gian bằng bài toán giá trị biên không địa phương trong trường hợp a=1 31

1.3 Chỉnh hóa phương trình parabolic ngược thời gian bằng bài toán giá trị biên không địa phương trong trường hợp a>1 41

1.4 Ví dụ số 63

1.5 Kết luận chương 1 68

Chương 2 Phương trình parabolic ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian 69

2.1 Các kết quả ổn định 69

2.2 Hiệu chỉnh bài toán 77

2.3 Các ví dụ 91

2.4 Kết luận chương 2 96

Chương 3 Các kết quả ổn định cho phương trình truyền nhiệt ngược thời gian 97

3.1 Các kết quả bổ trợ 98

3.2 Phương pháp nhuyễn và kết quả ổn định 100

3.3 Sơ đồ sai phân tiến ổn định 110

3.4 Ví dụ số 113

3.5 Kết luận chương 3 115

Kết luận chung và kiến nghị 119

Danh mục công trình của NCS có liên quan đến luận án 121 Tài liệu tham khảo 122

MỘT SỐ KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN

h·, ·i: tích vô hướng trong không gian Hilbert H

k · k: chuẩn trong không gian Hilbert H

C([a, b], H): tập tất cả các hàm liên tục trên [a, b] và nhận giá trị trênkhông gian Hilbert H

C1((a, b), H): tập tất cả các hàm khả vi liên tục trên (a, b) và nhận giátrị trên không gian Hilbert H

u t: đạo hàm của hàm u ∈ C1((a, b), H)

L p (Ω) = {u : Ω → R| u đo được Lebesgue, kuk L p(Ω) < +∞}

1 Lý do chọn đề tài

1.1 Bài toán ngược cho phương trình đạo hàm riêng thường xuyênxuất hiện trong nhiều lĩnh vực khác nhau của công nghệ, địa vật lý, thủyđộng học, y học, xử lý ảnh, Đó là những bài toán khi các dữ kiện củaquá trình vật lý không đo đạc được trực tiếp mà ta phải xác định chúng

từ những dữ kiện đo đạc gián tiếp Trong luận án này, chúng tôi đề cập tớiphương trình parabolic ngược thời gian Đó là bài toán cho phương trìnhparabolic khi điều kiện ban đầu không được biết mà ta phải xác định nókhi biết điều kiện cuối cùng (đó là lý do tại sao bài toán này được gọi làngược thời gian)

1.2 Phương trình parabolic ngược thời gian thường xuyên xuất hiệntrong lý thuyết truyền nhiệt, khi ta cần xác định nhiệt độ tại một thờiđiểm nào đó trong quá khứ qua nhiệt độ đo đạc được tại thời điểm hiệntại ([31], [56], [67]), bài toán này cũng thường xuyên xuất hiện trong Địavật lý ([67]) Trong bài toán về nước ngầm, để xác định việc truyền tảicủa chất gây ô nhiễm tại một vùng nước ngầm người ta dùng phươngtrình khuếch tán - đối lưu (phương trình parabolic) ngược thời gian với

đo đạc ở thời điểm hiện tại ([15]) Phương trình parabolic ngược thời giancũng thường xuyên xuất hiện trong khoa học vật liệu ([90]), thủy độnghọc ([15]), xử lý ảnh ([21], [60], [87]) Các bài toán này đã được nghiêncứu khá nhiều, tuy nhiên cũng chỉ cho một lớp phương trình đặc biệt; hơnthế nữa việc đề xuất các phương pháp số hữu hiệu để giải gần đúng cácbài toán này luôn là những vấn đề thời sự

1.3 Một cách hình thức các bài toán trên có thể mô tả như sau: giả

sử Lu(x, t) là một toán tử (có thể phi tuyến) elliptic đều Ở đây,x là biến

4

không gian, còn t là biến thời gian Giả sử Q t = ∪ s∈[0,t] Ω(s), Ω(s) là cácmiền giới nội trong Rn, t ∈ [0, T ] Ta xét bài toán biên sau đây:

u t = Lu(x, t) + F (x, t, u), (x, t) ∈ Q T ,

u¯¯t=0 = u0(x), x ∈ Ω0,

Bu = g(ξ, t), (ξ, t) ∈ ∪ s∈[0,T ] ∂Ω(s)

với B là toán tử điều kiện biên nào đó Đây là Bài toán thuận thời gian.

Trong thực tế, nhiều khi giá trị của u(x, t) tại thời điểmt = 0 không đượcbiết, mà ta lại biết giá trị của nó tại t = T và ta phải xác định lời giải củabài toán khi t ∈ [0, T ), đặc biệt là giá trị của u(x, t) tại t = 0, tức giá trị

ban đầu Đây là Bài toán ngược thời gian và là chủ đề nghiên cứu của

Bài toán đặt không chỉnh Hadamard cho rằng các bài toán đặt không

chỉnh không có ý nghĩa vật lý Tuy nhiên, như đã nói ở trên, nhiều bàitoán thực tiễn của khoa học và công nghệ đã dẫn đến các bài toán đặtkhông chỉnh Chính vì những lý do này mà từ đầu thập niên 50 của thế

kỷ trước, nhiều công trình nghiên cứu đã đề cập tới bài toán đặt khôngchỉnh Các nhà toán học A N Tikhonov, M M Lavrent’ev, F John, C.Pucci, V K Ivanov là những người đi tiên phong trong lĩnh vực này Kể

từ năm 1963, sau khi Tikhonov ([99]) đưa ra phương pháp chỉnh hóa cácbài toán đặt không chỉnh nổi tiếng của ông, bài toán đặt không chỉnh vàbài toán ngược đã trở thành một ngành riêng của vật lý toán và khoa họctính toán Phương trình parabolic ngược thời gian vừa được kể trên khôngnằm ngoài trào lưu này

Với các lý do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án

của mình là:"Phương trình parabolic ngược thời gian".

2 Mục đích nghiên cứu

2.1 Một trong những vấn đề cơ bản khi nghiên cứu các bài toán đặtkhông chỉnh là việc tìm các đánh giá ổn định Các đánh giá này cho tabiết bài toán "xấu" đến mức nào, để từ đó có thể đưa ra các phương pháp

số hữu hiệu Ngoài ra, các đánh giá ổn định cũng rất quan trọng trongviệc chứng minh sự hội tụ và các đánh giá sai số của các phương phápchỉnh khi giải bài toán đặt không chỉnh Cho đến nay, các đánh giá ổnđịnh cho phương trình parabolic ngược thời gian nhận được chủ yếu chophương trình tuyến tính với hệ số không phụ thuộc thời gian và điều kiệnbiên thuần nhất ([8]) Các đánh giá thường chỉ nhận được cho chuẩn L2,rất ít kết quả nhận được cho các chuẩn khác Một trong những mục đíchcủa luận án là tìm các đánh giá ổn định cho phương trình parabolic ngượcthời gian với hệ số không phụ thuộc thời gian trong chuẩn L p(p > 1) vàcho phương trình parabolic ngược thời gian với hệ số biến thiên theo thờigian trong chuẩn L2

2.2 Mục đích thứ hai của luận án là chỉnh hóa phương trình parabolicngược thời gian bằng bài toán giá trị biên không địa phương Để xấp xỉmột cách ổn định nghiệm của bài toán đặt không chỉnh, ta phải dùng cácphương pháp chỉnh hóa Các thuật toán chỉnh Tikhonov, lặp, hoặc phươngpháp bài toán liên hợp ([18], [31], [41], [56], [74], [75]), đã tỏ ra khá hữuhiệu cho phương trình truyền nhiệt ngược thời gian Tuy nhiên, các phươngpháp này còn ít được áp dụng cho phương trình parabolic ngược thời giantổng quát Trong luận án này chúng tôi phát triển luận văn cao học củamình ([1], [2]) về việc sử dụng phương pháp chỉnh hóa bằng bài toán biênkhông địa phương cho phương trình parabolic Ý tưởng chỉnh hóa phươngtrình parabolic ngược thời gian bằng bài toán biên không địa phương chophương trình parabolic được Vabishchevich ([103]) đề xuất vào năm 1981,sau đó vào năm 1985 Showalter ([93]) cũng đưa ra phương pháp tương tự;Clark và Oppenheimer ([23]) đã có một số cải tiến cho phương pháp nàyvào năm 1994 Trong luận văn cao học của mình, tác giả đã đưa ra một

số đánh giá tốt hơn cho phương pháp của các tác giả kể trên ([10], [23])

và chứng minh rằng phương pháp trên thực sự là một phương pháp hiệuchỉnh Mục đích tiếp theo là mở rộng phương pháp cho các phương trìnhphức tạp hơn, đặc biệt là phương trình parabolic ngược thời gian với hệ

số phụ thuộc thời gian

2.3 Mục đích thứ ba của luận án là nghiên cứu về sơ đồ sai phân tiến

ổn định cho phương trình parabolic ngược thời gian Trong các bài báo([29], [30], [37]), dựa trên phương pháp làm trơn của mình, Đinh Nho Hào

đã đề xuất ra các sơ đồ sai phân tiến ổn định (trong chuẩn L p) cho một

số bài toán đặt không chỉnh Áp dụng phương pháp này cho phương trìnhparabolic ngược thời gian là một điều khả thi và thú vị Tính toán trênmáy tính dựa theo sơ đồ sai phân tiến rất có hiệu quả, nên việc nghiêncứu chúng cho các bài toán đặt không chỉnh là cần thiết

3 Đối tượng nghiên cứu

Luận án tập trung nghiên cứu về các đánh giá ổn định và chỉnh hóaphương trình parabolic ngược thời gian

4 Phạm vi nghiên cứu

Luận án nghiên cứu phương trình parabolic ngược thời gian với hệ sốkhông phụ thuộc thời gian và cả hệ số phụ thuộc thời gian Luận án nghiêncứu phương trình parabolic ngược thời gian trong không gian Hilbert (L2)

và trong không gian Banach (L p, p > 1)

5 Phương pháp nghiên cứu

Chúng tôi sử dụng phương pháp lồi logarithm, phương pháp bài toán giá trị biên không địa phương và phương pháp làm nhuyễn do Đinh Nho

Hào đề xướng

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Ý nghĩa khoa học: Làm phong phú thêm các kết quả nghiên cứu vềphương trình parabolic ngược thời gian

Ý nghĩa thực tiễn: Ứng dụng vào các bài toán truyền nhiệt, đồng hóa

số liệu, xử lý ảnh,

7 Tổng quan và cấu trúc của luận án

7.1 Bài toán đặt không chỉnh Để tiện lợi cho các thảo luận vềsau, trong mục này chúng tôi trình bày các khái niệm về đánh giá ổn định

và chỉnh hóa bài toán đặt không chỉnh (xem [3])

Giả sử ta cần giải phương trình

Au = f

với A là toán tử (tuyến tính hoặc phi tuyến) từ không gian hàm X vàokhông gian hàm Y nào đó, còn f là dữ kiện đã cho thuộc không gian Y.Khi bài toán đặt không chỉnh, thì không phải với dữ kiện f nào bài toáncũng có nghiệm và thường là khi nghiệm của bài toán tồn tại (theo mộtnghĩa nào đó), thì lời giải này không phụ thuộc liên tục (theo một metricnào đó) vào dữ kiện f Do tính không ổn định này của bài toán nên việcgiải số nó gặp khó khăn Lý do là một sai số nhỏ trong dữ kiện của bàitoán có thể dẫn đến một sai số lớn bất kỳ trong lời giải Mục đích của lýthuyết bài toán đặt không chỉnh là đưa ra các phương pháp số hữu hiệu

để giải các bài toán này một cách ổn định Để đạt được mục đích đó trước

hết phải nghiên cứu về tính ổn định có điều kiện của bài toán, nghĩa là

chỉ ra một lớp M nào đó của không gian X để lời giải của bài toán thuộclớp này phụ thuộc liên tục vào dữ kiện của bài toán

Các đánh giá này không chỉ nói lên tính chất định tính của bài toán

mà còn giúp ta trong việc phát triển các phương pháp số để giải bài toán

và đánh giá sai số của phương pháp Để đơn giản, ta giả thiết rằng X và

Y là các không gian định chuẩn với chuẩn tương ứng là k · k X và k · k Y.Giả sử rằng, nếu ta chọn được một tập hợp M và biết được nếu u ∈ M

thì nó sẽ phụ thuộc liên tục vào f, nghĩa là, tồn tại một hàm ω một biếnthực, liên tục, với ω(0) = 0, sao cho

kuk X 6 ω(kf k Y ).

Đánh giá này được gọi là đánh giá ổn định ([14]) và trong trường hợp này, bài toán được gọi là ổn định có điều kiện hay ổn định theo nghĩa

Tikhonov ([56]) (Tikhonov là người đầu tiên đưa ra nhận xét này vào năm

1943 ([98])) Tập M thường là những tập mà ở đó lời giải của bài toán có

ý nghĩa vật lý, chẳng hạn như đó là tập mà ở đó lời giải bị chặn (nhiệt độhoặc vận tốc của một quá trình vật lý thì giới nội, ), hoặc đó là một tậplồi, tập các hàm không âm, tập các hàm đơn điệu, Nếu ω(t) = ct α với

α > 0 nào đó, thì ta có đánh giá ổn định kiểu H¨older và ta có một "bài

toán tốt" Nếu ω là một hàm dạng logarithm thì ta có đánh giá ổn định kiểu logarithm - đây là "bài toán xấu" Còn nếu ta không có một đánh

giá nào về tốc độ tiến tới 0 của ω(t) khi t → 0 thì ta có một "bài toán rấtxấu"

Giả sử với toán tử A và các không gian định chuẩn (X, k · k X) và

(Y, k · k Y) vừa đề cập ở trên, bài toán giải phương trình Au = f là mộtbài toán đặt không chỉnh Ngoài ra, giả sử rằng, với vế phải chính xác f¯,tồn tại một nghiệm duy nhất; nghĩa là tồn tại duy nhất u¯sao cho A¯ u = ¯ f.Trên thực tế f¯không được biết, mà ta chỉ biết phần tử f δ và số dương

δ sao cho kf δ − ¯ f k Y 6 δ Yêu cầu đặt ra là xây dựng nghiệm xấp xỉ củaphương trình – phần tử u δ sao cho u δ → ¯ u khi δ → 0 Vì bài toán đặtkhông chỉnh, chúng ta không thể sử dụng toán tử ngược A −1, nghĩa là,không thể chọn u δ = A −1 f δ Bởi vì toán tử ngược này có thể không xácđịnh tại f δ và cũng có thể không liên tục trên Y Do đó muốn xây dựngnghiệm xấp xỉ u δ, ta cần đề xuất các phương pháp chỉnh hóa Sau đây,chúng tôi nhắc lại khái niệm chỉnh hóa bài toán đặt không chỉnh (xem[27], [41], [67])

Toán tử R(f, α), phụ thuộc tham số α, bị chặn với mỗi α > 0, tác động

từ Y vàoX được gọi là chỉnh hóa cho phương trình Au = f (đối với phần

tử f¯), nếu các điều kiện sau đây thỏa mãn

1) Tồn tại hai số dương δ1 và α1 sao cho toán tử R(f, α) xác định vớimọi α ∈ (0, α1) và với mọi f ∈ Y: kf − ¯ f k Y 6 δ, δ ∈ (0, δ1);

2) Tồn tại một sự phụ thuộc α = α(f, δ) sao cho với mọi ε > 0, tồntại δ(ε) 6 δ1 thỏa mãn: với mọi f ∈ Y, kf − ¯ f k Y 6 δ kéo theo bất đẳng

thức kR(f, α) − ¯ uk X 6 ε.

Trong định nghĩa trên, nếu α được chọn không phụ thuộc f thì ta gọi

là cách chọn tiên nghiệm Nếu α được chọn phụ thuộc cả f và δ thì ta gọi

là cách chọn hậu nghiệm

7.2 Tổng quan về phương trình parabolic ngược thời gianMột trong những công trình đầu tiên nghiên cứu về phương trìnhparabolic ngược thời gian là công trình của John ([58]) công bố năm 1955.Trong [58], John đã đề xuất một phương pháp số để giải bài toán Cauchycho phương trình truyền nhiệt ngược thời gian, chứng minh phương pháp

đó ổn định trên tập các hàm số dương bị chặn Krein là người đầu tiên sửdụng phương pháp lồi logarithm để thu được các đánh giá ổn định nghiệmcho phương trình parabolic ngược thời gian với hệ số hằng số và hệ số phụthuộc thời gian trong không gian Hilbert trong công trình [63] xuất bảnnăm 1957 Tiếp theo đó các kết quả về tính duy nhất ngược cũng xuấthiện ([64], [68]) Ngoài ra, trong công trình [64], Krein đã đưa ra đánhgiá cận dưới của nghiệm Kết quả này kéo theo tính duy nhất ngược củanghiệm phương trình parabolic trong không gian Banach L p (p > 1)

Từ những công trình đầu tiên vừa đề cập ở trên, cho đến nay, hàngloạt công trình có giá trị nghiên cứu về phương trình parabolic ngược thờigian đã được công bố Các công trình này bao gồm:

1) Tính duy nhất ngược (backward uniqueness): [5], [7], [61], [62], [64],[68], [83], [91]

2) Đánh giá ổn định: [5], [6], [19], [22], [31], [33], [36], [29], [56], [63], [67],[89]

3) Phương pháp chỉnh hóa, phương pháp số ổn định và hữu hiệu:[4], [10],[12], [16], [17], [23], [29], [32], [33], [35], [36], [42], [45], [46], [47], [51], [53],[58], [66], [67], [76], [78], [79], [92], [95]

Nghiên cứu về tính duy nhất ngược nhằm trả lời cho câu hỏi: "Khi nàonghiệm của phương trình parabolic với thời điểm cuối đã biết được xácđịnh duy nhất?" Chẳng hạn, tính duy nhất ngược cho nghiệm của phương

trình parabolic tuyến tính với hệ số không phụ thuộc thời gian có thể mô

tả như sau: Cho H là một không gian Hilbert với tích vô hướng h·, ·i vàchuẩnk·k,A : D(A) ⊂ H → H là một toán tử không phụ thuộc thời gian,

tự liên hợp, xác định dương sao cho −Asinh ra một nửa nhóm co compact

{S(t)} t>0 trênH Khi đó, nếu u(t), 0 6 t 6 T là nghiệm của phương trình

u t + Au = 0, 0 < t < T thỏa mãn u(T ) = 0 thì u(t) = 0, ∀t ∈ [0, T ).Kết quả trên được phát triển theo hai hướng sau đây:

- Hướng thứ nhất nghiên cứu về tính duy nhất ngược và các đánh giácận dưới cho các nghiệm của bất phương trình vi phân chứa phương trìnhparabolic Theo hướng này, vào năm 1961, Cohen và Lees ([24]) đã thuđược đánh giá cận dưới cho các nghiệm của bất phương trình vi phân códạng

chỉ với giả thiết A là toán tử đối xứng trong không gian Hilbert H Kếtquả này kéo theo tính duy nhất ngược mà chúng tôi vừa đề cập ở trên.Trong trường hợp toán tử A tự liên hợp, năm 1963, Agmon và Nirenberg([5]) đã tìm thấy một cách chứng minh đơn giản hơn kết quả của Cohen

và Lees, cũng như một vài mở rộng của kết quả đó Đến năm 1965, Ogawa([83]) đã đơn giản hóa chứng minh của Agmon và Nirenberg với giả thiếtnhẹ hơn A là toán tử đối xứng Năm 1967, Agmon và Nirenberg ([7]) đãcông bố kết quả về tính duy nhất ngược cho nghiệm của bất phương trình

vi phân có dạng tổng quát hơn

)12

.

Ở đây B(t) (với mỗi t) là toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert

H với miền xác định D B(t), u(t) ∈ D B(t), u ∈ C1([0, T ); H), B(t)u(t) ∈ C([0, T ); H), Φ(t) là hàm đo được không âm bị chặn trên mỗi đoạn hữuhạn [0, T 0] với T 0 < T, ω(t) là hàm liên tục không âm trên [0, T ) và thỏamãn R0T ω(τ )ku(τ )k2dτ < +∞

-Hướng thứ hai nghiên cứu tính duy nhất ngược cho phương trìnhparabolic có cấu trúc phức tạp hơn hoặc điều kiện áp đặt lên các hệ số củaphương trình yếu hơn Theo hướng này, năm 2003, Kukavica ([61]) đã công

bố kết quả về tính duy nhất ngược cho phương trìnhu t −4u = w j ∂ j u+vu

với (x, t) ∈ R n × (T0, 0] Năm 2005, Santo và Prizzi ([91]) đã đưa ra kếtquả về tính duy nhất ngược cho phương trình với toán tử parabolic ngược

Một vấn đề khác được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu là tìmcác kết quả đánh giá ổn định Trong trường hợp phương trình tuyến tính

với hệ số không phụ thuộc thời gian ta có kết quả "Cho T, E, ε là các số thực dương và A là toán tử tuyến tính không bị chặn tự liên hợp xác định dương trên không gian Hilbert H , nếu u(t) là nghiệm của phương trình u t + Au = 0, 0 < t < T với ku(T )k 6 ε và ku(0)k 6 E , thì ta có đánh giá ku(t)k 6 ku(T )k T t ku(0)k 1− T t 6 ε T t E 1− T t , ∀t ∈ [0, T ]" Đây là kếtquả tối ưu (xem [96]) và có thể đạt được bằng phương pháp lồi logarithm([6], [9], [14], [27], [56], [63], [67], [79]) Kết quả trên được phát triển theo

ba hướng sau:

Thứ nhất là tìm các đánh giá ổn định nghiệm cho phương trình với hệ

số phụ thuộc thời gian, tức là trường hợp A = A(t) Như đã trình bày ởtrên, kết quả đầu tiên được Krein ([63]) công bố năm 1957 Kết quả nàyđược Agmon và Nirenberg ([5]) phát triển vào năm 1963 Từ đó tới nay, córất nhiều công trình đã trích dẫn kết quả đánh giá ổn định của Agmon vàNirenberg nhưng chưa có một công trình nào cải tiến kết quả này Trongluận án, chúng tôi chứng minh được các kết quả đánh giá ổn định nghiệm

đã nêu trong [5] không tốt hơn kết quả đánh giá ổn định nghiệm trong

trường hợp toán tử A không phụ thuộc thời gian.

Thứ hai là tìm các đánh giá ổn định nghiệm cho phương trình phituyến Hướng nghiên cứu này đến nay vẫn còn ít kết quả mặc dù nhiềubài toán thực tế dẫn ta đến phương trình phi tuyến Một vài kết quả đánhgiá ổn định nghiệm cho phương trình B¨urgers ngược thời gian - một trongnhững phương trình phi tuyến có nhiều ứng dụng nhất có thể tìm thấytrong các công trình của Carasso ([20]), Ponomarev ([89]) cũng như trongmột số công trình của Payne và cộng sự

Thứ ba là tìm các đánh giá ổn định trong trường hợp nghiệm của bàitoán được xét trong không gian Banach Hai phương pháp đã được sửdụng để thu được các kết quả trong trường hợp này là phương pháp làmnhuyễn do Đinh Nho Hào đề xuất ([29], [30], [33]) và phương pháp nửanhóm ([11])

Một điểm đáng chú ý là trong rất ít công trình đánh giá ổn định chocác đạo hàm của nghiệm được thiết lập (xem [19], [33])

Ngoài phương pháp lồi logarithm, phương pháp làm nhuyễn và phươngpháp nửa nhóm, một phương pháp khác được sử dụng để đánh giá ổnđịnh nghiệm cho các bài toán đặt không chỉnh là phương pháp đánh giáCarleman Hiện tại phương pháp này được xem là công cụ mạnh để chứngminh các đánh giá ổn định và tính duy nhất của bài toán ngược ([56],[67])

Nghiên cứu sự phụ thuộc của lời giải vào miền mà trên đó ta xét phươngtrình cũng rất có ý nghĩa vì trên thực tế, miền hình học mà trên đó tanghiên cứu phương trình thường chỉ là "gần đúng" (xem [9]) Payne ([84])

là người đầu tiên khởi xướng các nghiên cứu về sự phụ thuộc vào hình họccủa lời giải các bài toán ngược Song đây là bài toán khó Trong phươngtrình parabolic ngược thời gian, cho đến nay chúng tôi chỉ thấy kết quảcủa Crooke và Payne cho phương trình truyền nhiệt ([25])

Bây giờ chúng ta đề cập đến vấn đề chỉnh hóa phương trình parabolicngược thời gian Ta có thể chia thành ba trường hợp như sau

A) Chỉnh hóa cho phương trình tuyến tính với hệ số không phụ thuộcthời gian trong không gian Hilbert.

Xét bài toán tìm một hàm u : [0, T ] → H sao cho

là thay thế toán tử A bởi toán tử g α (A), α > 0 Cụ thể, trong [66] Lattes

và Lions đã chọn g α (A) = A − αA2, dẫn đến bài toán đặt chỉnh

Năm 1972, Gajewski và Zacharias ([45]) đã sử dụng phương pháp QR

với g α(A) = A(I + αA) −1 , α > 0 Phương pháp này còn được gọi là

phương pháp phương trình Sobolev Ưu điểm của phương pháp này ở chỗ

A(I + αA) −1 là toán tử tuyến tính bị chặn Điều này dẫn đến tính đặtchỉnh của bài toán nhiễu theo cả hai hướng thuận và ngược thời gian Hơnnữa, phương pháp này cho nghiệm xấp xỉ tốt hơn phương pháp của Lattes

và Lions Tuy nhiên, toán tử chuyển f thành v α(0) vẫn có chuẩn lớn khi

α nhỏ (có bậc e α c) Cũng với phương pháp tương tự như của Gajewski vàZacharias nhưng Ewing ([42]) sử dụng trực tiếp nghiệm của phương trình

Phát triển ý tưởng của Lattes và Lions, năm 1973, Miller ([79]) đưa ra

phương pháp ổn định tựa đảo (stabilized quasi-reversibility) hay phương pháp SQR Đầu tiên giải bài toán đặt chỉnh

½

v t + g(A)v = 0, 0 < t < T, v(T ) = f,

ở đây g(λ) xấp xỉ λ nếu λ là số dương bé nhưng g(λ) bị chặn trên khi λ

là số dương lớn Tiếp theo, K Miller sử dụng v(0) làm giá trị ban đầu chobài toán đặt chỉnh

nếu u(t) là nghiệm của (0.2) thỏa mãn điều kiện ku(0)k 6 E

Năm 1973, Buzbee và Carasso ([17]) đề xuất phương pháp phương trình dầm ngược (the backward beam equation approach) để giải phương

trình parabolic tuyến tính tự liên hợp ngược thời gian Có thể mô tảphương pháp này như sau:

Giả sử u(t), 0 6 t 6 T là nghiệm của bài toán (0.2) với ràng buộc

ku(0)k 6 E Đặt

k = 1

T lnE ε

Kí hiệu w(t), 0 6 t 6 T là nghiệm duy nhất của bài toán đặt chỉnh

w tt = Bw, 0 < t < T, w(0) = 0, w(T ) = e kT f,

trong đó B = (A − kI)2 là toán tử không âm tự liên hợp không bị chặntrên không gian Hilbert H Buzbee và Carasso sử dụng e −kt w(t) để xấp

xỉ u(t) Bằng phương pháp hàm lồi, họ chứng minh được đánh giá sai số

ke −kt w(t) − u(t)k 6 ε T t E 1− T t , ∀t ∈ [0, T ].

Việc chứng minh đánh giá sai số này khá đơn giản và đánh giá sai số đó làtối ưu (xem [96]) Trong công trình [72], Manselli và Miller đã có nhận xétrằng việc giải số phương pháp của Buzbee và Carasso gặp nhiều khó khăn

và đã đưa ra phương pháp giảm số chiều cho tính toán nghiệm số hữu hiệucho trường hợp hệ số biến thiên Các phương pháp số khác như phươngpháp phần tử hữu hạn, phương pháp phần tử biên và phương pháp rời rạchóa thời gian cũng được ứng dụng để giải phương trình parabolic ngượcthời gian ([39], [40], [46], [51], [78]) Một phương pháp số để giải bài toánparabolic ngược thời gian với toán tử elliptic không tự liên hợp có thể tìmthấy trong [47]

Tiếp theo, chúng tôi thảo luận về phương pháp bài toán giá trị biên không địa phương Nó có tên khác là phương pháp tựa giá trị biên hay phương pháp QBV Theo chúng tôi, Vabishchevich ([103]) là một trong

những người đầu tiên sử dụng phương pháp này vào năm 1981 Sau đóvào năm 1994, Clark và Oppenheimer ([23]) cũng sử dụng phương phápnày bằng cách xấp xỉ bài toán (0.2) bởi

gian có thể tìm thấy trong các bài báo [10], [26], [32], [76], [93] Gần đây,chúng tôi còn ứng dụng thành công phương pháp này tới bài toán Cauchycho phương trình elliptic ([34]).

Một phương pháp khác được ứng dụng rộng rãi cho nhiều bài toán

đặt không chỉnh khác nhau là phương pháp chỉnh hóa Tikhonov [100].

Tikhonov đã đề xuất phương án chỉnh hóa bài toán giải phương trình

Au = f trong không gian Hilbert H bằng cách lấy tối thiểu hóa phiếmhàm

kAu − f k2H + αl2(u)

theo u Ở đây, phiếm hàm l xác định không âm: l(u) > 0, thuần nhất,

l(λu) = |λ|l(u) sao cho tập {u ∈ H|l(u) 6 m} với số dương m tuỳ ý làtập compact Phiếm hàm l được gọi là phiếm hàm hiệu chỉnh, còn α > 0

được gọi là tham số hiệu chỉnh Có thể chứng minh được rằng bài toán tốithiểu hóa này có nghiệm ổn định và với cách chọn α hợp lý thì nghiệm của

nó xấp xỉ nghiệm của phương trình toán tử Ngoài ra, sử dụng các đánhgiá ổn định, ta có thể tìm được sai số của lời giải xấp xỉ này với lời giảichính xác Cần chú ý rằng, xác định tham số hiệu chỉnh α là vấn đề mấuchốt của phương pháp chỉnh Tikhonov và hiện tại có khá nhiều phươngpháp để tìm nó, chẳng hạn như phương pháp tiên nghiệm, phương phápdựa trên nguyên lý sai số của Morozov (Morozov discripancy principle),phương pháp L−đường (L− curve) ([14]), Về ứng dụng phương phápchỉnh Tikhonov cho phương trình parabolic ngược thời gian có thể tìmthấy trong công trình [43]

Ngoài các phương pháp trên, nhiều tác giả còn sử dụng phương pháplặp, phương pháp biểu diễn nghiệm ở dạng chuỗi, phương pháp sai phân,

và phương pháp làm nhuyễn (mollification method) cho phương trìnhparabolic ngược thời gian Tuy nhiên, không có một phương pháp nào là

đa năng và có thể giải quyết thấu đáo tất cả các loại bài toán

Chẳng hạn như phương pháp Tikhonov hoặc phương pháp tựa đảo đòihỏi phải giải một phương trình bậc cao gấp đôi phương trình đã có và

việc tìm tham số hiệu chỉnh là không dễ dàng Ngoài ra, rất khó sử dụngphương pháp của Tikhonov trong không gian Banach, hay nói chung làviệc nghiên cứu phương pháp chỉnh hóa trong không gian Banach chưađược phát triển.

B) Chỉnh hóa cho phương trình tuyến tính với hệ số không phụ thuộcthời gian trong không gian Banach

Để chỉnh hóa bài toán trong không gian Banach, ta có thể dùng phươngpháp làm nhuyễn Một trong những người đầu tiên ứng dụng phươngpháp làm nhuyễn cho bài toán đặt không chỉnh là Vasin ([105]), tiếp đó làMiller, Manselli ([73]) Murio và các học trò ([81]) đã phát triển phươngpháp này cho nhiều bài toán khác nhau Tuy nhiên, do chỉ sử dụng biếnđổi Fourier nên các tác giả này chỉ nghiên cứu được các bài toán trongkhông gian Hilbert L2 Vào năm 1994, Đinh Nho Hào ([29]) đã đề xuấtmột phương pháp làm nhuyễn cho các bài toán đặt không chỉnh trongkhông gian Banach Phương pháp này cho ta cách giải quyết bài toántrong trường hợp tổng quát, ứng dụng được cho hầu hết các bài toán đặtkhông chỉnh truyền thống, trong đó có phương trình parabolic ngược thờigian Hơn nữa, phương pháp này cho ta đánh giá sai số dạng H¨older và

có thể triển khai dễ dàng trên máy tính

Ngoài ra, ta có thể chỉnh hóa bài toán trong không gian Banach bằng

phương pháp nửa nhóm ([11], [48], [52], [54], [53], [55], [88]) Theo hướng

nghiên cứu này, vào năm 1998, Piskarev ([88]) đã dựa trên lý thuyết nửanhóm của các toán tử và xấp xỉ rời rạc để giải bài toán

u t = −Au(t), t ∈ [0, ∞), u(0) = x0,

trong một không gian Banach E với toán tử đóng A có miền D(A) trùmật trong E và có tập giải ρ(−A) 6= ∅ Các đánh giá sai số kiểu logarithmcũng được Piskarev đề xuất và chứng minh Đến năm 2004, Huang vàZheng ([52]) đã xem xét bài toán

u t = Au(t) (0 < t 6 T ), u(0) = x, (0.3)

với −A là toán tử sinh của một nửa nhóm giải tích góc α (0 < α < π2)

trên một không gian Banach X Tuy nhiên, họ đã không đưa ra đượctốc độ hội tụ và các phương pháp hữu hiệu để giải số Năm 2005, Ames

và Hughes ([11]) đã chứng minh được các kết quả phụ thuộc liên tụckiểu H¨older giữa nghiệm của bài toán xấp xỉ đặt chỉnh với nghiệm củabài toán đặt không chỉnh trong cả không gian Hilbert và không gianBanach Trong không gian Banach, bài toán không chỉnh được xét đến là

u t = Au(t), u(0) = x, (0 6 t < T ), với −A là toán tử sinh của nửa nhómgiải tích (holomorphic) Năm 2006, Huang và Zheng ([55]) xem xét bài toán(0.3) với Alà một toán tử xác định trù mật trong một không gian Banach

và phổ của A được chứa trong miền hình quạt (sector) thuộc nửa phảicủa mặt phẳng phức còn giải thức của A bị chặn đa thức (polynomiallybounded) Năm 2007, Hetrick và Hughes ([48]) đã mở rộng kết quả củaAmes và Hughes ([11]) cho trường hợp phương trình không thuần nhất

có dạng u t = Au(t) + h(t), u(0) = x, (0 6 t < T ). Năm 2008, Huang([54]) đã đề xuất phương pháp chỉnh hóa cho bài toán đặt không chỉnh

u t + Au(t) = 0, (0 6 t < T ), u(T ) = x, với A là toán tử không bị chặnthỏa mãn −A sinh ra một nửa nhóm giải tích bị chặn đều trên một khônggian Banach X và x ∈ X Các đánh giá sai số kiểu H¨older giữa nghiệmcủa bài toán xấp xỉ với nghiệm của bài toán đặt không chỉnh cũng được

đề xuất và chứng minh

C) Chỉnh hóa cho phương trình phi tuyến

Trong luận án tiến sỹ của mình ([42]), Ewing đã đề xuất chỉnh hóa một

số phương trình parabolic ngược thời gian bằng phương trình Sobolev Ýtưởng này đã được nhiều nhà khoa học phát triển Một trong những mởrộng thú vị nhất có thể kể ra đó là việc dùng phương trình Sobolev đểchỉnh hóa các phương trình phi tuyến ngược thời gian ([13], [69], [85],[86]) Việc nghiên cứu các phương trình Sobolev phi tuyến là một lĩnh vựchết sức sôi động trong lý thuyết phương trình đạo hàm riêng ([13]) Hơnnữa, việc dùng các phương trình Sobolev để chỉnh hóa các phương trình

parabolic phi tuyến ngược thời gian là một điều thú vị và quan trọng, vìngoài việc cho ta một phương pháp chỉnh, ta còn có thể chứng minh đượctính tồn tại nghiệm của một số phương trình parabolic ngược thời gian,hoặc thuận nghịch thời gian - vấn đề mở hết sức quan trọng và có ý nghĩatrong xử lý ảnh ([20], [28], [50], [59]).

Mặc dù phương pháp phương trình Sobolev vừa đề cập ở trên có rấtnhiều ưu điểm trong việc chỉnh hóa bài toán phi tuyến, nó cũng có nhượcđiểm là đánh giá sai số giữa nghiệm xấp xỉ và nghiệm chính xác thường

có dạng logarithm Để tăng tốc độ hội tụ, các nhà toán học còn sử dụngphương pháp phương trình tích phân ([102]) hoặc phương pháp nửa nhóm([49]) Ngoài ra, hai phương pháp lặp để xấp xỉ nghiệm của phương trìnhB¨urgers ngược thời gian cũng được đề xuất bởi Kozlov và các cộng sự([71])

với a > 1 và tham số chỉnh hóa α > 0 Chúng tôi đưa ra cách chọn tham

số hiệu chỉnh tiên nghiệm và hậu nghiệm để các phương pháp chỉnh hóabậc tối ưu Ngoài ra, chúng tôi còn thử nghiệm các phương pháp này trênmáy tính để minh chứng cho sự hữu hiệu của chúng

Trong [103], Vabishchevich đã đề xuất một phương pháp tiên nghiệmcho bài toán (0.2) nhưng không đưa ra tốc độ hội tụ như chúng tôi đã làmtrong luận án Ngoài ra, ông cũng đã đề xuất phương pháp hậu nghiệmcho bài toán (0.2) như sau:

Giải bài toán đặt chỉnh

Tuy nhiên, chúng tôi không thể chứng minh được cách làm này sẽ kéo theomột phương pháp bậc tối ưu Do đó, chúng tôi đề xuất sử dụng phươngpháp dưới đây.

của A Điều này không thường gặp trong thực tế Chúng tôi đã chứngminh trong luận án rằng ta không cần đòi hỏi u t tồn tại tại t = 0 nhưcác tác giả trên, mà chỉ cần sử dụng bài toán (0.6) ta cũng có thể nhậnđược các đánh giá ổn định so sánh được với các kết quả của họ Cụ thể,giả sử rằng A có một cơ sở gồm các vectơ riêng trực chuẩn {φ i } i>1 trong

H, tương ứng với các giá trị riêng {λ i } i>1 sao cho

với các số dương β và E1 nào đó được thỏa mãn, thì chúng ta có đánh sai

số kiểu H¨older với t ∈ (0, T ) và kiểu logarithm tại t = 0

Nếu có điều kiện mạnh hơn

Khác với trường hợp toán tử A không phụ thuộc thời gian, trường hợptoán tử A phụ thuộc thời gian phức tạp hơn nhiều vì ta không có côngthức biểu diễn tường minh nghiệm của bài toán và có rất ít kết quả vềđánh giá ổn định và chỉnh hóa bài toán trong trường hợp này Trong luận

án, chúng tôi cải tiến phương pháp của Agmon và Nirenberg ([5]) và nhậnđược các đánh giá ổn định tốt hơn của các tác giả này Ngoài ra chúngtôi còn chỉ ra rằng trong một số trường hợp đánh giá ổn định đó còn tốthơn cả trường hợp hệ số không phụ thuộc thời gian Điều đặc biệt là bằngcách sử dụng bài toán giá trị biên không địa phương, với các cách chọn

tham số tiên nghiệm và hậu nghiệm để chỉnh hóa phương trình parabolicvới hệ số biến thiên ngược thời gian chúng tôi nhận được các đánh giá sai

số kiểu H¨older Đây là kết quả duy nhất từ trước đến nay về phương phápchỉnh cho tốc độ hội tụ đối với bài toán này

Trong phần cuối của luận án, chúng tôi sử dụng phương pháp làmnhuyễn để chỉnh hóa phương trình dẫn nhiệt ngược thời gian Cụ thểchúng tôi nghiên cứu bài toán sau đây: Cho p ∈ (1, ∞), ϕ ∈ L p(R)và ε, E

là các hằng số thỏa mãn 0 < ε < E < ∞, xét phương trình truyền nhiệtngược thời gian

½

u t = uxx , x ∈ R, t ∈ (0, T ), ku(·, T ) − ϕ(·)k L p(R) 6 ε, (0.10)với ràng buộc

có thể biến đổi về bài toán trên qua một bài toán đặt chỉnh bổ trợ, do

đó chúng ta không cần nghiên cứu trường hợp này Phương trình truyềnnhiệt ngược thời gian là bài toán đặt không chỉnh: một nhiễu nhỏ trong

dữ kiện Cauchy có thể gây ra một lỗi lớn về nghiệm Để vượt qua khókhăn này, trong [29] Đinh Nho Hào đã đề xuất phương pháp nhuyễn đểgiải bài toán một cách ổn định và chứng minh các đánh giá ổn định kiểu

H¨older của nghiệm Trong luận án, chúng tôi sử dụng kỹ thuật này đểchỉnh hóa bài toán (0.10)–(0.11) Tuy nhiên, thay vì sử dụng nhân de laVallée Poussin để làm nhuyễn dữ kiện Cauchy ϕ, chúng tôi sử dụng nhânDirichlet và dữ kiện được làm nhuyễn bằng cách lấy tích chập của nhânnày với ϕ Dữ kiện được làm nhuyễn thuộc không gian các hàm có bănggiới nội (band-limited functions), trong lớp hàm này bài toán Cauchy đặtchỉnh và với cách chọn tham số nhuyễn thích hợp chúng ta đạt được đánhgiá sai số kiểu H¨older Các đánh giá ổn định cho nghiệm của bài toán(0.10)–(0.11) là hệ quả trực tiếp của các đánh giá sai số và bất đẳng thứctam giác.

Tác giả của [29] đã nghiên cứu bài toán (0.10)–(0.11) với p = 2 độc lậpvới những trường hợp còn lại vì trường hợp này dễ hơn so với các trườnghợp khác bởi chúng ta có thể sử dụng đẳng thức Parseval để đạt được cácđánh giá ổn định Trường hợp p 6= 2 khó hơn nhiều, vì chúng ta không

có đẳng thức Parseval và biến đổi Fourier của một hàm trong L p(R) với

p > 2 nói chung là một hàm suy rộng

Trong luận án này, bổ sung vào kết quả của [29] trong trường hợp p = 2,chúng tôi thiết lập đánh giá ổn định kiểu H¨older cho tất cả đạo hàm đốivới x và t của nghiệm Để ý rằng, các đánh giá như vậy rất ít khi nhậnđược trong lý thuyết các bài toán đặt không chỉnh Thật đáng tiếc, khi

p 6= 2 thì những đánh giá này vẫn là bài toán mở đối với chúng tôi

Như đã được biết, chỉ với điều kiện (0.11), chúng ta không thể hy vọng

có một sự phụ thuộc liên tục của nghiệm tại t = 0 vào điều kiện cuối Tuynhiên, ta có thể nhận được tính chất này, nếu có thêm một điều kiện về

độ trơn của nghiệm tại thời điểm ban đầu u(x, 0) (xem Nhận xét 3.2.5 vàĐịnh lý 3.2.7) Để đạt được mục đích này, hệ số chỉnh hóa thường đượcchọn phụ thuộc vào các tham số của điều kiện nguồn về độ trơn, nhưngcác tham số này nhìn chung là không được biết Để vượt qua hạn chế này,trong các Định lý 3.2.6 và 3.2.10 chúng tôi đề xuất một cách chọn tham

số làm nhuyễn chỉ sử dụng điều kiện (0.11) mà vẫn đảm bảo đánh giá sai

số kiểu H¨older trong (0, T ] và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào dữkiện bài toán tại t = 0 khi một điều kiện về độ trơn của điều kiện ban đầuđược thỏa mãn mặc dù các tham số về điều kiện này không được biết cụthể Cách chọn tham số làm nhuyễn này lý thú và hiệu quả cho việc giải

số bài toán (0.10)–(0.11)

Khi p = 2, thì biến đổi Fourier của dữ kiện đã được làm nhuyễn cógiá compact, do đó chúng ta có ít nhất hai dạng tương đương của phươngpháp làm nhuyễn: một là dạng gốc của nó, hai là ở dạng chặt cụt tần số.Hai dạng này dẫn tới hai phương pháp số khác nhau và có thể dễ dàngthực hiện trên máy tính nhờ kỹ thuật biến đổi Fourier nhanh (FFT) Cácphương pháp này đã được đề xuất trong các công trình của Đinh Nho Hàocùng các cộng sự ([30], [38]) và sẽ được giải thích chi tiết hơn trong cácmục 3.2 và 3.4 Với p 6= 2, các phương pháp trên không áp dụng được, nênchúng tôi đề xuất một sơ đồ sai phân tiến ổn định cho bài toán (0.10).Chúng tôi thử nghiệm các phương pháp trên các ví dụ số khác nhau vàthấy rằng chúng ổn định, nhanh và hiệu quả

t ∈ (0, T ] đã đạt được, các đánh giá ổn định kiểu logarithm và kiểu H¨oldertại t = 0 tương ứng được đảm bảo khi có thêm thông tin về "độ trơn" của

nghiệm tại thời điểm ban đầu Các Định lý 1.3.1, 1.3.3 trình bày các kếtquả cho cách chọn tham số tiên nghiệm và hậu nghiệm trong trường hợp

a > 1 Các kết quả này khẳng định rằng trong trường hợp a > 1 phươngpháp bài toán giá trị biên không địa phương là phương pháp có bậc tối

ưu cho cả cách chọn tham số hiệu chỉnh tiên nghiệm và hậu nghiệm Phầncuối chương 1, các ví dụ số cũng được đưa ra để minh chứng cho phần lýthuyết

Chương 2 trình bày các kết quả về đánh giá ổn định và chỉnh hóaphương trình parabolic ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời giantrong không gian Hilbert Chúng tôi đạt được đánh giá ổn định tốt hơncác kết quả của Agmon và Nirenberg Ngoài ra chúng tôi còn đưa raphương pháp chỉnh với cách chọn tham số hiệu chỉnh tiên nghiệm và hậunghiệm cho đánh giá sai số dạng H¨older – kết quả duy nhất từ trước tớinay về phương pháp chỉnh cho bài toán này

Chương 3 trình bày các kết quả ổn định cho phương trình truyền nhiệtngược thời gian trong các không gian Hilbert và Banach, cụ thể là cáckhông gian L p(R) với p ∈ (1, +∞) Các Định lý 3.2.1, 3.2.3 cho ta kết quả

ổn định và chỉnh hóa trong không gian Banach với tốc độ hội tụ như đãđạt được đối với phương trình trong không gian Hilbert Một hiệu chỉnhnhỏ cách chọn tham số ν trong Định lý 3.2.1 đảm bảo cho ta một đánhgiá ổn định kiểu H¨older với mọi t ∈ (0, T ] và sự phụ thuộc liên tục kiểulogarithm tại t = 0 khi (3.13) đúng với E˜ và γ không được biết cụ thểđược trình bày trong Định lý 3.2.6 Trong trường hợpp = 2, Định lý 3.2.7đưa ra đánh giá sai số cho tất cả các đạo hàm của nghiệm đối với x và

t Một hiệu chỉnh nhỏ việc chọn tham số ν trong Định lý 3.2.7 đảm bảo

sự phụ thuộc liên tục kiểu logarithm tại t = 0 khi (3.17) đúng với E˜ và

γ không được biết cụ thể được trình bày trong Định lý 3.2.10 Phần cuốichương 3 dành cho việc trình bày sơ đồ sai phân tiến ổn định và các ví dụsố

Các kết quả chính của luận án đã được trình bày tại seminar của phòng

Phương trình vi phân, Viện Toán học, seminar của tổ Giải tích thuộc KhoaToán trường Đại học Vinh, các Hội nghị NCS của trường Đại học Vinhcác năm 2006 - 2009, Hội thảo tối ưu và tính toán khoa học lần thứ 6 ở Ba

vì - Hà nội năm 2008, Hội nghị quốc tế về phương trình vi phân và ứngdụng, Hà nội, tháng 5 năm 2009, Hội nghị khoa học kỷ niệm "Nửa thế kỷtrường Đại học Vinh anh hùng" Ngoài ra, các kết quả của luận án cònđược GS Đinh Nho Hào báo cáo tại các trường Đại học Potsdam, Đại họcSiegen, Đại học Frankfurt, Đại học Bremen (CHLB Đức), Đại học Leeds(Vương Quốc Anh)

Các kết quả này cũng đã được đăng ở các tạp chí Journal of matical Analysis and Applications, Inverse Problems và IMA Journal

Mathe-of Applied Mathematics.

Luận án này được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướngdẫn của GS TSKH Đinh Nho Hào và PGS TS Đinh Huy Hoàng Tácgiả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới GS TSKH ĐinhNho Hào, người đã đặt bài toán, giúp đỡ tận tình, chu đáo trong suốt quátrình tác giả thực hiện luận án Tác giả cũng xin được bày tỏ lòng biết ơnsâu sắc của mình tới PGS TS Đinh Huy Hoàng, người đã tạo điều kiệnthuận lợi nhất để tác giả tập trung học tập và nghiên cứu

Trong quá trình viết và chỉnh sửa bản thảo luận án, tác giả đã nhậnđược sự quan tâm và góp ý của PGS TS Trần Văn Ân, PGS TS NguyễnThành Quang, TS Nguyễn Trung Thành, cùng các nhà khoa học và bạn

bè đồng nghiệp Tác giả xin chân thành cảm ơn về sự giúp đỡ quý báunày

Tác giả xin được cảm ơn Khoa Toán, Khoa sau đại học, Tổ Giải tích,Bam chủ nhiệm Khoa Toán, Ban Giám hiệu, các phòng ban chức năngthuộc Trường Đại học Vinh đã tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoànthành nhiệm vụ của một nghiên cứu sinh Tác giả xin tỏ lòng biết ơn tới

Mẹ, các anh chị của tác giả và những người bạn thân thiết đã luôn tạođiều kiện, động viên, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập

PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC NGƯỢC THỜI GIAN VỚI

HỆ SỐ KHÔNG PHỤ THUỘC THỜI GIAN

Xét phương trình parabolic ngược thời gian

và v(t) = 0, 0 6 t 6 T là nghiệm của phương trình

½

v t + Av = 0, 0 < t < T, v(T ) = 0.

không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện tại thời điểm cuối t = T

Để chỉnh hóa bài toán, ta giả thiết thêm rằng

28

các tạp chí Journal of Mathematical Analysis and Applications ([32])

và IMA Journal of Applied Mathematics ([35]).

Định nghĩa 1.1.1 Cho H là không gian Hilbert thực với tích vô hướng

h·, ·i và chuẩnk·k,a và T là các số thực dương Không gian C([0, aT ]; H)

bao gồm tất cả các hàm liên tục u : [0, aT ] → H với

kuk C([0,aT ];H) = max

Để phát biểu các kết quả, chúng tôi thường xuyên sử dụng hai hàm số

H(η) và C(x, y) được định nghĩa như sau

Định nghĩa 1.1.3 Hàm số H(η) được xác định bởi

Ta có thể chứng minh kết quả sau đây một cách dễ dàng

Bổ đề 1.1.4 Nếu x, y là các số không âm và z là một số dương, thì

¢ α 1− p q e −p

Từ đây ta suy ra kết luận của bổ đề

Ký hiệu w α(t) là nghiệm của bài toán

hu(0), φ n i = exp(λ n T ) hu(T ), φ n i (1.10)

Bổ đề 1.1.6 Ta có bất đẳng thức sau đây

kw α ((a − 1)T ) − vα((a − 1)T )k 6 H

µ1

gian bằng bài toán giá trị biên không địa phương

A Các kết quả chính

Để đơn giản, Trong mục này ký hiệu nghiệm của bài toán (1.11) là v(t)

Định lý 1.2.1 Nếu u(t) thỏa mãn điều kiện (1.2), thì bất đẳng thức sau đây đúng

Định lý 1.2.3 Giả sử rằng thay vì (1.2), chúng ta có (1.14), khi đó với mọi t ∈ [0, T ) bất đẳng thức sau đây là đúng

Ã

e λ1T

λ β(t)1 C(t)

!1− t T

Đặt C = ( 1−δ T )β C(0) −1 E1 Giả sử rằng (T λ1e

β )β E1 > 1 Khi đó

ln

µ(T λ1e

Trước tiên, ta chứng minh một số kết quả bổ trợ sau

Bổ đề 1.2.6 Nếu v(t) là nghiệm của (1.11), thì

kf k2 > α2kv(0)k2+ (2α + 1)kv(T )k2.

Chứng minh Ta có

kf k2 = hαv(0) + v(T ), αv(0) + v(T )i

= α2kv(0)k2 + kv(T )k2 + 2α hv(0), v(T )i (1.16)Đặt h(t) := hv(t), v(T − t)i , t ∈ [0, T ] Bằng tính toán trực tiếp, ta thấyrằng h 0 (t) = 0, ∀t ∈ (0, T ) Do đó, h là hàm hằng Điều này kéo theo

Từ (1.17) và (1.18) ta nhận được kf k2 >

µ1

Nhận xét 1.2.10 Từ các Bổ đề 1.2.8, 1.2.9 và bất đẳng thức tam giác

ta nhận được mệnh đề của định lý vớiQ(t, α) được thay thế bằng K(t, α)

Ta biết rằng, với mọi t ∈ [0, T ],

Chứng minh Công thức biểu diễn (1.22) cho ta kv(0)k 6 α1kf kvà kv(T )k

6 kf k, nên bổ đề được chứng minh với t = 0 và t = T Bây giờ ta chứngminh trường hợp t ∈ (0, T ) Áp dụng Bổ đề 1.1.4 với

e λ1T

λ β(t)1 C(t)

!1− t T