chỉnh hóa phương trình parabolic ngược thời gian bằng phương trình sobolev

7 Chương 2: Phương pháp dùng phương trình Sobolev chinh hóa phương trình parabolic tuyến tính ngược thời gian .... 17 Chương 3: Phương pháp dùng phương trình Sobolev chỉnh hóa phương trì

MUC LUC

Trang

LỜI NÓI ĐẦU 2

Chương 1:Một số kiến thức bổ trợ 5

1.1 Một số kiến thức về giải tích hàm ð 1.2 Không gian Sobolev 7

Chương 2: Phương pháp dùng phương trình Sobolev chinh hóa phương trình parabolic tuyến tính ngược thời gian 14

2.1 Giới thiệu bài toán 14

2.2 Tính đặt chỉnh của bài toán 15

2.3 Chỉnh hóa bài toán 17

Chương 3: Phương pháp dùng phương trình Sobolev chỉnh hóa phương trình parabolic phi tuyến ngược thời gian 20

3.1 Giới thiệu bài toán 20

3.2 Tính đặt chỉnh của bài toán 22

3.3 Chỉnh hóa bài toán 28

KẾT LUẬN 2222222222 e 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO 33

Bài toán ngược cho phương trình đạo hàm riêng thường xuyên xuất hiện trong nhiều lĩnh vực khác nhau của công nghệ địa vật lý, thủy động học, v học, sinh học, xử lý ảnh, Đó là những bài toán khi các dữ kiện của quá trình vật lý không đo đạc được trực tiếp mà ta phải xác định

chúng từ những dữ kiện đo đạc gián tiếp nên chúng sẽ không tránh khỏi những sai số Chính vì thế ta cần có những phương pháp giải các bài

toán này, sao cho khi sai số của các dữ liệu càng nhỏ thì nghiệm xấp xỉ

tìm được càng gần đúng với nghiệm ban đầu xuất phát

Trong luận văn này, tôi đề cập tới lời giải của các phương trình Parabolic tuyén tinh ngược thời gian và phương trình Parabolic phi tuyến

ngược thời gian khi điều kiện ban đầu không được biết mà ta phải xác định nó khi biết điều kiện cuối cùng

Bài toán kể trên được gợi tắt là đặt không chỉnh Tính đặt không

chỉnh của bài toán trên làm cho việc tìm lời giải gặp nhiều khó khăn

Để xấp xỉ một cách ổn định tới nghiệm của bài toán, ta cần đề xuất các

phương pháp chỉnh hoá

Trong luận án tiến sỹ của mình ([3]), ÐĐwing đã đề xuất chỉnh hoá một

số phương trình Parabolic ngược thời gian bằng phương trình Sobolev

ý tưởng này đã được nhiều nhà khoa học phát triển Một điều thú vị có

thể kể ra đó là việc dùng phương trình Sobolev để chỉnh hoá các phương

trình phi tuyến ngược thời gian (Í2], [3], [4], [5]) Vì ngoài việc cho ta

một phương pháp chỉnh còn có thể chứng minh được tính tồn tại nghiệm của một số phương trình Parabolic ngược thời gian, hoặc thuận nghịch

thời gian Dây là một vấn đề mở hết sức quan trọng và có ý nghĩa trong

2

Trong chương này, chúng tôi trình bày lại một số kiến thức cơ bản

cua giai tích hàm và giải tính thực cần thiết cho luận văn

Chương 2: Phương pháp dùng phương trình Sobolev để chỉnh hóa phương trình Parabolic tuyến tính ngược thời gian

Chúng tôi xét bài toán tìm một hàm u : [0, 7] —> H sao cho

Sai số này tốt hơn nhiều so với sai số mà Ewing đưa ra

Chương 3: Phương pháp dùng phương trình Sobolev để chỉnh hóa phương trình Parabolic phi tuyến ngược thời gian

Ta xét bài toán

w+ Au= f(t,u(t)), 0 <t <7,

với ràng buộc ||¿(0)|| < ?#, trong đó 4 là toán tử dương, không bị chặn,

tự liên hợp, > c > 0 là các số thực đã cho và ƒ thỏa mãn điều kiện

Lipschitz

Và ta cho wa(t) 1A nghiém yéu của bài toán

Wat + @AWet + Awa = f(t, wa(t)), O<t<T, (4)

- Tài liệu tham khảo

Luận văn được bắt đầu thực hiện từ tháng 6 năm 2011 Sau một

thời gian học tập, nghiên cứu và thực hiện đến nay luận văn đã được

hoàn thành Để có được kết quả như mong muốn tôi luôn nhận được sự

quan tâm, chỉ bảo, sự giúp đỡ tận tình của thầy giáo hướng dẫn: Tiến sĩ

Nguyễn Văn Đức Nhân dịp này, tôi xin trân trọng gửi lời cảm ơn sâu sắc

nhất của mình tới thầy giáo hướng dẫn và các thầy cô giáo thuộc khoa

toán - Đại học vinh Người đã truyền đạt những kiến thức bổ ích cho tôi

và các học viên cao học khóa 1ï - Nơi tôi được học tập và nghiên cứu

trong suốt hơn 2 năm qua Mặc dù đã có nhiều cố gắng, xong luận văn

không thể tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót, rất mong sự đóng góp

ý kiến của các thầy cô cùng các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn

Nghệ An, tháng 12 năm 2011

Hoàng Thị Hải

CHUONG 1

MOT SO KIEN THUC BO TRG

1.1 Một số kiến thức về giải tích hàm

1.1.1 Không gian Banach

Cho X là không gian tuyến tính thực

Định nghĩa 1.1 Ánh xạ ||||: X — E được gọi là chuẩn nếu

(i) |u|] > 0, Vu X;

(ii) ul] = 0 u=0:

(iii) |[Aul] = |Al|lul], Yu € X,A € R;

(v) llư + ll < [lull + [lol] Wu,0 € X

Không gian tuyến tính trang bị chuẩn được gọi là không gian tuyến

tính định chuẩn

Không gian Banach X là không gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ

1.1.2 Không gian Hilbert

Cho H là không gian tuyến tính thực

Định nghĩa 1.2

1 Ánh xạ (,):Hx H +R duoc goi la tich v6 hướng nêu

(9) (u,v) = (v,u), Vu,v € H;

(ii) Anh xa u +> (u,v) 1a tuyén tinh véi moi v € A;

(iii) (u, u) > 0;

(iv) (u,u) =0 «=0

Không gian Hilbert là một không gian Banach với chuẩn được sinh ra

bởi một tích vô hướng

2 (i) Hai phan tit u,v € H 1a true giao néu (u,v) = 0;

(ii) Mot co sé dém được {u¿}¿>¡ C 1! là một cơ sở trực chuẩn, nếu

a Toán tử tuyến tính trong không gian Banach

Cho X và Y là các không gian Banach thuc

Định nghĩa 1.3

(i) Anh xa A: X + Y gọi là toán tử tuyến tính nếu

A(Au + pv) = A\Au t+ pAv, Vu,v € X,A, ER

(ñ) Toán tử tuyến tính A: X — Y là b¿ chăn nếu

|| All = sup{]|Aully|llullx < 1} < 00

b Toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert

Cho H là không gian Hilbert với tích vô hướng (.,.)

Định lý 1.5 Giả sử A4: 7ƒ —> ïï là toán tử tự liên hợp Khi đó,

() Giá trị riêng của 4 là số thực;

-1

(ïñ) Các vectơ riêng ứng với các giá trị riêng khác nhau là trực giao

1.1.4 Ánh xạ co và nguyên lý điểm bất động

Định nghĩa 1.6 Cho một không gian metric X bất kỳ Một Anh xa P

từ X vào chính nó gọi là ánh zạø co, nếu có một số Ø < 1 sao cho với mọi

4,#a € X, ta có

p(P(a1), P(ae)) < Ap(ai, x2),

trong đó ø là metric của không gian metric X

Trong một phép ánh xạ từ X vào chính nó có thể có những điểm mà ảnh của nó trùng với chính nó, tức là những điểm x sao cho P(x) = x

gọi là điểm bất động của ánh xạ

Định lý 1.7 Mợi ánh xa co P từ một không gian metric du X vao

chính nó đều có một điểm bat động duy nhất

1.2.1 Không gian C*(O)

Với © là một miền trong R”, ta có các định nghĩa va các ký hiệu sau Định nghĩa 1.8

(Ù) C*(©) là tập hợp tất cả các hàm xác định trên © sao cho đạo hàm

đến cấp k tồn tại và liên tục trên ©

(v) CR(Q) = N=, C#(Q) 1a tap hdp tat ca cdc ham khả vi vô hạn với

giá compact nam trong 2

(vi)C*(©) là tập hợp các hàm có đạo hàm đến cấp k trong © va lién tục trên Ô

1.2.2 Không gian L„

Trong không gian định chuẩn có một lớp không gian Banach đặc biệt quan trọng, đó là không gian lạ

Định nghĩa 1.9 Cho một không gian ) tà một độ đo trên một ơ -

đại số F` các lập con của 9 Họ tất cả các hàm số ƒ(%) thủa mãn

[lfPdu < +00 vii (l<p<o)

ọ

gợi là không giưn Lp(©, 4)

Khi © là một tập đo được Lebesgue trong R” va là một độ đo

Lebesgue, thì ta viết „(©)

Tap hop L,(Q, ø) là một không gian vectơ định chuẩn với phép toán thông thường về cộng hàm số, nhân hàm số với số và với chuẩn

Ifllp = / LfPdy | Vf € I„(9.m)

Định lý 1.10 Gia stt Q 1A một miền trong R” , 1 < p < oo Khi đó, ta

có các tính chất sau:

(i) T;(O) là một không gian Banach

(1ñ) Tập hợp tất cả các hàm liên tục trong © với giá compact trù mật

trong „(9)

(1i) Tồn tại một tập con đếm được các phần tử của không gian L;(Ô)

sao cho bao tuyến tính của nó trù mật trong L,()

1.2.3 Đạo hàm suy rộng

Định nghĩa 1.11 Giả sử Q là một miền trong R*” Một hàm (+) €

Tạ(Q) được gọi là đạo hàm suy rộng cấp œ của hàm v(x) € L;(©) nếu

[au)tz)A =(_—I)!*L J 0(z).D*œ(+)d+, Vụ e C@(©),

ở đây œ = (ơi.œ¿ œ„) được gọi là đa chỉ số là vectơ với các tọa độ

nguyên không âm, |ơ| = ơi + œ¿ + + ơ„ và Ï)* = ope

Dinh lý 1.12 Đạo hàm suy rộng có các tính chất sau đây:

() Đạo hầm suy rộng cấp œ của œ nếu tồn tại thì được xác định duy nhất (sai khác trên một tập có độ đo không)

(ii) Néu f € Cl*!(Q) thi ƒ có đạo hàm suy rộng cấp œ và

2a

Nếu f;, i = 1,2, c6 dao ham suy rong D* f; thi e¡ ƒị-+caƒa, c¡ là các hằng

số, cũng có đạo hàm suy rong cap a va D* (i fitefe) =a D* fiteD® fo (iii) Dao ham suy rong khong phy thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm

(iv) Mot ham c6 dao ham thong thudng (dao ham theo nghia cé dién) cấp œ thì có đạo hàm suy rộng cấp œ nhưng điều ngược lại không đúng

(v) Một hàm có đạo hàm suy rộng cấp œ trong miền © thì nó cũng có

đạo hàm suy rộng cấp œ trong mién 1 CQ

(vi) Dao ham suy rộng 2% tồn tại không cần giả thiết các đạo hàm cấp thấp hơn tương ứng tồn tại (các đạo hàm cấp thấp hơn có thể không tồn tại)

Ví dụ 1.13 Xét hàm số ƒ(z) = |z| trên khoảng (—1, 1)

* ƒ(œ) có đạo hàm thông thường tại moi x # 0:

* Tai « = 0 khong t6n tai dao ham

Ta sé chttng minh ƒ(+) = |+| có đạo hàm suy rộng trên khoảng (—1, 1)

0

[dears [ode == f wode

Như vậy, ham f(x) = |+| không có đạo hàm thông thường trên (—1, 1)

nhưng có đạo hàm suy rộng trên khoảng đó

1.2.4 Không gian Sobolev

Nửa cuối thế kỷ 20, S.L Sobolev giới thiệu khái niệm đạo hàm suy rộng,

đưa ra một số lớp không gian con của Ƒ„, mà sau này được gọi là không gian Sobolev và thiết lập các tính chất quan trọng của chúng

Định nghĩa 1.14 Cho & là số nguyên không âm, p là số thực thỏa mãn

1 <p<œ Ta định nghĩa:

11

a WA(©) là tập hợp tất cả các hàm ø € Lạ(Q) sao cho với mỗi đa chỉ

số œ, |a| < k, đạo hàm suy rộng Ï)*w tồn tại và thuộc vào Ƒ„(9)

Khi đó, (9) là một không gian Banach

Định nghĩa 1.16 Không gian W2(©) với chuẩn

1 Từ tính chat Lp(Q) la không gian đầy đủ ta suy ra I2(©) cũng là

không gian đầy đủ

2 Lo(Q) la khong gian HilberL suy ra WZ(O) cũng là không gian Hilbert Trong trường hợp này, để thuận lợi người ta ký hiệu

12

Dinh ly 1.19 /7!(O) là không gian Hilbert với tich vo huéng (-,-), va

Hk (Q) la khong gian Hilbert véi tich vo hung (-,-),

1.2.5 Không gian phụ thuộc thời gian

Cho X là không gian Banach thực với chuẩn || - |

Định nghĩa 1.21 Không gian

L,((0 7]; X

gồm tất cả các hàm đo được 0 : [0,7] —> X với

P

(i) Well, qo,71:x) °= fiat )||fdt | < với l<p< ©, và

(1) |lu| (o].x) := sup |lu(t)|| < % te{0,T|

Dinh nghĩa 1.22 Không gian

C((0.7]: X)

bao gồm tất cả các hàm liên tục œ : [0,7] —> X với

7 -x) = max t)||< œ

|ItÌc(o.I.x) max II+(/)|

Định nghĩa 1.23 Cho + € L¡(|0, T]; X) Ta nói rằng ö € L¡(Í0,7]; X)

là đạo hàm suy rộng của œ và viết — 0 nếu:

(¡) Không gian Sobolev W;([0, T]: X) gồm tất cả các hàm ø € L;(Í0, 7]: X)

sao cho dao ham suy rộng œ/ tồn tại và thuộc Ƒ„(|0 T]; X) Hơn nữa,

1

Nella ocrexy — (fP Ile(2)|P + Iler()|P4))” với (1< p < 00) ,

(ii) u(t) = u(s) + ƒw(r)ảr với mỗi < s << T7

(ii) Hơn nữa, ˆ

a t)|| <C 71(10.T)-X) >

jax llu()|[ < Cllullwagoz).xy:

hằng số C chỉ phụ thuộc vào T

CHUONG 2

PHƯƠNG PHÁP DÙNG PHƯƠNG TRÌNH SOBOLEV ĐỀ

CHỈNH HÓA PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TUYẾN

TÍNH NGƯỢC THỜI GIAN

Trong chương này, chúng tôi giới thiệu bài toán Parabolic tuyến tính,

thông qua cách lựa chọn hợp lý tham số œ và một số phép biến đổi nhằm đánh giá sai số, cải tiến kết quả của Ewing

Xét bài toán tìm một hàm 4 : |0, T]Ì > H sao cho

với toán tử dương tự liên hợp không bị chặn A có một cơ sở gồm các

vectơ riêng trực chuẩn {ó;};>¡ trong không gian Hilbert 77 với chuẩn ||-||

tương ứng với các giá trị riêng {A;};>¡ sao cho

0<À¡ <À¿< im Xi = +00 vac >0 f € H da cho

Ta thay rang v,(t) = eM bn, 0<t<T, lA nghiém của phương

15

1 ¢An(T-t)

Xn €

không phụ thuộc liên tục vào đữ kiện tại thời điểm cuối £ = T

— +oœo khi n —> +oœc Điều này chứng tỏ lời giải của bài toán

Ewing ([3]) sử dụng nghiệm của phương trình Sobolev

Vat Ð Âu; + Auy—=0 với << T, (3.2)

để làm nghiệm xấp xỉ cho bài toán (2.1) Với giả thiết

bằng cách chọn œ — 7/In(Ƒ/e), Ewing đưa ra đánh giá sai số kiểu

logarithm véi moi t € (0; 7]

2.1 Tính đặt chỉnh của bài toán (2.2)

2.1.1 Bổ đề Nếu +(0) là nghiệm trong C'((0,T) : TT) C((0,7) : TT)

của phương trinh

16

Như vậy, ø(/) là hàm đồng biến Điều này kéo theo g(t) < g(T) hay

Ie(9< «ø (“Ƒˆ) lu()l, ve |0.7i

Từ Bổ đề 2.1.1 ta có định lý sau

2.1.2 Dịnh lý Nếu œ„(£) là nghiệm của bài toán (2.2) thà

T—†

Định lý 2.1.2 kéo theo tính duy nhất nghiệm và sự phụ thuộc liên tục

của nghiệm vào dữ kiện ƒ của bài toán (2.2)

2.1.3 Định lý Đài toứn (2.2) có nghiệm

Từ đánh giá (2.6) ta thấy về phải của (2.5) là một chuỗi hội tụ trong

TT Do đó, công thức (2.5) có nghĩa Rõ ràng va(T) = ° (f,On) bn =

L]

Từ các Định lý 2.1.2, 2.1.3 ta kết luận được bài toán (2.2) đặt chỉnh

2.2_ Đánh giá sai số

Một bài toán được gọi là đặt chỉnh nếu nó thỏa mãn ba điều kiện a)

có có nghiệm, b) nghiệm duy nhất, c) nghiệm phụ thuộc liên tục (theo một tôpô nào đó) theo dữ kiện của bài toán Nếu ít nhất một trong ba

điều kiện này không thỏa mãn thì ta nói rằng bài toán đặt không chỉnh

Giả sử bài toán (2.1) có nghiệm u(t) thoa man điều kiện (2.3) Gọi

We(t) 1a nghiém của bài toán

{in + aAwea + Awe =0, 0<t< T,

2.2.1 Định lý Nếu uạ(£) là nghiệm của bài todn (2.2) va wa(t) la nghiém của bài toán (2.8) thà

T

a

IIwa(t) — va(t)|| < cx ( ) =, We [0.7]

Chiing minh Dat z(t) = wa(t)—va(t), Vt © [0,7] Khi đó, z(£) là nghiệm

của bài toán