Dáng điệu phân rã khi thời gian lớn của phương trình động lực học với nhiễu ngẫu nhiên

Luận văn, khóa luận, chuyên đề, tiểu luận, quản trị, khoa học, tự nhiên, kinh tế

MỤC LỤC

Mở đầu 2

1 Một số kiến thức chuẩn bị 8 1.1 Các kiến thức cơ bản 8

1.1.1 Công thức Itô 8

1.1.2 Bổ đề Borel - Cantelli 9

1.1.3 Bất đẳng thức Gronwall 10

1.1.4 Tính tồn tại và duy nhất nghiệm 10

1.2 Một số bổ đề quan trọng 11

2 Ổn định hầu chắc chắn 19 2.1 Định lý 19

2.2 Ví dụ 28

3 Sự ổn định hầu chắc chắn của hệ nhiễu 36 3.1 Định lý 36

3.2 Ví dụ 44

4 Sự ổn định hầu chắc chắn của hệ trễ ngẫu nhiên 46 4.1 Định lý 46

4.2 Ví dụ 53

Kết luận 55

MỞ ĐẦU

Lý thuyết phương trình vi phân ngẫu nhiên đã có lịch sử lâu đời vàđạt được nhiều thành tựu rực rỡ về cả lý thuyết và ứng dụng Trong cácbài toán lý thuyết, việc nghiên cứu tính ổn định của các phương trình viphân ngẫu nhiên là bài toán rất quan trọng Các tài liệu về sự ổn định

mũ của mô men cấp p hoặc ổn định mũ hầu chắc chắn cũng rất phongphú Tuy nhiên, trong một vài trường hợp, khi ổn định mũ của hệ ngẫunhiên không xảy ra, tức là hệ có thể ổn định tiệm cận nhưng tốc độ dần

về 0 có thể chậm hơn thì sự hiểu biết về tốc độ ổn định của hệ cũngquan trọng đối với nhiều bài toán hệ điều khiển thực Mặt khác, đối vớimột vài phương trình vi phân ngẫu nhiên, dường như sẽ hữu ích nếu ta

mở rộng việc phân tích ổn định mũ thông thường bởi việc phân tích ổnđịnh với một lớp hàm phân rã ổn định tổng quát hơn Sau đây chúng tahãy nghiên cứu các ví dụ sau:

Ví dụ 0.1 Xét phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô một chiều

dXt = − l

1 + tXtdt + (1 + t)

−l

dWt, t ≥ 0,với điều kiện ban đầu X0 = x0 ∈ R1, trong đó l > 12 là một hằng số và

Wt là một chuyển động Brown một chiều

Dễ dàng thấy phương trình có nghiệm hiển

−l

√2t log log tt

= lim sup

t→∞

√2t log log t

log t − llog (1 + t)

log t ,và

lim

t→∞

log (1 + t)log t = 1.

Hơn nữa từ luật lôgarít lặp ta dễ dàng chứng minh được rằng

log |x0 + Wt|

1

2.Vậy,

lim sup

t→∞

1log t log |Xt| = −l + 1

2 hầu chắc chắn.

Tức là, quỹ đạo của nghiệm hiển Xt tiến tới 0 với tốc độ giảm của hàmlũy thừa tα (α ≈ −l + 12) với xác suất một.

Thực tế ta thấy có những phương trình mà nghiệm của nó tiến tớikhông còn chậm hơn hàm lũy thừa Thật vậy, xét ví dụ sau đây:

Ví dụ 0.2 Xét phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô một chiều

dXt = −

1

2 (1 + t) +

q(1 + t) log (1 + t)



Xtdt+ (1 + t)−1/2(log (1 + t))−qdWt, t ≥ 0,

với điều kiện ban đầu X0 = x0 ∈ R1 , trong đó q ≥ 0 là một hằng sốkhông âm và Wt là một chuyển động Brown một chiều

Dễ dàng thấy phương trình có nghiệm hiển

log (1 + t)log t − qlog log (1 + t)

Tức là, nghiệm tại thời điểm này không ổn định đa thức Tuy nhiên, nếu

q > 0, thì nghiệm là ổn định với tốc độ O (log t) Thật vậy, từ công thứccủa nghiệm hiển Xt ta có

Dễ thấy

lim

t→∞

log log (1 + t)log log t = 1.

Hơn nữa từ luật lôgarít lặp, ta suy ra với mọi ε > 0 và t đủ lớn ta có

log |x0 + Wt| − 1

2 log (1 + t)log log t

≤ 12

Lẽ tự nhiên, câu hỏi nảy sinh từ các ví dụ trên là: Chúng ta có thểxét sự ổn định với hàm phân rã tổng quát thay cho hàm mũ của một vàiphương trình vi phân ngẫu nhiên được không? Nói cách khác, cho mộthàm tốc độ dương, tăng thích hợp λ (t), với giả thiết nào thì nghiệm củaphương trình vi phân ngẫu nhiên tiệm cận về 0 với hàm vận tốc λ (t) đãcho?

Bài toán ổn định tiệm cận theo nghĩa mô men cấp p hoặc ổn địnhtiệm cận hầu chắc chắn của phương trình ngẫu nhiên đã được nghiên cứunhiều trong các tài liệu Arnold [1], Bell và Mohammed [2], Has’minskii[3] Ladde và Lakshmikantham [4], Lakshmikantham [5], Kolmanovskii

và Myshkis [6], và Kolmonovskii và Nosov [7] đã đưa ra các điều kiện đủ(và trong một vài trường hợp là điều kiện cần) cho một số phương trình

vi phân ngẫu nhiên, chẳng hạn như phương trình vi phân trễ, phươngtrình hàm để đảm bảo cho ổn định tiệm cận mũ trên không gian hữuhạn chiều Một vài kết quả đã được mở rộng lên không gian vô hạn chiềucho các nghiệm mạnh hoặc nghiệm yếu bởi Chow [8], Haussmann [9], vàIchikawa [10].

Luận văn này đề cập đến sự ổn định hầu chắc chắn với các hàm phân

rã tổng quát nào đó Đó là loại ổn định mà người ta thường thấy trongcác bài toán vật lý Chúng ta sẽ phát triển một chương trình Lyapunovvới các tiêu chuẩn ổn định hầu chắc chắn có quan hệ tới các phươngtrình vi phân ngẫu nhiên Itô tổng quát Để dễ hiễu, chúng ta nghiên cứuphương trình vi phân ngẫu nhiên theo chuyển động Brown mặc dù cóthể mở rộng hầu hết các kết quả với Mactingale tổng quát Cụ thể:Chương 1 nêu ra một số kiến thức cơ bản mà luận văn sử dụng;Thành lập một vài kết quả sơ lược liên quan đến phương trình vi phânngẫu nhiên và các phép toán có vai trò quan trọng trong những phầnsau; Đưa ra một định nghĩa chính xác về tính ổn định hầu chắc chắn vớimột hàm phân rã tổng quát

Chương 2 xét sự ổn định của các phương trình ngẫu nhiên Itô tổngquát và đưa ra các điều kiện đủ khác nhau đảm bảo dáng điệu ổn địnhhầu chắc chắn với hàm phân rã tổng quát

Chương 3 tập trung thiết lập các kết quả ổn định cho một lớp các hệngẫu nhiên bị nhiễu

Chương 4 nói về các phương trình ngẫu nhiên với thời gian trễ.Trong mỗi một chương, một số ví dụ được nghiên cứu để minh hoạcho lý thuyết

Để hoàn thành được luận văn này, Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn

sâu sắc đến TS Lê Hồng Lan - Trưởng Khoa Khoa học cơ bản - TrườngĐại học Giao thông Vận tải, người đã trực tiếp hướng dẫn tác giả; Đồngthời Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến GS.TS NguyễnHữu Dư và nhóm Semina của Bộ môn Toán sinh thái - Khoa Toán -Trường Đại học Khoa học Tự nhiên đã giúp đỡ tác giả rất nhiệt tìnhtrong việc góp ý, tìm tài liệu tham khảo và bổ trợ kiến thức để hoànthành tốt luận văn này.

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song trong quá trình thực hiện khôngtránh khỏi những khiếm khuyết, sai sót, vì vậy Tác giả rất mong đượccác Thầy Cô giáo và bạn bè đồng nghiệp góp ý kiến chân thành để kếtquả luận văn được hoàn thiện hơn

Tác giả xin chân thành cảm ơn!

a Công thức Itô một chiều.

Lấy x (t) , t ≥ 0 là một quá trình Itô một chiều có vi phân ngẫunhiên

dx (t) = f (t) dt + g (t) dWtvới f ∈ L1(R+; R) và g ∈ L2(R+; R) Lấy V ∈ C2,1(R × R+; R).Khi đó V (x (t) , t) cũng là một quá trình Itô với vi phân ngẫu nhiênxác định bởi

Lấy x (t) , t ≥ 0 là một quá trình Itô n - chiều có vi phân ngẫu nhiên

dV (x (t) , t) = [Vt(x (t) , t) + Vx(x (t) , t) f (t)

+12

Ak



= 1

Có nghĩa là tồn tại một tập Ω0 ∈ F với P (Ω0) = 1 sao cho với mọi

ω ∈ Ω0 tồn tại một dãy con {Aki} sao cho ω luôn thuộc Aki

1.1.3 Bất đẳng thức Gronwall

Chọn T > 0 và c ≥ 0 Chọn u (.) là một hàm Borel không âm, bịchặn, đo được trên [0; T ], và v (.) là một hàm khả tích không âm trên[0; T ] Khi đó, nếu

1.1.4 Tính tồn tại và duy nhất nghiệm

Cho (Ω, F , P ) là một không gian xác suất đầy đủ với bộ lọc {Ft}t≥0thỏa mãn các điều kiện thông thường (tức là, nó liên tục phải và F0

chứa mọi tập P có độ đo không) Xét phương trình vi phân ngẫu nhiênItô n−chiều

dx (t) = f (x (t) , t) dt + g (x (t) , t) dW (t) trên t0 ≤ t ≤ T

với điều kiện ban đầu x (t0) = x0 ∈ Rn Trong đó W (t) = (W1(t), ,

ngẫu nhiên Ft0 đo được và nhận giá trị trong Rn với t0 ≤ t < T < ∞;

f : Rn × [t0, T ] → Rn và g : Rn × [t0, T ] → Rn×m là hai hàm Borel Sauđây là định lý về tính tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình viphân ngẫu nhiên vừa cho:

Định lý 1.1 Giả sử tồn tại hai hằng số dương K và K sao cho

(i.) (Điều kiện lipschitz) Với mọi x, y ∈ Rn và t ∈ [t0, T ]

|f (x, t) − f (y, t)|2 ∨ |g (x, t) − g (y, t)|2 ≤ K|x − y|2;

(ii.) (Điều kiện tăng không quá tuyến tính) Với mọi x, y ∈ Rn× [t0, T ]

|f (x, t)|2 ∨ |g (x, t)|2 ≤ K1 + |x|2

.Khi đó tồn tại duy nhất nghiệm x (t) của phương trình đã cho và nghiệmnày thuộc M2([t0, T ] ; Rn)

sẽ giả sử rằng Phương trình 1.1 có một nghiệm toàn cục duy nhất được

kí hiệu là Xt(x0) ∈ Rn

Kí hiệu C2,1(Rn× R+

; R+), hoặc đơn giản C2,1(Rn × R+) là họ tất

cả các hàm V (x, t) : Rn × R+

→ R+ có đạo hàm riêng cấp 2 theo x

và đạo hàm riêng cấp một theo t là các hàm liên tục Nếu V (x, t) ∈

C2,1(Rn× R+) , ta định nghĩa các toán tử L và Q như sau:

Z T 0

|g (t)|2dt < ∞ hầu chắc chắn,

trong đó |·| biểu thị cho chuẩn ma trận

Sau đây là một bổ đề có vai trò quan trọng trong luận văn

g (s) dWs− α

2

Z t 0

Ngoài ra, trong quá trình chứng minh các kết quả chính của luậnvăn, chúng ta còn sử dụng đến các bổ đề sau đây.

Bổ đề 1.2 Cho T > 0 và g (t) là hàm liên tục không âm xác định trên[0, T ] Giả sử h (t) : [0, T ] → R+ là một hàm Borel bị chặn và h0 > 0 làmột hằng số dương Giả sử

h (t) ≤ h0 +

Z t 0

g (s) h (s) (h (s) + 1) dsđúng với mọi 0 ≤ t ≤ T Khi đó,

h (t) ≤ h0e

R t

0 g(s)ds

1 − (eR0tg(s)ds − 1)h0đúng với mọi t ∈ [0, T ] sao cho (eR0tg(s)ds− 1)h0 < 1

Chứng minh Xem tài liệu tham khảo [12]

Bổ đề dưới đây về bất đẳng thức Gronwall mở rộng sẽ được dùng đểgiải quyết tính ổn định theo quỹ đạo cho hàm Lyapunov dạng lũy thừaphân thức

u (s) h(s)αds, 0 ≤ t ≤ T

Khi đó,

h (t) ≤

w(t)1−α+ (1 − α)

Z t 0

u (s) ds

1−α1, 0 ≤ t ≤ T

Chứng minh Xem tài liệu tham khảo [12]

Cho l > 0 và δ (.) : [0, +∞) → [0, l] là hàm liên tục bị chặn nào đó.

Bổ đề sau sẽ được sử dụng để nghiên cứu tính ổn định của các phươngtrình vi phân ngẫu nhiên với thời gian trễ

Bổ đề 1.4 Giả sử T > l > 0 và h (t) là một hàm liên tục, không âm xácđịnh trên [−l, T ] Chọn w (t) là hàm liên tục, không âm, không giảm xácđịnh trên [0, T ] và u (t) , v (t) là hai hàm liên tục, không âm xác địnhtrên [0, T ] Khi đó, nếu

h (t) ≤ w (t) +

Z t 0

u (s) h (s) ds +

Z t 0

v (s) h (s − δ (s)) ds, 0 ≤ t ≤ T

(1.3)thì với 0 ≤ t ≤ T, ta có

h (t) ≤



w (t) +

Z l 0

v (s) ds

sup

u (s) ds +

Z t 0

u (s) h (s) ds +

Z t 0

v (s) h (s − δ (s)) dsthì z (t) là hàm không giảm Từ (1.3) chúng ta có

−l≤r≤0

h (r)



- Nếu 0 ≤ s − δ (s) ≤ l thì theo (1.5) ta có h (s − δ (s)) ≤ z (s)

Từ đó ta có

h (s − δ (s)) ≤

sup

−l≤r≤0

h (r)

+ z (s) , 0 ≤ s ≤ l

u (s) z (s) ds +

Z l 0

v (s)

sup

−l≤r≤0

h (r)

ds+

Z t 0

v (s) z (s) ds

≤ w (t) +

sup

−l≤r≤0

h (r)

 Z l 0

v (s) ds+

Z t 0

v (s) ds

sup

u (s) ds +

Z t 0

v (s) ds

.Thay kết quả này vào (1.5) ta suy ra điều phải chứng minh

Bổ đề 1.5 Giả sử T > l > 0 và h (t) là một hàm liên tục, không âm,xác định trên [−l, T ] Lấy w (t) là một hàm liên tục, không âm, khônggiảm, xác định trên [0, T ] và u (t) , v (t) là hai hàm liên tục, không âm

0 ≤ β < 1 và δ (t) được định nghĩa như ở trên Khi đó, nếu

h (t) ≤ w (t) +

Z t 0

u (s) h (s) ds +

Z t 0

v (s) h(s − δ (s))βds, (1.6)

v (s) ds

1−β1, (1.7)

u (s) h (s) ds +

Z t 0

v (s) h(s − δ (s))βdsthì z (t) là hàm không giảm Từ (1.6) chúng ta có

Hơn thế nữa, tương tự như lý luận trong chứng minh Bổ đề 1.4 ta có

h (s − δ (s)) ≤

sup

−l≤r≤0

h (r)

+ z (s) , 0 ≤ s ≤ l

u (s) z (s) ds + 2β

Z l 0

v (s)

sup

−l≤r≤0

h (r)

β

ds+ 2β

Z t 0

v (s) ds + 2β

Z t 0

v (s) z(s)βds+

Z t

Bây giờ, sử dụng bổ đề Gronwall ta có

v (s) ds + 2β

Z t 0

v (s) z(s)βds

)

· exp

Z t 0

u (s) ds



v (s) z(s)βds

exp

Z t 0

u (s) ds



v (s) ds

1−β1

≤ exp

1

1 − β

Z t 0

u (s) ds

n

N (t)1−β

+2β (1 − β)

Z t 0

v (s) ds

1−β1,khi đó điều cần chứng minh (1.7) được suy ra từ (1.8)

Chúng ta kết thúc chương này bằng việc đưa ra định nghĩa tính ổnđịnh hầu chắc chắn với hàm vận tốc phân rã λ (t) của phương trình viphân ngẫu nhiên dạng (1.1)

Định nghĩa 1.1 Giả sử hàm dương λ (t) ↑ +∞, khi t → +∞, xác địnhvới mọi t đủ lớn, tức là t ≥ T ≥ 0 Giả sử:

1 log λ (t) là liên tục đều trên t ≥ T

2 Tồn tại một hằng số không âm τ ≥ 0 sao cho

lim sup

t→∞

log log tlog λ (t) ≤ τ

với mọi x0 là một biến ngẫu nhiên F0− đo được, nhận giá trị trong Rn

Rõ ràng, nếu hàm phân rã λ (t) là et, t > 0 thì dẫn tới ổn định mũthông thường

Ta cũng lưu ý rằng, trong chương này ta sử dụng τ được cho trongĐịnh nghĩa 1.1, tức là

lim sup

t→∞

log log tlog λ (t) ≤ τ

Định lý 2.1 Giả sử V (x, t) ∈ C2,1(Rn× R+

; R+) và ψ1(t) , ψ2(t) làhai hàm liên tục không âm Giả sử rằng tồn tại các hằng số dương p >

0, m > 0 và các số thực µ, ν, θ và ξ (t) > 0 là một hàm không giảm saocho

Khi đó nghiệm của Phương trình (2.1) thỏa mãn

V (Xt, t) = V (x0, 0) +

Z t 0

LV (Xs, s)ds+

Z t 0

−

Z t 0

Đặc biệt, lấy

u = 2ξ k

2N

, v = ξ k

2N, k = 2, 3, ,

và áp dụng bổ đề Borel-Cantelli ta suy ra tồn tại một số nguyên k0(, ω) >

0 với hầu khắp ω ∈ Ω sao cho

2N

 Z t 0

Z t 0

LV (Xs, s) ds+

Z t 0

Z t 0

LV (Xs, s) ds+

Z t 0

Z t 0

Z t 0

ψ1(s) ds

#

· exp

Z t 0

ψ2(s) ds



hầu chắc chắn, (2.5)

Z t 0

ψ1(s) ds

#

+

Z t 0

ψ2(s) ds hầu chắc chắn,

với 0 ≤ t ≤ 2kN , k ≥ k0(, ω) ∨ k1()

Vì vậy, từ điều kiện 3 của định lý và tính liên tục đều của log λ (t) tasuy ra: với  > 0 cho trước, tồn tại một số nguyên dương k2(, ω) saocho

Cho  → 0 ta có

lim suplog V (Xt, t)

log λ (t) ≤ ν ∨ µ + τ + θ

Cuối cùng, sử dụng điều kiện 1 ta có

R t

0 ψ 3 (s)ds log λ(t) ≤ ρ (1 − α) , lim inft→∞log λ(t)log ξ(t) ≥ −µ

Khi đó nghiệm của phương trình (2.1) thỏa mãn

Z t 0

(ψ1(s) + ψ2(s) V (Xs, s) + ψ3(s) V (Xs, s)α) ds (2.8)

ψ1(s) ds

+

Z t 0

ψ3(s) V (Xs, s)αds

exp

Z t 0

ψ1(s) ds

exp

Z t 0

ψ2(s) ds

1−α

+ (1 − α) exp

Z t 0

ψ2(s) ds

 Z t 0

Z t 0

ψ1(s) ds

!1−α

+ (1 − α)

Z t 0

ψ3(s) ds

exp

Z t 0

ψ1(s) ds

!1−α

+

Z t 0

ψ3(s) ds

log k − 1

2N



· exp

Z t 0

ψ2(s) ds

1−α1

với mọi 0 ≤ t ≤ 2kN, k ≥ k0(, ω) ∨ k1()

Do đó, từ điều kiện 3 và tính liên tục đều của log λ (t) ta suy ra: với

 > 0 cho trước, tồn tại một số nguyên dương ngẫu nhiên k2(, ω) sao

log V (Xt, t) ≤ 1

1 − αlog

h

V (x0, 0) + e(µ+).λ(t)(µ+)+ λ(t)(θ+)

i1−α

+λ(t)(1−α)(ρ+)

o+ (ν + ) log λ (t) + log logk − 1

lim sup

t→∞

log V (Xt, t)log λ (t) ≤ µ ∨ θ ∨ ρ + ν + τ

logλ(t)−mV (Xt, t)

log λ (t)

≤ −m − [(µ ∨ θ ∨ ρ) + τ + ν]

Đây chính là điều phải chứng minh

Định lý sau, đặc biệt là hệ quả của nó, đóng vai quan trọng trongviệc nghiên cứu cái gọi là làm ổn định ngẫu nhiên

Định lý 2.3 Giả sử nghiệm của phương trình 2.1 thỏa mãn Xt(x0) 6= 0với mọi t ≥ 0 hầu chắc chắn với điều kiện x0 6= 0 hầu chắc chắn Giả

sử V (x, t) ∈ C2,1[(Rn− {0}) × R+

; R+] và ψ1(t) ∈ R1, ψ2(t) ∈ R+, t ∈

R+ là hai hàm thực liên tục Giả sử rằng với mọi x 6= 0 và t ≥ 0, tồn tạicác hằng số p > 0, m > 0, γ ≥ 0, µ ≥ 0, 1 > α > 0 và số thực θ ∈ R1sao cho

1 |x|pλ(t)m ≤ V (x, t) , (x, t) ∈ (Rn

− {0}) × R+;

R t

0 ψ 2 (s)ds log λ(t) ≥ 1−α2γ ,lim supt→∞log λ(t)log t ≤ µα2

Khi đó nghiệm của phương trình (2.1) thỏa mãn

và áp dụng bổ đề Borel-Cantelli ta suy ra: tồn tại một số nguyên

k0(ε, ω) > 0 với hầu hết mọi ω ∈ Ω sao cho

Thay kết quả này vào (2.9) và sử dụng các điều kiện 2 và 3 trong định

lý, ta suy ra: với  > 0 cho trước, tồn tại một số nguyên dương ngẫunhiên k2(, ω) sao cho hầu chắc chắn

log V (Xt, t) ≤ log V (x0, 0) + 2α−1log k − 1

Đây chính là điều phải chứng minh

Bằng phương pháp chứng minh tương tự, ta dễ dàng suy ra hệ quảsau:

Hệ quả 2.1 Giả sử nghiệm của phương trình 2.1 thỏa mãn Xt(x0) 6= 0với mọi t ≥ 0 hầu chắc chắn với điều kiện x0 6= 0 hầu chắc chắn Giả

với điều kiện ban đầu X0 = x0 ∈ R1, trong đó l > 12 là một hằng

số, g (.) : R1 → R1 là hàm liên tục Lipschitz không tuyến tính với

|g (x)| ≤ M, ∀x ∈ R1, M ≥ 1 (trường hợp g (.) = 1 chúng ta có Ví dụ

Chúng ta xây dựng một hàm Lyapunov như sau:

n(1 + t)−lg (x)o

o2n2(1 + t)2lx

log M2tlog t = 1;

1

1 − δ.

(1 + t)1−δ − 1log t = 0 (do δ > 1) ;

log log tlog t = 0.

Thay các kết quả vừa tính vào (2.2) ta được

hầu chắc chắn

Cho δ → 1, ta suy ra, với bất kì l > 12, nghiệm của phương trình đã cho

là ổn định đa thức hầu chắc chắn Hơn nữa, chúng ta có

lim sup

t→∞

1log t log |Xt| ≤ −



l − 12



hầu chắc chắn

Nhận xét 2.1 Thay đổi một chút trong Ví dụ 2.1, ta thu được hệ quả

rõ ràng hơn sau đây

Xét phương trình Itô một chiều

dXt = −lXtdt + (1 + t)−ldWt, t ≥ 0với điều kiện ban đầu X0 = 0, trong đó l > 0 là một hằng số

Dễ thấy phương trình này có nghiệm hiển

Xét phương trình Itơ chiều

dXt = −lXtdt + (1 + t)−ldWt, t ≥ 0với điều kiện ban đầu X0 = 0, l > số

Dễ thấy phương trình. .. nguyên

k0(ε, ω) > với hầu hết ω ∈ Ω cho

Thay kết vào (2.9) sử dụng điều kiện định

lý, ta suy ra: với  > cho trước, tồn số nguyên dương ngẫunhiên k2(, ω)... trình 2.1 thỏa mãn Xt(x0) 6= 0với t ≥ hầu chắn với điều kiện x0 6= hầu chắn Giả

với điều kiện ban đầu X0 = x0 ∈ R1,