chỉnh hóa phương trình parabolic ngược thời gian bằng phương trình dầm ngược

Phương trình parabolic ngược thời gian thường xuyên xuất hiện trong lý thuyết truyền nhiệt, khi ta xác định nhiệt độ tại một thời điểm nào đó trong quá khứ qua nhiệt độ đo đạc được tại t

MỤC LỤC

Trang MUC LUG 000 c cece eee c ec ec ec eceveveeeeseveses 1

LỜI NÓI ĐẦU 2

Chương 1:Một số kiến thức bổ trợ 6

1.1 Khái niệm bài toán đặt không chỉnh và các ví dụ 6

1.1.1 Khái niệm bài toán đặt không chỉnh 6

1.1.2 Các ví dụ về bài toán đặt không chỉnh 8

1.1.3 Phuong trinh parabolic ngược thời gian là bài toán đặt không ChỈnh Q2 Q n n n n n nh nh ko kh nhà kg 17 1.2 Khái niệm về họ các toán tử chỉnh hóa và các tính chất cơ bản 19 1.2.1 Khái niệm về họ các toán tử chỉnh hóa 19

1.2.2 Các tính chất cơ bản của toán tử chỉnh hóa_ 20

Chương 2: Một phương pháp chỉnh hóa phương trình parabolic ngược thời gian 24

2.1 Chỉnh hóa phương trình parabolic tuyến tính ngược thời gian bằng phương trình dầm ngược 24

2.2 Chỉnh hóa phương trình parabolic phi tính ngược thời gian bằng phương trình đầm ngược 32

KẾT LUẬN 22222222222 hà 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO 36

Bài toán ngược cho phương trình đạo hàm riêng thường xuyên xuất hiện trong nhiều lĩnh vực khác nhau của công nghệ địa vật lý, thủy động

học, y học, xử lý ảnh đó là những bài toán khi các dữ kiện của quá

trình vật lý không đo đạc được trực tiếp mà ta phải xác định chúng từ những dữ kiện đo đạc gián tiếp Trong luận văn này, chúng tôi đề cập tới phương trình parabolic ngược thời gian Đó là bài toán cho phương

trình parabolic khi điều kiện ban đầu không được biết mà ta phải xác định nó khi biết điều kiện cuối cùng

Phương trình parabolic ngược thời gian thường xuyên xuất hiện trong

lý thuyết truyền nhiệt, khi ta xác định nhiệt độ tại một thời điểm nào đó trong quá khứ qua nhiệt độ đo đạc được tại thời điểm hiện tại, bài toán

này thường xuyên xuất hiện trong địa vật lý Trong bài toán về nước ngầm, để xác định việc truyền tải của các chất gây ô nhiễm tại một vùng

nước ngầm người ta dùng phương trình khyếch tán-đối lưu (phương trình parabolic) ngược thời gian với đo đạc ở thời điểm hiện tại Phương trình parabolic ngược thời gian cũng thường xuyên xuất hiện trong khoa học vật liệu, xử lý ảnh các bài toán này nghiên cứu khá nhiều, tuy nhiên

cũng chỉ cho một lớp phương trình đặc biệt, hơn nữa việc đề xuất các phương pháp giải gần đúng các bài toán này luôn là vấn đề được đề cập

đến

Bài toán kế trên đặt không chỉnh theo nghĩa J.S.Hadamard (1865 - 1963) Một bài toán được gọi là đặt chỉnh nếu nó thỏa mãn ba điều kiện a) nó có nghiệm, b) nghiệm duy nhất, c) nghiệm phụ thuộc liên tục (theo

một tôpô nào đó) theo dữ kiện của bài toán Nếu ít nhất một trong ba

2

điều kiện này không thỏa mãn thì ta nói rằng bài toán đặt không chỉnh

Nhiều bài toán thực tiễn của khoa học và công nghệ đã dẫn đến các

bài toán đặt không chỉnh, khi nghiên cứu các bài toán đặt không chỉnh

là việc tìm các đánh giá ổn định Các đánh giá này cho ta biết bài toán

"xấu" đến mức nào để từ đó đưa ra một số phương pháp hữu hiệu Để

xấp xỉ một cách ổn định nghiệm của bài toán đặt không chỉnh, ta phải dùng các phương pháp chỉnh hóa như: phương pháp tựa đảo, phương pháp phương trình Sobolev, phương pháp bài toán giá trị biên không địa phương đã tỏ ra khá hữu hiệu cho phương trình truyền nhiệt ngược thời gian trong trường hợp tuyến tính (ƒ = 0)

Ý tưởng chỉnh hóa phương trình parabolic ngược thời gian bằng

phương trình đầm ngược (the backward beam equation approach) được

Buzbee và Carasso đề xuất vào năm 1973, tác giả đã đưa ra phương pháp phương trình dầm ngược để giải phương trình parabolic tuyến tính tự liên hợp ngược thời gian Một đặc điểm quan trọng của phép xấp xỉ này

là nó không giới hạn tới phương trình parabolic đối với một công thức

rõ ràng về toán tử nghiệm Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu bài toán sau đây

Cho 7ï là không gian Hilbert với tích vô hướng (-,-) và chuẩn || - |

Giả sử © là một giới hạn miền xác dinh trong R” với một C® biên Ø9,

với ƒ(œ) € I^(©) đã cho và hằng số dương đã biết ở, Af, 7, tìm tất các

nghiệm của hệ phương trình

u=0, cEQQ, 0<t<T với rằng buộc

lu(-,O)Ilz2 <M,

trong đó A là toán tử Laplacian trong ©, chúng tôi xấp xỉ bài toán (1)-(2)

bởi bài toán phương trình dầm ngược

Mục tiêu của luận văn này là

- Chứng minh phương trình dầm ngược (3) là bài toán đặt chỉnh

- Đưa ra phương pháp chỉnh hóa nghiệm phương trình parabolic tuyến

tính ngược thời gian (1)-(2) đã nêu và đánh giá sai số

- Đưa ra phương pháp chỉnh hóa nghiệm phương trình parabolic phi

tuyến ngược thời gian (4)-(5) đã nêu và đánh giá sai số

Với mục tiêu trên, chúng tôi nghiên cứu và viết luận văn với cấu trúc

Trong chương 1, trình bày một số kiến thức liên quan bổ trợ cho nội

dung chương 2, cụ thể là khái niệm bài toán đặt không chỉnh, các ví dụ,

khái niệm về họ các toán tử chỉnh hóa và các tính chất cơ bản

Trong chương 2, tìm hiểu một phương pháp chỉnh hóa nghiệm của

phương trình parabolic ngược thời gian dạng (1)-(2) và dạng (4)-(5)

Ở chương này, để chỉnh hóa nghiệm của bài toán ( 1)-(2) chúng tôi sử

dụng nghiệm 0(f) = e #!⁄(:,#) của bài toán phương trình dầm ngược

đặt chỉnh (3) làm nghiệm xấp xỉ cho bài toán (1)-(2) Và chứng minh

rang néu k = (j) In (5) trong (1)-(2) va u(x, ¢) là nghiệm bất kì của (1)-(2) thì ta luôn có

le “f+ø(-,£) — u(-,£)||z < AMI9*31”, vị e |0, TỊ (6)

Vì khả năng của bản thân còn hạn chế nên luận văn sẽ không tránh

khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được sự góp ý của thầy cô

và các bạn

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của thầy giáo, TS Nguyễn Văn Đức, sự giúp đỡ của các thầy cô giáo trong tổ Giải tích, khoa toán-trường Đại học Vinh cùng với gia đình và ban bè Tác giả

xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo, Ts Nguyễn Văn Đức-người

đã dành cho tác giả sự quan tâm giúp đỡ tận tình trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn đến Ban chú nghiệm khoa, các

thầy cô trong khoa Toán-trường Đại học Vinh đã trang bị kiến thức và

kinh nghiệm bổ ích cho tác giả trong thời gian học, xin cảm ơn tập thể cao học 17-Giải Tích đã tạo điều kiện giúp đỡ cho tác giả trong quá trình

học tập và hoàn thành luận văn

Xin tran trọng củm on Nghệ An, tháng 12 năm 2011

Tác giả

CHƯƠNG 1

MOT SO KIEN THUC BO TRG

1.1 Khái niệm bài toán đặt không chỉnh và các ví

dụ

1.1.1 Khái niệm bài toán đặt không chỉnh

Khái niệm về bài foán chỉnh được J Hadamard đưa ra khi nghiên cứu

về ảnh hưởng của các điều kiện biên lên nghiệm của các phương trình

elliptic cũng như parabolic Việc tìm nghiệm + của bất kì một bài toán

nào cũng phải dựa vào dữ kiện ban đầu ƒ, có nghĩa là z = R(ƒ) Ta sẽ

coi nghiệm cũng như các dữ kiện đó là những phần tử thuộc không gian

X và Y với các độ đo tương ứng là

li — z:|lx và l1 — /|ly, #i,z3 € X: J €Y

Giả sử đã có một khái niệm thế nào là nghiệm của một bài toán Khi

đó, bài toán tìm nghiệm « = R(f) được gọi là ổn định trên cặp không

gian (X,Y), nếu với mỗi số e > 0 có thể tìm được một số ổ(£) > 0, sao

cho từ

Il fi — fally < d(e) ta có |l+ì — %2||x < €,

6 day a — R(fI), sa — R›), xì, ra €X;:Í]h, J €Y

Định nghĩa 1.1

Bài toán tìm nghiệm z € X theo dữ kiện ƒ € Y được gọi là bà¿ toán

chỉnh trên cặp không gian định chuẩn (X,Y), nếu có

“I

e Véi méi f € Y, ton tai nghiém x € X;

e Nghiém x do được xác định một cách duy nhất;

e Bài toán này ổn định trên cặp không gian (X, Y)

Một thời gian dài người ta cho rằng mọi bài toán đặt ra đều thỏa mãn ba

điều kiện trên Nhưng trên thực tế chỉ ra rằng quan niệm đó là sai lầm Trong tính toán, các bài toán thực tế bằng máy tính luôn diễn ra quá trình làm tròn số, chính sự làm tròn đó dẫn đến các kết quả sai lệch đáng

kể Nếu ít nhất một trong ba điều kiện trên không thỏa mãn, bài toán tìm nghiệm được gọi là bài toán không chỉnh Đôi khi người ta gọi

là bài toán đặt không chính quy hoặc bài toán thiết lập không

đúng đắn Bài toán có thể thiết lập không đúng đắn trên cặp không

gian định chuẩn này, nhưng lại thiết lập đúng đắn trên cặp không gian định chuẩn khác Đối với bài toán tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình

A(x) = f(x)(*), f € Y (trong do A là một toán tử từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y nào đó) dữ kiện ban đầu ở đây

chính là toán tử 4 và về phải ƒ

Giả sử rằng toán tử A cho trước một cách chính xác, còn về phải ƒ cho bởi ƒ; với sai số ||ƒs — ƒl|y < ð Như vậy, với (ƒ;, ở) ta cần phải tìm một

phần tử z¿ € X hội tụ đến nghiệm chính xác zo của phương trình (+) khi

öð — 0, phần tử z¿ có tính chất như vậy được gọi là nghiệm xấp xỉ của bài toán không chỉnh trên Nếu kí hiệu Q¿ = {z € X : ||A(+) — ƒ#|ly < of,

thì nghiệm xấp xỉ của phương trình trên phải nằm trong tập Q¿ Nhưng

rất tiếc là tập Q¿ này lại quá lớn, tức là có các phần tử cách nhau rất xa Chính vì vậy, không phải tất cả các phần tử của Q¿ có thể coi là nghiệm xấp xỉ của(x) được Vì lẽ đó, bài toán đặt ra là phải chọn phần tử nào của Q¿ làm nghiệm xấp xỉ cho (+) Muốn thực hiện việc chọn đó cần thiết

phải có thêm các thông tin khác nữa về nghiệm chính xác zạ Việc sử dụng thông tin định lượng dẫn đến phương pháp tựa nghiệm, còn dùng

thông tin định tính (tính trơn hoặc tính đơn điệu của nghiệm ) cho ta xây dựng thuật toán tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán không chỉnh (+) 1.1.2 Các ví dụ về bài toán đặt không chỉnh

Sau đây chúng tôi đưa ra một số ví dụ về loại các bài toán đặt không

chỉnh

1.1.2.1 Ví dụ hệ phương trình đại số tuyến tính

Nhiều bài toán thực tế được quy về giải hệ đại số tuyến tính, trong

đó có một sự thay đổi nhỏ hệ số của hệ phương trình dẫn đến thay đổi

lớn nghiệm của hệ, thậm chí làm cho hệ trở nên vô nghiệm hoặc vô định

Những hệ phương trình đại số tuyến tính có tính chất như vậy được gọi

là hệ phương trình điều kiện xấu Ma trận 4 tạo bởi hệ số của hệ phương trình này được gợi là ma trận điều kiện xấu

có nghiệm là z¡ — 5ð, z¿ — —8 ta thấy một sự thay đổi nhỏ của hệ số và

về phải trong phương trình thứ hai kéo theo những thay đổi đáng kể của

nghiệm Vậy hệ phương trình đó được gợi là hệ điều kiện xấu

—73 78,01 24 det | 92 66 25) & —28, 199999003

—80 37 10

—73 78 24 det {92,01 66 25] = 2,0800007556

—80 37 10

—73 78 24 det {| 92 66 25 = —118, 93999938

—80 37 10,01 1.1.2.2 Ví dụ về tính đạo hàm của một hàm số

Vi dụ 1.4 Gia stt ham y = f(x) c6 dao ham Ta can tinh đạo hàm

thi hy nhd bao nhiêu ta sẽ nhận được xấp xỉ tốt Liệu hx càng nhỏ có

cho ta xấp xỉ càng tốt hơn không? Để trả lời cho câu hỏi này ta xét ví

dụ sau

Cho ƒ(z) = e* Tính đạo hàm /f(1) với hạ = {10}”* cho ta kết quả

Nếu k = 10 thi Dy =0 ma ƒ“(1) © 2.718282,

Néu k = 5 thi D; = 2,7183 ma f'(1) & 2, 718282

Như vậy khi k = 5 thì tỷ số sai phân cho ta xấp xỉ tốt hơn cả

1.1.2.3 Ví dụ về cực trị của hàm số

Ví dụ 1.5 Xét bài toán ¿(y) = ø trên đoạn thang y = Apx + yo chita

trong phần tư thứ nhất của mặt phẳng XOY, trong đó > 0 và À¿ là

các số cho trước Giả sử Às = 0 và thay cho À¿ ta có À¿ : ||A¿ — Aa|| <

xét các trường hợp:

10

® À¿ >0, thay đường thẳng # — o ta có đường thẳng đi: : 1 — Às#-/

Giá trị cực tiểu của hàm ¿() trên một phần của đ¡ nằm trong vùng {z > 0, > 0} đạt được tại điểm (0, yo) điều đó có nghĩa là

® À; > 0, thay đường thẳng y = y ta co dung thang dy : = À¿#-L0

do À¿ < 0 nên dy cat true OX tại một điểm z;(ở) nào đó Giá trị cực tiểu của hàm ¿(ø) trên một phần của đạ nằm trong vùng {z >0, > 0} đạt được tại điểm (z¿(ỏ),0) tức tại

e Giá trị nhỏ nhất của J(u) 1a J* = 0

e Tập lồi giải ={u | <0}

e Xét dãy uy = Èk là dãy tối thiểu hóa lim J(k) = 0, nhưng k = I,2,

0

11

toán trên hội tụ đến nghiệm của bài toán trong chuẩn Lạ[0, 1] Tuy nhiên,

tồn tại dãy tối thiểu hóa không hội tụ đến œ„(£) trong chuẩn C[0, 1] là

định khi hệ số của chuỗi có sự thay đổi nhỏ Tuy nhiên, nếu xét trong

xấp xỈ eạ với sai số khá nhỏ, thì các chuỗi Fourier tương ứng ở trên cũng sai khác nhau không nhiều trong "20, z|

1.1.2.6 Ví dụ về xét bài toán Cauchy cho phương trình Laplace hai chiều

Ví dụ 1.9 Xét bài toán

Cu Pu

(s0) = fla), 5rly-0= ola), se < x < 400,

(ở đây f(x) va v(x) 1a cdc ham cho trudéc)

a

e Néu lay f(z) = fi(x) = g(x) = yi(x) = tsin(ax) thi nghiém

4 Sin(ax)sh(ay),a > 0

cha bai todn trén 1a u(x, a

e Nếu lấy f(x) = fo(x) = ¢(x) = a(+) = 0 thì nghiệm của bài toán (1.7) là œ¿(z,) = 0 Với khoảng cách giữa các hàm cho trước và nghiệm được xét trong độ đo đều ta có

fi — fell = sup |fi(x) — (z)|=0,

1

|: — 2|] = sup |yi (x) — 2(3)| = a

+

13

Với a khá lớn thì khoảng cách ||¿¡ — ựa|| lại khá nhỏ Trong khi đó,

khoảng cách giữa các nghiệm

llui — wei] = sup Jan (x, y) — ue(x, y)|

với > 0 cố định lại lớn bất kì Do đó bài toán không ổn định

1.1.2.7 Ví dụ về phương trình tích phân Fredholm loại I

l2: — #2 = max |pi(s) — #s(s)|- s€la,b]

Sự thay đổi vế phải được đo bằng độ lệch trong ⁄a[c, đị tức là khoảng cách giữa hai hàm ƒ¡(f), fo(t) trong Le{c, d] la

1

2

d

li — fallzatea = | fi(t) — f(t) [Pat

Giả sử phuong trinh (1.8) cé nghiém yo(s) Khi đó, với về phải

b filt) = fo(t)4 v | K(t, s) sin(ws)ds

a

có thể lấy đủ nhỏ khi ¿ — œ Trong khi đó

ko — #¡l[ = max |øo(s) — #¡(5)| = |NỊ, s€Ía,b]

có thể lớn tùy ý Khoảng cách giữa hai nghiệm 4ø và ¿¡ trong Ƒ›[a, b] cũng có thể lớn bất kì

= iy? 5 t— — — đ)) cos(œ(b + a)}

15

Dễ dang chon N, w sao cho || fo — fillzejeq rất nhỏ nhưng vẫn cho kết quả |l¿o — #i|Ìr;(a») rất lớn

1.1.2.8 Ví dụ về bài toán xác định của hàm bởi hệ số Fourier

Ví dụ 1.11 Lấy một dãy của {u„} € L; đã cho Xác định hàm z(z):

là bài toán đặt chỉnh Bây giờ, chứng tổ bài toán này đặt không chỉnh

nếu z € C[0, 7] va u = {un} € L› Thật vậy, nghiệm của bài toán không

tồn tại đối với mỗi œ — {uạ} € L¿ Cha ¥ ham 2 € L[0,7] nhưng Z

không € C[0, z|, xác định dãy

Un = [36 Ÿsnnon =1,2

0 với ũ = {d„} € L¿ tồn tại z € C|0, x] thỏa mãn

Ầ

(6)y/Zsin(ne)ag = Un, n= 1,2,

wy

16

nếu hàm z(z) tồn tại thì từ đẳng thức Parseval ta có

lÌz — ZÌl,„o„¡ — 0 và e C[0, z]

Vì vậy có sự mâu thuẫn, do đó bài toán không ổn định

1.1.2.9 Ví dụ về bài toán thác triển giải tích

Ví dụ 1.12 Xét bài toán:

e f(z): giải tích (phức) trên 7)

e ham f cho trén 7 C D

e d(t,AD) > dy > 0

Từ giá trị của ƒ trên 7, tồn tại duy nhất một thác triển giải tích của ƒ

trén D Cho z € OD,d(z,T) =d > 0, cho f; gidi tích trên ñ)

k € LI(R),u€ La(R), k * u(&) —= / k(œ — y)u(y)dy € La(R)

Giải phương trinh: k «u = ƒ (ƒ dữ kiện đo đạc) Tìm u?

Cho ƒ € L¿(R), xét phương trình tích chập k xu = ƒ Lấy biến đổi Tourier cả hai về

~OoO

Figl(€) = 2(§) = = In

—Ằ©C

E—'[g](€) = (6) = zJ g(+)et* dr

nên ta có k « u(€) = kale) = f(g) > ñ(@ = ry

Do d6 u(x) — Pra vậy

e #(£) rất nhỏ tại một số điểm, do đó bài toán không ổn định

e k(€) với |&(£)| —> 0(|€| —> se), do đó bài toán không ổn định

1.1.3 Phương trình Parabolic ngược thời gian là bài toán đặt

không chỉnh

1.1.3.1 Phương trình Parabolic tuyến tính ngược thời gian là bài toán đặt không chỉnh

Cho ï7 là không gian Hilbert với tích vô hướng (- -) và chuẩn ||.|| Xét

phương trình parabolic tuyến tính ngược thời gian dạng

lu(7) — fll <4,

với rằng buộc

trong đó 4 là toán tử dương, không bị chặn, tự liên hợp và ƒ là hàm

thuộc #7 Tìm một hàm u : [0,7] —> J7 thỏa mãn (1.9) Ta chứng minh (1.9) là bài toán đặt không chỉnh

Thật vậy, với giả thiết A có một cơ sở riêng trực chuẩn {p}p>1 trong khong gian Hilbert H, tuong ting vdi gid tri riéng 1a

0<Ài¡<À¿<Às< < lim = +00

—

1.1.3.2 Phương trình Parabolic phi tuyến ngược thời gian là

bài toán đặt không chỉnh

Cho ÿƒ là không gian Hilbert với tích vô hướng (.,.) và chuẩn ||.|| Xét phương trình parabolic phi tuyến ngược thời sian dạng

llu(2) — fll < 6,

với rằng buộc

trong đó A là toán tử dương, không bị chặn, tự liên hợp và ƒ là hàm

thuộc H Tìm một hàm u : [0,7] + H thoa man (1.12) Ta chứng minh (1.12) là bài toán đặt không chỉnh

Thật vậy, với giả thiết A có một cơ sở riêng trực chuẩn {ó,}„>ị¡ trong không gian Hilbert H, tương ứng với giá trị riêng {Ap};>ị sao cho