Một số phương pháp đánh giá ổn định nghiệm của phương trình burgers ngược thời gian luận văn tốt nghiệp đại học

3 Chương 1: Một số phương pháp đánh giá ổn định nghiệm cho phương trình Burgers ngược thời gian.. 12 Chương 2: Cải tiến kết quả đánh giá ổn định nghiệm cho phương trình Burgers ngược thờ

MỤC LỤC

Trang

LỜI NÓI ĐẦU 3

Chương 1: Một số phương pháp đánh giá ổn định nghiệm cho phương trình Burgers ngược thời gian 5

1.1 Một số kiến thức liên quan 5

1.1.1 Bổ đề 5

1.1.2 Bổ đề 5

1.1.3 Định lý 5

1.1.4 Định lý 5

1.2 Bài toán 1 6

1.2.1 Bổ đề 6

1.2.2 Bổ đề 7

1.2.3 Định nghĩa 10

1.2.4 Định lý 10

1.3 Bài toán 2 11

1.3.1 Định nghĩa 12

1.3.2 Định lý 12

Chương 2: Cải tiến kết quả đánh giá ổn định nghiệm cho phương trình Burgers ngược thời gian của Carasso và Ponomarev 19

2.1 Cải tiến kết quả đánh giá ổn định của Ponomarev 19

2.1.1 Định nghĩa 19

2.1.2 Định lý 19

2.1.3 Định lý 20

2.1.4 Nhận xét 25

2.2 Cải tiến kết quả đánh giá ổn định của Carasso 25

2.2.1 Bổ đề 25

2.2.2 Định lý 26

2.2.3 Định lý 26

2.2.4 Nhận xét 27

KẾT LUẬN 28

TÀI LIỆU THAM KHẢO 29

Bài toán đánh giá ổn định nghiệm cho phương trình Burgers ngược thời gianthường xuyên bắt gặp trong ứng dụng khi nghiên cứu về các quá trình sóng phituyến, trong lý thuyết về âm học phi tuyến hay lý thuyết nổ, (xem [13] và cáctài liệu tham khảo trong nó) Chúng thuộc lớp bài toán đặt không chỉnh Mộttrong những vấn đề đầu tiên khi nghiên cứu các bài toán đặt không chỉnh làviệc tìm các đánh giá tính ổn định nghiệm Các đánh giá này cho chúng ta biếtđược bài toán "xấu" đến mức nào, để từ đó có thể đưa ra các phương pháp sốhữu hiệu Ngoài ra các đánh giá tính ổn định cũng rất quan trọng trong việcchứng minh sự hội tụ và các đánh giá sai số của các phương pháp chỉnh khigiải bài toán đặt không chỉnh theo nghĩa Hadamard(xem [10]) Cho đến nay,chỉ có ít kết quả đạt được cho bài toán đánh giá ổn định nghiệm cho phươngtrình dạng Burgers ngược thời gian Vì vậy trong khoá luận này chúng tôi đềxuất một phương pháp đánh giá ổn định dạng H¨older cho nghiệm phương trìnhBurgers ngược thời gian theo chuẩn L2.

Ngoài phần mở đầu và phần kết luận, khóa luận gồm hai chương

Chương 1: Một số phương pháp đánh giá ổn định nghiệm phương trìnhBurgers ngược thời gian của Carasso và Ponomarev

Chương 2: Cải tiến kết quả đánh giá ổn định nghiệm phương trình Burgersngược thời gian của Carasso và Ponomarev

Trong chương 1, chúng tôi giới thiệu bài báo [11] của A Carasso - trình bàyđánh giá ổn định cho phương trình Burgers ngược thời gian dạng

 ut = kuxx − uux+ F (x, t) , (x, t) ∈ (0, 1) × (0, T ) ,

u (0, t) = α (t) , u (1, t) = β (t) , 0 6 t 6 T,

trong đók > 0, α (t), β (t) và F (x, t)là các hàm trơn Tiếp theo chúng tôi giới

3

thiệu bài báo [13] của S M Ponomarev - trình bày về đánh giá ổn định dạngH¨older cho nghiệm của phương trình Burgers ngược thời gian dạng

Trong chương 2, chúng tôi cải tiến kết quả đánh giá ổn định nghiệm phươngtrình Burgers ngược thời gian của Carasso và Ponomarev

Khóa luận được thực hiện bằng phần mềm LATEX(xem [4]) và được hoànthành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn nhiệt tình, tận tâm của thầygiáo, TS Nguyễn Văn Đức và sự giúp đỡ của các thầy cô, gia đình, bạn bè Tácgiả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy đã dành cho tác giả sự quan tâmgiúp đỡ tận tình và chu đáo trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoànthành khóa luận

Nhân dịp này, tác giả xin gửi lời cảm ơn đến Ban chủ nhiệm khoa Toán, cácthầy cô trong tổ Giải tích - khoa Toán Đại học Vinh đã giúp đỡ tác giả trongquá trình hoàn thành khóa luận, xin cảm ơn các bạn sinh viên lớp 48A - Toán

đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành khóa luận của mình

Vì thời gian không nhiều và khả năng của bản thân còn hạn chế nên khóaluận chắc hẳn không tránh khỏi thiếu sót Tác giả kính mong nhận được sự góp

ý của quý thầy cô cùng toàn thể các bạn sinh viên

Vinh 05/2011Tác giả

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ ỔN ĐỊNH NGHIỆMPHƯƠNG TRÌNH BURGERS NGƯỢC THỜI GIAN

1.1 Một số kiến thức liên quan

1.1.1 Bổ đề Giả sử f (x) là hàm số liên tục trên [a, b] Khi đó công thức

1.1.2 Bổ đề Giả sử u (x, t) là hàm số khả vi liên tục đến cấp hai theo biến x

và biến t Khi đó công thức

1.2 Bài toán 1(Carasso)

 −B2k

= exp δt2

2

(kuxx − cu + δtu)

Nhân hai vế của (1.15) với f (t) ta được

Như vậy Bổ đề đã được chứng minh.

1.2.3 Định nghĩa Một hàm u(x, t) được gọi là thuộc vào tập VN nếu

vào (1.27) ta được

2 + (1 + 3k) N
4k

!

,

∀t ∈ [0, T ] (1.29)

Định lí đã được chứng minh

1.3 Bài toán 2(Ponomarev)

trong đó

α =exp



k 1 t µ



− expk1 t 0

µ



ii) Với a (t) = t và t0 > 0 thì chúng ta có đánh giá

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho (1.36) ta được

−2a (t) (b(1, t)u2(1, t) + c(1, t)) ≥ 0 nên

1

0 − 12

, ∀t ∈ [t0, T ] (1.48)

Đặt

s (t) = exp



−k1tµ



Khi đó (1.48) trở thành

dds

 1f

dfds



≥ −k2µ

k121

Sử dụng (1.49) ta chứng minh được g100(s) ≥ 0 Do đó g1 là hàm lồi.

µ

+ α exp k1T

µ



≤ (1 − α) g1

exp k1t0

µ



+ αg1

exp k1T

µ

,

Nếu a(t) = t thì (1.47) trở thành

exp

Đặt s (t) = Tt Khi đó ta có

dds

1

sk 1f

dfds



≥ − k2T

Đặt r (s) = sk1 +1 Ta suy ra

ddr

 1f

dfdr

 1f

dfdr

Sử dụng (1.55) ta chứng minh được g002 (r) ≥ 0 Do đó g2 là hàm lồi Theo bấtđẳng thức JenSen ta có

g2

 tT

k2T 1+k1

CẢI TIẾN KẾT QUẢ ĐÁNH GIÁ ỔN ĐỊNH NGHIỆM CHOPHƯƠNG TRÌNH BURGERS NGƯỢC THỜI GIAN CỦA

2.1 Cải tiến kết quả đánh giá ổn định của Ponomarev

2.1.1 Định nghĩa Cho N là một số thực dương, một hàm u(x, t) được gọi làthuộc vào tập VN nếu

19

trong đó α = exp(

k1t

k ) − 1exp(k1 T

f (t) ≤ exp c2(t − αT )

c1

(f (0))(1−α)(f (T ))α, ∀t ∈ [0, T ] , (2.3)

c 1 t

k ) − 1exp(c1 T

Vìu1, u2 thuộc tập VN nên tồn tại hằng số dương c3 không phụ thuộc vào u1, u2



Rõ ràng rằng tồn tại hằng số dương c1 không phụ thuộc vào u1, u2 sao cho

kax− ka2 + kc3ε

4

Tồn tại hằng số c2 không phụ thuộc vào u1, u2 để sao cho

Chú ý rằng nếu tồn tại t0 ∈ (0, T ) sao cho kz (t0)k = 0 thì kz (t)k = 0 với

∀t ∈ (0, T ) Trong tình huống này khẳng định (2.3) luôn đúng Do đó, ta chỉcần xét trường hợp kz (t)k > 0, ∀t ∈ (0, T ), tức là f (t) > 0, ∀t ∈ (0, T ).Chia cả hai vế của (2.17) cho f2(t) ta được

Bằng cách đặt s = ec1tk , từ (2.18) ta có

d

ds(

1f

df

ds) > −c2k

c2 1

k

+ α exp c1T

k



≤ (1 − α) g

exp c10

k



+ αg

exp c1T

Từ đó ta có

f (t) ≤ exp c2(t − αT )

c1

(f (0))(1−α)(f (T ))α, ∀t ∈ [0, T ] , (2.24)

trong đó α = exp(

c 1 t

k ) − 1exp(c1 T

k ) − 1.

Như vậy Định lý được chứng minh

2.1.4 Nhận xét Từ (2.11), (2.14) và (1.46)(xem chương 1) ta suy ra c2

c 1 < k2

k 1.Mặt khác, ta có α ∈ [0, 1] và t ∈ [0, T ] nên vế phải của (2.3) bé hơn vế phải của(2.2) Do đó kết quả trong Định lý 2.1.3 tốt hơn kết quả trong Định lý 2.1.2

2.2 Cải tiến kết quả đánh giá ổn định của Carasso

2.2.1 Bổ đề Giả sử u(x, t) là nghiệm của phương trình

 −B2k

ax2

KẾT LUẬNKhóa luận đã giải quyết được các vấn đề sau:

- Đọc hiểu bài báo [11] và [13] về đánh giá ổn định nghiệm cho phương trìnhBurgers ngược thời gian và làm rõ chứng minh một số bổ đề, định lý mà tácgiả chỉ trình bày vắn tắt hoặc chỉ gợi ý, chẳng hạn: Bổ đề 1.2.1, Bổ đề 1.2.2,Định lý 1.2.4 và Định lý 1.3.2

- Đề xuất một số cải tiến kết quả đánh giá ổn định của Carasso và Ponomarevtrong các Định lý 2.1.3, Bổ đề 2.2.1 và Định lý 2.2.3

Vấn đề tiếp tục được nghiên cứu trong thời gian tới

Có thể đánh giá ổn định nghiệm cho phương trình Burgers ngược thời giantheo một chuẩn khác được hay không?

Tiếng Việt

[1] Trần Văn Ân, Tạ Quang Hải, Đinh Huy Hoàng (2002), Toán cao cấp tập

ba - Giải tích - Hàm nhiều biến, NXBGD

[2] Đậu Thế Cấp (2000), Giải tích hàm, NXBGD

[3] Nguyễn Minh Chương (2001), Phương trình đạo hàm riêng, NXBGD

[4] Nguyễn Hữu Điển (2004), LATEX với gói lệnh và phần mềm công cụ,NXB ĐHQGHN

[5] Trần Văn Hạo (2009), Bất đẳng thức, NXBGD

[6] Phạm Kim Hùng (2010), Sáng tạo bất đẳng thức, NXBHN

[7] Phan Huy Khải (2008), Toán nâng cao giải tích, NXB ĐHQGHN

[8] Vũ Tuấn, Đoàn Văn Ngọc (1996), Phương trình vi phân, NXBGD

[9] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực và giải tích hàm, Bộ sách toán cao cấp Viện Toán học, NXB ĐHQGHN

[12] Avner Friedman(1964), Partial differential equations of parabolic type,Prentice - hall, Englewood Cliffs, N.J.

[13] S M Ponomarev(1986), On an ill-posed problem in nonlinear wave ory, Soviet Math Dokl., 33, 621-624

the-[14] L E Payne and B Straughan(1989), Comparison of viscous flows wards in time with small data, Int J Nonlinear Mech., 24, 209-214

back-[15] O V Rudenko and S I Soluyan(1977), Theoretical foundations of linear acoustics, "Nauka", Moscow, 1975; English transl., Plenum Press,New York

non-[16] A N Tikhonov and V Ya Arsenin(1977), Methods of solving ill-posedproblems, 2nd ed., "Nauka", Moscow, 1979; English transl of 1st ed.,Wiley

CẢI TIẾN KẾT QUẢ ĐÁNH GIÁ ỔN ĐỊNH NGHIỆM CHOPHƯƠNG TRÌNH BURGERS NGƯỢC THỜI GIAN CỦA

2.1 Cải tiến kết đánh giá ổn định Ponomarev

2.1.1 Định nghĩa Cho N số thực dương, hàm... data-page="28">

KẾT LUẬNKhóa luận giải vấn đề sau:

- Đọc hiểu báo [11] [13] đánh giá ổn định nghiệm cho phương trìnhBurgers ngược thời gian làm rõ chứng minh số bổ đề, định lý mà tácgiả trình bày... (2.3) bé vế phải của( 2.2) Do kết Định lý 2.1.3 tốt kết Định lý 2.1.2

2.2 Cải tiến kết đánh giá ổn định Carasso

2.2.1 Bổ đề Giả sử u(x, t) nghiệm phương trình

 −B2k