chuyen de KSHS 12 phan 7

Tìm tất cả các giá trị của tham số

Trang 1

PHẦN 7: CÁC VẤN ĐỀ KHÁC VÀ 86 BÀI TẬP

A Hàm bậc ba: 𝒚 = 𝒂𝒙𝟑+ 𝒃𝒙𝟐+ 𝒄𝒙 + 𝒅 (𝒂 ≠ 𝟎)

1 Vấn đề 1: Tìm điều kiện để hàm bậc ba có cực trị và điểm cực trị thỏa một tính chất nào đó

Cho hàm bậc ba: 𝑦 = 𝑎𝑥3+ 𝑏𝑥2+ 𝑐𝑥 + 𝑑 ⇒ 𝑦′ = 3𝑎𝑥2+ 2𝑏𝑥 + 𝑐

 Đồ thị có 2 điểm cực trị nằm hai phía đối với 𝑂𝑥:

⇔ hàm số có 2 giá trị cực trị trái dấu ⇔

𝑎 ≠ 0

∆𝑦′ > 0

𝑦𝑐𝑑 𝑦𝑐𝑡 < 0

 Đồ thị có 2 điểm cực trị nằm cùng một phía đối với 𝑂𝑥:

⇔ hàm số có 2 giá trị cực trị cùng dấu ⇔

𝑎 ≠ 0

∆𝑦′ > 0

𝑦𝑐𝑑 𝑦𝑐𝑡 > 0

 Khoảng cách đại số: Gọi 𝑀1 𝑥1; 𝑦1 ; 𝑀2 𝑥2; 𝑦2 là điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị Khoảng cách đại số từ 𝑀1, 𝑀2 đến ∆ : 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 là: 𝑡1 = 𝐴𝑥1 +𝐵𝑦1+𝐶

𝐴 2 +𝐵 2 và 𝑡2 =𝐴𝑥2 +𝐵𝑦2+𝐶

𝐴 2 +𝐵 2

 Đồ thị có 2 điểm cực trị nằm hai phía đối với đường thẳng ∆ : 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0

⇔ đồ thị có hai điểm cực đại, cực tiểu ở hai phía của ∆ ⇔

𝑎 ≠ 0

∆𝑦′ > 0

𝑡1 𝑡2 < 0

 Đồ thị có 2 điểm cực trị nằm cùng phía đối với đường thẳng ∆ : 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0

⇔ đồ thị có hai điểm cực đại, cực tiểu ở cùng phía của ∆ ⇔

𝑎 ≠ 0

∆𝑦′ > 0

𝑡1 𝑡2 > 0

 Phương tích: Gọi 𝑀1 𝑥1; 𝑦1 ; 𝑀2 𝑥2; 𝑦2 là điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị Phương tích của

𝑀1, 𝑀2 đối với 𝐶 : 𝑥2+ 𝑦2− 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 là:

℘ 𝑀1/ 𝐶 = 𝑥12+ 𝑦12− 2𝑎𝑥1− 2𝑏𝑦1+ 𝑐 và ℘ 𝑀2/ 𝐶 = 𝑥22+ 𝑦22 − 2𝑎𝑥2− 2𝑏𝑦2+ 𝑐

 Đồ thị có 2 điểm cực trị nằm khác phía của 𝐶 : 𝑥2 + 𝑦2− 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑐 = 0

⇔ đồ thị có hai điểm cực đại, cực tiểu ở hai phía của 𝐶 ⇔

𝑎 ≠ 0

∆𝑦′ > 0

℘ 𝑀1/ 𝐶 ℘ 𝑀2/ 𝐶 < 0

 Đồ thị có 2 điểm cực trị nằm cùng phía của 𝐶 : 𝑥2+ 𝑦2− 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑐 = 0

⇔ đồ thị có hai điểm cực đại, cực tiểu ở một phía của 𝐶 ⇔

𝑎 ≠ 0

∆𝑦′ > 0

℘ 𝑀1/ 𝐶 ℘ 𝑀2/ 𝐶 < 0

 Hàm số 𝑓 𝑥 có 2 cực trị mà hoành độ thỏa hệ thức 𝐹 𝑥1; 𝑥2 = 0

+ Hàm số 𝑓 𝑥 có cực đại và cực tiểu ⇔ ∆𝑎 ≠ 0

𝑦′ > 0 ⇒ điều kiện của m + Ta có:

𝑥1+ 𝑥2 = −𝑏

𝑎

𝑥1 𝑥2 = 𝑐

𝑎

𝐹 𝑥1; 𝑥2 = 0

⇒ giá trị của m

+ so sánh các giá trị của m vừa tìm được với đk, kết luận

2 Vấn đề 2: Tìm điều kiện để hàm bậc ba tăng hay giảm trên một tập con của một tập xác định

Cho hàm bậc ba: 𝑦 = 𝑎𝑥3+ 𝑏𝑥2+ 𝑐𝑥 + 𝑑 ⇒ 𝑦′ = 𝑔 𝑥 = 3𝑎𝑥2+ 2𝑏𝑥 + 𝑐

Trang 2

 Định m để hàm số tăng trên khoảng 𝜶; +∞

Hàm số đồng biến trên 𝛼; +∞ ⇔ 𝑦′ ≥ 0, ∀𝑥 ∈ 𝛼; +∞

 Trường hợp 1: 𝑎 = 0 ⇒ 𝑚, thay 𝑚 vào 𝑔 𝑥 nếu 𝑔 𝑥 ≥ 0, ∀𝑥 ∈ 𝛼; +∞ thì nhận 𝑚

 Trường hợp 2: 𝑎 > 0∆ ≤ 0 ⇒ 𝑚

 Trường hợp 3: 𝑎 > 0∆ > 0 lúc này 𝑔 𝑥 = 3𝑎𝑥2 + 2𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 (1) có hai nghiệm 𝑥1; 𝑥2 thỏa mãn

𝑥1 < 𝑥2 ≤ 𝛼 Đặt 𝑡 = 𝑥 − 𝛼, ta tìm điều kiê ̣n để tam thức 𝑕 𝑡 = 0 có hai nghiệm 𝑡1; 𝑡2 thỏa mãn 𝑡1 < 𝑡2 ≤ 0 hay

∆𝑕 > 0

𝑃𝑕 ≥ 0

𝑆𝑕 < 0

⇒ 𝑚

 Trường hợp 4: 𝑎 < 0: Không xảy ra

Hợp tất cả các trường hợp trên, ta được điều kiện của 𝑚

 Định m để hàm số tăng trên khoảng −∞; 𝜶

Hàm số đồng biến trên −∞; 𝛼 ⇔ 𝑦′ ≥ 0, ∀𝑥 ∈ −∞; 𝛼

 Trường hợp 1: 𝑎 = 0 ⇒ 𝑚, thay 𝑚 vào 𝑔 𝑥 nếu 𝑔 𝑥 ≥ 0, ∀𝑥 ∈ −∞; 𝛼 thì nhận 𝑚

 Trường hợp 2: 𝑎 > 0∆ ≤ 0 ⇒ 𝑚

𝛼 ≤ 𝑥1 < 𝑥2 Đặt 𝑡 = 𝑥 − 𝛼, ta tìm điều kiê ̣n để tam thức 𝑕 𝑡 = 0 có hai nghiệm 𝑡1; 𝑡2 thỏa mãn 0 ≤ 𝑡1 < 𝑡2 hay

∆𝑕 > 0

𝑃𝑕 ≥ 0

𝑆𝑕 > 0

⇒ 𝑚

 Trường hợp 4: 𝑎 < 0: Không xảy ra

 Định m để hàm số giảm trên khoảng 𝜶; +∞

Hàm số nghịch biến trên 𝛼; +∞ ⇔ 𝑦′ ≤ 0, ∀𝑥 ∈ 𝛼; +∞

 Trường hợp 1: 𝑎 = 0 ⇒ 𝑚, thay 𝑚 vào 𝑔 𝑥 nếu 𝑔 𝑥 ≤ 0, ∀𝑥 ∈ 𝛼; +∞ thì nhận 𝑚

 Trường hợp 2: 𝑎 < 0∆ ≤ 0 ⇒ 𝑚

 Trường hợp 3: 𝑎 < 0∆ > 0 lúc này 𝑔 𝑥 = 3𝑎𝑥2 + 2𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 (1) có hai nghiệm 𝑥1; 𝑥2 thỏa mãn

𝑥1 < 𝑥2 ≤ 𝛼 Đặt 𝑡 = 𝑥 − 𝛼, ta tìm điều kiê ̣n để tam thức 𝑕 𝑡 = 0 có hai nghiệm 𝑡1; 𝑡2 thỏa mãn 𝑡1 < 𝑡2 ≤ 0 hay

∆𝑕 > 0

𝑃𝑕 ≥ 0

𝑆𝑕 < 0

⇒ 𝑚

 Trường hợp 4: 𝑎 > 0: Không xảy ra

 Định m để hàm số giảm trên khoảng −∞; 𝜶

Hàm số nghịch biến trên −∞; 𝛼 ⇔ 𝑦′ ≤ 0, ∀𝑥 ∈ −∞; 𝛼

 Trường hợp 1: 𝑎 = 0 ⇒ 𝑚, thay 𝑚 vào 𝑓 𝑥 nếu 𝑓 𝑥 ≤ 0, ∀𝑥 ∈ −∞; 𝛼 thì nhận 𝑚

 Trường hợp 2: 𝑎 < 0∆ ≤ 0 ⇒ 𝑚

Trang 3

 Trường hợp 3: 𝑎 < 0∆ > 0 lúc này 𝑔 𝑥 = 3𝑎𝑥2 + 2𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 (1) có hai ng hiệm 𝑥1; 𝑥2 thỏa mãn

𝛼 ≤ 𝑥1 < 𝑥2 Đặt 𝑡 = 𝑥 − 𝛼, ta tìm điều kiê ̣n để tam thức 𝑕 𝑡 = 0 có hai nghiệm 𝑡1; 𝑡2 thỏa mãn 0 ≤ 𝑡1 < 𝑡2 hay

∆ > 0

𝑃 ≥ 0

𝑆 > 0

⇒ 𝑚

 Trường hợp 4: 𝑎 > 0: Không xảy ra

 Định m để hàm số giảm trên khoảng 𝜶; 𝜷

Hàm số nghịch biến trên 𝛼; 𝛽 ⇔ 𝑦′ ≤ 0, ∀𝑥 ∈ 𝛼; 𝛽

 Trường hợp 1: 𝑎 = 0 ⇒ 𝑚, thay 𝑚 vào 𝑔 𝑥 nếu 𝑔 𝑥 ≤ 0, ∀𝑥 ∈ 𝛼; 𝛽 thì nhận 𝑚

 Trường hợp 2: 𝑎 < 0∆ ≤ 0 ⇒ 𝑚

 Trường hợp 3: 𝑎 < 0∆ > 0 lúc này 𝑔 𝑥 = 3𝑎𝑥2 + 2𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 (1) có hai nghiệm 𝑥1; 𝑥2 thỏa mãn

𝛽 ≤ 𝑥1 < 𝑥2

𝑥1 < 𝑥2 ≤ 𝛼 Đặt 𝑡 = 𝑥 − 𝛽

𝑡 = 𝑥 − 𝛼 , ta tìm điều kiê ̣n để tam thức 𝑕1 𝑡 = 0

𝑕2 𝑡 = 0 có hai nghiệm 𝑡1; 𝑡2

thỏa mãn 0 ≤ 𝑡1 < 𝑡2

𝑡1 < 𝑡2 ≤ 0 hay

𝑃 ≥ 0 ∆ > 0

𝑆 > 0

⇒ 𝑚

∆ > 0

𝑃 ≥ 0

𝑆 < 0 ⇒ 𝑚 ⇒ 𝑚

 Trường hợp 4: 𝑎 > 0∆ ≤ 0 : Không xảy ra

 Trường hợp 5: 𝑎 > 0∆ > 0 : lúc này 𝑔 𝑥 = 3𝑎𝑥2+ 2𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 (1) có hai nghiệm 𝑥1; 𝑥2 thỏa mãn

𝑥1 ≤ 𝛼 < 𝛽 ≤ 𝑥2 hay 𝑥1 ≤ 𝛼 < 𝑥2

𝑥1 < 𝛽 ≤ 𝑥2 Đặt 𝑡 = 𝑥 − 𝛽

𝑡 = 𝑥 − 𝛼 , ta tìm điều kiê ̣n để 𝑕1 𝑡 = 0

𝑕2 𝑡 = 0 có hai nghiê ̣m 𝑡1; 𝑡2 thỏa mãn 𝑡𝑡1 ≤ 0 < 𝑡2

1 < 0 ≤ 𝑡2 hay 𝑃1 ≤ 0

𝑃2 ≤ 0 ⇒ 𝑚 Hợp tất cả các trường hợp trên, ta được điều kiện của 𝑚

 Định m để hàm số tăng trên khoảng 𝜶; 𝜷

Hàm số đồng biến trên 𝛼; 𝛽 ⇔ 𝑦′ ≥ 0, ∀𝑥 ∈ 𝛼; 𝛽

 Trường hợp 1: 𝑎 = 0 ⇒ 𝑚, thay 𝑚 vào 𝑔 𝑥 nếu 𝑔 𝑥 ≥ 0, ∀𝑥 ∈ 𝛼; 𝛽 thì nhận 𝑚

 Trường hợp 2: 𝑎 > 0∆ ≤ 0 ⇒ 𝑚

𝛽 ≤ 𝑥1 < 𝑥2

𝑥1 < 𝑥2 ≤ 𝛼 Đặt 𝑡 = 𝑥 − 𝛽

𝑡 = 𝑥 − 𝛼 , ta tìm điều kiê ̣n để tam thức 𝑕1 𝑡 = 0

𝑕2 𝑡 = 0 có hai nghiệm 𝑡1; 𝑡2

thỏa mãn 0 ≤ 𝑡1 < 𝑡2

𝑡1 < 𝑡2 ≤ 0 hay

∆ > 0 𝑃 ≥ 0

𝑆 > 0

⇒ 𝑚

∆ > 0

𝑃 ≥ 0

𝑆 < 0 ⇒ 𝑚 ⇒ 𝑚

 Trường hợp 4: 𝑎 < 0∆ ≤ 0 : Không xảy ra

Trang 4

 Trường hợp 5: 𝑎 < 0∆ > 0 : lúc này 𝑔 𝑥 = 3𝑎𝑥2+ 2𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 (1) có hai nghiệm 𝑥1; 𝑥2 thỏa mãn

𝑥1 ≤ 𝛼 < 𝛽 ≤ 𝑥2 hay 𝑥1 ≤ 𝛼 < 𝑥2

𝑥1 < 𝛽 ≤ 𝑥2 Đặt 𝑡 = 𝑥 − 𝛽

𝑡 = 𝑥 − 𝛼 , ta tìm điều kiện để tam thức 𝑕1 𝑡 = 0

𝑕2 𝑡 = 0

có hai nghiệm 𝑡1; 𝑡2 thỏa mãn 𝑡1 ≤ 0 < 𝑡2

𝑡1 < 0 ≤ 𝑡2 hay 𝑃1 ≤ 0

𝑃2 ≤ 0 ⇒ 𝑚

Ví dụ minh họa : Cho tam thức 𝑓 𝑥 = 𝑚 −23 𝑥3+ 4 − 3𝑚 𝑥2+ 10𝑚 − 11 𝑥 1 định 𝑚 để

𝑓 𝑥 ≥ 0, ∀𝑥 > 6

Giải: 𝑓 𝑥 ≥ 0, ∀𝑥 ∈ 6; +∞ ⇔ 𝑓′ 𝑥 ≥ 0, ∀𝑥 ∈ 6; +∞ nên ta xét 4 trường hợp sau:

 Trường hợp 1: 𝑎 = 0 ⇔ 𝑚 − 2 = 0 ⇒ 𝑚 = 2, (1) trở thành 𝑓′ 𝑥 = −4𝑥 + 9 ≥ 0, ∀𝑥 ∈ 6; +∞

vâ ̣y 𝑚 = 2, không thỏa mãn

 Trường hợp 2: 𝑎 > 0∆ ≤ 0 ⇔ ∆ = 4 − 3𝑚 𝑎 = 𝑚 − 2 > 0 2− 𝑚 − 2 (10𝑚 − 11) ≤ 0

⇔ 𝑚 > 2

−𝑚2+ 7𝑚 − 6 ≤ 0 ⇔ 𝑚 > 2

𝑚 ≤ 1 ∨ 𝑚 ≥ 6⇒ 𝑚 ≥ 6

 Trường hợp 3: 𝑎 > 0

∆ > 0 ⇔ 𝑚 > 2

−𝑚2+ 7𝑚 − 6 > 0 ⇔ 𝑚 > 2

1 < 𝑚 < 6⇒ 2 < 𝑚 < 6 , thì 𝑓

′ 𝑥 =

𝑚 − 2 𝑥2+ 2 4 − 3𝑚 𝑥 + 10𝑚 − 11 = 0 có hai nghiệm 𝑥1; 𝑥2 thỏa mãn 𝑥1 < 𝑥2 ≤ 6 Đặt

𝑡 = 𝑥 − 6, ta tìm điều kiê ̣n để tam thức 𝑔 𝑡 = 0 có hai nghiệm 𝑡1; 𝑡2 thỏa mãn 𝑡1 < 𝑡2 ≤ 0 hay

∆𝑔 > 0

𝑃𝑔 = 𝑐

𝑎 ≥ 0

𝑆𝑔 = −𝑏

𝑎 < 0 ⇔

∆𝑔 = 3𝑚 − 8 2− 𝑚 − 2 (10𝑚 − 35) > 0

𝑃𝑔 = 10𝑚 −35

𝑚 −2 ≥ 0

𝑆𝑔 = −2(3𝑚 −8)

𝑚 −2 < 0

⇔

−𝑚2+ 7𝑚 − 6 > 0

10𝑚 − 35 (𝑚 − 2) ≥ 0

−2 3𝑚 − 8 (𝑚 − 2) < 0

⇔

1 < 𝑚 < 6

𝑚 ≤ 2 ∨ 𝑚 ≥7

2

𝑚 < 2 ∨ 𝑚 >8

3

⇒ 1 < 𝑚 < 27

2≤ 𝑚 < 6

so với điều kiê ̣n ta có 72 ≤ 𝑚 < 6

 Trường hợp 4: 𝑎 < 0 ⇔ 𝑚 − 2 < 0 ⇒ 𝑚 < 2, Không xảy ra

Từ 4 trường hợp trên ta có: 𝑚 ≥ 6 7

2≤ 𝑚 < 6 ⇒ 𝑚 ≥7

2

3 Vấn đề 3: Biện luận số điểm chung của đồ thị hàm bậc ba với trục hoành

Cho hàm bậc ba: 𝑦 = 𝑎𝑥3+ 𝑏𝑥2+ 𝑐𝑥 + 𝑑 ⇒ 𝑦′ = 3𝑎𝑥2+ 2𝑏𝑥 + 𝑐

 𝐶 và 𝑂𝑥 có một điểm chung ⇔ 𝑦 không có cực trị hoặc 𝑦 có hai cực trị cùng dấu ⇔

∆𝑦′≤ 0

∆𝑦′> 0

𝑦𝑐𝑑 𝑦𝑐𝑡 > 0

 𝐶 và 𝑂𝑥 có hai điểm chung ⇔ 𝑦 có cực trị bằng 0 ⇔ ∆𝑦′> 0

𝑦𝑐𝑑 𝑦𝑐𝑡 = 0

 𝐶 và 𝑂𝑥 có ba điểm chung ⇔ 𝑦 có hai cực trị trái dấu ⇔ ∆𝑦′> 0

 𝐶 và 𝑂𝑥 tiếp xúc ⇔ hệ 𝑦 = 0

𝑦′ = 0 có nghiệm

 𝐶 cắt 𝑂𝑥 tại 3 điểm có hoành độ dương ⇔

∆𝑦′> 0

𝑎 𝑦 0 < 0

0 < 𝑥1 < 𝑥2

Trang 5

 𝐶 cắt 𝑂𝑥 tại 3 điểm có hoành độ âm ⇔

∆𝑦′> 0

𝑎 𝑦 0 > 0

𝑥1 < 𝑥2 < 0

 𝐶 cắt 𝑂𝑥 tại 3 điểm có hoành độ lớn hơn 𝛼 ⇔

∆𝑦′> 0

𝑎 𝑦 𝛼 < 0

𝛼 < 𝑥1 < 𝑥2

 𝐶 cắt 𝑂𝑥 tại 3 điểm có hoành độ nhỏ hơn 𝛼 ⇔

∆𝑦′> 0

𝑎 𝑦 𝛼 > 0

𝑥1 < 𝑥2 < 𝛼

 𝐶 cắt 𝑂𝑥 tại 4 điểm lập thành cấp số cộng ⇔ ∗ có 2 nghiệm 𝑡1; 𝑡2 thỏa điều kiện 𝑡2 = 9𝑡1 ta giải hệ sau:

∆ > 0

𝑆 > 0

𝑃 > 0

và

𝑡2 = 9𝑡1

𝑡1+ 𝑡2 = −𝑏

𝑎

𝑡1 𝑡2 = 𝑐

𝑎

từ đó suy ra 𝑚

B Hàm trùng phương: 𝒚 = 𝒂𝒙𝟒+ 𝒃𝒙𝟐+ 𝒄 (𝒂 ≠ 𝟎)

1 Vấn đề 1: Cực trị của hàm trùng phương

Cho 𝑦 = 𝑎𝑥4+ 𝑏𝑥2+ 𝑐 ⇒ 𝑦′ = 4𝑎𝑥3+ 2𝑏𝑥

Ta có: 𝑦′ = 0 ⇔ 𝑥 = 0 (1)

2𝑎𝑥2 + 𝑏 = 0 (2)

 Hàm số có 3 cực trị ⇔ (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 ⇔ 𝑎 𝑏 < 0

 Hàm số có đúng 1 cực trị ⇔ (2) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép bằng 0 ⇔ 𝑎 𝑏 > 0 𝑎 = 0 và 𝑏 ≠ 0

𝑎 ≠ 0 và 𝑏 = 0

2 Vấn đề 2: Biện luận số điểm chung của đồ thị hàm trùng phương với trục hoành

Cho 𝑦 = 𝑎𝑥4+ 𝑏𝑥2+ 𝑐, phương trình hoành độ giao điểm 𝑎𝑥4+ 𝑏𝑥2+ 𝑐 = 0

Đặt: 𝑡 = 𝑥2 ≥ 0, ta được phương trình: 𝑎𝑡2+ 𝑏𝑡 + 𝑐 = 0 (∗)

 𝐶 và 𝑂𝑥 tiếp xúc tại 2 điểm phân biệt ⇔ −∆ = 0𝑏

2𝑎 > 0

 𝐶 cắt 𝑂𝑥 tại 4 điểm phân biệt ⇔ ∆ > 0𝑆 > 0

𝑃 > 0

 𝐶 cắt 𝑂𝑥 tại 3 điểm phân biệt ⇔ −𝑐 = 0𝑏

𝑎 > 0

 𝐶 cắt 𝑂𝑥 tại 2 điểm phân biệt ⇔ 𝑃 =𝑐

𝑎 < 0

 𝐶 cắt 𝑂𝑥 tại 4 điểm lập thành cấp số cộng ⇔ ∗ có 2 nghiệm 𝑡1; 𝑡2 thỏa điều kiện 𝑡2 = 9𝑡1 ta giải hệ sau:

∆ > 0

𝑆 > 0

𝑃 > 0

và

𝑡2 = 9𝑡1

𝑡1+ 𝑡2 = −𝑏

𝑎

𝑡1 𝑡2 = 𝑐

𝑎

từ đó suy ra 𝑚

C Hàm nhất biến: 𝒚 =𝒂𝒙+𝒃

𝒄𝒙+𝒅 (𝒄 ≠ 𝟎; 𝒂𝒅 − 𝒃𝒄 ≠ 𝟎)

1 Vấn đề 1: Chứng minh đường thẳng cắt đồ thị tại 𝟐 điểm thuộc hai nhánh khác nhau, hoặc cùng

thuộc một nhánh

Trang 6

Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) =𝑎𝑥 +𝑏

𝑐𝑥 +𝑑 (𝐶) và đường thẳng 𝑑 : 𝑦 = 𝑔(𝑥, 𝑚)

- Lập phương trình hoành độ giao điểm: 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑥, 𝑚 ⇔ 𝑕 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥, 𝑚 = 0 (∗)

- Tính 𝑎 𝑕 𝛼 , với 𝑥 = 𝛼 là tiệm cận đứng của đồ thị

+ Nếu 𝑎 𝑕 𝛼 < 0 thì 𝑥1 < 𝛼 < 𝑥2 Suy ra, 𝑑 cắt (𝐶) tại 2 điểm thuộc hai nhánh khác nhau của 𝐶

+ Nếu 𝑎 𝑕 𝛼 > 0 thì 𝛼 < 𝑥1 < 𝑥2 hoặc 𝑥1 < 𝑥2 < 𝛼 Suy ra, 𝑑 cắt (𝐶) tại 2 điểm cùng thuộc một nhánh của 𝐶

2 Vấn đề 2: Các vấn đề về khoảng cách

 Tích khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên đồ thị đến hai đường tiệm cận không đổi:

- Tìm phương trình tiệm cận đứng 𝑑1

- Tìm phương trình tiệm cận ngang 𝑑2

- Gọi 𝑀 𝑥𝑜; 𝑦𝑜 ∈ 𝐶 , tính khoảng cách từ 𝑀 đến 𝑑1 , 𝑑2

- Suy ra: 𝑑 𝑀, 𝑑1 𝑑(𝑀, 𝑑2) bằng hằng số

 Tổng khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên đồ thị, đến hai đường tiệm cận hay hai trục tọa độ ngắn nhất

Ta làm tương tự như trên, áp dụng thêm bất đẳng thức cauchy

 Khoảng cách 2 điểm trên đồ thị ngắn nhất

- Thường dùng bất đẳng thức cauchy

- Hoặc dùng đạo hàm, lập bảng biến thiên

D Bài tập luyê ̣n thi:

1) Cho hàm số 𝐶𝑚 : 𝑦 = 𝑥3− 3𝑚𝑥2+ 3 2𝑚 − 1 𝑥 + 1 (1)

a Định 𝑚 để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu

b Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị 𝐶 của hàm số khi 𝑚 = 0

c Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị 𝐶 , biết tiếp tuyến song song ∆ : 9𝑥 − 𝑦 + 15 = 0

d Chứng minh rằng 𝐶𝑚 và đường thẳng 𝑑 : 𝑦 = 2𝑚𝑥 − 4𝑚 + 3 có một điểm chung cố định Tìm

𝑚 để 𝑑 cắt 𝐶𝑚 tại 3 điểm phân biệt

2) Cho hàm số 𝐶 : 𝑦 = −𝑥3+ 3𝑥2

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị 𝐶 của hàm số

b Gọi 𝐴 ∈ (𝐶) có hoành độ là nghiệm phương trình 𝑦′′ = 0, 𝐵 ∈ (𝐶) có hoành độ 𝑥 = 3 Viết các phương trình tiếp tuyến của (𝐶) tại 𝐴, 𝐵 Tìm tọa độ giao điểm của hai tiếp tuyến này

3) Cho hàm số 𝐶 : 𝑦 = 2𝑥−2

2−𝑥

b Chứng minh rằng, ∀𝑘 ≠ 0, −1 đường thẳng 𝑦 = 𝑘𝑥 cắt 𝐶 tại 2 điểm phân biệt

4) Cho hàm số 𝐶𝑚 : 𝑦 = −𝑥3+ 3𝑥2+ 3 𝑚2− 1 𝑥 − 3𝑚2− 1 (1)

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị 𝐶 của hàm số khi 𝑚 = 1

b Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị 𝐶 , biết tiếp tuyến song song ∆ : 9𝑥 + 𝑦 + 1 = 0

c Dùng đồ thị 𝐶 , biện luận theo 𝑘 số nghiệm của phương trình: −𝑥3+ 3𝑥2+ 𝑘 = 0

d Tìm 𝑚 để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các cực trị của đồ thị 𝐶𝑚 cách đều gốc tọa độ 𝑂 5) Cho hàm số 𝐶𝑚 : 𝑦 = 𝑥3− 𝑚𝑥 + 𝑚 + 2

b Dùng đồ thị 𝐶 , biện luận theo 𝑘 số nghiệm của phương trình: 𝑥3− 3𝑥2− 𝑘 + 1 = 0

c Gọi 𝑑 là đường thẳng qua 𝐴(−2; 3) có hệ số góc 𝑘 Với giá trị nào của 𝑘 thì 𝑑 cắt 𝐶 tại 3 điểm phân biệt

Trang 7

6) Cho hàm số 𝐶𝑚 : 𝑦 = 2𝑥3− 3 2𝑚 − 1 𝑥2+ 6𝑚 𝑚 − 1 𝑥 + 1 (1)

b Viết phương trình tiếp tuyến của 𝐶 tại điểm uốn

c Chứng minh rằng, ∀𝑚 hàm số (1) luôn có cực đại tại 𝑥1, cực tiểu tại 𝑥2 và 𝑥2 − 𝑥1 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡

7) Cho hàm số 𝑦 = 𝑥3− 3𝑥 + 1

b Đường thẳng (𝑑) đi qua điểm uốn của 𝐶 có hệ số góc 𝑘 Biện luận theo 𝑘 số giao điểm của 𝐶 và (𝑑) Tìm tọa độ giao điểm của 𝐶 và (𝑑) trong trường hợp 𝑘 = 1

8) Cho hàm số 𝐶𝑚 : 𝑦 = 𝑥3+ 3𝑥2 + 𝑚𝑥 + 𝑚 − 2

b Gọi 𝐴 là giao điểm của đồ thị 𝐶 và trục tung Viết phương trình tiếp tuyến của 𝐶 tại 𝐴

c Tìm 𝑚 để 𝐶𝑚 cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

9) Cho hàm số 𝑦 = 𝑥3− 3𝑚𝑥2+ 2 𝑚2− 1 𝑥 − 𝑚2− 1

a Tìm 𝑚 để hàm số không có cực trị

b Tìm 𝑚 để hàm số đạt cực trị tại 𝑥 = 2

c Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị 𝐶 của hàm số khi 𝑚 = −1

10) Cho hàm số 𝐶𝑚 : 𝑦 = 2𝑥3+ 3(𝑚 − 1)𝑥2+ 6 𝑚 − 2 𝑥 − 1

b Viết phương trình đường thẳng 𝑑 đi qua 𝑀(0; −1) và tiếp xúc với đồ thị 𝐶𝑚

c Tìm 𝑚 để hàm số có cực trị

11) Cho hàm số 𝐶𝑚 : 𝑦 = 𝑥3+ 𝑚𝑥2 + 1

b Tìm 𝑚 để 𝐶𝑚 cắt đường thẳng 𝑑 : 𝑦 = −𝑥 + 1 tại 3 điểm phân biệt 𝐸 0; 1 ; 𝐹; 𝐺 sao cho tiếp tuyến tại 𝐹 và 𝐺 vuông góc với nhau

c Tìm 𝑚 để hàm số có cực trị

12) Cho hàm số 𝑦 = 𝑥3− 4𝑥2+ 4𝑥

b Tìm tọa độ giao điểm của 𝐶 và đường thẳng 𝑑 : 𝑦 = 3𝑥 − 6

c Biện luận theo 𝑘 vị trí tương đối của 𝐶 và đường thẳng 𝑦 = 𝑘𝑥

d Tìm 𝑚 để phương trình 𝑥3− 4𝑥2+ 4𝑥 − 𝑚 = 0 có 3 nghiệm phân biệt

e Viết phương trình tiếp tuyến với 𝐶 xuất phát từ điểm 𝐵 3; 3

f Viết phương trình tiếp tuyến với 𝐶 song song vơi đường thẳng 𝑦 = 7𝑥

g Viết phương trình tiếp tuyến với 𝐶 vuông góc vơi đường thẳng 𝑦 = 𝑥

13) Tìm 𝑚 để hai đồ thị tiếp xúc nhau:

a 𝐶 : 𝑦 = 𝑥3− 𝑚𝑥2+ 𝑚𝑥 − 2 và 𝑑 : 𝑦 = 𝑚𝑥 − 4

b 𝐶 : 𝑦 =1

3𝑥3− 2𝑥2+ 3𝑥 và 𝑑 : 𝑦 = 𝑚 𝑥 −4

9 +4

3

14) Viết phương trình tiếp tuyến của 𝐶 : 𝑦 = 𝑥3− 5𝑥2+ 10𝑥 − 2, biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 𝑑 : 𝑥 + 2𝑦 − 5 = 0 Chứng minh rằng: trên 𝐶 không có hai điểm nào mà tiếp tuyến tại hai điểm đó vuông góc với nhau

15) Cho hàm số 𝑦 = 𝑥3+ 3𝑥2+ 3𝑥 + 5 Xác định 𝑚 để trên đồ thị có ít nhất một điểm mà tiếp tuyến tại

đó vuông góc với đường thẳng 𝑦 = 𝑚𝑥

16) Cho 𝐶 : 𝑦 = 𝑥3− 3𝑥2+ 2 Tìm điểm 𝑀 trên đường thẳng 𝑦 = −2, sao cho qua 𝑀 có thể kẻ được đến 𝐶 :

Trang 8

a Ba tiếp tuyến phân biệt

b Hai tiếp tuyến vuông góc

17) Cho 𝐶 : 𝑦 = 𝑥3− 3𝑥2+ 2

a Khảo sát và vẽ đồ thị 𝐶 của hàm số

b Dùng đồ thị 𝐶 biện luận theo 𝑚 số nghiệm của phương trình:

i 𝑥3 − 3𝑥2+ 𝑚 = 0

ii 𝑥3 − 3𝑥2 = 𝑚3− 3𝑚

18) Tìm điểm cố định của các họ đồ thị 𝐶𝑚 sau:

a 𝐶𝑚 : 𝑦 = 𝑚𝑥3− 2𝑚𝑥2− 𝑚 + 1 𝑥 + 2𝑚

b 𝐶𝑚 : 𝑦 = 𝑥3 + 𝑚 𝑚 + 2 𝑥2− 2 2𝑚 + 1 𝑥 − (𝑚 − 1)2

c 𝐶𝑚 : 𝑦 = −1

2𝑥4 − 𝑚𝑥2+ 𝑚 + 1

d 𝐶𝑚 : 𝑦 =𝑚𝑥 +1𝑥+𝑚 (𝑚 ≠ 1)

19) Cho hàm số 𝐶 : 𝑦 = (4 − 𝑥) 𝑥 − 1 2

a Gọi 𝐴 là giao điểm của 𝐶 với trục 𝑂𝑦, 𝑑 là đường thẳng đi qua 𝐴 và có hệ số góc 𝑚 Tìm 𝑚 để

𝑑 cắt 𝐶 tại 3 điểm phân biệt 𝐴, 𝐵, 𝐶

b Tìm tập hợp trung điểm 𝑀 của đoạn thẳng 𝐵𝐶 khi 𝑀 thay đổi

20) Cho hàm số 𝑦 = 2𝑥3− 9𝑥2+ 12𝑥 − 4 (𝐶)

a Khảo sát và vẽ đồ thị (𝐶) của hàm số

b Tìm 𝑚 để phương trình 2 𝑥 3− 9 𝑥 2+ 12 𝑥 = 𝑚 có 6 nghiệm phân biệt

21) Cho hàm số 𝑦 = 2𝑚𝑥3− (4𝑚2+ 1)𝑥2+ 4𝑚2 (𝐶𝑚)

a Khảo sát và vẽ đồ thị (𝐶) của hàm số khi 𝑚 = 1

b Tìm 𝑚 để đồ thị hàm số tiếp xúc trục hoành

22) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (𝐶) của hàm số: 𝑦 = −𝑥3+ 3𝑥

a Từ đó suy ra đồ thi ̣ hàm số: 𝑦 = − 𝑥 3+ 3 𝑥

b Tìm tất cả các giá trị của 𝑚 để phương trình: 𝑥3− 3𝑥 = 2𝑚

𝑚 2 +1 có 3 nghiệm phân biê ̣t

23) Cho hàm số 𝑦 = 𝑥3− 3𝑥2 (𝐶)

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b Gọi (∆) là đường thẳng qua 𝑂 và có hệ số góc 𝑘 với những giá tri ̣ nào của 𝑘, thì (∆) cắt (𝐶) tại 3 điểm phân biê ̣t 𝐴; 𝐵; 𝑂? Tìm tập hợp trung điểm 𝐼 của đoạn 𝐴𝐵 khi 𝑘 thay đổi

24) Cho hàm số: 𝑦 = 𝑚𝑥3− 𝑚 − 1 𝑥2− 2 + 𝑚 𝑥 + 𝑚 − 1 (𝐶𝑚)

b Tìm trên đường thẳng 𝑦 = 2 những điểm mà từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến (𝐶)

c Tìm những điểm cố định mà đồ thị (𝐶𝑚) luôn đi qua với mo ̣i 𝑚

25) Cho hàm số: 𝑦 = 𝑚𝑥3− 3𝑚𝑥2 − 2𝑚 + 1 𝑥 + 3 − 𝑚 (𝐶𝑚)

b Tìm tất cả các giá trị của 𝑚 sao cho hàm số có cực đa ̣i và cực tiểu Chứng minh rằng khi đó đường thẳng nối hai điểm cực đa ̣i và cực tiểu của đồ thi ̣ (𝐶𝑚) luôn đi qua 1 điểm cố định

26) Cho hàm số: 𝑦 = 2𝑥3+ 𝑚𝑥2 − 12𝑥 − 13

a Vớ i giá tri ̣ nào của 𝑚 thì đồ thị của hàm số có điểm cực đa ̣i và cực tiểu cách đều tru ̣c tung

b Khảo sát và vẽ đồ thị (𝐶) của hàm số khi 𝑚 = 3

27) Cho hàm số: 𝑦 = 𝑥3− 3𝑚𝑥2 + 𝑚 − 1

b Xác định các giá trị của tham số 𝑚 để hàm số đồng biến trong khoảng −∞; 0

Trang 9

28) Cho hàm số: 𝑦 = 𝑥3+ 3𝑥2+ 𝑚𝑥 + 𝑚

b Tìm tất cả các giá trị của tham số 𝑚 để hàm số đồng biến trên một đoạn có độ dài bằng 1

29) Cho hàm số: 𝑦 = 𝑥3− 3𝑚𝑥2 + 3(𝑚2− 1)𝑥 + 𝑚

a Vớ i giá tri ̣ nào của 𝑚 thì hàm số đạt cực tiểu tại 𝑥 = 2

c Viết phương trình tiếp tuyến với 𝐶 , biết tiếp tuyến đi qua điểm 𝐴 0; 6

30) Cho hàm số: 𝑦 = −𝑥3+ 3𝑥 + 2

b Tìm trên trục hoành những điểm mà từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến đến 𝐶

31) Cho hàm số: 𝑦 = 𝑥3− 3 𝑚 + 1 𝑥2+ 2 𝑚2+ 4𝑚 + 1 𝑥 − 4𝑚 𝑚 + 1 (𝐶𝑚)

a Chứ ng minh rằng khi 𝑚 thay đổi, họ đường cong (𝐶𝑚) luôn đi qua 1 điểm cố định

b Tìm 𝑚 sao cho (𝐶𝑚) cắt 𝑂𝑥 tại 3 điểm phân biệt

32) Cho hàm số: 𝑦 = 2𝑥3+ 3 𝑚 − 1 𝑥2+ 6 𝑚 − 2 𝑥 − 1 (𝐶𝑚)

b Viết phương trình tiếp tuyến với 𝐶 , biết rằng các tiếp tuyến đi qua điểm 𝐴 0; −1

c Vớ i giá tri ̣ nào của 𝑚 thì (𝐶𝑚) có cực đại và cực tiểu thỏa: 𝑥cđ+ 𝑥𝑐𝑡 = 2

33) Cho hàm số: 𝑦 = 2𝑥3− 3 2𝑚 + 1 𝑥2+ 6𝑚 𝑚 + 1 𝑥 + 1 (𝐶𝑚)

a Vớ i giá tri ̣ nào của 𝑚 thì đồ thị (𝐶𝑚) của hàm số có 2 điểm cực tri ̣ đối xứng với nhau qua đường thẳng 𝑦 = 𝑥 + 2

b (𝐶𝑜) là đồ thị của hàm số ứng với 𝑚 = 0 tìm điều kiện của 𝑎 và 𝑏 của đường thẳng 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 cắt (𝐶𝑜) tại 3 điểm phân biệt 𝐴; 𝐵; 𝐷 sao cho 𝐴𝑏 = 𝐵𝐷 khi đó chứng minh đường thẳng 𝑦 = 𝑎𝑥 +

𝑏 luôn đi qua 1 điểm cố định

34) Cho hàm số: 𝑦 = 𝑥3+ 3𝑥2+ 𝑚 + 1 𝑥 + 4𝑚 (𝐶𝑚)

a Vớ i giá tri ̣ nào của 𝑚 thì hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng −1; 1

b Khảo sát và vẽ đồ thị (𝐶) của hàm số khi 𝑚 = −1

35) Cho hàm số: 𝑦 = 𝑥3+ 3𝑥2− 9𝑥 + 5

b Trong tất cả các tiếp tuyến với đồ thi ̣ 𝐶 , hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất

36) Cho hàm số: 𝑦 = 𝑥3− 6𝑥2+ 9𝑥 − 1

b Từ mô ̣t điểm bất kỳ trên đường thẳng 𝑥 = 2, ta có thể kẻ đươ ̣c bao nhiêu tiếp tuyến tới đồ thi ̣ của hàm số

37) Cho hàm số: 𝑦 = 2𝑚𝑥3− (4𝑚2+ 1)𝑥2+ 4𝑚2 (𝐶𝑚)

b Tìm những giá trị của 𝑚 để đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành

38) Cho hàm số: 𝑦 = 𝑥3+ 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 (1)

a Xác định 𝑎; 𝑏; 𝑐 để đồ thị của hàm số (1) có tâm đối xứng là 𝐼(0; 1) và đạt cực trị tại 𝑥 = 1

b Khảo sát và vẽ đồ thị (𝐶) của hàm số khi 𝑎 = 0; 𝑏 = −3; 𝑐 = 1 từ đó, biê ̣n luâ ̣n theo 𝑘 số nghiê ̣m của phương trình: 𝑥 3− 3 𝑥 + 𝑘 = 0

39) Cho hàm số: 𝑦 =13𝑥3− 𝑚𝑥2+ 2𝑚 − 1 𝑥 − 𝑚 + 2 (𝐶𝑚)

b Qua điểm 𝐴(4

9;4

3) kẻ được mấy tiếp tuyến đến 𝐶 ? Viết các phương trình tiếp tuyến ấy

Trang 10

c Vớ i giá tri ̣ nào của 𝑚 thì hàm số nghịch biến trên khoảng −2; 0 ?

40) Cho hàm số: 𝑦 = 𝑥3− 3𝑥2+ 2

b Qua điểm 𝐴(1; 0) có thể kẻ được mấy tiếp tuyến đến đồ thị 𝐶 ? Viết các phương trình tiếp tuyến

ấy

c Chứ ng minh rằng không có tiếp tuyến nào của đồ thi ̣ (𝐶) song song với tiếp tuyến đi qua 𝐴(1; 0) ở câu trên

41) Cho hàm số: 𝑦 = 2𝑥3+ 3𝑚𝑥2 − 2𝑚 + 1 (𝐶𝑚)

b Tìm trên đồ thị (𝐶) điểm mà ta ̣i đó hế số góc của tiếp tuyến đa ̣t giá tri ̣ nhỏ nhất

c Vớ i giá tri ̣ nào của 𝑚 thì hàm số nghịch biến trên khoảng 1; 2 ?

42) Cho hàm số: 𝑦 = 𝑥3− 12𝑥2+ 12

b Xác định giao điểm của đồ thị với đường thẳng 𝑦 = −4

c Tìm trên đường thẳng 𝑦 = −4 các điểm mà từ đó có thể kẻ đến đồ thị của hàm số 3 tiếp tuyến phân biệt

43) Cho hàm số: 𝑦 = −𝑥3+ 3𝑥2 − 2

b Tìm các điểm thuộc đồ thi ̣ 𝐶 mà qua đó kẻ được một và chỉ một tiếp tuyến với đồ thị 𝐶

44) Cho hàm số: 𝑦 = 𝑥3+ 3𝑥2+ 𝑚𝑥 + 1 (𝐶𝑚)

b Chứ ng minh rằng với mo ̣i 𝑚, (𝐶𝑚) luôn cắt đồ thị hàm số : 𝑦 = 𝑥3 + 2𝑥2+ 7 tại hai điểm 𝐴; 𝐵 phân biê ̣t Tìm quỹ tích trung điểm 𝐼 của đoạn 𝐴𝐵 khi 𝑚 thay đổi

c Xác định 𝑚 để (𝐶𝑚) cắt đ ường thẳng 𝑦 = 1 tại 3 điểm phân biệt 𝐶 0; 1 ; 𝐷; 𝐸 sao cho các tiếp tuyến của (𝐶𝑚) tại 𝐷; 𝐸 vuông góc với nhau

45) Cho hàm số: 𝑦 = 𝑥3− 𝑚𝑥 + 𝑚 − 2 (𝐶𝑚)

a Tìm điểm cố định của (𝐶𝑚) khi 𝑚 thay đổi

c Dùng đồ thị 𝐶 , biện luâ ̣n theo 𝑘 số nghiê ̣m của phương trình: 𝑥3− 3𝑥 − 𝑘 + 1 = 0

46) Cho hàm số: 𝑦 = 𝑥3− 3𝑘𝑥2 − 6𝑘𝑥 (𝐶𝑘)

a Khảo sát và vẽ đồ thị (𝐶) của hàm số khi 𝑘 =1

4

b Biện luâ ̣n theo 𝑚 số nghiê ̣m của phươn trình: 4 𝑥 3− 3𝑥2− 6 𝑥 − 4𝑚 = 0

c Tìm các giá trị của 𝑘 sao cho trong các giao điểm của đồ thi ̣ (𝐶𝑘) với tru ̣c hoành thì chỉ có mô ̣t điểm có hoành đô ̣ dương

47) Cho hàm số: 𝑦 = 𝑥3− 3𝑚𝑥2 + 𝑚2+ 2𝑚 − 3 𝑥 + 4 (𝐶𝑚)

b Viết phương trình Parabol đi qua điểm cực đa ̣i và cực tiểu của (𝐶)và tiếp xúc với đường thẳng :

𝑦 = −2𝑥 + 2

c Trong trườ ng hơ ̣p tổng quát , hãy xác định tất cả các tham số 𝑚, để đồ thị hàm số đã cho có điểm cực đa ̣i và cực tiểu ở về hai phía tru ̣c tung

48) Cho hàm số: 𝑦 = 𝑥3+ 𝑚𝑥2 − 𝑚 − 1 (𝐶𝑚)

a Viết phương trình tiếp tuyến ta ̣i các điểm cố đi ̣nh mà đồ thi ̣ hàm số luôn đi qua với mo ̣i giá tri ̣ 𝑚 Tìm quỹ tích giao điểm các tiếp tuyến đó khi 𝑚 thay đổi

Định dạng
Số trang	14
Dung lượng	1,05 MB