Xác định số đo của xOz b.. Trên tia Ox lấy 2 điểm A và B điểm A không trùng với điểm O và độ dài OB lớn hơn độ dài OA Gọi M là trung điểm của OA.. Hãy so sánh độ dài MB với trung bình c
Trang 1Phòng GD- ĐT
huyện Tĩnh
Gia
Đề thi học sinh giỏi cấp huyện
Năm học 2007-2008 Môn : Toán học – Lớp 6 Lớp 6
( Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề )
Câu I(2 điểm) :
1- Tính nhanh: A =
15
7 9
4 11
2 15
8 9
5
2- So sánh 2 phân số :
20082008
20072007
và
08 2008200820
07 2007200720
3- Rút gọn phân số A=
180 71 530
53 52 71
mà không cần thực hiện phép tính ở tử
Câu II( 3 điểm)
1-Tìm x ,y Z :
a- 34 34
y
x
với x – Lớp 6 y =5 b- (x + 1 ) ( 3y – Lớp 6 2 ) = -55 2- Cho A=
4
5 3
n n
Tìm nZ để A có giá trị nguyên
Câu III( 3,0 điểm)
Trên cùng nửa mặt phẳng cho trớc có bờ Ox vẽ hai tia Oy và Oz sao cho số đo
xOy=700 và số đo yOz = 300
a Xác định số đo của xOz
b Trên tia Ox lấy 2 điểm A và B (điểm A không trùng với điểm O và độ dài
OB lớn hơn độ dài OA ) Gọi M là trung điểm của OA Hãy so sánh độ dài
MB với trung bình cộng độ dài OB và AB
Câu IV ( 2,0 điểm )
Tìm 2 số tự nhiên a và b biết tổng BCNN với CLN của chúng là 15
Hớng dẫn chấm đề thi HSG lớp 6 năm học 2007 2008–2008
1-I
0.5đ
Tính nhanh A=
15
7 9
4 11
2 15
8 9
5
=
15
7 15
8 11
2 9
4 9
5
=-1 + 1
11
2
A=
11
2
0,25 0,25
2-I
0.5đ
So sánh 2 phân số
20082008
20072007
và
08 2008200820
07 2007200720
Ta có P/S :
20082008
20072007
=
2008
2007 10001
10001 2008
2007
P/s :
08 2008200820
07 2007200720
=
2008
2007 100010001
100010001
2008
2007
Vậy 2 phân số trên bằng nhau
0,25 0,25
3-I
1.0đ
Rút gọn A=
180 71 530
53 52 71
không biến đổi tử số
=
) 18 71 53 (
10
53 52 71
=
] 18 71 ).
1 52 [(
10
53 52 71
0,25 0,25 0,25
Trang 2= 10.[7171.52.52 7153 18]
= 10.[7171.52.52 5353]
= 10 1
1-II
a-1-II
0,75đ
b-1-II
1,5đ
Tìm x
Điều kiện y 3 ta có : 3x – Lớp 612 = 4y-12 3x=4y
Từ x-y=5 x=5+y
Ta có : 3y+15 = 4y y=15
x=5+15 = 20
Vậy x=20 ; y=15
(x + 1 ) ( 3y – Lớp 6 2 ) = -55
(x + 1 ) ( 3y – Lớp 6 2 ) = (-11).5 =(-5).(11)
*Nếu : (x + 1 ) ( 3y – Lớp 6 2 ) = (-11).5
3 12 5
2 3 11 1
y x
Hoặc
3 4 11 2 3 5 1
y x y
x
* Nếu : (x + 1 ) ( 3y – Lớp 6 2 ) = (-5)(11)
3 13 6 11
2 3 5 1
y x
y (Loại ) Hoặc
1 10 5 2 3 11 1
y x y
x
Vậy (x=4 , y=-3) hoặc ( x=-6 , y=-1)
0,25 0,25 0,25
0,25 0,25 0,25
0,25 0,25 0,25 2-II
1.0 đ
Tìm nZ để A=
4
5 3
n
n
có giá trị nguyên
A=
4
5 3
n
n
= 3 +
4
17
n
để A có giá trị nguyên khi
4
17
n có giá trị nguyên Vậy để
4
17
n có giá trị nguyên thì n+4 phải là ớc của – Lớp 617
Ta có các ớc của – Lớp 617 là U-17= 1 ; 1 ; 17 ; 17
Lập bảng
Vậy với n = -5 ; n=-3 ; n=-21 ; n=13 thì A có giá trị nguyên
0,25
0,5
0,25
a-III
1.0đ
- Trờng hợp hình ( A) khi Oz nằm giữa 2 tia Ox và Oy ta có :
Số đo góc xOz = 700-300 = 400
- Trờng hợp hình (B) khi Oz không nằm giữa 2 tia Ox và Oy ta có
Số đo góc xOy = 700+300 = 1000
Vẽ
đúng
đợc 1 trờng hợp cho 0,25 đ 0,25 0,25
b-III
Trang 3- Ta có trung bình cộng sđ của BO và BA là
2 2 2
BA BO AB BO
- Ta lại có BO=BA+AO nên BOBA BA AOBA AOBA
2 2 2 2
- Mặt khác ta có BM = BA + AM mà M là trung điểm của OA nên
BM = AOBA
2 (II)
- Từ (I) và (II) suy ra BM =
2
BA
BO
Hay số đo BM bằng trung bình cộng
số đo của BO và BA
0,25
0,25 0,5
0,5 0,5
IV
2.0đ
Tìm 2 số t nhiên a, b biết tổng BCNN và UCLN của chúng bằng 15
- Gọi UCLN (a,b)=d suy ra a=d.m và b=d.n khi đó (m,n)=1
ta có a.b = d.m.d.n
-Mặt khác ta có tích của 2 số bằng tích của BCNN với UCLN của 2 số đó
nên
-Ta có BCNN [a,b] =
d
n m d b a
b
) , (
-Vậy BCNN[a,b] + UCLN(a,b) = d.m.n+d=d.(m.n+1) = 15
Giả sử ab khi đó m n và m.n+12
Lập bảng
Vậy ta tìm đợc các số sau:
(a=1 ; b=14) ; (a=2 ,b=7) ; (a=3 ; b=12 ) và (a=5 , b=10)
0,25 0,25 0,25 0,25 0,25
0,5
0,25
Phòng GD- ĐT
Năm học 2007-2008 Môn : Toán học – Lớp 6 Lớp 7
( Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề )
Câu 1(2 điểm ):
So sánh A và B biết :
A=[0,8 7+(0,8)2] (1,25 7 -
5
4 1,25 ) – Lớp 6 47,86
B=
9
8 65 , 16 9 , 18
4
5 29 , 0 09 , 1
Trang 42) Tìm x biết: a) 4 0
1978
30 1973
35 1968
40 1963
45
b) x-
11
3 55 53
20
17 15
20 15
13
20 13
11
20
Câu III: (1,5đ)
Tìm x , y z biết
5
4 4
3 3
Câu IV (2 đ) Cho tam giác ABC có A= 600 ; BM , CN ( M thuộc AC và N thuộc AB )
lần lợt là phân giác của góc ABC và góc ACB BM và CN cắt nhau tại I
a) Tính BIN
b) Chứng minh INM = IMN
Câu V ( 2 điểm )
Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có 3 chữ số mà khi chia cho 11 d 5 và chia 13 d 8
Hết
( Giám thị coi thi không giải thích gì thêm )
Hớng dẫn chấm đề thi học sinh giỏi lớp 7
năm học 2007 – Lớp 6 2008
I A= 0,8.0,25 (49- 0,64) = 48,36 – Lớp 6 47,86 = 0,5
B=
2 1 9
8 4
9 4
5 5 4
9
8 25 , 2 4
5 8 , 0
Vậy A=B
1 đ 0,75đ 0,25đ
1-II 25 2n > 22
Nên 5 n > 2
Mà n N nên n = 3 ; 4 ; 5
0,25 0,25 a-2-II Tìm x
1978
30 1 1973
35 1 1968
40 1 1963
45
= 0
0 1978
2008 1973
2008 1968
2008 1963
2008
1978
1 1973
1 1968
1 1963
1
x
2008 – Lớp 6 x = 0
x = 2008
0,25đ 0,25 0,25đ
0,25đ
b-2-II Tìm x
11
3 55 53
2
15 13
2 13 11
2
x
11
3 55
1 53
1 53
1 51
1
15
1 13
1 13
1 11
1
x
11
3 55
1 11
1
x
1
x
0,25 0,25
0,25 0,25
Trang 5Ta có:
4
5 3
4 2
3 5
4 4
3 3
Theo dãy tỷ số bằng nhau ta có:
4
5 3
4 2 3
z y x
12 49 49 4
5 3
4 2
y z x
x=12 18
2
3
y=12
3
4
=16
z=12 15
4
5
Vậy x=18 ; y=16 và z = 15
0,5
0,5
0,25 0,25 IV
a-IV
b-IV
-Xét tam giác IBC có NIB =IBC +ICB ( t/c ngoài )
- Xét Tam giác ABC ABC+ACB = 1800-600 =1200(vì
BAC=600)
-Mặt khác do BM và CN là phân giác nên
IBC=1/2ABC và ICB=1/2ACB
IBC +ICB =
2
60
180 0 0
= 60 0
-Vậy NIB = 600
- Kẻ phân giác IH của góc BIC
- CM đợc Tam giác INB = Tam Giác IHB (g.c.g) IH=IN (1)
- CM đợc Tam giác INB = Tam Giác IHB (g.c.g) IH=IM (2)
- Từ (1) và(2) Tg IMN cân vậy INM =IMN
0,25 0,25 0,25
0,25 0,5 0,25 0,25
-Giả sử số cần tìm là a khi đó theo bài ra ta sẽ có:
+ a + 6 11 (a+6)+77 11 a+83 11 (1)
+ a + 5 13 (a+5) + 78 13 a+83 13 (2)
Từ (1) và (2) suy ra a+ 83 BCNN (11, 13 ) mà BCNN ( 11,13) = 143
Ta có : a+ 83 143
a= 143.k – Lớp 6 83 ( k N * )
Để a nhỏ nhất thì 143.k nhỏ nhất hay k nhỏ nhất
Nếu k=1 thì a= 60 là số có 2 chữ số ( Loại )
Nếu k=2 thì a = 203
Vậy số 203 là số nhỏ nhất thỏa mãn đầu bài đã cho
0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
Trang 6( Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề )
Câu I (2 điểm ) :
1) Tính giá trị biểu thức : A= x5- 5x4+5x3-5x2+5x – Lớp 61 với x=4
2) Tìm điều kiện để phân thức : B=
12 7
7 5 2 2
x x
x có nghĩa.
Câu II ( 3 điểm )
1- Với giá trị nào của a phơng trình
1 1
1
2 2
2
x
x a x x a
nhất
2- Tìm giá trị lớn nhất của B =
3 2
10 6 3 2 2
x x
x x
3- Ngời ta đặt một vòi nớc chảy vào bể nớc và một vòi chảy ra ở lng chừng bể Khi
bể cạn , nếu mở cả 2 vòi thì sau 2 giờ 42 phút bể đầy nớc Còn nếu đóng vòi chảy
ra , mở vòi chảy vào thì sau 1 giờ 30 phút bể đầy nớc Biết vòi chảy vào mạnh gấp
2 lần vòi chảy ra
Tính thời gian nớc chảy vào từ lúc bể cạn đến lúc nớc ngang chỗ đặt vòi chảy ra?
Câu III (2 điểm ): Cho tam giác vuông ABC (Aˆ 90 0) Một đờng thẳng song song với BC lần lợt cắt AB và AC tại D và E
a- Chứng minh CB2 – Lớp 6 CD2 = EB2 – Lớp 6 ED2
b- Hãy xác định điểm D thoả mãn DC2=BC.DE
Câu IV :( 2 điểm ) cho a,b,c > 0 Chứng minh rằng
a c
a c c b
c b b a
b a
< 1
(Giám thị coi thi không giải thích gì thêm)
Hớng dẫn chấm đề thi học sinh giỏi lớp 8
Năm học 2007 – Lớp 6 2008
a-I Thay x=4 vào biểu thức A ta có
A= 45- 5.44 +5.43- 5.42 + 5.4 – Lớp 61
= 45 – Lớp 6 (4+1).44 +(4+1).43 -(4+1).42 + (4+1).4 – Lớp 61
= 45- 45 – Lớp 6 44+ 44 + 43 – Lớp 6 43 – Lớp 6 42 + 42 +4 – Lớp 6 1
A = 3
0,25 0,25 0,25 0,25 b-I
Tìm điều kiện để phân thức B=
12 7
7 5 2 2
x x
x có nghĩa
Để B có nghĩa khi x2- 7x + 12 0
x2 – Lớp 6 4x – Lớp 6 3x + 12 0
x(x-4) – Lớp 63(x-4) 0
(x-4).(x-3) 0
x 4 ; x 3
Vậy điều kiện để B có nghĩa là mọi x 3 và x 4
0,25 0,25 0,25
0,25 1-II
Điều kiện để PT
1 1
1
2
2 2
2
x
x a x x a x
nếu có nghiệm là x-1 ; 1
0,1
0,2
Trang 7ta viết PT dới dạng
1
1
2
2 2
x x
x a x a x
x-a2x+a = 1
(1-a2).x = 1- a
- Nếu a -1: 1 thì x=
a
1
1
là nghiệm nếu
a
1
1
1 ; -1 hay a0 và a -2
- Nếu a=1 thì 0x = 0 phơng trình có vô số nghiệm khác – Lớp 61 và 1
- Nếu a=-1 thì 0x=2 PT vô nghiệm
Vậy để phơng trình có nghiệm duy nhất thì a1 , a-1 , a0 và a -2
0,1 0,2 0,2 0,2
2-II
* Tìm giá trị lớn nhất của B=
3 2
10 6 3 2 2
x x
x x
B=
3 2
1 ) 3 2 ( 3 2 2
x x
x x
B= 3 +
3 2
1 2
x x
B= 3 +(x11)2 2
Để B có giá trị lớn nhất khi
2 ) 1 (
1
2
x (I) có giá trị lớn nhất Mà để (I) có giá trị lớn nhất khi (x+1)2+ 2 (II) có giá trị bé nhất (II) có giá trị bé nhất
khi (x+1)2 = 0 hay x=-1
Vậy Max B =
2
7 khi x= -1
0,2 0,2
0,2
0,2
0,2 3-II - Gọi thể tích bể nớc quy ớc là 1 ( đơn vị thể tích ) Gọi Thời gian vòi nớc
chảy vào từ lúc bể cạn đến mực nớc nơi vòi chảy ra là x ( x>0 ; đv thời
gian).
Theo bài ra ta có:
- Trong 1 giờ vòi chảy vào đợc là 11,5 32 (thể tích bể)
- Trong 1 giờ vòi chảy ra chảy đơc
3
1 2 : 3
2
( thể tích bể)
- Vậy nếu mở đồng thời cả vòi chảy vào và vòi chảy ra thì lợng nớc trong bể trong thời gian chảy 1 giờ là :
3
1 3
1 3
2
(thể tích bể)
- Trong x giờ đầu , chỉ có 1 vòi chảy vào nên lợng nớc trong bể là .x
3
2 (I) -Thời gian cả 2 vòi chảy vào và ra sẽ là (2h42’ – Lớp 6 x) hay 2,7h – Lớp 6 x
- Lợng nớc trong khoảng thời gian (2,7h – Lớp 6x) ở trong bể khi cả 2 vòi chảy ra , chảy vào là : .( 2 , 7 )
3
1
x
(II)
- Từ (I) và (II) ta có phơng trình : .x
3
2 + .( 2 , 7 ) 3
1
x
= 1
- Giải phơng trình x=0,3
- Trả lời : để vòi chảy vào từ khi bể cạn đến mực nớc đầy đến nơi đặt vòi
chảy ra là 0,3 h
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
Trang 8a-III
1.0đ
b-III
2.0đ
a) *-Xét ADC có DC2 = AC2+AD2 (Pitago)
-Xét ABC có BC2=AC2+AB2 ( Pitago)
- Vậy BC2- CD2 = AC2+AB2 – Lớp 6 AC2-AD2 = AB2-AD2 ( I)
*- Xét ADE có ED2 = EA2+AD2
- Xét ABE có BE2= EA2+AB2
- EB2-ED2 = EA2 +AB2 – Lớp 6 EA2 – Lớp 6 AD2 = AB2-AD2 (II)
Từ (I) và (II) suy ra CB2 – Lớp 6 CD2 = EB2 – Lớp 6 ED2 ( đpcm)
b) Phân tích : Giả sử Ta xác định đợc điểm D thoả mãn DC2=BC.DE khi
đó ta có :
DC
DE BC
DC
(I) Mặt khác ta có EDC= DCB (so le trong ) (II)
Từ I và II ta suy ra đợc tam giác EDC phải đồng dạng với tam giác DCB
Từ đó suy ra đợc Góc ACD = Góc ABC
Vậy để xác định điểm D thoả mãn DC2=BC.DE Qua điểm C vẽ góc
ACx về phía nửa mf chứa điểm B sao cho góc ACx bằng góc B Tia Cx cắt
AB tại đâu thì đó là điểm D
Cách dựng :
- Dựng góc ACy= Góc B Cắt AB tại D
Chứng minh
- Kẻ DE //BC ta có
- CED Đồng dạng với BDC có
DC
DE BC
DC
CD2=BC.DE
Biện luận : - Bài toán có duy nhất một điểm D
0,25
0,25 0,25 0,25 0,25 0,25
0,25 0,25
0,25
0,25 0,25 0,25
IV Ta biết nếu x <1 -1< x < 1
1 1
x x
Ta có chứng tỏ
c b a
c b a b a
b a
c b a
c b a b a
b a
) )(
( ) )(
Vậy
c b a
c b a b a
b a
( 1)
Tơng tự
a c b
a c b c b
c b
(2)
b a c
b a c a c
a c
(3) Cộng vế với vế của 3 bất đẳng thức (1) ,(2),(3) ta đợc
a c
a c c b
c b b
a
b
a
<
c b a
c b a
=1
0,25
0,25
0,25 0,25 0,25
0,25 0,25
Trang 9Tơng tự ta cũng có
a c
c a c b
b c b a
a b
<1
Suy ra đợc
a c
a c c b
c b b a
b a
< 1 ( đ.p.c.m)
0,25