Gián án Bài tập về văn thức bậc 2 (có đáp án )

Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A.2.. Khi x thoả mãn điều kiện xác định.

Bµi tËp vÒ c¨n thøc

Bµi 1 : Cho biÓu thøc : p = ( 1)( 3 1)

) 1

x x

1 (

4 )

1 )(

1 (

3 )

)(

1 (

) 3 ( ) 1 (

x x

x x

x x

x x x x x

x x

x x x

1 Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A.

2 Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9

3 Khi x thoả mãn điều kiện xác định Hãy tìm giá trị nhỏ nhất cuả biểu thức B,

2

1   

x x

=

) 1 )(

1 (

2 )

1 )(

1 (

) 1 ( 2 )

1 )(

1 (

) 1 (

x x

x x

x

x x

=

) 1 )(

1

(

2 ) 1 (

x x

x

=

) 1 )(

1 (

2 2 2

x x x

=

) 1 )(

1



x x

x x

=

) 1 )(

1 (

) 1 (







x x

x x

=

1



x x

4

1 2

1 2

1 2 ) (

2 2

1 )

2

1

( x 2 Với mọi giá trị của x 0 v x à x 1

Dấu bằng xảy ra khi ( x 21)2 0 x 120 x41

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức B l à 

1

đạt được khi x 41 Bài 5 : Cho biểu thức p = (

2

).

1 1

1 (

) 1 ( ) 1 (

2

x x

x x x

) 1 )(

1 (

2 2

x

x x x x

x x

1 2

x

x x

x

x

B, Thay x= 3+2 2 vào ta có P = 21

2 2

2 1 1 2 2 3

2 2 3

a a

1 ( : )

1 1

1 (

x x

A, Rút gọn A ?

B, Tìm giá trị của x để A có giá trị âm ?

Gi¶i : A =

x

x x

x x x x x

x

x x x

) 1 )(

2 ( ) 1 (

1 )

1 )(

2 (

4 1 :

1 :

)

1 1

1 (

x

x x

x x

1 :

) 1 1

1 (

x

x x

x x

x x

x x

x x

x x x x

x x

x x

x x

x x

x x

3 2

3

2 1

1 1

2 1

4 1 :

1 1

2 1

2 2

1 1

: 1 1

Bài 10 : Cho biểu thức :

2

2 2

x x

2 2

2 2

2 1

x

x x x

x

x x

5 2 4 2 2 3

x x

x x

x

3 2 2

2 3

2 2

6 3

x

x x x

x

x x

4 2 3

2 2

x x

NÕu 4m - 1 > 0 th× nghiÖm bÊt ph¬ng tr×nh lµ x > 1

1 1

1

2

2 2 3

x x x

x

Với x 2;1 .a, Rút gọn biểu thức A

.b , Tính giá trị của biểu thức khi cho x= 6  2 2

c Tìm giá trị của x để A=3

2 2 4

x x x

x

x x x x

x x

: 1

1 (

x

b P =

1

2 1 1

x

Để P nguyên thì

) ( 1 2

1

9 3

2

1

0 0

1

1

4 2

1

1

Loai x

x

x x

x

x x

x

x x

Vậy với x= 0 ; 4 ; 9 thì P có giá trị nguyên

Bài 18 :cho biểu thức P =

9

9 3 3

x x

A, Rút gọn P ?

B, Tìm giá trị của x để P =

3 1

C, T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña P ?

3 ( ) 3 )(

3 (

9 3 3

2

x x

x x

x x x

x

x x

3 (

) 3 ( 3 )

3 )(

3 (

9 3 )

3 )(

3

(

9 3 6 2

x

x x

x

x x

x

x x x

3 3

1 3 3 0

x x

VËy P ®ạt gi¸ trÞ lín nhÊt =1 khi x=0

) 3 4 ( 13 3 4

) 3 2

y x y x xy

y x

xy

2 )

)(

( ) (

).

1

2 1

) 1 2

x

x x x x x

x x

=1+

1 2

) 1 ( ) 1 )(

1 (

) 1 )(

1 2 ( )

1 )(

1

(

) 1 )(

1 2

x x

x x

x x

x

x x

=1+

1 2

) 1 ( ) 1 )(

1 (

) 1 )(

1 2 ( 1

x x

x x

x x

1 1

) 1 ( 1

1

) 1 ( 1

x x

x x x x

x x x

x

x x x x

x x

x x

= 1+

1

1 1

1 1

x x

x

x x

x x x

x x

x

x x x x x x

x

5

6 6 1

1 5

6 6

x x x

3

2 1

1 3

Bµi 21 :

B 18 3B => B3 - 3B - 18 = 0

<=> (B - 3)(B2 + 3B + 6) = 02

) )(

( ) (

) (

1 5 1 5

x

x x

x

x

víi x > 0 vµ x  1a) Rót gän T

b) Chøng minh r»ng víi x > 0 vµ x  1 lu«n cã T < 31

x

x x

x x

x

x x

x

= x2((x x1)(1)(x x1)x(1x) x1)

= (  1)(  1)

x x x

x x

= ( x x1)(( x x 1x)1)

= 1



 x x

x b)

XÐt 31 - T = 31 - 1



 x x

x =

4

9 ) 2

1 ( 3

) 1 ( 2 2

a a

) 1 ( 1 1

) 1 (

a

a a a

a a

a A

a a

2

a a a

a a

 a = 5 2 1

= a a a a







 1

) 1

)(

1 (

= 1 + a + a

=> a

a

a a





 1 1

1 = 1(1xx)(x1( x x)1) = 11x x b)

Víi x = 12 ta cã : P =

2

1 1 2

1 1

Bài 30 :

1) §¬n gi¶n biÓu thøc:

P = 14  6 5  14  6 5

2) Cho biÓu thøc :

Q = x x x x x . x x1

1

2 1

2





















với x > 0 và x 1 a) Chứng minh : Q = x2 1

b) Tỡm số nguyên x lớn nhất để Q có giá trị là số nguyên

Giải :

Cõu 1)

5

6

14  = 5  6 5  9  ( 5  3 ) 2

= 3 + 5

Tơng tự : 14  6 5 = 3 - 5

Vậy P = 3 + 5 + 3 - 5 = 6

Cõu 2) a) Q = x x x x x . x x 1 ) 1 )( 1 ( 2 ) 1 ( 2 2             

= x x x x . 1x 1 2 1 2           

= x x x x x x x x . 1x ) 1 )( 1 ( ) 1 )( 2 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 )( 2 (               

= (  2 ( 2)1)((  1) 2  2) x x x x x x x x x

= x x2 xx2(xx1) x2 x 2

= 2( 1)  2 1  x x x x

b) Q = x2 1 nguyên  x -1 là ớc của 2  

        2 1 1 1 x x

Do đó x lớn nhất  x – 1 = 2  x = 3

y x

xy y

x x

y

y x y x

y x































:

a) Tìm ĐKXĐ của Q và rút gọn

b) Chứng minh Q  0

c) So sánh Q với Q

Giải :

a)

x  0

x  y

Q =      

xy y

x x

y x y

y xy x y x y

x

y x y x

=        

y xy x

y x x

y x y

y xy x x y y x

y x y

x

y xy x y x

y x y

x

y xy x y

=

y xy x

xy y

xy x

y x y

xy

vµ x  yc)

Theo c©u b, ta cã x - xy + y > xy(1)

Chia 2 vÕ cña (1) cho x - xy + y > 0 =>  1



 xy y x

1 0 4( 1) 0 4( 1) 0 4( 1) 0

x x x x

x x

Và:

(2)

Ta giải phương trỡnh:

Vậy miền xỏc định của P là:

Với x thuộc miền xỏc định, từ (1) và (2) ta rỳt gọn được:

b) Với x thuộc miền xỏc định, ta tỡm x sao cho P = 1

x x

1 2 6 5

9 2

a Tìm điều kiện của x để M có nghĩa và rút gọn M

x x

1 2 6 5

9 2

a) ĐK x 0 ;x 4 ;x 9

Rót gän M =      

 2 3

2 1

2 3 3

9 2

x x

x x

x x

M =   

1 2

3

2 1

x

x x

b)

 

16 4

4 16

4 16

15 5

1

3 5 1

5 3

1 5

x

x x

x x

x x

c) M =

3

4 1 3

4 3 3

x x

x x x

x

x x

2 1 2 1

1

1 1

x

x x x

x x

x x

x x

b) Rót gän biÓu thøc A

1 (

3 )

1 (

3 1

3 1

x x

x x

x x

x

x

=

) 1 ( ) 1 (

4 )

1 ( ) 1 (

) 1 )(

3 ( ) 1 )(

3

(

2 2

x x

x

x x

x x

TÝnh trong ngoÆc ngoặc

x x

x x

x x

x x x

x

x x

x x

x

x x

x x

) 1 ( ) 1 (

1 )

2 )(

(

4 2 3 1

2 2

1 2

4 2 3

x x

x

x x x

x x

x x

x

x x

P=

2

1 )

2 )(

1 (

) 1 ( )

2 )(

1 (

1 2 )

2 )(

1 (

4 1 4 2

x

x x

x

x x x

x

x x x

1 3 3

6 4 6

1 3

6 5 3

6 6

1 3

6 5 ) 1 3

(

3

) 1 3 (

B, x

x

x x x

x x x

x x x

x x

) 1 3 ( 6 1

3

1 3 6 1

3

) 1 3 ( 6 ) 1 6 9 ( 4

1 (

) 3 ( ) 1 )(

3 ( ) 1 )(

1 (

3 1

3 1

3 1

x

x x

x x

x x

x x

x

x x

x

x x

x x

x x

x x x

x x

x x x

x

x

x x

) 3 3 ( 6 2 3 ) 3 3 )(

3 3 (

3 ( 6 3

) 2 3 ( 3

x x

x x

x x

x

1

) 1 ( ) 1

1 ) 1 (

1 :

) 1 (

x 

b) A = 1 2

1

B, với giả thíế đã cho x  0 và x  3 ta có

3

1 ).

3 ( ) )(

3 (

) 3 (

) 3 ( 3 ( ) (

) 3 ( ) (

2 2

3 3

x x

x x

x x

) 1 )(

1 ( 2 ) 1 2 ( 1

) 1 )(

1 (

x x x

x x

x

x x x

x

x x x x

=x- x-2 x 1  2 x 2 =x- x 1

Vởy A

=x-4

3 ) 2

1 ( 4

3 ) 2

1 ( 2

1 2 ) (

4

1 2

x

1 1

2 1

5 3 7 , 2

5 3 7 0

1 3 0

3 1 1

x

1

1 ( : 1

1

3 2

2 3

x x x

x x

C, Tìm x để A<0

GiảI : a, A =

) 1 ( ) 1

)(

1 (

) 1 )((

1 ( :

1

) 1

)(

1 (

2

2

x x x x x

x x

x

x x x x

1 )(

1 (

) 1 )(

1 ( : 1

) 1

x

x x

x x

x x x

272 3

8 9

34 ) 3

5 1 )(

9

25 1 ( ) 3

5 ( 1 ) 3

5 ( 1 , 3

5 3

x x x

x

x x

1 ( 2 ) 1 2 ( 1

) 1 )(

1 (

x

x x x

x

x x x x

= x( x 1 )  ( 2 x 1 )  2 ( x 1 ) x x 2 x 1  2 x 2 x x 1

B, A =   2 21 21 43

2 2

1 2

1 2

1 4

c) Với 0  a 1 thỡ A< 0 khi a1  0 a1 0 a1

1 :

1 1

1

x x

x x

a) Tỡm điều kiện của x để giỏ trị của biểu thức P được xỏc định

b) Rỳt gọn biểu thức P

c) Tớnh giỏ trị của P khi x = 4

) 1 (

1 )

1 )(

1 (

1 1

: ) 1 (

x x x

x

x x

x x

x x

=

x

x x

x

x x

2

1 )

1 ( 2

) 1 )(

1 4 2

x x x

x x

1 4

y x

y y

y x

x P

) )

1 )(

(

a) Tìm điều kiện của x và y để P xác định Rút gọn P

b) Tìm x,y nguyên thỏa mãn phơng trình P = 2

Bài48: a) điều kiện để P xác định là :; x 0 ; y 0 ; y 1; x  y 0

y y

x

Ta cã: 1 + y 1  x  1 1  0  x 4  x = 0; 1; 2; 3 ; 4

Thay vµo ta cã c¸c cÆp gi¸ trÞ (4; 0) vµ (2 ; 2) tho¶ m·n

1 1

1

x

x x x

x x

x x

víi x > 0 vµ x  1a) Rót gän A

1 1

1

x

x x x

x x

x x

) 1 ( : 1

1 )

1 )(

1

(

) 1 )(

1

(

x

x x

x x x

x x

x

x x

1 1

1

x

x x x x

x x

1 1

x x x

=

1

: 1

x x

2

2

Lµ mét sè tù nhiªn

b Cho biÓu thøc: P =

2 2

2 1



z y

yz

y x

xy

x

BiÕt x.y.z = 4 , tÝnh P

Gi

ả i : a

x x

x x

x x

x

) 1 ).(

1 (

1

2 2

2 2

(

2 2

z

z x

xy

xy x

xy

x

(1®)

 P  1 v× P > 0

Bà i 54: Cho biểu thức P = : 11

2

1 1

1 2

3 9 3

x x

x x x

C, Tình các giá trị của P với x =4  2 3

GiảI : a,điều kiện xác định là x 0 ,x 1

, Rút gọn ta đợc P =

1 3

3 2

b a

2) Tìm điều kiện xác định của A

a

b ab a b

a

=(a+b+ ab  ab):( b ab a

b a

a

: 2 2

2 2

(

2 2

2 2

) 1 3 ( ) 1 3 (

) 1 3 ( ) 1 3 ( 3 2 4 3 2 4

3 2 4 3 2 4 ) 3 2 3 2 ( 2

) 3 2 3 2 ( 2 3 2

3

2

3 2

Vậy giá trị của B = 0

Bài 58: Cho biểu thức: A x 1 x 1 : 22 x 1

b) Tính giá trị của biểu thức A khi x  3  8

c) Tìm giá trị của x khi A = 5

HD: a) ĐK: x ≠ ±1: A 4x2

1 x



 ; b) x  3  8 1   2 Khi đó: A = −2 ; c) x 1  5; x2 5

c) Tính giá trị của biểu thức C khi x  6  20

d) Tìm các giá trị nguyên của x để C có giá trị nguyên

Bài 62: Cho biểu thức: A a a 1 a a 1 :a 2

a) Với giá trị nào của a thì biểu thức A không xác định

 ; c) có duy nhất a = 6 thỏa mãn

Bài 63: Cho biểu thức: B x 2x x

b) Tính giá trị của B khi x 3   8

c) Với giá trị nào của x thì B > 0? B< 0? B = 0?

a) Tìm điều kiện của a để B xác định Rút gọn B

b) Với giá trị nào của a thì B > 1? B< 1?

b) Tính giá trị của A khi x = 7 + 4 3

c) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị nhỏ nhất

3) Tìm giá trị lớn nhất của P.

HD: 1) Điều kiện để P có nghĩa : x ≥ 0 và x ≠ 1 Kết quả: P  x (1  x )

c) Tìm giá trị của x khi B = 4

d) Tìm các giá trị nguyên dương của x để B có giá trị nguyên

x 2 nguyên, khi đó x-2 = -1 nghĩa là x = 3, hoặc x = 1.

1 2

1 2

2

x

x x

x x

3 1

1 3

3 1

) 3 ( 2 3 2

8 (

a a

a a

a

a a

A, Rót gän P =?

B, TÝnh gi¸ trÞ cña P khi cho x= 4  2 3