Tài liệu giảng dạy môn Toán cao cấp A2

(NB) Nội dung tài liệu giảng dạy môn Toán cao cấp A2 gồm 4 chương, cung cấp cho người học những kiến thức về: Phép tính vi phân hàm nhiều biến; tích phân hàm số nhiều biến số và ứng dụng; tích phân đường, tích phân mặt và ứng dụng; phương trình vi phân cấp I, II và ứng dụng. Mời các bạn cùng tham khảo để biết thêm các nội dung chi tiết.

MỤC LỤC

1.1.1 Rn và các tập con 5

1.1.2 Định nghĩa hàm nhiều biến 7

1.1.3 Các ví dụ: 8

1.2 Biểu diễn hình học của hàm hai biến số 9 1.3 Giới hạn của hàm nhiều biến số: Z = f(x; y) 11 1.3.1 Định nghĩa giới hạn 11

1.3.2 Các ví dụ: 12

1.3.3 Chú ý 12

1.4 Sự liên tục của hàm số Z = f(x; y) 12 1.4.1 Định nghĩa 1 12

1.4.2 Định nghĩa 2 12

BÀI 2: ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN 15 2.1 Đạo hàm riêng 15 2.1.1 Định nghĩa 15

2.1.2 Đạo hàm riêng cấp cao 18

2.2 Vi phân toàn phần 19 2.2.1 Định nghĩa 19

2.2.2 Điều kiện khả vi 20

2.2.3 Vi phân cấp cao 21

2.2.4 Ứng dụng để tính gần đúng 22

2.3 Đạo hàm của hàm hợp 24 2.4 Đạo hàm của hàm ẩn 26 BÀI 3: CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN 30 3.1 Cực trị tự do 30 3.2 Quy tắc tìm cực trị 30 3.3 Cực trị có điều kiện 32 3.3.1 Định nghĩa 32

3.3.2 Qui tắc thế 33

3.3.3 Phương pháp nhân tử của Lagrange 33

3.4 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong miền đóng 35 CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ VÀ ỨNG DỤNG 37 BÀI 1: TÍCH PHÂN HAI LỚP 37 1.1 Khái niệm về tích phân hai lớp 37 1.1.1 Bài toán về thể tích của vật thể hình trụ cong 37

1.1.2 Định nghĩa tích phân hai lớp 38

1.2.2 Đổi biến trong tích phân kép 40

BÀI 2: TÍCH PHÂN BA LỚP 43 2.1 Định nghĩa và tính chất 43 2.1.1 Định nghĩa 43

2.1.2 Tính chất 43

2.2 Cách tính tích phân bội ba 44 2.2.1 Tích phân bội ba trong hệ tọa độ Descartes 44

2.2.2 Tính tích phân bội ba trong hệ toạ độ trụ 46

2.2.3 Tính tích phân bội ba trong hệ toạ độ cầu 47

BÀI 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN HAI LỚP VÀ BA LỚP 49 3.1 Ứng dụng trong hình học 49 3.1.1 Tính diện tích hình phẳng 49

3.1.2 Tính thể tích của vật thể V 49

3.1.3 Tính thể tích của vật thể được giới hạn bởi các mặt 50

3.1.4 Tính diện tích của mặt cong 50

3.2 Ứng dụng trong vật lý 52 3.2.1 Tính khối lượng của vật thể 52

3.2.2 Tính tọa độ trọng tâm của một vật thể 53 CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG, TÍCH PHÂN MẶT VÀ ỨNG DỤNG 56

2.6 Điều kiện để tích phân đường không phụ thuộc vào đường lấy tích phân 65

CHƯƠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I, II VÀ ỨNG DỤNG 78

1.2 Định nghĩa phương trình vi phân 79

2.1.1 Định nghĩa 80 2.1.2 Định lý về tồn tại và duy nhất nghiệm 80 2.1.3 Nghiệm tổng quát và nghiệm riêng của phương trình vi phân cấp một 80

2.2.1 Định nghĩa 81 2.2.2 Cách giải 81

2.4.1 Định nghĩa 85 2.4.2 Cách giải 85

2.5.1 Định nghĩa 86 2.5.2 Cách giải 86

2.6.1 Định nghĩa 88 2.6.2 Cách giải 88

3.1.1 Định nghĩa 92 3.1.2 Định lý về sự tồn tại và duy nhất của phương trình vi phân cấp hai 92 3.1.3 Nghiệm tổng quát và nghiệm riêng của phương trình vi phân cấp hai 92 3.2 Các phương trình vi phân cấp hai giảm cấp được 93 3.2.1 Loại 1: Vế phải của phương trình không chứa y và y’ 93 3.2.2 Loại 2: Khi vế phải của phương trình không chứa y 94 3.2.3 Loại 3: Vế phải không chứa x 94

3.3.1 Định nghĩa 95 3.3.2 Phương trình thuần nhất 95 3.3.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp II không thuần nhất 98 3.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai với hệ số là hằng số 99 3.4.1 Định nghĩa 99 3.4.2 Cách giải 100

CHƯƠNG 1: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số là sự mở rộng một cách tự nhiên và cần thiết của phép tính vi phân hàm số một biến số Các bài toán thực tế thường xuất hiện

sự phụ thuộc một biến số vào hai biến số hoặc nhiều hơn, chẳng hạn nhiệt độ T của

một chất lỏng biến đổi theo độ sâu z và thời gian t theo công thức T = e −t z, nhiệt lượng

toả ra trên dây dẫn phụ thuộc vào điện trở của dây, cường độ của dòng và thời gian dẫn

điện theo công thức Q = 0,24RI2t,… Vì vậy, khảo sát hàm số nhiều biến số vừa mang

tính tổng quát vừa mang tính thực tiễn Để học tốt nội dung này, ngoài việc nắm vững các phép tính đạo hàm của hàm một biến số, sinh viên phải có các kiến thức về hình học không gian Trong nội dung này, yêu cầu sinh viên nắm vững các nội dung chính như các khái niệm chung của không gian Rn

(n chiều), phép tính đạo hàm riêng và vi phân toàn phần, và ứng dụng đạo hàm, vi phân tính các bài toán cực trị

BÀI 1: KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM NHIỀU BIẾN

 Mục tiêu học tập: Sau khi học xong bài này, người học có thể:

- Mô tả được miền xác định và đồ thị của hàm hai biến

- Tính được giới hạn và sự liên tục của hàm hai biến số

1.1 Khái niệm cơ bản về hàm nhiều biến

Cho 2 điểm P(x1, x2, …,xn) và Q(y1, y2, …,yn) trong Rn, khoảng cách giữa hai điểm P và Q, ký hiệu là d(P, Q) được định nghĩa bởi:

d(P, Q) = (x1y1)2(x2 y2)2  (x n y n)2

Khoảng cách này thỏa bất đẳng thức tam giác sau đây:

d(P, Q) ≤ d(P, R) + d(R, Q), với 3 điểm P, Q, R tùy ý

Điểm P(x1, x2, …, xn) còn được viết gọn dưới dạng x = (x1, x2, …, xn) với x=(x1, x2, …, xn) và y = (y1, y2, …, yn), khoảng cách giữa x và y còn được viết bởi: | x – y |= (x1y1)2(x2 y2)2 (x ny n)2

Cho điểm PRn và r là số thực dương, tập hợp B(P, r) = {QRn| d(P, Q) < r} được gọi là hình cầu mở tâm P bán kính r hay là lân cận bán kính r của P

Tập hợp E trong Rn

được gọi là bị chặn nếu có r > 0 sao cho EB(O,r) với O là

hoặc lân cận bán kính ε của Mo hoặc hình cầu mở tâm Mo bán kính ε (H.1a)

* Cho E Rn Điểm ME gọi là điểm trong của E nếu có ε(M)E (ε > 0) Điểm NRn gọi là điểm biên của E nếu bất kỳ  ε(M) đều chứa những điểm thuộc E

và điểm không thuộc E(ε > 0) Tập E gọi là mở nếu mọi điểm của nó đều là điểm trong, gọi là đóng nếu nó chứa mọi điểm biên của nó Tập các điểm biên của E kí hiệu

∂E Bao đóng của E hay tập E đóng ký hiệu E và có E = E  ∂E (H.1a)

* Tập E gọi là bị chặn hay giới nội nếu như tồn tại số N sao cho E N(0)

* Tập E gọi là liên thông nếu mỗi cặp điểm M1, M2 trong E đều được nối với nhau bởi một đường cong liên tục nào đó nằm trọn trong E Tập liên thông E gọi là đơn liên nếu nó bị giới hạn bởi một mặt kín (một đường cong kín trong R2; một mặt cong kín trong R3) (H.1a) Tập liên thông E gọi là đa liên nếu nó bị giới hạn bởi từ hai mặt kín trở lên rời nhau từng đôi một (H.1b)

A, R2 là các tập liên thông, B không liên thông (gồm 3 điểm rời rạc)

A, B là các tập giới nội, R2 không giới nội (cả mặt phẳng Oxy)

- Có một lân cận của M0 nằm trọn trong A, nghĩa là chỉ chứa những điểm của

A Khi đó M0 được gọi là điểm trong của tập A

- Có một lân cận của M nằm trọn ngoài A, nghĩa là hoàn toàn không chứa điểm

nào của A Khi đó M0 là một điểm trong của phần bù của A

- Bất kỳ lân cận nào của M0 cũng có cả những điểm của A và những điểm không thuộc A Khi đó M0 là một điểm biên của A

Chú ý 1) Điểm trong của A là một điểm thuộc A

2) Điểm biên của A có thể thuộc hoặc không thuộc A

+ Một tập hợp được gọi là mở nếu mọi điểm thuộc nó đều là điểm trong của nó + Một tập hợp được gọi là đóng nếu mọi điểm không thuộc nó đều là điểm trong của phần bù của nó

+ Một tập hợp là đóng nếu phần bù của nó là mở

+ Một tập hợp là mở nếu nó không chứa điểm biên nào của nó

+ Một tập hợp là đóng nếu nó chứa tất cả các điểm biên của nó

+ Điểm M0 được gọi là điểm tụ của A, nếu mọi lân cận của M0 đều chứa vô số điểm của A

Chú ý 1) Điểm tụ có thể thuộc A, có thể không thuộc A

2) Có những tập hợp không là tập đóng, cũng không là tập mở

Ví dụ 2: Xét tập hợp các điểm trong mặt phẳng Cho tập hợp A

A = {(x;y) R2: x2 + y2 < 1}

Tất cả các điểm trong của A: {(x;y) R2: x2 + y2 < 1}

Tất cả các điểm biên của A: {(x;y) R2: x2 + y2 = 1}

Tất cả các điểm tụ của A: {(x;y) R2: x2 + y2 ≤ 1}

Tập A là tập mở

Ví dụ 3: Xét tập hợp các điểm trong mặt phẳng Cho A là tập hợp các điểm nằm trong

hình tròn đơn vị mà tọa độ các điểm là các số hữu tỉ

A = {(x;y) Q2: x2 + y2 < 1}

A không có điểm trong

Tập điểm biên và điểm tụ bằng nhau: {(x;y) R2: x2 + y2 ≤ 1}

A không đóng, không mở

1.1.2 Định nghĩa hàm nhiều biến

Ví dụ 4: 1) Nhiệt độ T tại một điểm trên bề mặt trái đất tại một thời điểm t cho trước

phụ thuộc vào kinh độ x và vĩ độ y của điểm này Chúng ta có thể coi T là một hàm theo hai biến x và y, ký hiệu: T = T(x,y)

2) Thể tích V của một bình hình trụ phụ thuộc vào bán kính đáy r và chiều cao

h Thực tế ta biết V = πr2h Khi đó V là một hàm hai biến theo r và h: V = πr2

Một ánh xạ f từ tập D của các cặp số thực (x; y) vào tập R của các số thực được gọi là hàm của hai biến số độc lập x, y

Ký hiệu: f = f(x; y) hay Z = f(x; y) Nghĩa là mỗi một cặp số thực (x; y)D được tương ứng với một số thực xác định f = f(x; y) Tập D được gọi là miền xác định của hàm hai biến số f = f(x; y)

Tương tự như vậy, nếu với mỗi một bộ của n biến số độc lập (x1;x2;…;xn) được tương ứng với một số thực u thì u được gọi là hàm của n biến số độc lập x1; x2;…;xn

Ký hiệu: u = f(x1; x2; …; xn)

(x;y) thì  M(x; y)  Oxy và ngược lại

 Nếu với mỗi M(x;y)D được tương ứng với một số thực xác định f thì f được coi là hàm của điểm M(x;y): f = f(M) = f(x;y)

* Chú ý 1: Cách gọi và kí hiệu như trên rất gọn và tiện lợi cho ta hình dung một cách

trực quan về mối liên hệ giữa biến số và hàm số

- Miền xác định D của hàm f = f(x;y) có thể là một tập hợp điểm của phần mặt phẳng Oxy được giới hạn bởi một đường cong kín nào đó

- Đường cong kín đó được gọi là biến của miền

- Nếu các điểm trên biên của miền D cũng thuộc miền xác định của hàm thì miền xác định của hàm là một miền đóng (kín)

- Nếu các điểm trên biên của miền D không thuộc miền xác định của hàm thì miền xác định của hàm là một miền mở

* Chú ý 2: Miền xác định của hàm có thể là toàn bộ mặt phẳng Oxy

Miền giá trị của f: E = {aR: (x;y)D: a = f(x;y)}

1.1.3 Các ví dụ:

a) Z = x2 + y2 Miền xác định D1 của hàm là cả mặt phẳng Oxy

b) Z  1x2y2

D2 là (x; y): 1 – x2 – y2  0  x2 + y2  1  D2 là một đường tròn có bán kính bằng 1  D2 đóng (kín) (Hình1.2a)

a) Z = ln(x + y)

D3 là (x; y): x + y > 0  x > y  y > – x

D3 là nửa mặt phẳng nằm về phía trên của đường phân giác của góc phần tư thứ II,

D3 mở (Hình1.2b)

b) 2 2 2

y u

2

2 2

9 9

9 9

3 3

y x z

y x

x y

x x

Hình 1.2a Hình 1.2b Hình 1.2c

1.2 Biểu diễn hình học của hàm hai biến số

Gọi Z = f(x;y) là hàm số được xác định ở trong miền D Ta vẽ hệ trục tọa độ Đềcac Oxyz trong không gian Từ điểm M ta kẻ đường thẳng vuông góc (Oxy) và trên đường thẳng đó lấy điểm P sao cho MP  Z  ( x ; y )

 P(x;y;z)  Oxyz

Hình 1.3

- Khi điểm M biến thiên khắp miền D thì ở không gian Oxyz điểm P tương ứng

đã vẽ nên một mặt cong nào đó mà hình chiếu của nó trên mặt phẳng (Oxy) là miền xác định của hàm

- Vậy biểu diễn hình học của hàm Z = f(x; y) là một mặt cong S nào đó trong không gian Oxyz mà hình chiếu của nó trên mặt phẳng (Oxy) là miền xác định D

Ax2 + By2 + Cz2 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz + Gx + Hy + Kz + L = 0

Từ chương trình Toán cao cấp A2, để vẽ mặt bậc hai:

1) Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng biến đổi trực giao

2) Tìm phép biến đổi, xác định trục tọa độ mới

3) Vẽ hình

Ví dụ 5:

1.) Z = x2 + y2 có biểu diễn hình học là mặt parabolôit tròn xoay

Hình 1.42.) Hàm 2 2

y x

Z   có đồ thị là nữa trên mặt nón

Hình 1.5

3.) Hàm Z = xy có đồ thị là mặt yên ngựa

Hình 1.64.) Z  1  x2  y2 có biểu diễn hình học là nửa trên mặt cầu tâm O, bán

kính 1

2 2 2 2

y a

x

có biễu diễn hình học là Ellipsoid:

6.) Hàm Z  ex y có đồ thị: Hình 1.8

Chú ý: đối với hàm có từ ba biến số trở lên thì không có biểu diễn hình học bằng những hình ảnh hình học thông thường

1.3 Giới hạn của hàm nhiều biến số: Z = f(x; y)

Giả sử Z = f(x; y) = f(M) là hàm số được xác định ở trong miền D, M0(x0;y0), M(x; y) là hai điểm của miền D

0 < d (P, M) < δ => |f(M) – L| < ε

Khi đó ta viết: lim ( )

M P f M L

Trong trường hợp hàm hai biến z = f (x;y) thì giới hạn có thể được định nghĩa là:

Số L được gọi là giới hạn của hàm: Z = f(x;y) = f(M) Khi M  M0 (xx0;yy0) (một cách độc lập với nhau) khi y  0

Ta luôn có f x y( ; ) L 0 nghĩa là số L được gọi là giới hạn của hàm Z =f(x;y)= f(M) khi M  M0, nếu    0 bé tùy ý,    0 sao cho M0M

xy1lim 2 2

0

1 lim

y xy x

1.3.3 Chú ý

1) Tất cả các khái niệm giới hạn vô hạn hoặc các định lí về giới hạn: tổng, tích, thương đều giống như hàm số một biến số

2) Từ định nghĩa ta nhận thấy: Giới hạn của hàm số f (x,y) khi M → M o không

phụ thuộc đường đi của M tiến đến M o , vì thế nếu chỉ ra hai đường đi của M tiến đến

M o mà f(M) tiến đến hai giá trị khác nhau thì hàm số không có giới hạn tại M o

0

y x f M f M f y

x f

M M y

Hàm Z = f(x; y) gián đoạn tại M0(x0; y0)D nếu nó không liên tục tại M0

 Z = f(x; y) gián đoạn tại M0 khi nó rơi vào một trong ba trường hợp sau:

* Hoặc là Z = f(x; y) không xác định tại M0(x0; y0)

* Hoặc là nó xác định tại M0 nhưng không có giới hạn: lim ( x ; y )

0 0

y x



liên tục tại mọi điểm (xo;yo) khác (0;0)

Lưy ý: + Các hàm sau đây được gọi là hàm sơ cấp cơ bản: Hàm hằng, hàm mũ, hàm

lũy thừa, hàm lượng giác, hàm lượng giác ngược, hàm logarit

+ Hàm thu được từ các hàm sơ cấp cơ bản bằng hữu hạn các phép toán: cộng, trừ, nhân, chia, khai căn được gọi là hàm sơ cấp

+ Hàm sơ cấp liên tục tại những điểm mà nó xác định

y x

y x z





e) z  x2  y2  1  ln( 4  x2  y2) f) 2

2 2 2 2

21

c

z b

y a

z y x z

y x f

c) Cho ( )

x

y f x

z  Hãy tìm các hàm f và z nếu biết 2

1 y

z   khi x = 1

3) Cho

2 2( , )

lim

2 2

2 2 0

y

2 2 0

0 x y

y x

) 0 , 0 ( ) , ( ,

22 2

y x

y x y x xy z

BÀI 2: ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN

 Mục tiêu học tập: Sau khi học xong bài này, người học có thể:

Nắm vững các qui tắc tính đạo hàm riêng trên cơ sở tính đạo hàm của hàm một biến

Áp dụng công thức tính được đạo hàm riêng của hàm số ẩn, hàm số hợp

Áp dụng công thức vi phân toàn phần và biết cách áp dụng vào phép tính gần đúng



 ) tiến tới một giới hạn xác định

thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm riêng theo biến x (hoặc y) của hàm tại điểm M,

 Biểu diễn hình học:

Hình 1.10

Trong đó: f(x,y) biểu diễn bởi mặt S

Giả sử f(a,b) = c, nên điểm P(a,b,c)S Cố định y = b Đường cong C1 là giao của S và mặt phẳng y = b

Phương trình của đường cong C1 là g(x) = f(x, b) Hệ số góc của tiếp tuyến T1 với đường cong C1 là: g’(a) = f’x(a;b)

Đạo hàm riêng theo x của f = f(x,y) là hệ số góc của tiếp tuyến T1 với đường cong C1 tại P(a,b,c)

Tương tự, đạo hàm riêng theo y của f = f(x,y) là hệ số góc của tiếp tuyến T2 với đường cong C2 tại P(a,b,c)

Ví dụ 1:

1.) Cho hàm Z = ln(x2 + y2)

y x

x

2 x

Z 





; x cos y y

x

xx

x

yy

x

zz

Tiếp tuyến với C1 tại (1,1,1) là đường thẳng màu hồng

Hệ số góc của tiếp tuyến với C1 tại (1,1,1) là đạo hàm riêng cần tìm

Hình 1.11 Biểu diễn hình học:

Hình 1.12 Hình 1.13 Tìm f’y(1;1) và biểu diễn hình học của đạo hàm riêng này?

Có f’y(x;y) = – 4y => f’y(1;1) = – 4

Mặt bậc hai f = f(x,y) màu xanh

Mặt phẳng x = 1 cắt ngang được đường cong C2

Tiếp tuyến với C2 tại (1,1,1) là đường thẳng màu hồng

Hệ số góc của tiếp tuyến với C2 tại (1,1,1) là đạo hàm riêng cần tìm

Hình 1.14 Biễu diễn hình học của f’y(1;1):

Tính chất của đạo hàm riêng

Vì đạo hàm riêng là đạo hàm của hàm một biến nên tính chất của đạo hàm riêng cũng là tính chất của đạo hàm của hàm một biến

(af)’x = af’x (f + g)’x = f’x + g’x

' '

fg gf

Hàm một biến: hàm liên tục tại x0 khi và chỉ khi hàm có đạo hàm cấp 1 tại x0 Hàm nhiều biến: Tồn tại hàm có các đạo hàm riêng cấp 1 tại (x0,y0) nhƣng không liên tục tại điểm này

2.1.2 Đạo hàm riêng cấp cao

Giả sử Z = f(x;y) có các đạo hàm riêng theo biến x, y;

Z



 các đạo hàm

riêng này đƣợc gọi là các đạo hàm riêng cấp một Nếu các đạo hàm riêng này còn phụ thuộc biến x, y thì các đạo hàm riêng của các đạo hàm trên đƣợc gọi là đạo hàm riêng cấp hai của hàm Z theo biến x, y Kí hiệu:

x y

Z

; y x

Z

; y

Z

; x

2

2 2

Z y

Z

; y x

Ví dụ 2: 1) u = f(x;y;z)

z x y

u y

z x

u z

xy 2 x

Z

2

x 2 x y

e 

2

y x 2 '

u   ;

2 y x ''

u   ;

2 y x ''

2

y x '

z 2 Ze

2

y x ''

zx 2 Ze

u   ;

2 y x '''

Xét hàm Z = f(x; y), nếu ta cho x một số gia x, cho y một số gia y thì hàm Z

= f(x; y) có một số gia tương ứng Z = f(x; y) = f(x +x; y +y) gọi là số gia toàn phần của hàm Z = f(x; y) tại M(x; y) Nếu tại điểm M(x; y), có:

Z = A.x + B.y + (x; y) (1)

Trong đó A, B là những đại lượng không phụ thuộc vào x, y Còn (x;y)

là một vô cùng bé cấp cao hơn   2x  2y khi   0 Khi đó ta nói rằng hàm số

 Tại cùng một điểm M(x; y) thì Z và dZ chỉ sai khác nhau bởi (x, y) là một

vô cùng bé cấp cao hơn  khi  0 Nghĩa là tại M(x; y), Z = dZ hay nói cách khác

2.2.2 Điều kiện khả vi

 Định lý 1: Nếu hàm Z = f(x; y) khả vi tại M(x; y) thì tại M(x; y) hàm Z = f(x; y)

có các đạo hàm riêng theo biến x, biến y

; A x

Z x x

 Định lý 2: Nếu tại M(x; y) hàm Z = f(x; y) có các đạo hàm riêng liên tục theo

biến x, y thì hàm số Z = f(x; y) khả vi tại M(x;y)

* Nhận xét:

1) Định lý 1 và định lý 2 nói trên là điều kiện cần và đủ để hàm Z = f(x;y) khả vi

Cụ thể, định lý 1 là điều kiện cần; định lý 2 là điều kiện đủ

Định lý 2: Cần chú ý đến điều kiện liên tục của hàm số Nếu bỏ qua điều kiện đó thì định lý 2 sẽ không còn đúng nữa

2) Biểu thức: f(x;y)Z = f(x;y)dx gọi là vi phân riêng đối với x của Z = f(x; y) 3) Suy ra quy tắc vi phân toàn phần của u = f(x1, x2, …, xn) là

n n

2 2

1 1

dx x

u

dx x

u dx

x

u du

x

1 u

(

x x

u

2 2

y y

u

2 2

z z

u

2 2

Z ) dy y

Z dx

Z'x  x ; Zxx'' exsiny; Zxy''  excos y

y cos e

Z'y  x ; Zyy''   exsin y; Zyx''  excos y

) ydy cos ydx (sin e dy Z dx Z

Z ) dy Z dx Z ( Z

d2  'x  'y 2

 d2Z  Zxx'' dx2 2 Zxy'' dxdy  Zyy'' dy2=exsinydx2 + 2excosydxdy– exsinydy2

Z

) dy y

Z dx x

Z ( d ) dZ ( d Z

Z ) dy y

Z ( d ) dx ( d x

Z ) dx x

Z (

Z x d x

Z dy

y

Z dxdy

y x

Z 2 dx x

Z Z

) y

; x ( df ) y

; x ( f ) y y

; x x

(

y y

) y

; x ( x x

) y

; x ( ) y

; x ( ) y y

; x x

0 0 0

1 1

y

x 3 x

1 x

Z

4 3

3 2 4

1 1

y x

y 4

1 y

Z

4 3

4 3 4

] 1 y y

x x

ln[

) 1 98 , 0 03

,

1

ln(3 4   3 0  4 0  

) 1 y x

)(

y ( 4

y )

1 y x

)(

x ( 3

x ]

1 y x

ln[

4 0

3 0

4 3 0

4 0

3 0

3 0

02 ,

0 1 1 3

03 0 0 ) 1 98 , 0 03

05 , 1

arctg

Ta có

97 , 0

05 , 1

arctg

03 , 0 1

05 , 0 1

x

f ( , ) 

Rõ ràng:

97 , 0

05 , 1

arctg = f(xo+x; yo+y), trong đó xo= yo= 1;x = 0,05;y = – 0,03

Áp dụng công thức xấp xỉ, ta có:

y y

y x f x x

y x f y

x f y y x x

0

) 03 , 0 ( ) 1

; 1 ( ) 05 , 0 ( ) 1

; 1 ( ) 1

; 1 ( )

f f

y y x x

1 ) 05 , 0 ( 2

1 1

1 )

;

arctg y

y x x

f

3) Một hình trụ bằng kim loại có chiều cao h = 20 cm và bán kính đáy r = 4 cm Khi

nóng lên h và r nở thêm các đoạn Δh = Δr = 0,1 cm Hãy tính gần đúng thể tích hình trụ khi nóng lên

Ta có: V =  r2h, V’r = 2 rh, V’h = r2

Áp dụng công thức gần đúng, ta có: V(r+r;h+h)  r2h+2 rh+ r2h

 Giả thiết u, x, y đều là những hàm khả vi

Định lý: Cho u = f(x;y) với x = x(s;t); y = y(s;t) thoả mãn: Các biến trung gian

x(s;t), y(s;t) có các đạo hàm riêng cấp 1 tại (a;b), f(x;y) khả vi tại điểm (x0;y0) = (x(a;b); y(a;b)) Khi đó hàm hợp u = u(s;t) có đạo hàm riêng cấp 1 tại (a;b) tính theo

công thức:

t

y s y t

x s x

t s D

y x D

) , (

đƣợc gọi là ma trận Jacobi của x, y đối với t, s; còn định thức của ma trận này gọi là định thức Jacobi của x, y đối với t, s hay Jacobian của x, y đối với t, s và ký hiệu:

J =

t

y s

y t

x s x

x s x

y

u x

u t

u s u

Kết luận:

t

y y

u t

x x

u t u

s

y y

u s

x x

u s u

*

.

= eu.x siny + eu.cosy = eu.[x.siny + cosy]

2) Tính các đạo hàm riêng: u = exlny, x = st, y = s2 – t2

Có

t s

s t

s t e s y e t y e s

]

2 ) ln(

[ 2

1

t t

s s e t y e s y e t

]

2)ln(

.[)2(

1

x u u u

x

u Ta có:

3 2

' '

.

1 '.

r

x r

x r r u

ux  x    

5 2 3

4 3

3

1

2

r

x r

r

x r

x r

ux      

2 2 2

z y x r

Chú ý: Nếu u = f(x;y), y = y(x), khi đó u là hàm số hợp của hàm một biến x Do

vậy người ta đưa ra khái niệm đạo hàm tòan phần và công thức tính sẽ là:

'

.y y

f x

f dx

dx

dy y

Z x

Z x

y y

Z x

x x

Z dx

Vậy:

dx

dy y

Z x

Z dx

1x2dx

dy.y

Zx

Zdx

x2sinx2dx

dZ  

2.4 Đạo hàm của hàm ẩn

Giả sử y là hàm ẩn của biến x, x xác định bởi hệ thức F(x;y) = 0 (a)

Từ (a) lấy vi phân toàn phần của hai vế: dy 0

y

F dx x

F dx

Ví dụ 8: 1) Cho y là hàm ẩn của biến x đƣợc xác định 1

b

ya

x

2

2 2

x

2

2 2

x

b y 2

b a

x

2 dx

dy

2

2 2

3) Tính y’(1), biết xy – ex siny = 

Lấy đạo hàm toàn phần (hay vi phân) và xem y là hàm theo biến x hai vế của phương trình đã cho có: y + xy’ – ex

siny – ex cosy.y’ = 0

Thay x = 1 vào phương trình hàm ẩn, nhận được y(1) –  = e.siny(1)

Dùng phương pháp đồ thị giải phương trình này, nhận được nghiệm y(1) = 

Vậy  + y’(1) – e.sin – e.cos y’(1) = 0

4) Tính y’, y’’, biết x – y + arctgy = 0

Lấy đạo hàm toàn phần hai vế, coi y = y(x) Ta có: 0

1

' '

2

21 '

2) Cho z = yln(x2 – y2) Chứng minh rằng: 1 z 1 z z2

a) x2 y2

1

a  b  ; b) y + tg(x + y) = 0 c) arctg(xy) + ex – y = 0 14) Tính các đạo hàm riêng của hàm ẩn z = z(x,y) các định bởi phương trình:

x2 + y2 + z2 = 1 15) Tính các đạo hàm riêng của hàm z, biết:

a) x2 + z3 – 3xyz = a3 b) z3 – x3 – y3 = a3 c) x3 + y3 – z3 = sin(xyz)

16) a) x3 + y3 + ln(x2 + y2) = a2 Tính y’ b) y sin y y

x  x  Tính dx

dy c) z

y x

2 2

x y 2

u e   .sin z Tính:

3u

x y z



   và

4 2



d) z = arctg(xy) e) z = ex.siny f) z = xy

BÀI 3: CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

 Mục tiêu học tập: Sau khi học xong bài này, người học có thể:

- Tìm được cực trị của hàm nhiều biến số (2 biến số)

- Tính được giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm hai biến trong một miền đóng

3.1 Cực trị tự do

Giả sử Z = f(x; y) là một hàm xác định và liên tục ở trong miền D, M0(x0;y0)

Ta nói rằng hàm f(x; y) đạt được giá trị cực đại (cực tiểu) tại M0(x0; y0) nếu tại mọi điểm (x; y) thuộc một lân cận nào đó của M0(x0; y0) thì:

)y

;x()yy

;xx

( 0 0   0 0 hay

)y

;x()yy

;xx

( 0 0   0 0 với mọi  x;  y phải khá bé

Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm f(x; y) được gọi là cực trị của hàm số

Tại M0(x0; y0) mà hàm đạt được cực trị gọi là điểm cực trị của hàm số

Nhận xét:

Tương tự như hàm một biến, khái niệm cực trị của hàm nhiều biến số mà chúng

ta đã định nghĩa ở trên mang tính địa phương, giá trị cực đại (cực tiểu) của hàm tại điểm M0(x0;y0) đó là giá trị lớn hơn (nhỏ hơn) mọi giá trị khác của hàm ở trong lân cận điểm M0(x0;y0) mà thôi chứ không phải giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất trong toàn

* Nếu hàm khả vi Z = f(x;y) có cực trị tại M0(x0; y0)D thì tại đây vi phân toàn phần của hàm Z = f(x;y) phải bằng 0

0 dy y

) y , x ( dx x

) y , x ( ) y , x (

đây và ngoài ra hàm số có thể có cực trị tại những điểm hàm số không có đạo hàm

Ta cũng gọi những điểm có đạo hàm riêng cấp 1 bằng 0 hoặc không có đạo hàm

2 Nếu B2 – AC > 0 thì Z = f(x;y) không có cực trị tại M0(x0; y0)

3 Nếu B2–AC = 0: chƣa kết luận đƣợc cực trị của hàm Z = f(x;y) tại M0(x0; y0)

Sơ đồ khảo sát cực trị của hàm hai biến f = f(x,y):

P x y P x y z

– AC = 0, không kết luận đƣợc, khảo sát bằng định nghĩa

Nếu B2 – AC > 0, P1 không là điểm cực trị

Nếu B2 – AC < 0 và A > 0, P1 là điểm cực tiểu

Nếu B2 – AC < 0 và A < 0, P1 là điểm cực đại

Tương tự xét các điểm còn lại

yx0

x3y3Z

0y3x3Z

2

2 2

' y

2 '

x y

1

x 0 y

0 x

C

3B

3

B

0A

;061.6Ay

6Z

3Z

x6Z

2 1

2 1

2 1

'' yy

'' xy

'' xx

Ta có: B12A1C1936270 hàm số đạt cực tiểu tại M1(1; 1)

và Z(M1) = – 1

0909CA

B22 2 2      hàm số không có cực trị tại M2 2.) Z = x2 y2

Ta có:

0 yx 2 Z

0 xy 2

Z

2 '

y

2 '

2 Z

0 B xy 4 Z

0 A y

2 Z

2 ''

yy

'' xy

2 ''

3.3 Cực trị có điều kiện

3.3.1 Định nghĩa

Cực trị của hàm Z = f(x;y) được xác định trong miền D chứa M0(x0;y0) đó là giá trị của hàm Z = f(x;y) tại M (x ;y ) sẽ lớn hơn hay nhỏ hơn mọi giá trị khác của hàm

được gọi là cực trị tự do hay cực trị tuyệt đối

Ta xét cực trị của hàm Z = f(x;y) với điều kiện ràng buộc của x, y: (x;y) = 0 hay phương trình y = (x) thì cực trị của hàm Z = f(x;y) tại điểm M0(x0;y0) trong từng trường hợp được gọi là cực trị có điều kiện hoặc cực trị tương đối

xZ

2 2

1  a 2

y

Tại x = 0 tức tại (0; a) hàm Z  1  x2  y2đạt được cực trị tương đối

maxZ = Z(1; a) = 1a2

3.3.3 Phương pháp nhân tử của Lagrange

Phương pháp tìm cực trị có điều kiện ở trên có thể có trường hợp không giải quyết được bởi vì không phải bao giờ từ điều kiện (x;y) = 0 ta dễ dàng rút ra được y

= y(x) khi đó người ta dùng phương pháp sau gọi là phương pháp nhân tử Lagrange để tìm cực trị có điều kiện

Điểm M0(x0;y0) R2gọi là điểm cực đại của hàm số f(x;y) với điều kiện φ(x;y) =

0 nếu thỏa mãn φ(M0) = 0 đồng thời tồn tại lân cận đủ bé của M0 trên đường cong φ(x;y) = 0, trong lân cận đó xảy ra bất đẳng thức f(M) < f(M0)

Tương tự ta có khái niệm điểm cực tiểu của hàm số với ràng buộc φ(x;y) = 0

Định lý về điều kiện cần để hàm số có cực trị: Giả sử M0(x0;y0) là điểm cực trị

có điều kiện của hàm số f(x;y) với điều kiện φ(x;y) = 0 và thỏa mãn:

x y’

cận của M0(x0;y0) của đường cong ràng buộc φ(x;y) = 0

- M0(x0;y0) không phải là điểm dừng của hàm φ(x:y) Khi đó tồn tại số thực 

Lưu ý: Hàm số L(x;y;) = f(x;y) + φ(x;y) được gọi là hàm Lagrange và 

được gọi là nhân tử Lagrange

Xác định giá trị  và tọa độ x, y của điểm mà tại đó Z = f(x;y) đạt được cực trị tương đối với (x;y) = 0;  nhân tử của Lagrange (chỉ là điều kiện cần), điều kiện đủ được trực tiếp suy ra từ những vấn đề thực tế Đồng thời phương pháp Lagrange còn

có thể mở rộng đối với hàm nhiều hơn hai biến số

Định lý về điều kiện đủ để hàm số có cực trị: Giả sử f(x;y) và φ(x;y) có các đạo hàm riêng cấp hai liên tục trong lân cận (x0;y0) và (x0;y0;) là điểm dừng của hàm Lagrange

Nếu d2L(x0;y0;) xác định dấu đối với dx, dy trong miền thỏa mãn ràng buộc:

d  x y   x y dx   x y dy dx  dy  thì f(x;y) đạt cực trị có ràng buộc tại (x0;y0) Đạt cực đại nếu d2

L(x0;y0;)<0, đạt cực tiểu nếu d2L(x0;y0;) > 0 Nếu d2L(x0;y0;) không xác định dấu trong miền nói trên thì hàm không đạt cực trị ràng buộc tại (x0;y0)

Sơ đồ khảo sát cực trị của f = f(x,y) với điều kiện  (x;y) = 0

1) Lập hàm Lagrange: F(x;y; ) = f(x;y) + (x;y)

3.4 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong miền đóng

Giống như ở hàm một biến số, hàm nhiều biến số Z = f(x;y) liên tục trên miền đóng D thì ít ra nó đạt được một lần giá trị lớn nhất kí hiệu M và một lần giá trị nhỏ nhất kí hiệu m trong miền đóng D Cực trị của hàm có tính chất địa phương nên nếu Z=f(x;y) đạt được giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của hàm tại một điểm trong

M0(x0;y0)D thì M0 phải là điểm cực trị của hàm Ngoài ra giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của hàm còn có thể đạt được ngay trên biên của miền D

 Cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm trong miền đóng 

Trước hết tìm điểm cực trị của hàm ở trong miền D rồi sau đó, so sánh với giá trị của hàm ở trên biên của miền D  xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

đóng: x2 + y2  4

Tìm cực trị của hàm số Z = x2

– y2 tại những điểm trong của miền: x2

+ y2 < 4 '

x ' y

Z’xy = 2x  B = 0 Z’yy = – 2  C = – 2

Giá trị nhỏ nhất của hàm: M = 4 tại M3(–2;0) và M4(2;0)

a) z = 6 – 4x – 3y, với điều kiện x2 + y2 = 1

b) z = 6 – 5x – 4y, với điều kiện x2 – y2 = 9

c) z = 2x2 + 12xy + y2, với điều kiện x2

+ 4y2 = 25 3) Tìm Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số:

a) f(x,y) = x2 + y2 – xy + x + y trong miền D {(x,y):x   0, y  0, x    y 3}

b) f(x,y) = 2x2 + 2y2 + (x – 1)2 + (y – 1)2 trong miền tam giác OAB, A(1,0), B(0,1)

x

y

O

CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ VÀ ỨNG DỤNG

Ta đã biết, ứng dụng của tích phân xác định, từ hình học, cơ học đến vật lý, kỹ thuật là rất đa dạng Tuy nhiên các đại lượng đề cập đến chỉ phụ thuộc vào một biến

số, đó là sự hạn chế đáng kể Sự mở rộng tự nhiên của hàm một biến kéo theo sự mở rộng của tích phân đơn (tích phân xác định) đã làm tăng khả năng ứng dụng, chẳng hạn tính khối lượng của vật thể hai chiều, ba chiều, từ đó có thể tính được khối tâm, các

mô men quán tính của vật thể, v.v Nội dung này cho chúng ta phương pháp tính tích phân hai lớp, ba lớp và trên nguyên tắc có thể mở rộng cho tích phân bội n (n lớp) Các khái niệm về tích phân bội cũng giống như tích phân xác định, đều dựa trên sơ đồ vi phân (tính yếu tố vi phân rồi lấy tổng) Sự tồn tại, cũng như tính chất của tích phân bội giống như tích phân xác định Chính vì thế, để học tốt nội dung này, sinh viên cần nắm vững các phương pháp tính tích phân xác định và mô tả được miền xác định của hàm nhiều biến

Trong nội dung này, yêu cầu sinh viên nắm vững các nội dung chính như tích phân hai lớp, tích phân ba lớp và các ứng dụng của các dạng tích phân này

BÀI 1: TÍCH PHÂN HAI LỚP

 Mục tiêu học tập: Sau khi học xong bài này, người học có thể:

Mô tả được miền lấy tích phân bội hai bằng hình học và hệ các bất phương trình Từ đó suy ra các cận của các tích phân đơn

Trong một số trường hợp nên thực hiện phép đổi biến số để tính dễ dàng hơn, đặc biệt thường chuyển sang tọa độ cực

1.1 Khái niệm về tích phân hai lớp

1.1.1 Bài toán về thể tích của vật thể hình trụ cong

Vật thể hình trụ cong là một vật thể được giới hạn bởi mặt phẳng (Oxy) một mặt trụ có đường sinh song song với trục Oz và một mặt cong mà mọi đường thẳng song song với trục Oz cắt nó không quá một điểm Hãy tính thể tích V của vật thể hình trụ cong đó

Giả sử đáy dưới của vật thể là một miền phẳng hữu hạn D được giới hạn bởi giao tuyến của mặt phẳng (Oxy) với mặt trụ và đáy trên là một mặt cong có phương Z= f(x;y) Trong đó f(x;y)  0 liên tục và đơn trị ở trong miền D

y

O

Chia tùy ý miền D thành n mảnh nhỏ không dẫm lên nhau Gọi tên và có diện tích của những mảnh nhỏ đó là S1, S2, …, Sn

Lấy mỗi mảnh nhỏ được chia là đáy ta được một vật thể hình trụ nhỏ mà mặt xung quanh có đường sinh song song với trục Oz còn phía trên giới hạn bởi mặt cong

Z = f(x;y) Khi đó vật thể hình trụ xoay sẽ được chia ra làm n hình trụ xoay nhỏ

Trong Z = f(x;y).Si (i1,n) thì f(xi;yi).Si là thể tích hình trụ thẳng có đáy

Si và chiều cao: f(xi; yi)

 Nhận xét:

Nếu Si khá nhỏ do tính liên tục của hàm f(x;y) nên trên mảnh Si khá nhỏ này,

có thể coi f(x;y)  f(xi, yi) là rất bé Do đó suy ra thể tích Vi của vật thể hình trụ nhỏ thứ i xấp xỉ bằng Vi f(xi;yi).Si

Nếu mọi mảnh Si đều khá nhỏ thì thể tích V của hình trụ cong đã cho xấp xỉ gần bằng: 

y

;x(

V và phép tính gần đúng càng chính xác khi n càng lớn

và các mảnh Si càng nhỏ Do đó thể tích V của vật thể hình trụ cong đã cho bằng giới hạn nếu có của tổng nói trên khi n   sao cho max di  0 (di là đường kính của mảnh Si) nghĩa là:

1.1.2 Định nghĩa tích phân hai lớp

Giả sử f(x;y) là hàm xác định trong miền phẳng hữu hạn D của mp(Oxy), ta chia tùy ý miền D thành n miền nhỏ không dẫm lên nhau Gọi tên và diện tích của các miền đó là S1, S2, …Sn

Trong miền Si (i1,n) lấy tùy ý Mi(xi;yi) và lập tổng

I gọi là tổng tích phân của hàm f(x;y) ở trong miền D

Nếu khi n   sao cho max di  0 (di là đường kính của Si) mà In  I, không phụ thuộc vào cách chia miền D cũng như các lấy Mi(xi; yi) thì giới hạn đó được gọi là tích phân hai lớp của hàm f(x;y) ở trong miền D

Ký hiệu: 

D

dS ) y , x

 f(x;y): hàm số dưới dấu tích phân

 D : miền lấy tích phân

 S : yếu tố diện tích của miền D

 x, y : biến số lấy tích phân

S)

y

;x(lim

dS)y,x(

f(x,

x

x

dy y x f

f(x,

y

y

dx y x f





Ví dụ 1: Xác định cận của tích phân 

Dy)dxdyf(x, với miền D xác định bởi các đường:

D

2 0

) , ( dy )

, ( dx y)dxdy

f(x,

y

x

dx y x f dy

y x

2 D

1 0

),(dyy)dxdy

f(x,

D = {(x;y): 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x2 {(x;y): 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2 – x}

Do đó:    x f x y dx   dx xf x y dy

2 0 2

1 0

D

1 0

) , ( )

, ( dx y)dxdy

f(x,

Ví dụ 2: Tính I = 

Dxydxdy, D giới hạn bởi các đường y = x – 4, y2

= 2x Giải: Hoành độ giao điểm:

2 2

2

y y

y y

1.2.2 Đổi biến trong tích phân kép

a Đổi biến tổng quát

Giả sử x = x(u,v), y = y(u,v) là hai hàm có đạo hàm riêng liên tục trên miền đóng, bị chặn Duv Gọi Dxy = {(x;y) : x = x(u,v); y = y(u,v); (u,v)Duv}

Nếu f(x,y) khả tích trên Dxy và định thức Jacobi:

( , )

0 ( , )

x x

D x y u v J

v)]

y(u,v),f[x(u,y)dxdy