Các định nghĩa của chuỗi số
Cho {u n } là một dãy số thực.
S n = u 1 +u 2 + +u n : được gọi là tổng riêng thứ n.
Khi đó: u 1 +u 2 + +u n + : gọi là một chuỗi số.
Kí hiệu: P∞ n=1un. ã P ∞ n=1 un gọi là hội tụ nếu lim n→∞Sn là một số thực và khi đó
S = lim n→∞S n gọi là tổng của P∞ n=1u n và kí hiệu: P∞ n=1u n = S. ã P ∞ n=1 u n gọi là phõn kỳ nếu lim n→∞S n = ∞ hoặc lim n→∞S n không tồn tại.
Gọi S n là tổng riêng thứ n của P∞ n=0q n
• Nếu |q| > 1 thì lim n→∞S n = +∞ chuỗi đã cho phân kỳ.
2 Với q = 1 ta có S n = n+ 1 do đó lim n→∞S n = +∞ chuỗi đã cho phân kỳ.
3 Với q = −1 chuỗi đã cho phân kỳ vì không tồn tại giới hạn của dãy.
Như vậy chuỗi số P∞ n=1q n hội tụ khi và chỉ khi |q| < 1.
Xét sự hội tụ của P∞ n=1
⇒ {S n } bị chặn trên ⇒ lim n→∞S n = α ∈ R ⇒P ∞ n=1 1 n 2 hội tụ.
Xét sự hội tụ của P∞ n=1
SVTH: Nguyễn Thị Thanh Thu Trang vi
Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Lê Hoàng Trí
⇒ lim n→∞S n không tồn tại ⇒P ∞ n=1 1 n phân kỳ.
Một số tính chất cơ bản của chuỗi số
NếuP∞ n=1un hội tụ thì lim n→∞un = 0. Chứng minh
Giả sử P∞ n=1u n hội tụ và S n là tổng riêng thứ n của P∞ n=1u n
Xét sự hội tụ của chuỗi P∞ n=1(2n−1
Ta viết số hạng tổng quát của chuỗi dưới dạng un 2n−1 2n+1 n+1
Vậy chuỗi đã cho phân kỳ.
SVTH: Nguyễn Thị Thanh Thu Trang vii Định lý 1.2.2
P∞ n=1un hội tụ ⇔ P ∞ m=n+1 um hội tụ ∀n ∈ N.
(⇒) ∀n∈ N, gọi V k là tổng riêng thứ k củaP∞ m=n+1u m
Gọi S n+k tổng riêng thứ n+k của P∞ n=1u n Lúc này có V k +S n = S n+k ⇒V k = S n+k −S n
Gọi S n là tổng riêng thứ n của P∞ n=1u n và V n là tổng riêng thứ n của
⇒ lim n→∞S n = α+ u 1 ⇒P ∞ n=1 u n hội tụ. ãDóy Cauchy:{u n } gọi là dóy Cauchy nếu ∀ε > 0,∃n 0 ∈ N sao cho
SVTH: Nguyễn Thị Thanh Thu Trang viii
Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Lê Hoàng Trí Định lý 1.2.3 Tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ của chuỗi số.
P∞ n=1un hội tụ ⇔∀ε > 0 tồn tại n0 ∈ N, sao cho ∀n≥ n0,∀p ∈ N thì
Gọi S n là dãy tổng riêng thứ n của P∞ n=1u n
P∞ n=1u n hội tụ ⇔ lim n→∞S n = α ∈ R ⇔ {S n } là dãy Cauchy
⇔ ∀ε > 0,∃n 0 ∈ N sao cho ∀n ≥n 0 thì |S n+p −S n |< ε ⇔ ∀ε > 0 tồn tại n 0 ∈ N, sao cho ∀n≥ n 0 ,∀p ∈ N thì |u n+1 +u n+2 + +u n+p | < ε.
P∞ n=1u n phân kỳ ⇔ ∃ε > 0 sao cho ∀n 0 ∈ N, tồn tại n≥ n 0 và p∈ N để |u n+1 +un+2 + +un+p| > ε.
Xét sự hội tụ của chuỗi P∞ n=1 sinnx
Vì với mọi ε > 0 cho trước, tồn tại n 0 = [log 2 (1 ε) + 1] sao cho với mọi n > n 0 và mọi p ∈ N ta có
2 n < ε Vậy theo tiêu chuẩn Cauchy chuỗi đã cho hội tụ.
SVTH: Nguyễn Thị Thanh Thu Trang ix
Xét sự hội tụ của chuỗi
Với n = 3k, p = 3k, trong đó k là số nguyên dương ta có
Từ đó ta thấy nếu chọn ε = 1
6 thì với mọi n 0 , ta có thể chọn n = 3k > n0 và với p = 3k ta sẽ có
6 Theo tiêu chuẩn Cauchy, chuỗi đã cho phân kỳ. Định lý 1.2.5
Cho P∞ n=1a n ;P ∞ n=1 b n hội tụ và có tổng lần lượt A, B Khi đó,
∀α, β ∈ R thì P∞ n=1(αa n + βb n ) hội tụ và có tổng αA+βB Chứng minh Đặt An = P n k=1 ak; Bn = P n k=1 bk
Gọi S n là tổng riêng thứ n của P∞ n=1(αa n +βb n )
⇒ P ∞ n=1 (αa n +βb n ) hội tụ và có tổng αA+βB.
SVTH: Nguyễn Thị Thanh Thu Trang x
SỰ HỘI TỤ CỦA CHUỖI SỐ
Chương 2 trình bày định nghĩa về chuỗi số dương và giới thiệu các định lý, dấu hiệu để xét sự hội tụ của một chuỗi dương bất kỳ.
Các dấu hiệu so sánh của chuỗi số dương
Chuỗi số P∞ n=1u n mà mọi số hạng u n đều dương được gọi là chuỗi số dương.
Khi đó S n+1 = S n +u n+1 , tức là dãy tổng riêng tăng Do vậy
1 Nếu {S n } bị chặn thì tồn tại lim n→∞S n = S tức là chuỗi hội tụ.
2 Nếu {S n } không bị chặn thì lim n→∞Sn = +∞ tức là chuỗi phân kỳ. Định lý 2.1.1 Định lý so sánh thứ nhất của chuỗi dương. Cho 0 ≤ a n ≤ b n ,∀n ∈ N Khi đó,
Gọi A n và B n lần lượt là tổng riêng thứ n của các chuỗi P∞ n=1a n và
Vì P∞ n=1b n hội tụ nên lim n→∞B n = B ∈ R.
⇒ {A n } bị chặn trên ⇒ P ∞ n=1 a n hội tụ.
2 P∞ n=1an phân kỳ nên lim n→∞An = ∞ theo bất đẳng thức trên ta có n→∞lim B n = ∞ tức là chuỗi P∞ n=1b n phân kỳ.
Theo định lý so sánh thứ nhất, ta suy ra P∞ n=1a n hội tụ. Định lý 2.1.2 Định lý so sánh thứ hai của chuỗi dương
• k = 0, nếu P∞ n=1v n hội tụ thì P∞ n=1u n hội tụ.
• k = +∞, nếu P∞ n=1u n hội tụ thì P∞ n=1v n hội tụ.
• k ∈ (0; +∞), P∞ n=1u n ,P ∞ n=1 v n cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. Chứng minh
SVTH: Nguyễn Thị Thanh Thu Trang xii
Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Lê Hoàng Trí
• Do lim n→∞ u n v n = 0 < 1 ⇒ ∃n 0 ∈ N sao cho ∀n ≥ n0, thì u n vn
0u n hội tụ (định lý so sánh thứ nhất)
Nếu P∞ n=1u n hội tụ thì P∞ n=1v n hội tụ.
Xét sự hội tụ của các chuỗi. a) P∞ n=1 n+ 2
SVTH: Nguyễn Thị Thanh Thu Trang xiii
2n 3 + 3 hội tụ. b) Trước hết chú ý rằng sin π
3 n hội tụ (vì đó là cấp số nhân lùi vô hạn với công bội 1
Do đó theo dấu hiệu so sánh, chuỗi P∞ n=1sin π
Cho a n ≥ 0, ∀n ≥N và lim n→∞na n = α ∈ R\{0} Xét sự hội tụ của chuỗi P∞ n=1a n
Với mọi n ∈ N ta đặt un = an ≥ 0 và vn = 1 n ≥0 Khi đó, n→∞lim u n v n = lim n→∞ a n 1 n
Các dấu hiệu hội tụ của chuỗi dương
Định lý 2.2.1 Dấu hiệu tích phân.
Cho chuỗi số dương P∞ n=1a n và f(x) là hàm không âm, đơn điệu giảm và liên tục trên đoạn [1,+∞) sao cho f(n) = a n , ∀n Khi đó,
1 Nếu tồn tại giới hạn hữa hạn lim t→∞ t
1 f(x)dx thì chuỗi P∞ n=1an hội tụ.
1 f(x)dx = +∞ thì chuỗi P∞ n=1a n phân kỳ. Chứng minh
SVTH: Nguyễn Thị Thanh Thu Trang xiv
Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Lê Hoàng Trí
Theo định lý trung bình tích phân ta có a k+1 ≤
Z k+1 k f(x)dx ≤a k Lấy tổng theo k từ 1 đến n ta có n
Gọi A n+1 và A n là tổng riêng thứ n+ 1 và n của chuỗi số, lúc này ta có
1 Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn lim t→∞ t
1 f(x)dx < M ∈ R, ∀n hay An+1 < M +a1, ∀n tức là dãy {A n } bị chặn, suy ra P∞ n=1a n hội tụ.
1 f(x)dx = +∞ suy ra dãy {A n } không bị chặn tức là P∞ n=1a n phân kỳ.
Xét sự hội tụ của chuỗi P∞ n=1
1 n α 6= 0, do vậy chuỗi phân kỳ.
3 Nếu α > 0, α6= 1, xét hàm f(x) = 1 x α có f 0 (x) = −α x α+1 < 0 nên f(x) đơn điệu giảm trên [1; +∞).
SVTH: Nguyễn Thị Thanh Thu Trang xv
1 n α hội tụ khi α > 1 và phân kỳ khi α ≤ 1.
Xét sự hội tụ của chuỗi P∞ n=1
3 2 hội tụ nên theo dấu hiệu so sánh chuỗi đã cho hội tụ. Định lý 2.2.2 Dấu hiệu Cauchy.
Cho chuỗi số dươngP∞ n=1a n , giả sử tồn tại hữu hạn hay vô hạn lim n→∞
1 Nếu c < 1 thì chuỗi đã cho hội tụ.
2 Nếu c > 1 thì chuỗi đã cho phân kỳ.
√n a n = c nên ∃n 0 ∈ N sao cho ∀n > n 0 ta có √ n a n < q hay a n < q n ,∀n > n 0 Mặt khác, do q < 1 nên chuỗi
P∞ n=1q n hội tụ Theo dấu hiệu so sánh ta có P∞ n=1a n hội tụ.
SVTH: Nguyễn Thị Thanh Thu Trang xvi
Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Lê Hoàng Trí
√n a n = c nên tồn tại n 0 sao cho ∀n > n 0 thì √ n a n > q hay a n > q n ,∀n > n 0 Mặt khác, do q> 1 nên chuỗi
P∞ n=1q n phân kỳ Theo dấu hiệu so sánh thì P∞ n=1a n phân kỳ.
Xét sự hội tụ của P∞ n=1(1− 1 n) n 2
= 1 e < 1. Vậy theo dấu hiệu Cauchy, chuỗi đã cho hội tụ.
Xét sự hội tụ của chuỗi P∞ n=1n n (sin 2 n) n
√n an = lim n→∞nsin 2 n = lim n→∞2. sin 2 n 2 n
Vậy theo dấu hiệu tích phân Cauchy, chuỗi đã cho phân kỳ.
Trong trường hợp c = 1 của định lý, chúng ta không thể đưa ra kết luận rõ ràng vì chuỗi có thể hội tụ hoặc phân kỳ Ví dụ dưới đây sẽ minh họa cho điều này.
√n n 2 = 1, tuy nhiên theo tiêu chuẩn tích phân thì chuỗi P∞ n=1
√n a n = 1 đồng thời √ n a n ≥ 1,∀n ≥ n 0 thì ta có a n > 1,∀n ≥ n 0 suy ra a n không dần về 0 do vậy chuỗi P∞ n=1a n phân kỳ.
SVTH: Nguyễn Thị Thanh Thu Trang xvii
Xét sự hội tụ của chuỗi P∞ n=1(cos a n) n 3 Nếu a = 0 thì số hạng tổng quát an = 1 với mọi n, do đó chuỗi phân kỳ.
Nếu a 6=0, áp dụng dấu hiệu Cauchy đối với chuỗi dương (với n đủ lớn) ta có
2 < 1 Vậy theo dấu hiệu Cauchy, chuỗi đã cho hội tụ. Định lý 2.2.3 Dấu hiệu D’Alembert.
Cho chuỗi số dương P∞ n=1a n , giả sử tồn tại giới hạn hữu hạn hay vô hạn lim n→∞ a n+1 an
1 Nếu d < 1 thì chuỗi đã cho hội tụ.
2 Nếu d > 1 thì chuỗi đã cho phân kỳ.
1 Giả sử lim n→∞ a n+1 a n = d < 1 ta chọn q cố định d < q < 1 Khi đó
∃n 0 > 0 sao cho ∀n > n 0 ta có a n+1 a n < q hay a n+1 < qa n Suy ra a n 0 +m < qa n 0 +m−1 < q 2 a n 0 +m−2 < < q m a n 0
SVTH: Nguyễn Thị Thanh Thu Trang xviii
Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Lê Hoàng Trí
Như vậy a n < a n 0 q n−n 0 , ∀n > n 0 , mặt khác do 0 < q < 1 nên chuỗi P∞ n=n 0 +1a n 0 q −n 0 q n hội tụ, theo dấu hiệu so sánh ta có chuỗi
= d > 1 ta chọn cố định q cố định 1< q < d Khi đó ∃n 0 > 0 sao cho ∀n > n 0 ta có an+1 a n > q hay a n+1 > qa n Suy ra a n 0 +m > qa n 0 +m−1 > q 2 a n 0 +m−2 > > q m a n 0
Như vậy a n > a n 0 q n−n 0 , ∀n > n 0 , mặt khác do q > 1 nên chuỗi
P∞ n=n 0 +1a n 0 q −n 0 q n phân kỳ, theo dấu hiệu so sánh ta có chuỗi
Xét sự hội tụ của chuỗi P∞ n=1 n
Vậy chuỗi đã cho hội tụ.
Cho α 6= e, xét sự hội tụ của chuỗi P∞ n=1n!(α n) n
Vậy nếu 0≤ α < e thì chuỗi hội tụ, còn nếu α > e thì chuỗi phân kỳ. Tương tự như dấu hiệu Cauchy, khi d = 1 ta không kết luận được gì vì
SVTH: Nguyễn Thị Thanh Thu Trang xix khi đó chuỗi có thể hội tụ hoặc phân kỳ Đặc biệt nếu lim n→∞ a n+1 a n = 1 đồng thời a n+1 an
≥1,∀n ≥n 0 thì chuỗi P∞ n=1a n phân kỳ vì a n+1 ≥a n ≥ ≥a n 0 tức là a n không dần về 0 khi n→ ∞. Đinh lý 2.2.4 Dấu hiệu Raabe.
Cho chuỗi số dương P∞ n=1a n , giả sử tồn tại giới hạn hữu hạn hay vô hạn n→∞lim R n = lim n→∞n.( a n a n+1 −1) = R. Khi đó:
1 Nếu R > 1 thì chuỗi đã cho hội tụ.
2 Nếu R < 1 thì chuỗi đã cho phân kỳ.
3 Nếu R = 1 và R n ≤ 1,∀n ≥n 0 thì chuỗi đã cho phân kỳ.
Xét sự hội tụ của P∞ n=1 n!
Vậy theo dấu hiệu Raabe, nếu α ∈ (0; 1] thì chuỗi phân kỳ, còn nếu α > 1 thì chuỗi hội tụ.
Xét sự hội tụ của chuỗi P∞ n=1
2n+ 1 trong đó (2n−1)!! SVTH: Nguyễn Thị Thanh Thu Trang xx
Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Lê Hoàng Trí
2 > 1 Theo dấu hiệu Raabe chuỗi đã cho hội tụ. Định lý 2.2.5 Dấu hiệu Gauss.
Cho chuỗi số dương P∞ n=1a n , giả sử an a n+1 = λ+ à n + θn n 1+ε Trong đó ε > 0, θ n là đại lượng bị chặn Khi đó,
1 Nếu λ > 1 thì chuỗi hội tụ.
2 Nếu λ < 1 thì chuỗi phân kỳ.
3 Nếu λ = 1 và à > 1 thỡ chuỗi hội tụ.
4 Nếu λ = 1 và à≤ 1 thỡ chuỗi phõn kỳ.
Xét sự hội tụ của chuỗi P∞ n=1[(2n−1)!!
(2n)!! ] p , trong đó p là tham số và (2n−1)!! = 1.3.5 (2n−1), (2n)!! = 2.4.6 2n.
SVTH: Nguyễn Thị Thanh Thu Trang xxi
2 > 1 nên chuỗi đã cho hội tụ.
2 ≤ 1 nên chuỗi đã cho phân kỳ. Định lý 2.2.6
Giả sử {a n } đơn điệu giảm và a n ≥ 0, ∀n ∈ N Khi đó, P∞ n=1a n hội tụ
Gọi Sn là tổng riêng thứ n của P∞ n=1an Vì Sn+1 = Sn + an+1 ≥
Do tính chất đơn điệu giảm của {a n }.
SVTH: Nguyễn Thị Thanh Thu Trang xxii
Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Lê Hoàng Trí
⇒ lim n→∞S n ≤ lim p→∞(P n+p k=0 2 k a 2 k ) =B (vì P∞ k=12 k a 2 k hội tụ)
(⇒) Gọi t k là tổng riêng thứ k của chuỗi P∞ k=12 k a 2 k
Do P∞ n=1an hội tụ và có tổng là A. t k = a 1 + 2a 2 + 4a 4 + + 2 k a 2 k a 1 ≤ a 1
Xét sự hội tụ của chuỗi P∞ n=1
SVTH: Nguyễn Thị Thanh Thu Trang xxiii
Giả sử α > 0, { 1 n α } đơn điệu giảm, 1 n α ≥ 0, ∀n∈ N.
Chuỗi đã cho phân kỳ khi |q|≥ 1.
SVTH: Nguyễn Thị Thanh Thu Trang xxiv
SỰ HỘI TỤ CỦA CHUỖI SỐ CÓ DẤU BẤT KỲ
Chương 3 giới thiệu khái niệm về chuỗi hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ, đồng thời trình bày các định lý cần thiết để đánh giá sự hội tụ của một chuỗi với các dấu hiệu khác nhau.
Dấu hiệu Leibnitz
Định lý 3.1.1 Dấu hiệu Leibnitz.
Nếu dãy {a n } giảm và lim n→∞a n = 0 thì chuỗi P∞ n=1(−1) n−1 ãa n hội tụ. Chứng minh
Do dãy {a n } giảm và dần về 0 nên a n ≥ 0, ∀n ∈ N ∗ và ta có
Dãy {A2m} là dãy tăng bị chặn bởi a1, do đó tồn tại giới hạn lim m→∞A2m = A Đồng thời, A2m+1 = A2m + a2m+1 và lim m→∞a2m+1 = 0, nên lim m→∞A2m+1 = A Từ đó, ta suy ra lim n→∞An = A, tức là chuỗi P∞ n=1(−1)n−1 a n hội tụ.
Xét sự hội tụ của chuỗi P∞ n=1
Dễ thấy a n = 1 n là một dãy giảm và lim n→∞a n = 0. Theo tiêu chuẩn Leibnitz ta có chuỗi đã cho hội tụ.
Xét sự hội tụ của chuỗi P∞ n=1(−1) n−1 2 + (−1) n n
Ta có a n = 2 + (−1) n n và lim n→∞a n = 0 nhưng dãy không đơn điệu giảm, do vậy không áp dụng được dấu hiệu Leibnitz.
Khi đóP∞ n=1(−1) n−1 2 n hội tụ theo dấu hiệu Leibnitz, còn chuỗiP∞ n=1
1 n phân kỳ Do vậy chuỗi đã cho phân kỳ.
Xét sự hội tụ của chuỗi P∞ n=1
Theo định lý Leibnitz ⇒ P ∞ n=1 (−1) n−1 n n 2 +n+ 1 hội tụ.
SVTH: Nguyễn Thị Thanh Thu Trang xxvi
Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Lê Hoàng Trí
Dấu hiệu Dirichlet
Định lý 3.2.1 Dấu hiệu Dirichlet.
Giả sử chuỗi P∞ n=1a n b n thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện
1 Chuỗi P∞ n=1an có tổng riêng bị chặn, tức là tồn tại M > 0 sao cho
2 Dãy {b n } đơn điệu và lim n→∞b n = 0.
Khi đó chuỗi P∞ n=1a n b n hội tụ.
Ta có thể xem dãy {b n } giảm vì nếu không ta xét dãy {−b n } Do n→∞lim b n = 0 nên ∀ε > 0,∃n 0 > 0 sao cho ∀n > n 0 ta đều có 0 ≤ b n < ε
|a n+1 bn+1 +an+2bn+2+ +an+pbn+p|
Vậy với mọi ε > 0 tồn tại n 0 > 0 sao cho ∀n > n 0 ,∀p > 0 ta có
Theo tiêu chuẩn Cauchy thì chuỗi P∞ n=1anbn hội tụ.
SVTH: Nguyễn Thị Thanh Thu Trang xxvii
Xét sự hội tụ của chuỗi P∞ n=1 cosnx n α , (α > 0).
1 n α hội tụ khi α > 1, phân kỳ khi α ≤1.
Mặt khác, dễ thấy dãy bn = 1 n α đơn điệu giảm dần về 0.
Vậy theo dấu hiệu Dirichlet chuỗi P∞ n=1 cosnx n α hội tụ. Định lý 3.2.2 Dấu hiệu Abel.
Giả sử chuỗi P∞ n=1anbn thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện
2 Dãy{b n } đơn điệu và bị chặn.
Khi đó chuỗi P∞ n=1a n b n hội tụ.
Do P∞ n=1a n hội tụ nên nó dãy tổng riêng A n bị chặn.
Dãy {b n } đơn điệu và bị chặn nên tồn tại lim n→∞b n = b. Đặt αn = b−bn, khi đó {α n } là dãy đơn điệu và lim n→∞αn = 0. Theo dấu hiệu Dirichlet chuỗi P∞ n=1a n α n hội tụ.
SVTH: Nguyễn Thị Thanh Thu Trang xxviii
Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Lê Hoàng Trí
Mặt khác, chuỗi P∞ n=1ba n = bP ∞ n=1 a n cũng hội tụ.
Do vậy chuỗi P∞ n=1a n b n = P ∞ n=1 a n (b−α n ) = P ∞ n=1 ba n −P ∞ n=1 α n a n cũng hội tụ.
Xét sự hội tụ của chuỗi P∞ n=1 n n+ 1sin(π√ n 2 + 1).
Trước hết ta chứng minh chuỗi P∞ n=1sin(π√ n 2 + 1) hội tụ.
Thật vậy sin(π√ n 2 + 1) = (−1) n sinπ(√ n 2 + 1−n) = (−1) n sin π
Dễ thấy dãy an = sin π
√n 2 + 1 đơn điệu giảm dần về 0, theo dấu hiệu Leibnitz ta có P∞ n=1sin(π√ n 2 + 1) = P ∞ n=1 (−1) n sin π
Mặt khác, dãy b n = n n+ 1 đơn điệu tăng và bị chặn bởi 1.
Theo dấu hiệu Abel ta có chuỗi P∞ n=1 n n+ 1sin(π√ n 2 + 1) hội tụ.
Sự hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ
Định nghĩa 3.3.1 ChuỗiP∞ n=1u n được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi
P∞ n=1|u n | hội tụ. Định lý 3.3.2 Nếu P∞ n=1u n hội tụ tuyệt đối thì P∞ n=1u n hội tụ. Chứng minh
Gọi S n là tổng riêng thứ n của P∞ n=1u n
Gọi Vnlà tổng riêng thứ n của P∞ n=1|u n |.
SVTH: Nguyễn Thị Thanh Thu Trang xxix
Do P∞ n=1|u n | hội tụ ⇒ ∀ε > 0,∃n 0 ∈ N sao cho ∀n ≥n 0 ,∀ ∈ N.
Chú ýĐiều ngược lại của định lý trên không đúng Ví dụ:P∞ n=1(−1) n−1 1 n hội tụ theo dấu hiệu Leibnitz Tuy nhiên P∞ n=1
= P ∞ n=1 1 n phân kỳ. Định nghĩa 3.3.3 Nếu P∞ n=1an hội tụ nhưng P∞ n=1|a n | phân kỳ thì chuỗi P∞ n=1a n được gọi là bán hội tụ hay hội tụ có điều kiện.
√n là bán hội tụ Thật vậy, chuỗi P∞ n=1
√n hội tụ theo dấu hiệu Leibnitz nhưng chuỗi P∞ n=1
√1 n phân kỳ do có dãy tổng riêng lớn hơn √ n.
Xét sự hội tụ của chuỗi P∞ n=1
1 n 2 hội tụ, dãy b n = cos(π n!) đơn điệu và bị chặn.
SVTH: Nguyễn Thị Thanh Thu Trang xxx
Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Lê Hoàng Trí
Cho P∞ n=1a 2 n hội tụ Chứng minh P∞ n=1 a n n hội tụ.
Thật vậy: Cho un = |a n | n ≥0, ∀n∈ N. vn = a 2 n ≥ 0, ∀n ∈ N.
Do P∞ n=1β n hội tụ ⇒ P ∞ n=1 2|a n | n hội tụ.
Giả sử P∞ n=0a n = A,P ∞ n=0 b n = B,P ∞ n=0 a n và P∞ n=0b n hội tụ tuyệt đối Khi đó P∞ n=0c n hội tụ và có tổng là A.B, trong đó c n = P n i=0 a n−i b i Chứng minh
Gọi An, Bn, Cn lần lượt là tổng riêng của P∞ n=0an,P ∞ n=0 bn,P ∞ n=0 cn. Đặt β n = B n −B ⇒ lim n→∞β n = lim n→∞(B n −B) = 0
Do P∞ n=0a n hội tụ tuyệt đối nên P∞ n=0|a n | hội tụ. Đặt α = P ∞ n=0 |a n | ∀ε > 0, vì lim n→∞β n = 0 nên tồn tại n 0 ∈ N, sao
SVTH: Nguyễn Thị Thanh Thu Trang xxxi cho∀n ≥n0 thì |β n |< ε
4M > 0⇒ tồn tại n1 ∈ N, sao cho ∀n ≥n1 thì |a n | < ε
⇒ P n i=0 a n−i bi hội tụ và có tổng là AB.
SVTH: Nguyễn Thị Thanh Thu Trang xxxii
Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Lê Hoàng Trí
KẾT LUẬN Đóng góp chính của khóa luận bao gồm:
1 Trình bày định nghĩa và chứng minh chi tiết các tính chất cơ bản của chuỗi số.
2 Đưa ra các ví dụ cụ thể cho từng tính chất.
Mặc dù thời gian thực hiện khóa luận có hạn, nhưng em rất mong nhận được sự góp ý từ quý thầy cô và bạn đọc để cải thiện chất lượng bài viết.
SVTH: Nguyễn Thị Thanh Thu Trang xxxiii