Ebook sự hội tụ của kỳ vọng có điều kiện và martingale trong đại số von neumann phần 1

Sự hội tụ của kỳ vọng có điều kiện và martingale trong đại số von Neumann.. Sự hội tụ hầu đều của kỳ vọng có điều kiện và martingale.. Đề tài luận văn của tôi: "Sự hội tụ của kỳ vọng có

Mục lục

Trang

Mở đầu 1

1 Kỳ vọng có điều kiện và Martingale .3 - 13 1.1 Kỳ vọng có điều kiện 3

1.2 Các đặc tr-ng của kỳ vọng có điều kiện 5

1.3 Thời điểm dừng 10

1.4 Martingale 11

2 Sự hội tụ hầu đều trong đại số von Neumann 14 - 30 2.1 Đại số von Neumann 14

2.2 Dạng khác của hội tụ hầu chắc chắn trong đại số von Neumann 21

2.3 Một dạng không giao hoán của Định lý Egoroff 27

3 Sự hội tụ của kỳ vọng có điều kiện và martingale trong đại số von Neumann 31 - 62 3.1 Kỳ vọng có điều kiện trong đại số von Neumann 31

3.2 Sự hội tụ hầu đều của kỳ vọng có điều kiện và martingale 33

Kết luận 63

Tài liệu tham khảo.

Hệ thống ký hiệu

(Ω, F , P) Không gian xác suất đầy đủ

G σ−đại số con của F.(Fn , n ∈ N) Dãy không giảm các σ - đại số con của F

(ξ n , n ∈ N) Dãy các biến ngẫu nhiên t-ơng thích với (Fn , n ∈ N).

Lp Tập tất cả các biến ngẫu nhiên khả tích cấp p, 1 6 p 6 ∞

E(ξ) =

Z

Ω

ξ(ω)dP Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên ξ

EG(ξ) = E(ξ|G) Kỳ vọng có điều kiện của ξ biết G

P rojA Tập tất cả các phép chiếu trực giao trong A

A∞= W∗{A n ; n > 1} Đại số von Neumann sinh bởi (A n)

φ Trạng thái trên A

Mở Đầu

Lý thuyết xác suất và thống kê là một bộ phận của toán học, nghiêncứu các hiện t-ợng ngẫu nhiên và ứng dụng chúng vào thực tế Các kháiniệm đầu tiên của xác suất do các nhà toán học tên tuổi Pierre Fermat(1601 - 1665) và Bailes Pascal (1623 - 1662) xây dựng từ thế kỷ thứ

17 dựa trên việc nghiên cứu các quy luật trong trò chơi may rủi Saugần 3 thế kỷ phát triển, lý thuyết xác suất đã đ-ợc A.N Kolmogorovtiên đề hoá Có thể nói, cuốn sách "Các cơ sở của lý thuyết xác suất"

do ông xuất bản lần đầu tiên bằng tiếng Đức, năm 1933 đ-ợc coi làbằng chứng khai sinh ra xác suất hiện đại Dựa trên nền tảng đó, nhiềuh-ớng nghiên cứu chuyên sâu của xác suất đã ra đời, trong đó có lýthuyết về kỳ vọng có điều kiện và martingale Đề tài luận văn của tôi:

"Sự hội tụ của kỳ vọng có điều kiện và martingale trong đại số von Neumann" là một phần nhỏ thuộc h-ớng nghiên cứu đó Để có thểhiểu và nắm bắt đ-ợc một số kết quả của đề tài, tôi xây dựng luận văntheo 3 ch-ơng nh- sau:

Ch-ơng 1: Kỳ vọng có điều kiện và martingale.

Ch-ơng 2: Sự hội tụ hầu đều trong đại số von Neumann.

Ch-ơng 3: Sự hội tụ của kỳ vọng có điều kiện và martingale

trong đại số von Neumann.

Hai ch-ơng đầu là nền tảng, trong đó một số đặc tr-ng của kỳ vọng

có điều kiện trong không gian Lp và các dạng hội tụ trong đại số vonNeumann đ-ợc coi là quan trọng nhất Nội dung chính của luận vănnằm trong Ch-ơng 3 ở đó, các Định lý 3.2.9 ; 3.2.11 và Định lý3.2.16 về sự hội tụ hầu đều của kỳ vọng có điều kiện trong đại số von

Neumann là đáng chú ý nhất.

Hoàn thành đ-ợc luận văn trên, tr-ớc tiên tôi muốn bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc đến PGS.TS Phan Viết Th-, ng-ời đã tận tình h-ớng dẫn,chỉ bảo cho tôi trong suốt quá trình tôi thực hiện luận văn

Tôi cũng muốn đ-ợc gửi lời cảm ơn đến các thầy cô thuộc KhoaToán - Cơ - Tin học, Bộ môn Xác suất thống kê, Phòng Đào tạo, PhòngSau đại học tr-ờng ĐHKHTN - ĐHQGHN và các thầy bên Viện Toánhọc đã giảng dạy, rèn luyện tôi trong suốt thời gian tôi học tập tạitr-ờng, cũng nh- tất cả các bạn lớp cao học khóa 2007 - 2009 đã tạo

điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành bản luận văn này Luận văn cũng

là món quà nhỏ của tôi dành kính tặng bố mẹ, vợ con và những ng-ờithân trong gia đình đã dành những tình cảm yêu th-ơng nhất cho tôi.Cuối cùng, do khả năng và thời gian có hạn nên luận văn khôngthể tránh khỏi những sai sót Vì vậy, tôi rất mong nhận đ-ợc sự h-ớngdẫn, chỉ bảo của các thầy cô, sự hợp tác của các bạn để tôi có thể hoànthiện hơn

Hà Nội, ngày 10 tháng 12 năm 2009

Học viên:

Đinh Thanh Tuấn.

1.1.1 Định nghĩa.

Cho (Ω, F , P) là không gian xác suất đầy đủ, G là σ− đại số con của

F và ξ ∈ L1 Ta gọi biến ngẫu nhiên, ký hiệu là E(ξ|G) hay E G(ξ) là kỳ

i) E(ξ|G) là G− đo đ-ợc và E(ξ|G) ∈ L1.

1) Nếu ξ = 1 A , A ∈ F thì P(A|G) := E(1 A|G) đ-ợc gọi là xác suất có điều

2) Nếu η là biến ngẫu nhiên đã cho và G = σ(η) là σ− đại số sinh bởi

η thì E(ξ|η) := E(ξ|G) đ-ợc gọi là kỳ vọng có điều kiện của ξ biết η

Bk

ξdP, k ∈ K.

1.1.3 Các tính chất cơ bản của kỳ vọng có điều kiện .

Trong suốt mục này ta luôn giả thiết (Ω, F , P) là không gian xác suất

đầy đủ cố định, các biến ngẫu nhiên đều khả tích và G ⊂ F là σ− đại

số con nào đó của F Khi đó, kỳ vọng điều kiện có các tính chất sau:

1 Nếu c là hằng số thì E(c|G) = c (h.c.c).

2 Nếu ξ > η(h.c.c) thì E(ξ|G) > E(η|G) (h.c.c).

3 Nếu a, b là hằng số ; ξ, η là các biến ngẫu nhiên thì:

E(aξ + bη|G) = aE(ξ|G) + bE(η|G) (h.c.c).

Nhóm tính chất chuyển qua giới hạn:

11 Định lý hội tụ đơn điệu Levy:

a) Nếu ξ n 6 η (h.c.c) thì E(lim ξ n |G) 6 lim E(ξ n|G) (h.c.c)

b) Nếu ξ n > η (h.c.c) thì E(lim ξ n |G) > lim E(ξ n|G) (h.c.c).

Tr-ớc tiên, ta sẽ nghiên cứu nó trên không gian L 2. Trong khônggian L 2, ta có thể định nghĩa một tích vô h-ớng nh- sau:

H ∈ L2 :< H, M >= 0, M ∈ M

.

Từ nay về sau, ta gọi η là hình chiếu trực giao của ξ trên khônggian M.

1.2.2 Bổ đề.

kiện cần và đủ là: T là phép chiếu trực giao, không âm và bất biến

đối với hàm hằng.

Chứng minh.

(⇒)

Cho T : L2 → L 2 là toán tử tuyến tính Giả sử nó cũng là kỳ vọng

điều kiện E(.|G) với G là σ− đại số con của F Lúc đó, theo Bổ đề 1.2.2thì T phải là phép chiếu trực giao từ L 2 lên L 2 (G), hơn nữa theo Tínhchất 1.1.3 thì T phải là toán tử không âm và bảo toàn hằng số

ii) T (ξ.T η) = T ξ.T η với ξ ∈ L p , η ∈ L∞.

Chứng minh.

Điều kiện cần suy ngay ra từ định nghĩa và tính chất kỳ vọng có

điều kiện Để chứng minh điều kiện đủ ta tiến hành theo hai b-ớc sau:

Lại tiếp tục biểu diễn ξ n nh- vậy, cuối cùng ta sẽ đ-ợc T ξ n = (T ξ) n

Vì (T ξ) n ∈ Lp với mọi n, nên suy ra T ξ ∈ L s với mọi s < ∞. Hơn nữa, do

T ξ n+1 = T (ξ.T ξ n) và T liên tục nên:

n+1 p

thì T ξ ∈ L∞ và

∞ 6

∞.Vậy ta đã chứng minh đ-ợc T (L∞ ) ⊂ L ∞.

B-ớc 2:

Xét đại số Λ =

ζ : ζ ∈ L∞, T (ξζ) = T (ξ).ζ ∀ξ ∈ L p

, theo Mệnh đề I.1.5

- [6] thì Λ là đại số con của L ∞ chứa giá trị hằng, suy ra Λ trong Lp sẽ

có dạng Lp(G) với G là σ− đại số con đầy đủ nào đó của F Lúc đó, nếu

ζ ∈ L p(G) thì tồn tại dãy con (ζ n , n ∈ N) của Λ hội tụ trong Lp đến ζ

Vì T là toán tử liên tục từ Lp vào Lp nên ta có:

L ∞ sao cho η n

L p

−→ ξ. Khẳng định này cùng với tính liên tục của T trong

Lp kéo theo T (η n)−→ T (ξ), n ∈ N.Lp L-u ý rằng T (η n ) ∈ Λ nên T (ξ) ∈ Λ = L p (G).

Định lý đ-ợc chứng minh

1.3 Thời điểm dừng

Ngoài kỳ vọng có điều kiện, thời điểm dừng cũng đ-ợc xem nh- làmột công cụ mạnh khác để nghiên cứu martingale Công cụ này đ-ợchiểu một cách đơn giản nh- sau:

Giả sử (ξ n , n ∈ N) là dãy thu nhập của một ng-ời chơi nào đó trongtrò chơi ngẫu nhiên hai ng-ời và Fn là σ− đại số các "thông tin" màng-ời chơi biết đ-ợc cho tới ván thứ n, n ∈ N. Rõ ràng (Fn , n ∈ N) là dãytăng và (ξ n , n ∈ N) là dãy các biến ngẫu nhiên t-ơng thích với (Fn , n ∈ N),

nghĩa là từng ξ n là Fn - đo đ-ợc

Dựa vào dãy (Fn , n ∈ N), ng-ời chơi đ-a ra một chiến l-ợc hoặc chơitiếp hoặc dừng lại Thời điểm dừng đ-ợc định nghĩa d-ới đây chính làmô hình ngẫu nhiên của các chiến l-ợc nói trên

1.3.1 Định nghĩa.

với mọi n ∈ N , tức là: ξ n ∈ L 0 (Fn) với mọi n ∈ N.

Từ đây trở đi, nếu ta không giả thiết gì thêm thì (Fn , n ∈ N) luôn

đ-ợc hiểu là một dãy không giảm các σ - đại số con đầy đủ của

F , F n ↑ F và (ξ n , n ∈ N) là dãy các biến ngẫu nhiên khả tích, t-ơng thíchvới (Fn , n ∈ N)

Từ giả thiết này và Nhận xét 1.3.2, ta thấy mỗi dãy (ξ n , n ∈ N) cảmsinh ra một dãy (suy rộng) các biến ngẫu nhiên khả tích (ξ τ , τ ∈ T) t-ơngthích với dãy không giảm các σ - đại số con (Fτ , τ ∈ T) của F, nghĩa là,từng ξ τ là Fτ - đo đ-ợc

c) martingale d-ới, nếu:

Kết quả sau đây rất giản đơn nh-ng cực kỳ quan trọng:

(3). Giả sử (ζ n , n ∈ N) là dãy các biến ngẫu nhiên khả tích, độclập với E(ζ n ) = 1, n ∈ N Khi đó, dãy:

là martingale đối với (Fn = σ(ζ0, ζ1, , ζ n ), n ∈ N).

Do khuôn khổ có hạn của luận văn, nhiều tính chất và đặc tr-ngkhác của toán tử kỳ vọng có điều kiện cũng nh- martingale ch-a đ-ợcnhắc đến Những ai quan tâm có thể tìm đọc thêm trong [1] , [6] , [9]

Ch-ơng 2.

Sự hội tụ hầu đều trong

đại số von Neumann

Trong phần này tôi trình bày một số vấn đề liên quan đến đại sốvon Neumann Tr-ớc hết ta nhắc lại một số định nghĩa cơ bản sau:

2.1.1 Định nghĩa.

(hay không gian Unita), nếu trong đó có xác định một hàm hai biến

(x, y) , gọi là tích vô h-ớng của hai vectơ x, y thỏa mãn các tính chất sau

Vì một không gian tiền Hilbert là không gian định chuẩn, nên mọi

khái niệm và tính chất của không gian định chuẩn đều có thể áp dụng

cho nó Nói riêng, một không gian tiền Hilbert có thể đủ hoặc không

đủ Một không gian tiền Hilbert đủ gọi là không gian Hilbert.

2.1.2 Định nghĩa.

điều kiện sau đây:

(xy)z = x(yz), (x + y)z = xz + yz,

x(y + z) = xy + xz, λ(xy) = (λx)y = x(λy)

iii) kek = 1;

iv) kxyk 6 kxkkyk , víi mäi x, y ∈ A.

2.1.3 §Þnh nghÜa.

tö:

kxk = kxk∞ = sup

h∈H khk61

kxhk.

với {h i} là dãy các phần tử bất kỳ trong H, sao cho: P∞

i=1 kxh ik2 < ∞.

Dễ dàng chỉ ra đ-ợc A0 là đóng yếu Nếu A0 là tự liên hợp thì A0

là một C∗ − đại số Từ nay về sau ta sẽ ký hiệu A00 thay cho (A0 ) 0

2.1.6 Định nghĩa.

A (n) là tập tất cả các toán tử thỏa mãn các điều kiện trên Rõ ràng A (n)

là một đại số von Neumann Cho (b ij ) ∈ B(H (n)) Khi đó b ij ∈ A0(n) (hoán

tập của A (n)) nếu và chỉ nếu b ij ∈ A0, với mọi i, j Vì vậy, nếu y ∈ A00 thì

tử z ∈ A sao cho A (n)g thỏa mãn k∧yg −∧zyk < ε, tức là: Pn

x = 0 , với mọi x ∈ A+.

2.1.9 Nhận xét.

i) Dễ dàng kiểm tra đ-ợc rằng, nếu φ là phiếm hàm tuyến tính d-ơngtrên A thì φ(x∗) = φ(x) Nếu φ là một phiếm hàm d-ơng trên A, thì vớimọi x, y ∈ A, ta có:

(∗) kφ(y∗x)k2 6 φ(y∗y)φ(x∗x).

Thật vây, với mỗi λ ∈ C, ta có:

φ(λx + y)∗(λx + y) > 0.

Với λ = tφ(x∗y)|φ(y∗x)|−1 và t ∈ R, ta có:

t2φ(x∗x) + 2tφ(y∗x) + φ(x∗y) 6 0.

Điều này suy ra (∗)

ii) Mọi phiếm hàm tuyến tính d-ơng φ là bị chặn và kφk = φ(1).Thật vậy, ta có: |φ(x)| 6 φ(1) 1/2 φ(x∗x) 1/2, và x∗x 6 kx∗xk1 Do đó: φ(x∗x) 6

kx∗xkφ(1), và |φ(x)| 6 φ(1)kxk

2.1.10 Định lý GNS (Gelfand - Naimark - Segal) (xem [7]).

x ∈ A thì tích trái xác định bởi x (tức là y → xy) xác định bằng cách quakhông gian th-ơng có một toán tử tuyến tính ∼x trong A/M Cho y ∈ A

cố định, đặt φ y (x) = φ(y∗xy) Khi đó φ là một phiếm hàm tuyến tín nên

φ(y∗x∗xy) = φ y (x∗x) 6 kx∗xkφ y(1) = kx∗xkφ(y∗y).

Từ bất đẳng thức này suy ra toán tử ∼x có chuẩn 6 1

Thật vậy, với y ∈ A ta có:

< xy, xy >= φ(y∗x∗xy) 6 kx∗xkφ(y∗y) = kxk2 < y, y >

Do đó ∼x mở rộng tới một toán tử tuyến tính liên tục π φ (x) tác động trong

K φ

Dễ dàng kiểm tra đ-ợc x → π φ (x) là một ∗ − đồng cấu thoả mãn 1H → 1K.Chẳng hạn, với mỗi x, y, z ∈ A thì:

< π φ (x)∗T y, T z > = < T y, π φ (x)T z > = < y, xz >

Biểu diễn {K π , π φ} xây dựng ở trên đ-ợc gọi là biểu diễn cyclic liên kếtvới φ Nó cũng đ-ợc ký hiệu bởi {K π , π φ , ξ φ} để chỉ ra vectơ cyclic ξ φ.

Chứng minh.

Rõ ràng (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii) Ta sẽ chứng minh (iii) ⇒ (i) Giả sử rằng φ

là liên tục mạnh Vì vậy, tồn tại các vectơ h1, h2, , h n∈ H sao cho:

n

X

k=1

kx(h k)k2 < 1, suy ra |φ(x)| 6 1.

Điều này cho ta:

nh-ψ(∧xh (n) ) = φ(x)

Công thức này cho ta một phiếm hàm tuyến tính trên không gian con

đóng của H(n) sinh bởi các véctơ xh∧ (n) , x ∈ H và thỏa mãn:

v) φ(x) =P

(xh i , h i), với Pkh ik2 < ∞

Chứng minh.

(i) ⇒ (ii) Từ Định lý 2.1.12, ta tìm một phép chiếu p ∈ A, sao cho

φ(.p) là liên tục yếu và φ(p⊥) < ε Nếu (x i) là dãy bị chặn hội tụ yếu đến

0, thì:

kφ(x i )k 6 kφ(x i p)k + kφ(x i (1 − p))k

6 kφ(x i p)k + φ(x∗i x i)1/2 φ(1 − p) 1/2

6 kφ(x i p)k + kx i kkφk 1/2 ε 1/2 .

Nghĩa là: {φ(x i)} hội tụ đến 0

(ii) ⇒ (iii) Vì φ là liên tục yếu trong hình cầu đơn vị trên A, nên

nó là liên tục σ−yếu trên mọi hình cầu xung quanh điểm gốc Nh-ngvì tôpô σ−yếu trên A là tôpô yếu∗ liên kết với A∗ nên đủ để áp dụng

Định lý của Krein - Smulian Từ A.24 - [7] ta có (iii) → (iv) Chứng

minh đ-ợc tính t-ơng đ-ơng (iii) ↔ (iv) là đủ để có một lớp toán tử vết

d-ơng trong đ-ờng chéo từ x = P ∧

λ∧e k, với λ k (e k) là giá trị riêng (vectơriêng đơn vị) và λ k > 0, với P

k

λ k = trx < ∞ Dễ dàng kiểm tra đ-ợc (iv)

Định lý đ-ợc chứng minh

đại số von Neumann.

Cho A là một đại số Von Neuman trong không gian Hilbert phức H

A0 là hoán tập của A φ là một trạng thái trên A A+ là lớp các phần tửd-ơng trong A Ký hiệu Proj A là tập tất cả các phép chiếu trực giaotrong A Với p ∈ Proj A ta luôn có p⊥ = 1 − p Ta sẽ viết 1 là toán tử đồngnhất trong A Với mỗi tập con Borel Z trên đ-ờng thẳng thực và toán

tử tự liên hợp trong A ta kí hiệu e Z (x) là phép chiếu phổ của x t-ơngứng Z Cho x ∈ A ta đặt | x |2= x∗x Ta bắt đầu với một vài so sánh sau

Trong không gian xác suất (Ω, F , P), đặt L ∞(Ω, F , P) là đại số (hoặc lớpt-ơng đ-ơng) các hàm bị chặn cốt yếu nhận giá trị phức F − đo đ-ợctrên Ω Nó có thể xem nh- một đại số von Neumann trên L 2(Ω, F , P) nếu

ta đồng nhất các hàm g ∈ L∞ với toán tử nhân a g : f → f g với f ∈ L2 Đại

số A = L∞(Ω, F , P) có một trạng thái vết chuẩn chính xác τP cho bởi côngthức τP(f ) =R

Ωf dP Theo định lý Egoroff thì sự hội tụ P− hầu chắc chắncủa một dãy (f n) từ A là t-ơng đ-ơng với sự hội tụ hầu đều của nó Rõràng rằng có thể biểu diễn sự hộ tụ hầu chắc chắn nh- các phần tử của

đại số A mà không xem xét trên không gian cơ sở Ω Chúng ta có thểkhẳng định lại sự hội tụ hầu chắc chắn theo nghĩa L ∞ − chuẩn, trạngthái τP và các hàm đặc tr-ng (của các tập "lớn") Từ quan điểm trên taxem xét định nghĩa sau:

2.2.1 Định nghĩa.

φ(1 − p) < ε và thoả mãn k(x n − x)pk → 0 khi n → ∞

2.2.2 Nhận xét.

Ta chú ý rằng ở định nghĩa trên không phụ thuộc vào việc chọn φ

Và từ đó hội tụ hầu đều đ-ợc định nghĩa t-ơng đ-ơng với hai điều kiệnsau:

(∗) Với bất kì lân cận mạnh của toán tử đồng nhất trong A tồntại một phép chiếu p sao cho k(x n − x)pk → 0 khi n → ∞

(∗∗) Với mọi trạng thái chuẩn chính xác φ trên A và ε > 0 tồn tạimột phép chiếu p ∈ A sao cho φ(1 − p) < ε và thoả mãn k(x n − x)pk → 0 khi

n → ∞

Các điều kiện trên đ-ợc suy ngay từ giả thiết nếu φ là một trạng thái

chuẩn chính xác thì tôpô mạnh trong hình cầu đơn vị S trong A có thể

đ-ợc metric hoá bởi công thức: dist(x, y) = φ[(x − y)∗(x − y)]12

2.2.3 Định lý.

là hoán tập của A với chuẩn k.k φ trong Hφ), ta có:

kx n yξk φ 6 kx n pyξk φ + kx n (1 − p)yξk φ

sự hội tụ hầu chắc chắn Chúng ta cũng có thể xem xét tr-ờng hợpkhông giao hoán đối với khái niệm này.

Cho A tr-ớc hết là đại số von Neumann cùng với trạng thái chuẩnchính xác φ Ta xem xét bốn điều kiện sau của x n và x trong A:

i) Với mọi ε > 0, có một phép chiếu p trong A, với φ(1 − p) < ε và

số N nguyên d-ơng sao cho:

k(x n − x)pk < ε, với n > N.

ii) Với mọi ε > 0, có một phép chiếu p trong A, với φ(1 − p) < ε,sao cho:

k(x n − x)pk → 0, n → ∞.

dần đến 1 (trong tôpô mạnh), sao cho:

k(x n − x)p n k < ε, với n = 1, 2,

q khác không trong A sao cho q 6 p và:

k(x n − x)qk → 0, n → ∞.

Hiển nhiên, điều kiện (ii) có nghĩa là dãy (x n) hội tụ hầu đều đến x

Nếu các điều kiện (i) hoặc (iii) hoặc (iv) thỏa mãn thì x n đ-ợc gọi làhội tụ đến x đóng trên các tập lớn hơn hoặc hội tụ hầu khắp nơi hoặctựa đều

Rõ ràng, trong tr-ờng hợp một đại số von Neumann giao hoán

L ∞(Ω, F , P) thì cả bốn điều kiện trên đều t-ơng đ-ơng với hội tụ P - hầuchắc chắn

2.2.5 Định lý.