Lý thuyết phương trình sai phân và ứng dụng

Phương trình saiphân còn là một công cụ giúp giải các bài toán vi phân, đạo hàm và cácphương trình đại số tuyến tính.. Sự ra đời của phương trình sai phân cũng xuất phát từ việc xác định

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

KHOA TOÁN

———————

HUỲNH KIM TUYẾN

LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN

VÀ ỨNG DỤNG

NGÀNH ĐÀO TẠO: TOÁN ỨNG DỤNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Giảng viên hướng dẫn: TS LÊ HẢI TRUNG

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đề tài: “Lý thuyết phương trình sai phân và ứng dụng”

là một công trình nghiên cứu độc lập không có sự sao chép của người khác

Đề tài là một sản phẩm mà tôi đã nỗ lực nghiên cứu trong quá trình họctập tại trường đại học Trong quá trình viết bài có sự tham khảo một sốtài liệu có nguồn gốc rõ ràng, dưới sự hướng dẫn của thầy Lê Hải Trung.Tôi cam đoan nếu có vấn đề gì tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm

Đà Nẵng, ngày tháng năm 2019

Sinh viên thực hiện

Huỳnh Kim Tuyến

LỜI CẢM ƠN

Bản luận văn này của tôi được hoàn thành dưới sự hướng dẫn trực tiếpcủa TS Lê Hải Trung - Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng.Lời đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc về sự chỉ bảo tận tình đếnngười thầy dạy và cũng là giảng viên hướng dẫn - TS Lê Hải Trung Suốtthời gian qua, thầy đã dành nhiều thời gian để hướng dẫn, giúp đỡ tôi với

sự nhiệt tình, chu đáo để tôi có thể hoàn thành bản luận văn này một cáchtốt nhất

Bên cạnh đó, vì kiến thức tôi vẫn còn hạn chế, trong quá trình làm luậnvăn, tôi sẽ không tránh khỏi những thiếu sót Kính mong nhận được những

ý kiến đóng góp từ thầy và tất cả thầy cô Khoa Toán

Tôi xin chân thành cảm ơn sự quan tâm, giúp đỡ của tất cả mọi người

đã tạo điều kiện thuận lợi giúp tôi hoàn thành nhiệm vụ của mình

Mục lục

Lời mở đầu 5

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC BỔ TRỢ 7

1.1 Hệ phương trình tuyến tính và nghiệm của hệ phương trình tuyến tính 7

1.2 Sai phân hữu hạn 8

1.3 Một số khái niệm cơ bản của phương trình sai phân 11

1.4 Phương trình sai phân cấp một 13

1.5 Phương trình sai phân cấp cao 17

1.6 Phương trình sai phân tuyến tính cấp n thuần nhất 19

1.7 Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng 26

1.8 Phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất 30

1.9 Phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất hệ số hằng với vế phải đặc thù 33

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN 36

2.1 Dãy truy hồi.ư, công thức tính tổng từng phần 36

2.2 Áp dụng phương trình sai phân trong phân tích kinh tế 38

2.3 Mô hình thị trường có hàng tồn kho 39

2.4 Mô hình thu nhập quốc dân với nhân tử tăng tốc Samuelson 41 2.5 Mô hình kinh tế vĩ mô về lạm phát và thất nghiệp với thời gian rời rạc 42

Tài liệu tham khảo 45

LỜI MỞ ĐẦU

Có rất nhiều hiện tượng khoa học kỹ thuật trong thực tiễn mà việc tìmhiểu nó dẫn đến bài toán giải phương trình sai phân Phương trình saiphân còn là một công cụ giúp giải các bài toán vi phân, đạo hàm và cácphương trình đại số tuyến tính

Sự ra đời của phương trình sai phân cũng xuất phát từ việc xác địnhmối quan hệ được thiết lập bởi một bên là một đại lượng biến thiên liêntục với bên còn lại là độ biến thiên của đại lượng đó Đối với các hàmthông thường, nghiệm là một giá trị số (số thực, số phức, ) Còn trongphương trình sai phân, mục tiêu là tìm ra công thức của hàm chưa đượcbiết nhằm thỏa mãn mối quan hệ đề ra Thông thường nó sẽ là một họ cácnghiệm, sai lệch bằng một hằng số C nào đó Hàm này sẽ được xác địnhchính xác khi có thêm điều kiện xác định ban đầu hoặc điều kiện biên.Trong các ứng dụng thực tế, không dễ dàng để tìm ra công thức củahàm nghiệm Với giá trị của của thực tiễn khi ấy, người ta chỉ quan tâmtới giá trị của hàm tại các giá trị cụ thể của các biến độc lập

Phương trình sai phân được nghiên cứu rộng rãi trong toán học thuầntúy và có ứng dụng trong kinh tế và các ngành kỹ thuật khác Tuy nhiênnhiều bài toán phương trình sai phân mà việc tìm nghiệm của nó rất làphức tạp mặc dù nó khá đơn giản về mặt cấu trúc Nói chung không cóphương pháp chung nào để giải các phương trình sai phân tuyến tính Điềungười ta quan tâm là khi nghiên cứu các phương trình sai phân là tính tồntại và mô hình ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau

Phương trình sai phân được phân làm nhiều loại, luận văn này trìnhbày nghiên cứu về phương trình sai phân tuyến tính

Ở trường trung học phổ thông cũng như trong các kỳ thi học sinh giỏitoán xuất hiện nhiều bài toán hay và khó về dãy số, giới hạn, số học, phântích truy hồi, phương trình hàm, được cho dưới dạng một phương trìnhsai phân hay có sử dụng phương trình sai phân để giải Chính vì vậy mànhiệm vụ tìm hiểu những ứng dụng của phương trình sai phân trong cácbài toán phổ thông được xem là một yêu cầu cấp thiết và quan trọng.Việc xây dựng có hệ thống các kiến thức cơ bản về phương trình saiphân có phân loại các dạng phương trình sai phân với sự tổng hợp cácphương pháp giải sẽ đóng góp tốt hơn, có hiệu quả cao hơn cho việc địnhhướng nghiên cứu và phát triển tư duy cho học sinh.

CHƯƠNG1KIẾN THỨC BỔ TRỢ

1.1 Hệ phương trình tuyến tính và nghiệm của hệ phương trìnhtuyến tính

Trong toán học (cụ thể là trong đại số tuyến tính), một hệ phương trìnhđại số tuyến tính hay đơn giản là hệ phương trình là một tập hợp cácphương trình tuyến tính với cùng những biến số Hình thức tổng quát của

hệ phương trình đại số tuyến tính gồm n phương trình tuyến tính với k

an1x1 + an2x2 + + ankxk = bn

(1.1)

được gọi là hệ phương trình tuyến tính n phương trình, n ẩn

Hệ phương trình (1.1) có thể được viết dưới dạng phương trình ma trận

Nếu các biến số của hệ phương trình tuyến tính nằm trong các trườngđại số vô hạn (ví dụ số thực hay số phức), thì chỉ có ba trường hợp xảy ra:

• Hệ vô nghiệm;

• Hệ có duy nhất một nghiệm;

• Hệ có vô số nghiệm

1.2 Sai phân hữu hạn

Xét hàm số một biến thực: y = y(t), t ∈ R (hay t ∈ Z+), h > 0

Định nghĩa 1.2 Đại lượng

được gọi là phương trình sai phân hữu hạn cấp một của hàm số y(t)

Ta sẽ đặt mặc định hàm y(t) là xác định tại các điểm mà ta tiến hànhxem xét Chú ý, trong lý thuyết vi phân thì h chính là số gia của đối số,còn 4y(t) chính là số gia của hàm số tại điểm t Mặt khác, số h còn cótên gọi là bước Sai phân hữu hạn cấp cao được xác định bởi biểu thức

= (y(t + 2h) − y(t + h)) − (y(t + h) − y(t))

= y(t + 2h) − 2y(t + h) + y(t)

Ta kí hiệu 40y(t) = y(t) Bằng phương pháp quy nạp toán học, ta dễdàng chứng minh được sai phân hữu hạn cấp n là tuyến tính, có nghĩa là

4n(f (t) + g(t)) = 4n(f (t)) + 4n(g(t)),

4n(Cf (t)) = C.4n(f (t))

Giá trị 4ny(t) không khó để biểu diễn qua các giá trị của hàm y(t) tạicác điểm t, t + h, , t + nh Ta có được công thức sau đây

4ny(t) =

n

X

k=0(−1)n−k Cnky(t + h) (1.4)

Chứng minh (Bằng phương pháp quy nạp toán học)

Hiển nhiên với n = 1 công thức (1.4) có dạng

4y(t) = −y(t) + y(t + h)

Phương trình trên chính là đại lượng (1.2)

Giả sử (1.4) thỏa mãn khi đối với sai phân hữu hạn cấp n − 1 Ta có

và lại đặt m = k, ta nhận được biểu thức

n

X

k=1(−1)n−kCn−1k−1y(t + kh)

X

k=0(−1)n−k−1Cn−1k y(t + kh)

=

n−1

X

k=1(−1)n−kCn−1k−1y(t + kh) + (−1)0Cn−1n−1y(t + nh)

+

n−1

X

k=0(−1)n−kCn−1k y(t + kh)

=

n−1

X

k=1(−1)n−kCn−1k−1y(t + kh) + Cn−1n−1y(t + nh)

+

n−1

X

k=1(−1)n−kCn−1k y(t + kh) + (−1)nCn−10 y(t)

=

n

X

k=0(−1)n−kCnky(t + kh)

(1.5)

Như vậy, công thức (1.4) được chứng minh

Chú ý rằng, nếu như trong công thức (1.4) ta thực hiện phép đổi biếncủa chỉ số m = n − k và sử dụng công thức Cnk = Cnn−k, khi đó ta nhậnđược

4ny(t) =

n

X

m=0(−1)mCnmy(t + (n − m)h)

Một cách hoàn toàn tương tự, ta cũng chứng minh được công thức

1.3 Một số khái niệm cơ bản của phương trình sai phân

Ta sẽ luôn giả sử h = 1 Khi đó, phương trình (1.8) có dạng

G(t, y(t), y(t + 1), , y(t + n)) = 0 (1.9)

Ví dụ 1.1 Xác định cấp của phương trình sau đây

43y(t) + 42y(t) − 4y(t) − y(t) = 0

Lời giải

Ta có

4y(t) = y(t + h) − y(t);

42y(t) = y(t + 2h) − 2y(t + h) + y(t);

43y(t) = y(t + 3h) − 3y(t + 2h) + 3y(t + h) − y(t),

Do đó,

43y(t) + 42y(t) − 4y(t) − y(t) = y(t + 3h) − 2y(t + 2h)

Đặt τ = t + 2h, khi đó phương trình cuối được viết dưới dạng

y(τ + h) − 2y(τ ) = 0

Phương trình trên được gọi là phương trình sai phân cấp một

Định nghĩa 1.5 Nghiệm (rời rạc) của phương trình (1.9) tương ứng tạiđiểm t0 ∈ Z+ là dãy số y0, y1, , yk, sao cho

G(t0 + k, yk, , yk+n) = 0, (1.10)với k = 0, 1, 2, , còn Z+ là tập các số nguyên dương

Bài toán Cauchy cho việc tìm nghiệm của phương trình (1.8) nằm ở việcxác định y(t) của phương trình này và đồng thời thỏa mãn các điều kiện

đầu sau đây

y(t0) = y0, y(t0 + 1) = y1, , y(t0 + n − 1) = yn−1

Các số y0, y1, , yn−1 được gọi là các giá trị đầu của nghiệm y(t), t0

được gọi là điểm đầu

Nếu y(t) là nghiệm liên tục trên [t0, +∞) của phương trình (1.8) thìkhi đó dãy y(t0), y(t0 + 1), , y(t0 + k) sẽ là nghiệm rời rạc của (1.8).Định nghĩa 1.6 Điểm (t0, y0, y1, , yn−1) ∈ Z+ ×Rn được gọi là điểmduy nhất nghiệm của bài toán Cauchy (1.8) Nếu với bất kỳ nghiệm ϕ(t)

của bài toán Cauchy, thỏa mãn điều kiện đầu

(1) Với mọi giá trị cho trước C1, , Cn hàm đã cho là nghiệm củaphương trình (1.8)

(2) Mọi nghiệm của bài toán Cauchy (1.8) với điều kiện đầu được lấy

từ D có thể nhận được từ nghiệm tổng quát một cách duy nhất

Phương trình sai phân luôn mô tả sự phát triển của các hiện tượng đãbiết qua một vài lần theo thời gian Ví dụ, nếu một tập hợp đã biết cóvài khoảng rời rạc, kích thước của x(n + 1) khoảng (n + 1) thứ nhất làmột phương trình x(n) của khoảng thứ n Quan hệ này biểu diễn chính

nó trong phương trình sai phân

x(n + 1) = f (x(n))

1.4 Phương trình sai phân cấp một

Xét phương trình

4y(t) = f (t), t ∈ Ω0, (1.11)hay

ta nhận được các nghiệm không suy biến của phương trình (1.13)

y(t) = y(t0)

t−1

Y

k=t0p(k), y(t0) 6= 0 (1.15)Đặt y(t0) = C ta nhận được nghiệm tổng quát của (1.14) có dạng

Phương trình (1.13) chính là trường hợp riêng của phương trình sau đây

y(t + 1) = p(t)y(t) + f (t), p(t) 6= 0, t ∈ Z+ (1.17)

Ta tiến hành xem xét phương pháp xây dựng nghiệm tổng quát củaphương trình trên được gọi là phương pháp biến thiên hằng số hay còngọi là phương pháp Lagrange Ta xem C trong (1.16) như là một hàm phụthuộc vào t, để cho công thức

Phương trình cuối có dạng (1.11), do đó nghiệm tổng quát của phươngtrình trên có thể viết được dưới dạng (1.12), nghĩa là

Đặt biểu thức nhận được đối với C(t) vào (1.18) ta thu được

y(t) =

t−1

Y

k=t0p(k)

Ta có

y(t + 1) = u(t + 1)v(t + 1)

= p(t)u(t)v(t) + f (t),u(t + 1)4v(t) = p(t)u(t)v(t) − u(t + 1)v(t) + f (t)

Ta chọn hàm u(t) sao cho u(t + 1) = u(t)p(t), ví dụ như

y(t + 1)y(t) + 2y(t + 1) + y(t) − 4 = 0

Lời giải Để triệt tiêu được số hạng tự do (−4) ta thực hiện phép đổi biến

y(t) = u(t) + δ

Khi đó δ là nghiệm của phương trình

δ2 + 3δ − 4 = 0

Giả sử ta lấy δ = 1, ta thu được phương trình

u(t + 1)u(t) + 3u(t + 1) + 2u(t) = 0

Nghiệm u(t) = 0 của phương trình cuối tương ứng y(t) = 1 của phương

trình ban đầu Tiếp theo thực hiện phép đổi biến



− 32

Để ý rằng nghiệm y(t) = 1 có thể nhận được một cách nhìn hình thức khitrong công nghiệm tổng quát ta cho C = ∞

Ví dụ 1.3 Giải phương trình:

p(t)y(t + 1) + q(t)y(t + 1)y(t) − y(t) = 0, p(t) 6= 0, i ∈ Z+,

và xem xét trường hợp riêng khi p(t) = 2, q(t) = 3

Lời giải Chú ý rằng y(t) = 0 là một nghiệm của phương trình đã cho.Tiếp theo ta đặt v(t) = 1

y(t), ta nhận được phương trìnhv(t + 1) = p(t)v(t) + q(t),

với nghiệm tổng quát là

v(t) =

t−1

Y

k=0p(k)

 k

Y

m=0p(m)

 k

Y

m=0p(m)

−1ii−1

,

và y(t) = 0 cũng là một nghiệm Trong trường hợp p(t) = 2, q(t) = 3 ta

có được

y(t) = (C2t − 3)−1

1.5 Phương trình sai phân cấp cao

Định nghĩa 1.8 Các hàm số ϕ1(t), ϕ2(t), , ϕn(t) được gọi là phụ thuộctuyến tính trên tập Ω, nếu tồn tại bộ số C1, C2, , Cn không đồng thờibằng không để cho đẳng thức sau được thỏa mãn

1 t1 t21

1 t2 t22

1 t3 t23

Do đó, tồn tại duy nhất C1 = C2 = C3 = 0

Ta chú ý một vài tính chất đặc trưng của các hàm phụ thuộc tuyến tínhsau đây.

Tính chất 1.1 Nếu trong các hàm ϕ1(t), ϕ2(t), , ϕn(t) có hàm đồngnhất bằng không thì các hàm đã cho là phụ thuộc tuyến tính

Tính chất 1.2 Các hàm ϕ1(t), ϕ2(t), , ϕn(t) là phụ thuộc tuyến tínhkhi và chỉ khi có một hàm biểu thị dưới dạng tổ hợp tuyến tính của cáchàm còn lại

Tính chất 1.3 Nếu trong các hàm ϕ1(t), ϕ2(t), , ϕn(t) có k hàm phụthuộc tuyến tính (k < n), thì các hàm (n hàm) là phụ thuộc tuyến tính.Chứng minh Không mất tính tổng quát ta có thể coi như k hàm số đầutiên của ϕ1(t), ϕ2(t), , ϕk(t) là phụ thuộc tuyến tính Trong trường hợpngược lại ta chỉ cần đánh lại số thứ tự của các hàm đã cho Theo địnhnghĩa, ta có

C1ϕ1(t) + C2ϕ2(t) + + Ckϕk(t) ≡ 0, t ∈ Ω, (1.23)với C12 + C22 + + Ck2 6= 0

được gọi là định thức Kazorati cấp n của ϕ1(t), ϕ2(t), , ϕn(t)

Định thức trên được dùng để nhận biết hệ độc lập tuyến tính hay phụthuộc tuyến tính.

Định lí 1.5.1 (Dấu hiệu cần để các hàm phụ thuộc tuyến tính)

Nếu các hàm ϕ1(t), ϕ2(t), , ϕn(t) là phụ thuộc tuyến tính trên Ω thìđịnh thức K(t) = 0 trên Ω

Chứng minh Ta có

C1ϕ1(t) + C2ϕ2(t) + + Cnϕn(t) ≡ 0, t ∈ Ω, (1.26)và

C1ϕ1(t0 + n − 1) + C2ϕ2(t0 + n − 1) + + Cnϕn(t0 + n − 1) = 0

(1.27)

Hệ phương trình (1.27) là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất cấp n

với ẩn Ci, i = 1, 2, , n với định thức K(t0) 6= 0 Theo định lý Cramer thì

hệ (1.27) có nghiệm tầm thường duy nhất Ci = 0 Điều này mâu thuẫnvới giả thuyết Ci không đồng thời bằng không Từ đây ta có được điềuphải chứng minh

1.6 Phương trình sai phân tuyến tính cấp n thuần nhất

trình (1.28) là xác định trên Z+, đồng thời f (t) 6= 0, t ∈ Z+ Trong cácđiều kiện trên thì bất kỳ điểm nào thuộc Z+ ×Rn cũng đều là điểm tồntại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy cho phương trình (1.28).Nếu f (t) ≡ 0 thì (1.28) được gọi là phương trình sai phân tuyến tínhcấp n thuần nhất và không thuần nhất trong trường hợp ngược lại.

Mặt khác, phương trình

z(t + n) + p1(t)z(t + n − 1) + p2(t)z(t + n − 2) + + pn(t)z(t) = 0 (1.29)được gọi là phương trình sai phân tuyến tính cấp n thuần nhất tương ứngvới (1.28)

Định lí 1.6.1 (Tiêu chuẩn độc lập tuyến tính của các nghiệm phươngtrình sai phân tuyến tính cấp n thuần nhất)

Các nghiệmz1(t), z2(t), , zn(t)của phương trình (1.29) là độc lập tuyếntính trên Z+ khi và chỉ khi định thức Kazorati của chúng khác không trên

Z+

Chứng minh Từ Định lý 1.5.1 ta suy ra được điều kiện đủ của định lýđược khẳng định ngay cả đối với những hàm không phải là nghiệm củaphương trình sai phân tuyến tính cấp n thuần nhất

Giả sử z1(t), z2(t), , zn(t) là độc lập tuyến tính trên Z+ và tồn tại

C1z1(t∗ + n − 1) + C2z2(t∗ + n − 1) + + Cnzn(t∗ + n − 1) = 0

(1.30)Định thức của hệ này theo giả thiết K(t∗) = 0, do đó (1.30) có nghiệmkhông tầm thường, kí hiệu (C1∗, C2∗, , Cn∗) Ta xét hàm

Định lí 1.6.2 (Neumann) Định thức Kazorati của bất kỳ n nghiệm củaphương trình (1.29) đều thỏa mãn phương trình

K(t + 1) = (−1)npn(t)K(t) (1.31)Chứng minh Giả sửz1(t), z2(t), , zn(t)là nghiệm bất kỳ của (1.29) (khôngnhất thiết phải độc lập tuyến tính) Ta xét hệ

p1(t)zn(t + n − 1) + p2(t)zn(t + n − 2) + + pn(t)zn(t) = −zn(t + n)

(1.32)trong đó p1(t), , pn(t) được xem là các ẩn Hệ (1.32) đồng nhất với hệ

Tính chất 1.4 Giá trị của định thức là không đổi trước phép chuyển vị

(det A = det AT)

Tính chất 1.5 Nếu đổi chỗ bất kỳ hai hàng (hoặc hai cột) của định thứcthì giá trị của định thức đổi dấu

Mặt khác, phương trình

z(t + n) + p1(t)z(t... khác không

Z+

Chứng minh Từ Định lý 1.5.1 ta suy điều kiện đủ định lý? ?ược khẳng định hàm khơng phải nghiệm củaphương trình sai phân tuyến tính cấp n

Giả sử z1(t),... chuẩn độc lập tuyến tính nghiệm phươngtrình sai phân tuyến tính cấp n nhất)

Các nghiệmz1(t), z2(t), , zn(t)của phương trình (1.29) độc lập tuyếntính